畢業(yè)設(shè)計(jì)（論文）：基于三角Bézier曲線的過(guò)渡曲線曲面的構(gòu)造

本科畢業(yè)設(shè)計(jì)（論文）課題名稱(chēng)：基于三角Bézier曲線的過(guò)渡曲線曲面的構(gòu)造專(zhuān)業(yè)：信息與計(jì)算科學(xué)姓名：學(xué)號(hào)：指導(dǎo)教師：數(shù)理學(xué)院年月本科畢業(yè)設(shè)計(jì)（論文）摘要在計(jì)算機(jī)幾何設(shè)計(jì)中，如何構(gòu)造過(guò)渡曲線一直是一個(gè)非常重要的研究課題，國(guó)內(nèi)外學(xué)者對(duì)這個(gè)課題進(jìn)行了大量的探討和研究。作者首先給出了兩類(lèi)不同的Bézier曲線基函數(shù)，分別是多項(xiàng)式基函數(shù)和三角基函數(shù)。然后根據(jù)所給出的不同基函數(shù)提出了帶形狀參數(shù)的兩種不同Bézier曲線的構(gòu)造方法。在選取控制頂點(diǎn)的時(shí)候發(fā)現(xiàn)，當(dāng)兩條Bézier曲線具有相同的控制點(diǎn)且滿(mǎn)足某些條件時(shí)，此時(shí)這兩條Bézier曲線具有一定的擬連續(xù)性。但是當(dāng)控制頂點(diǎn)的選取無(wú)關(guān)時(shí)(即沒(méi)有相同的控制頂點(diǎn))，這時(shí)需要一條過(guò)渡曲線來(lái)連接兩條Bézier曲線，當(dāng)兩條Bézier曲線和過(guò)渡曲線之間滿(mǎn)足一定的擬連續(xù)性時(shí)，這條過(guò)渡曲線中的調(diào)配函數(shù)以及控制頂點(diǎn)的選取是至關(guān)重要的，這是本文的研究重點(diǎn)。本文給出了兩類(lèi)形狀不同的過(guò)渡曲線(C型和S型)的例子來(lái)加深理解。最后，通過(guò)對(duì)過(guò)渡曲線的研究，上升到對(duì)過(guò)渡曲面如何構(gòu)造的探討，針對(duì)過(guò)渡曲面的研究，其調(diào)配函數(shù)的選取和過(guò)渡曲面的構(gòu)造與過(guò)渡曲線中的方法基本是一致的，只是從二維空間上升到三維空間而已。通過(guò)選取不同的調(diào)配函數(shù)，得出三種不同的過(guò)渡曲面分別滿(mǎn)足擬連續(xù)性。關(guān)鍵詞：形狀參數(shù)；過(guò)渡曲線；過(guò)渡曲面；連續(xù)性

AbstractInthecomputergeometricdesign,howtoconstructthetransitioncurvehasalwaysbeenaveryimportantresearchtopic,scholarsathomeandabroadhavedonealotofresearchonthissubject.First,twoclassesofBéziercurvebasisfunctionsaregivenbytheauthor,theyarepolynomialbasisfunctionsandtrigonometricbasisfunctions.TwodifferentBéziercurveswithshapeparametersareproposedbythegivenbasisfunctions.Whenthecontrolverticesareselected,itisfoundthatthetwoBéziercurveshavethesamecontrolpointsandsatisfycertainconditions,thetwoBéziercurveshavecertaincontinuityatthispoint.However,whentheselectionofthecontrolverticesisirrelevant(withoutthesamecontrolvertices),thenatransitioncurveisrequiredtoconnecttwoBéziercurves.WhenthetwoBéziercurvesandthetransitioncurvessatisfyacertainquasi-continuity,theselectionoftheblendingfunctionandthecontrolverticesinthistransitioncurveisofvitalimportance,whichisthefocusofthispaper.Thispapergivestwoexamplesofdifferenttransitioncurves(CandS)withdifferentshapestounderstand.Finally,throughthestudyofthetransitioncurve,thediscussionofhowtoconstructthetransitionsurfaceisdiscussed.Forthestudyofthetransitionsurface,theselectionofthemodulationfunctionandtheconstructionofthetransitionsurfacearebasicallythesameasthoseinthetransitioncurve.Spacerosetothree-dimensionalspaceonly.Bychoosingdifferentallocationfunctions,wegetthreedifferenttransitionsurfacestosatisfytheandcontinuity.Keywords:shapeparameter;transitioncurve;transitionsurface;continuity

目錄摘要 IAbstract II目錄 III圖表目錄 V第一章緒論 11.1課題研究背景與現(xiàn)狀 11.1.1研究背景 11.1.2研究現(xiàn)狀 21.2本文主要內(nèi)容 3第二章三次多項(xiàng)式Bézier曲線的過(guò)渡曲線曲面的構(gòu)造 42.1雙參數(shù)三次Bézier曲線的定義及其性質(zhì) 42.1.1雙參數(shù)Bézier曲線基函數(shù)的構(gòu)造和性質(zhì) 42.1.2雙參數(shù)Bézier曲線的構(gòu)造與性質(zhì) 52.2調(diào)配曲線的構(gòu)造及其連續(xù)性 52.2.1調(diào)配曲線的構(gòu)造 52.2.3調(diào)配曲線連續(xù)性的預(yù)備知識(shí) 62.2.4擬連續(xù)的構(gòu)造 72.2.5擬連續(xù)的構(gòu)造 72.2.6擬連續(xù)的構(gòu)造 82.3過(guò)渡曲線連續(xù)性的實(shí)例分析 92.3.1C-型過(guò)渡曲線的設(shè)計(jì) 92.3.2S-型過(guò)渡曲線的設(shè)計(jì) 102.4利用調(diào)配函數(shù)構(gòu)造過(guò)渡曲面 112.4.1參數(shù)多項(xiàng)式曲面的表現(xiàn)形式 112.4.2過(guò)渡曲面的構(gòu)造方法 112.5本章總結(jié) 14第三章二次三角Bézier曲線的過(guò)渡曲線曲面的構(gòu)造 153.1QT-Bézier基函數(shù)的構(gòu)造和性質(zhì) 153.1.1QT-Bézier曲線的基函數(shù) 153.2QT—Bézier曲線 163.2.1QT—Bézier曲線的定義 163.2.2QT—Bézier曲線的性質(zhì) 173.2.3形狀參數(shù)對(duì)QT—Bézier曲線的調(diào)節(jié)作用 173.3QT—Bézier曲線的光滑連接 173.3.1連續(xù)的構(gòu)造 173.3.2連續(xù)的構(gòu)造 183.4調(diào)配曲線的構(gòu)造，性質(zhì)及其連續(xù)性 193.4.1調(diào)配曲線的構(gòu)造 193.4.2調(diào)配曲線的性質(zhì) 203.5調(diào)配曲線擬連續(xù)性的構(gòu)造 203.5.1擬連續(xù)的構(gòu)造 203.5.2擬連續(xù)的構(gòu)造 213.6過(guò)渡曲線的實(shí)例分析 223.6.1C-型過(guò)渡曲線的設(shè)計(jì) 223.6.2S-型過(guò)渡曲線的設(shè)計(jì) 233.7利用調(diào)配函數(shù)構(gòu)造過(guò)渡曲面 233.7.1Bézier曲面的定義與性質(zhì) 233.7.2過(guò)渡曲面的構(gòu)造 243.8總結(jié) 27第四章 總結(jié)與展望 284.1本文總結(jié) 284.2未來(lái)工作及展望 28參考文獻(xiàn) 29致謝 31

圖表目錄圖2.1基函數(shù)圖像 4圖2.2基函數(shù)圖像 4圖2.3連續(xù)過(guò)渡曲線圖像 9圖2.4連續(xù)過(guò)渡曲線圖像 9圖2.5連續(xù)過(guò)渡曲線圖像 9圖2.6C型過(guò)渡曲線(參數(shù)見(jiàn)文中) 10圖2.7C型過(guò)渡曲線(參數(shù)見(jiàn)文中) 10圖2.8S型過(guò)渡曲線(參數(shù)見(jiàn)文中) 11圖2.9S型過(guò)渡曲線(參數(shù)見(jiàn)文中) 11圖2.10連續(xù)時(shí)的過(guò)渡曲面 13圖2.11連續(xù)時(shí)的過(guò)渡曲面 13圖2.12連續(xù)時(shí)的過(guò)渡曲面 13圖3.1兩個(gè)形狀參數(shù)相等時(shí)的基函數(shù)圖像 15圖3.2兩個(gè)形狀參數(shù)不等時(shí)的基函數(shù)圖像 15圖3.3曲線的拼接 18圖3.4曲線的連續(xù) 19圖3.5連續(xù)調(diào)配曲線 21圖3.6連續(xù)調(diào)配曲線 21圖3.7C型調(diào)配曲線圖像(1,1,0.5,0.5) 23圖3.8C型調(diào)配曲線圖像(-1,-1,0.5,1) 23圖3.9S型調(diào)配曲線圖像(1,1,0.5,0.5) 23圖3.10S型調(diào)配曲線圖像(1,1,0.5,0.5) 23圖3.11連續(xù)時(shí)的過(guò)渡曲面 27圖3.12連續(xù)時(shí)的過(guò)渡曲面 27圖3.13連續(xù)時(shí)的過(guò)渡曲面 27第一章緒論1.1課題研究背景與現(xiàn)狀計(jì)算機(jī)輔助幾何設(shè)計(jì)（CGAD）是以數(shù)學(xué)和計(jì)算機(jī)科學(xué)為基礎(chǔ)的新的跨學(xué)科課程。隨著工業(yè)發(fā)展的需求而出現(xiàn)和發(fā)展起來(lái)的，所以成為了熱門(mén)學(xué)科。在幾何的發(fā)展過(guò)程中，從數(shù)字定義出發(fā)，將傳統(tǒng)時(shí)代幾何轉(zhuǎn)化為信息時(shí)代幾何，充滿(mǎn)活力，有著超強(qiáng)的生命力。其研究的內(nèi)容主要就是如何改變工業(yè)產(chǎn)品的形狀，即我們可以利用數(shù)學(xué)幾何模型為計(jì)算機(jī)輔助設(shè)計(jì)和制造提供數(shù)學(xué)外形，制造出符合工業(yè)需求的產(chǎn)品。1.1.1研究背景計(jì)算機(jī)輔助設(shè)計(jì)是應(yīng)用數(shù)學(xué)中一個(gè)發(fā)展前景極為良好的分支，是為了滿(mǎn)足工業(yè)需求而出現(xiàn)的學(xué)科。隨著日益增多的設(shè)計(jì)要求，計(jì)算機(jī)幾何隨著多方向性，獨(dú)特性和拓?fù)浣Y(jié)構(gòu)的多重性正變得越來(lái)越顯著，和圖形產(chǎn)業(yè)和制造產(chǎn)業(yè)逐漸的走向信息，一體和網(wǎng)絡(luò)化。而網(wǎng)絡(luò)化的步伐正在加快，三維數(shù)據(jù)的采集技術(shù)和計(jì)算機(jī)硬件越來(lái)越完美化，輔助設(shè)計(jì)也在最近幾年中有著發(fā)展和創(chuàng)新，其研究領(lǐng)域正在不斷擴(kuò)張。它涉及到很多現(xiàn)代數(shù)學(xué)，比如微分幾何，數(shù)值分析等，還有著幾何建模，數(shù)據(jù)結(jié)構(gòu)，程序設(shè)計(jì)語(yǔ)言等學(xué)科。在實(shí)際生產(chǎn)生活中，在計(jì)算機(jī)輔助設(shè)計(jì)中曲線和曲面有著極其廣泛的應(yīng)用。例如，如何利用曲線曲面的形式去將實(shí)驗(yàn)統(tǒng)計(jì)的結(jié)果分析和優(yōu)化，使人們更容易去理解和接受。和中自由曲線和曲面的變化是非常熱門(mén)的研究課題。上世紀(jì)中期首次應(yīng)用于發(fā)達(dá)國(guó)家的航空工業(yè)中。由弗格森首次提出利用曲線和曲面的特性，可以給它們向量化，最終弗格森雙三曲面由四個(gè)角點(diǎn)的位置和兩個(gè)方向的切向量定義線面的參數(shù)形式成為了數(shù)學(xué)中的定義形式。Coons提出了一種能夠運(yùn)用四個(gè)閉合邊界線交互設(shè)計(jì)的自由曲面的設(shè)計(jì)方法曲線定義一塊表面，也就是說(shuō)，Coons表面不限于邊界上的數(shù)據(jù)代替在許多點(diǎn)上插入兩組邊界曲線。上世紀(jì)70年代Bézier發(fā)表了一種利用控制多邊形來(lái)定義曲線全新的方法，即利用改變控制頂點(diǎn)的方法來(lái)改變曲線形狀。Bézier提出的方法簡(jiǎn)明好用，也解決了形狀控制的問(wèn)題。1.1.2研究現(xiàn)狀曲線和曲面中的過(guò)渡和連續(xù)性問(wèn)題一直都是是自由曲線曲面和曲面設(shè)計(jì)的重要組成部分。上世紀(jì)90年代，Sapdis和FieyHYPERLINK[13]提出了兩個(gè)Bézier曲線單調(diào)性的充要條件。但是，討論結(jié)果卻是兩個(gè)Bézier曲線具備單調(diào)約束是很難實(shí)現(xiàn)的，只有當(dāng)兩條控制邊的角度在小于90度的時(shí)候才能實(shí)現(xiàn)曲線曲率單調(diào)，而且所得到的曲線看起來(lái)比較直，也就是說(shuō)彎曲度極小，所以在實(shí)際應(yīng)用中有著極大的限制性。隨后，F(xiàn)iey和FleidHYPERLINK[14]給出了兩個(gè)理性Bézier曲線曲率單調(diào)的充分和必要條件。王小平等HYPERLINK[10]也給出了更為合理的Bézier曲線的曲率單調(diào)的必要和充分條件。研究結(jié)果表明，當(dāng)兩個(gè)Bézier曲線在曲率單調(diào)條件下，這兩條有理Bézie曲線具有較大的松弛度即彎曲度足夠大。2003年，王晶昕等HYPERLINK[8]推導(dǎo)兩個(gè)均勻有理B樣條曲線的曲率單調(diào)的必要和充分條件。由于兩個(gè)Bézier曲線的限制，1996年，沃爾頓和梅克HYPERLINK[15]研究了三個(gè)Bézier曲線和五個(gè)Bézier曲線，分別提出了三個(gè)Bézier螺旋和起始點(diǎn)零曲率的五個(gè)PH螺旋，使用兩個(gè)螺旋作為道路設(shè)計(jì)的過(guò)渡曲線，發(fā)電曲線取得了良好的效果。后來(lái)很多學(xué)者兩種螺旋被深入研究。但是，在對(duì)多階參數(shù)曲線的研究時(shí)發(fā)現(xiàn)，在計(jì)算曲率導(dǎo)數(shù)時(shí)，對(duì)于較高的曲率多項(xiàng)式我們是很難去計(jì)算的。所以曲率為單調(diào)時(shí)，將多項(xiàng)式轉(zhuǎn)換為Bernstein基表示，然后將給出了高階貝爾曲線的單調(diào)曲率的充分條件。同樣，徐慧霞等HYPERLINK[17]還給出了樣條曲線的曲率單調(diào)的足夠條件。我們都知道，Bézier曲線不可以準(zhǔn)確的表達(dá)高次曲線，但是HYPERLINK[19]在1996年提出了一種新型的曲線，在蔡華輝HYPERLINK[20-21]等的基礎(chǔ)上，給出了曲率在端點(diǎn)處為零的C-Bézier曲線，成為了計(jì)算機(jī)道路設(shè)計(jì)的新寵兒。1.2本文主要內(nèi)容在改變形狀時(shí)，過(guò)渡曲線曲面的連續(xù)性是有著非常大的難度去調(diào)節(jié)的。在本文第二章中一開(kāi)始給出了多項(xiàng)式Bézier曲線的定義，然后我們從過(guò)渡曲線的構(gòu)造必須和Bézie曲線之間滿(mǎn)足一定擬連續(xù)性HYPERLINK[1]的要求來(lái)進(jìn)行研究，結(jié)合多項(xiàng)式Bézier曲線的一些性質(zhì)(如端點(diǎn)性)，對(duì)過(guò)渡曲線的選取，構(gòu)造以及擬連續(xù)性進(jìn)行了深入的了解，特別是連續(xù)性的研究。同時(shí)舉出了C型連續(xù)和S型連續(xù)HYPERLINK[4]的兩個(gè)例子，并且通過(guò)過(guò)渡曲線的構(gòu)造和知識(shí)，也研究了過(guò)渡曲面是如何構(gòu)造的，并給出形狀參數(shù)和調(diào)配函數(shù)以及控制頂點(diǎn)的選取對(duì)過(guò)渡曲面HYPERLINK[6]的形狀有著關(guān)鍵性作用的結(jié)論。第三章和第二章研究的內(nèi)容結(jié)構(gòu)基本一致，但是第三章研究的是以角函數(shù)為基函數(shù)的Bézier曲線，同時(shí)利用三角Bézier曲線的某些性質(zhì)，給出其過(guò)渡曲線的構(gòu)造方法以及過(guò)渡曲線的擬連續(xù)性，同時(shí)也給出了兩種具有代表性(C和S)形狀的過(guò)渡曲線。最后通過(guò)對(duì)過(guò)渡曲線的研究，我們自然而然的得出基于三角Bézier曲面的過(guò)渡曲面HYPERLINK[16]的構(gòu)造方法，并給出相關(guān)的一些結(jié)論。第四章是通過(guò)對(duì)本篇論文的書(shū)寫(xiě)以及這些知識(shí)的學(xué)習(xí)之后得出的一些總結(jié)和體會(huì)以及今后所要研究的內(nèi)容。

第二章三次多項(xiàng)式Bézier曲線的過(guò)渡曲線曲面的構(gòu)造 本章定義了一種三次多項(xiàng)式基函數(shù)HYPERLINK[7]，從基函數(shù)的性質(zhì)出發(fā)，給出了Bézier曲線的構(gòu)造。在研究Bézier曲線的過(guò)程中，可以發(fā)現(xiàn)當(dāng)控制頂點(diǎn)的選取無(wú)關(guān)的時(shí)候，這兩條Bézier曲線無(wú)法產(chǎn)生關(guān)系，從而引出過(guò)渡曲線，通過(guò)對(duì)過(guò)渡曲線中調(diào)配函數(shù)的選取，可以讓兩條Bézier構(gòu)成更好的連續(xù)性。在過(guò)渡曲線的基礎(chǔ)上，還簡(jiǎn)單的研究了一下過(guò)渡曲面的構(gòu)造問(wèn)題。2.1雙參數(shù)三次Bézier曲線的定義及其性質(zhì)2.1.1雙參數(shù)Bézier曲線基函數(shù)的構(gòu)造和性質(zhì)定義1對(duì)，稱(chēng)關(guān)于t的多項(xiàng)式HYPERLINK[7]： (2.1)為帶雙參數(shù)的三次Bézier多項(xiàng)式曲線的基函數(shù)，簡(jiǎn)稱(chēng)為三次基。圖2.1基函數(shù)圖像圖2.2基函數(shù)圖像圖2.1為時(shí)4個(gè)基函數(shù)圖像，其中1是第一個(gè)基函數(shù)圖像，2是第二個(gè)基函數(shù)圖像，3是第三個(gè)函數(shù)圖像，4是第四個(gè)函數(shù)圖像；圖2.2為時(shí)4個(gè)基函數(shù)圖像，其中什么數(shù)字代表哪個(gè)基函數(shù)圖像和圖2.1是一致的，這里不再贅述。定理1三次基具有下面這些基本性質(zhì)：（1）權(quán)性：（2）擬對(duì)稱(chēng)性：當(dāng)時(shí)，有其中，當(dāng)時(shí)，該基函數(shù)就是伯恩斯坦基。（3）非負(fù)性：當(dāng)時(shí)，對(duì)，有（4）單調(diào)性：當(dāng)保持不變時(shí)，關(guān)于單調(diào)遞減；關(guān)于單調(diào)遞減；關(guān)于單調(diào)增加；關(guān)于單調(diào)增加。2.1.2雙參數(shù)Bézier曲線的構(gòu)造與性質(zhì)在2.1節(jié)給出的雙參數(shù)三次基函數(shù)的基礎(chǔ)上，可以定義多項(xiàng)式Bézier曲線。定義2 給定基函數(shù)，控制頂點(diǎn)則稱(chēng)： (2.2)為帶形狀參數(shù)的三次雙參數(shù)Bézier曲線，簡(jiǎn)稱(chēng)為三次Bézier曲線。2.2調(diào)配曲線的構(gòu)造及其連續(xù)性2.2.1調(diào)配曲線的構(gòu)造首先考慮兩個(gè)帶參數(shù)的三次雙參數(shù)Bézier曲線和HYPERLINK[22]。如果給定兩組控制頂點(diǎn)，其中表示的控制頂點(diǎn)，表示的控制頂點(diǎn)，則有：=其中是定義1中含有參數(shù)的基函數(shù)；=其中是定義1中含有參數(shù)的基函數(shù)。所以由此可以定義雙參數(shù)Bézier曲線的調(diào)配曲線。定義3給定控制頂點(diǎn)和基函數(shù)，稱(chēng) (2.3)為雙參數(shù)三次Bézier曲線的調(diào)配曲線，其中稱(chēng)為調(diào)配函數(shù)為了使得(調(diào)配曲線)經(jīng)過(guò)曲線的起始點(diǎn)和曲線的終止點(diǎn)，則必須使得當(dāng)時(shí)；當(dāng)時(shí)。在給定的曲線和具有相關(guān)的控制點(diǎn)，即，下面來(lái)分析其性質(zhì)：調(diào)配曲線的性質(zhì)：(1)端點(diǎn)位置性質(zhì) 由時(shí)，時(shí)知，；即調(diào)配曲線和首末控制頂點(diǎn)相切。(2)端點(diǎn)切矢性質(zhì)由于，，所以調(diào)配曲線和控制多邊形的起始邊和終止邊是相切的。2.2.3調(diào)配曲線連續(xù)性的預(yù)備知識(shí)我們由式(2.3)可以知道： (2.4) (2.5)過(guò)渡曲線在兩個(gè)端點(diǎn)處滿(mǎn)足擬連續(xù)的條件為： (2.6)其中。因此，由式(2.3)到(2.5)可知，為了讓過(guò)渡曲線滿(mǎn)足式(2.6)中所列出的條件，調(diào)配函數(shù)在端點(diǎn)處必須滿(mǎn)足： (2.7)過(guò)渡曲線在兩個(gè)端點(diǎn)處滿(mǎn)足擬連續(xù)的條件為： (2.8)其中。因此，由式(2.3)到(2.5)可知，為了讓過(guò)渡曲線滿(mǎn)足式(2.7)中所列條件，調(diào)配函數(shù)在端點(diǎn)處必須滿(mǎn)足： (2.9)過(guò)渡曲線在兩個(gè)端點(diǎn)處滿(mǎn)足擬連續(xù)的條件為： (2.10)其中。因此，由式(2.3)到(2.5)可知，為了讓過(guò)渡曲線滿(mǎn)足式(2.10)中所列出的條件，調(diào)配函數(shù)在端點(diǎn)處必須滿(mǎn)足： (2.11)2.2.4擬連續(xù)的構(gòu)造為了讓調(diào)配曲線經(jīng)過(guò)曲線的始點(diǎn)和曲線的末點(diǎn)，必須滿(mǎn)足和，即必須滿(mǎn)足，為了計(jì)算的方便，我們用的是低次多項(xiàng)式來(lái)表示的，即取，這樣就可以讓過(guò)渡曲線具有擬連續(xù)。2.2.5擬連續(xù)的構(gòu)造在滿(mǎn)足擬連續(xù)的前提下，要保持?jǐn)M連續(xù)，則要有和，即(調(diào)配函數(shù))必須滿(mǎn)，可以取則能滿(mǎn)足連續(xù)的條件。當(dāng)然這里我們也可以取其他的調(diào)配函數(shù)，只要滿(mǎn)足條件即可。2.2.6擬連續(xù)的構(gòu)造同樣要保持?jǐn)M連續(xù)，則必須有和，即調(diào)配函數(shù)必須滿(mǎn)足，所以我們可以取，則能滿(mǎn)足擬連續(xù)的條件。當(dāng)然也可以用其他的調(diào)配函數(shù)，只要滿(mǎn)足條件即可，我們這里為了方便起見(jiàn)，用的是最簡(jiǎn)單的調(diào)配函數(shù)。定理2設(shè)三次調(diào)配曲線要滿(mǎn)足擬連續(xù)的充分條件HYPERLINK[6]是調(diào)配函數(shù)分別為；；。根據(jù)定理2中所給出的多項(xiàng)式調(diào)配函數(shù)，分析可得如下性質(zhì)：(1)單調(diào)性：當(dāng)時(shí)，調(diào)配函數(shù)是單調(diào)的，即 (2)對(duì)稱(chēng)性：，即在點(diǎn)處是反對(duì)稱(chēng)的，也就是有下面的等式：（3） 中點(diǎn)性：在中點(diǎn)處滿(mǎn)足。（4） 端點(diǎn)性：在端點(diǎn)處滿(mǎn)足 圖2.3是擬連續(xù)時(shí)的函數(shù)圖像，其中1和2分別是兩個(gè)Bézier曲線，3是所要研究的過(guò)渡曲線；圖2.4是擬連續(xù)時(shí)的函數(shù)圖像，其中1和2分別是兩個(gè)Bézier曲線，3是所要研究的過(guò)渡曲線；圖2.5是擬連續(xù)時(shí)的函數(shù)圖像，其中1和2分別是兩個(gè)Bézier曲線，3是所要研究的過(guò)渡曲線。圖2.3連續(xù)過(guò)渡曲線圖像圖2.4連續(xù)過(guò)渡曲線圖像圖2.5連續(xù)過(guò)渡曲線圖像2.3過(guò)渡曲線連續(xù)性的實(shí)例分析2.3.1C-型過(guò)渡曲線的設(shè)計(jì)設(shè)兩條基曲線為三次多項(xiàng)式Bézier曲線，其方程分別為：；其中，，與分別是兩條基曲線的控制頂點(diǎn)，是式(2.1)中所定義的基函數(shù)。所以當(dāng)基函數(shù)中的形狀參數(shù)取不同的值得時(shí)候，我們所得到的的C-形過(guò)渡曲線也是完全不同的，如下圖所示即為形狀參數(shù)不同時(shí)所構(gòu)造出的不同的C-形過(guò)渡曲線。圖2.6是當(dāng)形狀參數(shù)時(shí)的C型過(guò)渡曲線函數(shù)圖(過(guò)渡曲線為1)；圖2.7是當(dāng)形狀參數(shù)時(shí)的C型過(guò)渡曲線函數(shù)圖(過(guò)渡曲線為1)。圖2.6C型過(guò)渡曲線(參數(shù)見(jiàn)文中)圖2.7C型過(guò)渡曲線(參數(shù)見(jiàn)文中)2.3.2S-型過(guò)渡曲線的設(shè)計(jì)根據(jù)2.3.1中所給出的基曲線可以構(gòu)造下列兩條曲線：其中，，與分別是兩條基曲線的控制頂點(diǎn)，是式(2.1)中所定義的基函數(shù)。所以當(dāng)基函數(shù)中的形狀參數(shù)取不同的值得時(shí)候，我們所得到的S-形過(guò)渡曲線也是完全不同的，如下圖所示即為形狀參數(shù)不同時(shí)所構(gòu)造出的不同的S-形過(guò)渡曲線。圖2.8是當(dāng)形狀參數(shù)時(shí)的S型過(guò)渡曲線函數(shù)圖(過(guò)渡曲線為1)；圖2.9是當(dāng)形狀參數(shù)時(shí)的S型過(guò)渡曲線函數(shù)圖(過(guò)渡曲線為1)。圖2.8S型過(guò)渡曲線(參數(shù)見(jiàn)文中)圖2.9S型過(guò)渡曲線(參數(shù)見(jiàn)文中)2.4利用調(diào)配函數(shù)構(gòu)造過(guò)渡曲面2.4.1參數(shù)多項(xiàng)式曲面的表現(xiàn)形式如果我們將坐標(biāo)變量表示成關(guān)于兩個(gè)參數(shù)和的方程式的表現(xiàn)形式，即可以得到曲面的參數(shù)表示形式： (2.12)通常是要求，是在一定坐標(biāo)間變化的，因?yàn)檫@樣是具有一般性的，令，則在矩形參數(shù)域×內(nèi)變化。得到矩形域上的參數(shù)曲面片的矢量表示形式： (2.13)的四個(gè)角點(diǎn)分別為和，四條邊界線分別為。關(guān)于曲面的理論和方法完全類(lèi)似曲線，所以我們?cè)谶@里就不再解釋每一個(gè)結(jié)論，具體的性質(zhì)和內(nèi)容可以參照前面的介紹。2.4.2過(guò)渡曲面的構(gòu)造方法下面的內(nèi)容是通過(guò)對(duì)過(guò)渡曲線的研究，上升到對(duì)過(guò)渡曲面的構(gòu)造問(wèn)題，即給定兩張曲面，能夠構(gòu)造出這樣的曲面，使得邊界曲線通過(guò)連接到邊界曲線，這里是滿(mǎn)足一定條件的，即其形狀是由所決定的，并且過(guò)渡曲面在兩條邊界曲線處和兩張基曲面是具有一定的連續(xù)性的。我們由式(2.3)中對(duì)過(guò)渡曲線的構(gòu)造方程中可以推理得到過(guò)渡曲面的方程可表示為： (2.14)其中，，是該調(diào)配方程中的調(diào)配函數(shù)，類(lèi)似于式(2.3)中的調(diào)配函數(shù)。所以，由之前研究的一些調(diào)配函數(shù)的性質(zhì)和式(2.13)經(jīng)過(guò)計(jì)算可以知道： (2.15)其中，。由式(2.15)我們可以知道，利用調(diào)配函數(shù)構(gòu)造的過(guò)渡曲面在兩條邊界曲線處滿(mǎn)足連續(xù)。下面我們舉一個(gè)具體的例子來(lái)說(shuō)明多項(xiàng)式過(guò)渡曲面的構(gòu)造。例，設(shè)兩張基曲面的方程分別為：其中，當(dāng)我們調(diào)配函數(shù)取不同的函數(shù)時(shí)，過(guò)渡曲面在兩條邊界曲線處滿(mǎn)足不同的連續(xù)性。即時(shí)滿(mǎn)足連續(xù)，時(shí)滿(mǎn)足連續(xù)，時(shí)滿(mǎn)足連續(xù)。以下圖示分別是連續(xù)時(shí)的圖示，可以看到三張圖連接的越來(lái)越順滑一點(diǎn)。圖2.10連續(xù)時(shí)的過(guò)渡曲面圖2.11連續(xù)時(shí)的過(guò)渡曲面2.12連續(xù)時(shí)的過(guò)渡曲面

2.5本章總結(jié)從三次Bézier曲線的連續(xù)性出發(fā)，通過(guò)對(duì)過(guò)渡曲線的選取讓兩條曲線滿(mǎn)足一定的連續(xù)性()。這其中控制頂點(diǎn)的選取以及調(diào)配函數(shù)的選取對(duì)曲線連續(xù)性的構(gòu)造起著決定性的作用，重點(diǎn)研究了調(diào)配函數(shù)的選取。將問(wèn)題上升到過(guò)渡曲面的研究。

第三章二次三角Bézier曲線的過(guò)渡曲線曲面的構(gòu)造本章從二次三角基函數(shù)出發(fā)，構(gòu)造出QT-Bézier曲線。通過(guò)選取有有關(guān)聯(lián)和無(wú)關(guān)聯(lián)的控制頂點(diǎn)，研究QT-Bézier曲線的連續(xù)性。重點(diǎn)研究了當(dāng)控制頂點(diǎn)的選取無(wú)關(guān)聯(lián)的時(shí)候，過(guò)渡曲線的構(gòu)造。最后通過(guò)對(duì)過(guò)渡曲線的深入理解，上升到對(duì)過(guò)渡曲面的研究。3.1QT-Bézier基函數(shù)的構(gòu)造和性質(zhì)3.1.1QT-Bézier曲線的基函數(shù)定義1設(shè)實(shí)數(shù)，函數(shù)HYPERLINK[11]： (3.1)則稱(chēng)是以為形狀參數(shù)的二次三角Bézier基函數(shù)，簡(jiǎn)稱(chēng)為Bézier基函數(shù)。圖3.1兩個(gè)形狀參數(shù)相等時(shí)的基函數(shù)圖像圖3.2兩個(gè)形狀參數(shù)不等時(shí)的基函數(shù)圖像圖3.1表示當(dāng)參數(shù)相等時(shí)Bézier基函數(shù)的函數(shù)圖像，其中1為時(shí)的三個(gè)基函數(shù)圖像，2是時(shí)的三個(gè)基函數(shù)圖像，3為時(shí)的三個(gè)基函數(shù)圖像;圖3.2是參數(shù)不同時(shí)的函數(shù)圖像。由此可見(jiàn)當(dāng)且變大時(shí)，中間的基函數(shù)跟著變大，而兩邊的基函數(shù)變小。如果我們要研究這個(gè)基函數(shù)的一些基本性質(zhì)，那么首先我們需要證明下面的引理：引理1當(dāng)時(shí)： 。證明：當(dāng)時(shí)，于是，我們經(jīng)過(guò)這個(gè)引理和研究可以得出基函數(shù)具有如下的性質(zhì)：（1） 權(quán)性：。即，這個(gè)結(jié)論經(jīng)過(guò)簡(jiǎn)單的計(jì)算可以驗(yàn)證是完全正確的。（2） 非負(fù)性：由圖3.1和圖3.2的函數(shù)圖像完全可知：當(dāng)時(shí)，。（3） 擬對(duì)稱(chēng)性：（4） 線性相關(guān)性：即基函數(shù)是線性相關(guān)的。3.2QT—Bézier曲線3.2.1QT—Bézier曲線的定義 定義2給定控制頂點(diǎn)，為定義1中所定義的基函數(shù)，則我們可以稱(chēng)： ， (3.2)為二次三角Bézier曲線，可以簡(jiǎn)稱(chēng)為Bézier曲線HYPERLINK[11]。3.2.2QT—Bézier曲線的性質(zhì)因?yàn)锽ézier曲線是由Bézier基函數(shù)的基礎(chǔ)上來(lái)的，所以由上述Bézier基函數(shù)的性質(zhì)我們可以得出Bézier曲線的一些性質(zhì)：（1） 端點(diǎn)插值性質(zhì)：曲線插值控制多邊形的端點(diǎn)：且與控制多邊形的端邊相切，,。（2）凸包性和保凸性：Bézier曲線是必然落在控制多邊形的凸包之內(nèi)的。（3）幾何不變性和仿射不變性。（4）擬對(duì)稱(chēng)性：調(diào)換形狀參數(shù)，形狀是相同的，只是方向不同而已。3.2.3形狀參數(shù)對(duì)QT—Bézier曲線的調(diào)節(jié)作用由基函數(shù)的定義和3.1.1節(jié)中的基函數(shù)圖像可知，當(dāng)固定和的值，將增大時(shí)，會(huì)減小，而則會(huì)增大，所以曲線會(huì)慢慢靠近控制多邊形的邊。同樣道理，當(dāng)我們將增大時(shí)，曲線會(huì)慢慢靠近控制多邊形的邊。若或逐漸減小則相反。3.3QT—Bézier曲線的光滑連接本節(jié)將考慮如何將若干段Bézier曲線連接成光滑的曲線。設(shè)為或中的一組已知的控制頂點(diǎn)，再設(shè)一組實(shí)數(shù)。則由它們構(gòu)成的段Bézier曲線 (3.3)3.3.1連續(xù)的構(gòu)造由上述段Bézier曲線的定義即式(3.3)可知：連續(xù)的充分必要條件為。圖3.3中1和2曲線分別是兩條Bézier曲線，它們?cè)邳c(diǎn)處實(shí)現(xiàn)了拼接。圖3.3曲線的拼接3.3.2連續(xù)的構(gòu)造設(shè)相鄰兩端Bézier曲線與的控制點(diǎn)滿(mǎn)足連續(xù)時(shí)的充要條件，則它們是連接的充要條件為：下面我們對(duì)上述條件進(jìn)行證明證明：與是連接等價(jià)于。由曲線Bézier的控制頂點(diǎn)的性質(zhì)可得： (3.4)這里通過(guò)計(jì)算整理即可得到連續(xù)的充要條件。所以，兩段二次Bézier曲線連接的充要條件為，即公共端點(diǎn)必須在和連線的中點(diǎn)處。圖3.4中1和2曲線分別是兩條Bézier曲線，它們?cè)邳c(diǎn)處實(shí)現(xiàn)了拼接。圖3.4曲線的連續(xù)3.4調(diào)配曲線的構(gòu)造，性質(zhì)及其連續(xù)性3.4.1調(diào)配曲線的構(gòu)造首先考慮兩個(gè)帶形狀參數(shù)的二次三角Bézier曲線和。如果給定2組控制頂點(diǎn)，其中表示的控制頂點(diǎn)，表示的控制頂點(diǎn)，則有： (3.5)其中是定義1中含有參數(shù)的基函數(shù)，是定義1中含有參數(shù)的基函數(shù)。由此我們可以定義二次Bézier調(diào)配曲線定義3給定控制頂點(diǎn)和基函數(shù)，稱(chēng) (3.6)為二次Bézier調(diào)配曲線，其中稱(chēng)為調(diào)配函數(shù)。為了讓調(diào)配曲線經(jīng)過(guò)曲線的始點(diǎn)和曲線的尾點(diǎn)，則要滿(mǎn)足當(dāng)時(shí)；當(dāng)時(shí)。如果給定的曲線和的控制頂點(diǎn)是同一組的話，即，下面來(lái)分析其性質(zhì)：3.4.2調(diào)配曲線的性質(zhì)(1)端點(diǎn)位置性質(zhì) 由時(shí)，時(shí)知，；即調(diào)配曲線插值于首末控制頂點(diǎn)。(2)端點(diǎn)切矢性質(zhì) 因?yàn)?，，所以調(diào)配曲線與控制多邊形的起始邊和尾邊是相切的。3.5調(diào)配曲線擬連續(xù)性的構(gòu)造從3.4.1節(jié)中知，當(dāng)給定的曲線和的是兩組完全不同的控制頂點(diǎn)時(shí)，要保證和過(guò)渡曲線之間具有一定的連續(xù)性，最重要的是調(diào)配函數(shù)的選取問(wèn)題。本節(jié)針對(duì)調(diào)配函數(shù)如何選取給出了一些基本的方法。我們由曲線的保凸性可知，過(guò)渡曲線始終應(yīng)在給定的和的內(nèi)部，所以在連接點(diǎn)處肯定不是那么的光滑，并不是實(shí)現(xiàn)真正的連續(xù)。3.5.1擬連續(xù)的構(gòu)造為了讓調(diào)配曲線經(jīng)過(guò)曲線的始點(diǎn)和曲線的末點(diǎn)，必須滿(mǎn)足和，即必須使得，為了降低計(jì)算的復(fù)雜度，我們選取都是低次的多項(xiàng)式，即取，此時(shí)調(diào)配曲線和Bézier曲線滿(mǎn)足擬連續(xù)。圖3.5中1線為調(diào)配曲線，是連續(xù)。圖3.5連續(xù)調(diào)配曲線3.5.2擬連續(xù)的構(gòu)造在擬連續(xù)的基礎(chǔ)之上，要使得擬連續(xù)，則有和，則調(diào)配函數(shù)，可以取則能滿(mǎn)足連續(xù)的條件。當(dāng)然這里我們也可以取其他的調(diào)配函數(shù)，只要滿(mǎn)足條件即可。圖3.6是調(diào)配曲線，其中1線為調(diào)配曲線。圖3.6連續(xù)調(diào)配曲線 定理2設(shè)二次Bézier調(diào)配曲線要滿(mǎn)足擬連續(xù)的充分條件是調(diào)配函數(shù)分別為；；，通過(guò)多項(xiàng)式及其函數(shù)圖像我們可以得出調(diào)配函數(shù)有著下面這些簡(jiǎn)單的性質(zhì)：(1)單調(diào)性：當(dāng)時(shí)，調(diào)配函數(shù)是單調(diào)的，即 (2)對(duì)稱(chēng)性：，即是關(guān)于點(diǎn)反對(duì)稱(chēng)的，也就是說(shuō)有以下等式成立：(3)中點(diǎn)性：在中點(diǎn)處滿(mǎn)足。(4)端點(diǎn)性：在端點(diǎn)處滿(mǎn)足 3.6過(guò)渡曲線的實(shí)例分析3.6.1C-型過(guò)渡曲線的設(shè)計(jì)設(shè)兩條基曲線為三次多項(xiàng)式Bézier曲線，其方程分別為：；其中，，與分別是兩條基曲線的控制頂點(diǎn)，是式(2.1)中所定義的基函數(shù)。所以當(dāng)基函數(shù)中的形狀參數(shù)取不同的值得時(shí)候，我們所得到的的C-形過(guò)渡曲線也是完全不同的，如下圖所示即為形狀參數(shù)不同時(shí)所構(gòu)造出的不同的C-形過(guò)渡曲線。圖3.7是當(dāng)4個(gè)形狀參數(shù)分別是(1,1,0.5,0.5)時(shí)的C型過(guò)渡曲線。圖3.8是當(dāng)4個(gè)形狀參數(shù)分別為(-1,-1,0.5,1)時(shí)的C型過(guò)渡曲線。兩幅圖中都是1線為過(guò)渡曲線。圖3.7C型調(diào)配曲線圖像(1,1,0.5,0.5)圖3.8C型調(diào)配曲線圖像(-1,-1,0.5,1)3.6.2S-型過(guò)渡曲線的設(shè)計(jì)根據(jù)2.3.1中所給出的基曲線可以構(gòu)造下列兩條曲線：其中，，與分別是兩條基曲線的控制頂點(diǎn)，是式(2.1)中所定義的基函數(shù)。所以當(dāng)基函數(shù)中的形狀參數(shù)取不同的值得時(shí)候，我們所得到的S-形過(guò)渡曲線也是完全不同的，如下圖所示即為形狀參數(shù)不同時(shí)所構(gòu)造出的不同的S-形過(guò)渡曲線。圖3.9是當(dāng)4個(gè)形狀參數(shù)分別是(1,1,0.5,0.5)時(shí)的S過(guò)渡曲線。圖3.10是當(dāng)4個(gè)形狀參數(shù)分別為(-1,-1,0.5,1)時(shí)的S型過(guò)渡曲線。兩幅圖中都是1線為過(guò)渡曲線。圖3.9S型調(diào)配曲線圖像(1,1,0.5,0.5)圖3.10S型調(diào)配曲線圖像(-1,-1,0.5,1)3.7利用調(diào)配函數(shù)構(gòu)造過(guò)渡曲面3.7.1Bézier曲面的定義與性質(zhì)給定空間的個(gè)點(diǎn)，我們稱(chēng)如下形式的張量積參數(shù)曲面是次的Bézier曲面 (3.7)我們稱(chēng)為控制頂點(diǎn)，所有的構(gòu)成的一張控制網(wǎng)格。由本章的第二節(jié)中關(guān)于Bézier曲線的研究很容提可以得出如下幾種關(guān)于曲面的性質(zhì)：(1)角點(diǎn)位置：從定義可以看出，Bézier曲面的四個(gè)角點(diǎn)分別是其控制網(wǎng)格的四個(gè)角點(diǎn)，所以，可以得到 (3.8)(2)邊界線：的臨界線是Bézier曲線，他們的數(shù)學(xué)表達(dá)式分別是: (3.9)(3)角點(diǎn)法矢量：這有點(diǎn)類(lèi)似角點(diǎn)切平面的討論，我們可以得到曲面在四個(gè)角點(diǎn)處的矢量分別是： (3.10)(4)凸包性：曲面位于其控制頂點(diǎn)的凸包之內(nèi)關(guān)于Bézier曲面的性質(zhì)還有很多，本文在這里就不做一一的列舉了，而且關(guān)于曲面的理論和方法完全類(lèi)似曲線，所以我們?cè)谶@里就不再解釋每一個(gè)結(jié)論，具體的性質(zhì)和內(nèi)容可以參照前面的介紹。3.7.2過(guò)渡曲面的構(gòu)造下面的內(nèi)容是通過(guò)對(duì)過(guò)渡曲線的研究，上升到對(duì)過(guò)渡曲面的構(gòu)造問(wèn)題，即給定兩張曲面，能夠構(gòu)造出這樣的曲面，使得邊界曲線通過(guò)連接到邊界曲線，這里是滿(mǎn)足一定條件的，即其形狀是由所決定的，并且過(guò)渡曲面在兩條邊界曲線處和兩張基曲面是具有一定的連續(xù)性的。我們由式(3。6)中對(duì)過(guò)渡曲線的構(gòu)造方程中可以推理得到過(guò)渡曲面的方程可表示為： (3.11)其中，，是該調(diào)配方程中的調(diào)配函數(shù)，類(lèi)似于式(2.3)中的調(diào)配函數(shù)。所以，由之前研究的一些調(diào)配函數(shù)的性質(zhì)和式(2.13)經(jīng)過(guò)計(jì)算可以知道： (3.12)其中，由此我們可以知道，利用調(diào)配函數(shù)構(gòu)造的過(guò)渡曲面在兩條邊界曲線處滿(mǎn)足擬連續(xù)。下面我們舉一個(gè)具體的例子來(lái)說(shuō)明多項(xiàng)式過(guò)渡曲面的構(gòu)造。例如，我們可以設(shè)兩張基曲面的方程式分別為：其中，當(dāng)我們調(diào)配函數(shù)取不同的函數(shù)時(shí)，過(guò)渡曲面在兩條邊界曲線處滿(mǎn)足不同程度的連續(xù)性。即時(shí)滿(mǎn)足連續(xù)，時(shí)滿(mǎn)足連續(xù)，時(shí)滿(mǎn)足連續(xù)。以下圖示分別是連續(xù)時(shí)的圖示。圖3.11連續(xù)時(shí)的過(guò)渡曲面圖3.12連續(xù)時(shí)的過(guò)渡曲面圖3.13連續(xù)時(shí)的過(guò)渡曲面 3.8總結(jié)三角Bézier曲線的研究一直是一個(gè)熱門(mén)，本章節(jié)主要研究的是二次三角Bézier曲線連續(xù)性的構(gòu)造中的過(guò)渡曲線的研究問(wèn)題。通過(guò)選取不同的控制頂點(diǎn)以及符合條件的調(diào)配函數(shù)，達(dá)到Bézier曲線之間的連續(xù)性構(gòu)造最后淺談了一下關(guān)于過(guò)渡曲面的構(gòu)造問(wèn)題。

總結(jié)與展望4.1本文總結(jié)本論文首先介紹了Bézier曲線及其過(guò)渡曲線曲面的研究背景和發(fā)展現(xiàn)狀。然后給出了兩類(lèi)基于不同基函數(shù)Bézier曲線的構(gòu)造方法，通過(guò)研究Bézier曲線之間的連續(xù)性我們發(fā)現(xiàn)，當(dāng)任意兩條Bézier曲線之間具有一個(gè)或者多個(gè)控制頂點(diǎn)時(shí)，此時(shí)這兩條Bézier曲線之間都存在著一定的擬連續(xù)性，但是當(dāng)任意兩條Bézier曲線的控制頂點(diǎn)不相同的時(shí)候，我們發(fā)現(xiàn)，這兩條曲線之間沒(méi)有任何的關(guān)系，所以就更不會(huì)有連續(xù)性了，此時(shí)，我們給出一種過(guò)渡曲線的構(gòu)造方法，得出一條過(guò)渡曲線，通過(guò)這條過(guò)渡曲線，使得此前沒(méi)有連續(xù)性的兩條Bézier曲線之間產(chǎn)生了一定的連續(xù)性，本論文著重討論的是C連續(xù)。最后，通過(guò)對(duì)過(guò)渡曲線的研究，我們發(fā)現(xiàn)，Bézier曲面之間也存在著相同的問(wèn)題，所以，通過(guò)對(duì)過(guò)渡曲線的研究，我們得出過(guò)渡曲面的構(gòu)造方法，給出過(guò)渡曲面相關(guān)研究。4.2未來(lái)工作及展望本論文中關(guān)于過(guò)渡曲線曲面的調(diào)配曲線曲面中的調(diào)配函數(shù)的選取，我們?yōu)榱朔奖阌?jì)算與減少計(jì)算量，是直接進(jìn)行選取最為簡(jiǎn)單的調(diào)配函數(shù)，實(shí)際上，對(duì)于調(diào)配函數(shù)的選取，是有多種選擇的，所以我們應(yīng)該研究它的普適性。另外，關(guān)于過(guò)渡曲線的問(wèn)題，我們還是應(yīng)該研究一下最佳過(guò)渡曲線。然后，利用研究過(guò)渡曲線時(shí)所提出的方法，將這種方法上升到曲面的高度，較為深入的了解一下最佳過(guò)渡曲面的構(gòu)造問(wèn)題。同時(shí)，本論文中只是對(duì)C連續(xù)進(jìn)行研究，所以，我們還是要對(duì)G連續(xù)進(jìn)行詳細(xì)的研究，這是實(shí)際應(yīng)用中所需要的。機(jī)器人行走路線，設(shè)計(jì)道路和軟件造型的設(shè)計(jì)都和本課題所研究的內(nèi)容息息相關(guān)，所以，我們通過(guò)本課題的研究，可以將其應(yīng)用到實(shí)際生活中，具有很強(qiáng)的實(shí)用性，研究意義重大。參考文獻(xiàn)劉華勇,李璐,張大明,謝新平,王煥寶.帶形狀參數(shù)的代數(shù)三角樣條曲線曲面的構(gòu)造（英文）[J].高等學(xué)校計(jì)算數(shù)學(xué)學(xué)報(bào),2016,38(03):234-246.樊文,洪玲,邢燕.帶一個(gè)形狀參數(shù)的有理三次三角Bézier曲線[J].大學(xué)數(shù)學(xué),2016,16(04):30-34.嚴(yán)蘭蘭,韓旭里,黃濤.帶一個(gè)形狀參數(shù)的3次三角多項(xiàng)式曲線曲面[J].計(jì)算機(jī)輔助設(shè)計(jì)與圖形學(xué)學(xué)報(bào),2016,28(07):1047-1058.劉成志,李軍成.帶形狀參數(shù)的類(lèi)三次代數(shù)三角Hermite參數(shù)樣條曲線[J].計(jì)算機(jī)工程與科學(xué),2016,15(07):1479-1483.嚴(yán)蘭蘭,韓旭里,饒智勇.帶局部形狀參數(shù)的λ-B曲線設(shè)計(jì)[J].中國(guó)圖象圖形學(xué)報(bào),2016,21(02):174-183.劉華勇,李璐,張大明.帶形狀參數(shù)的QT-Bézier曲線曲面的構(gòu)造和應(yīng)用[J].計(jì)算機(jī)工程與科學(xué),2016,27(02):344-349.杭后俊,余靜,李汪根.三次Bezier曲線