對(duì)數(shù)值離散程度的描述指標(biāo)

對(duì)數(shù)值離散程度的描述指標(biāo)

學(xué)習(xí)目標(biāo)：

1、熟悉離散程度的指標(biāo)種類(lèi);2、掌握標(biāo)準(zhǔn)差s、四分位間距p75-p25、變異系數(shù)CV的適用范圍;3、掌握標(biāo)準(zhǔn)差、正態(tài)分布、參考值范圍的概念；

4、掌握參考值范圍的制定方法。描述定量資料的分布特征僅有平均指標(biāo)是不夠的，還需要有描述離散程度的指標(biāo)。假如一班的5名同學(xué)成績(jī)60，70，80，90，100平均80分R=40二班的5名同學(xué)成績(jī)70，75，80，85，90平均80分R=20三班的5名同學(xué)成績(jī)65，75，80，85，95平均80分R=30描述離散程度的指標(biāo)有多種：極差、方差、標(biāo)準(zhǔn)差、四分位間距、變異系數(shù)。一、極差和四分位間距

1、極差（Range,全距）

R=max-min

缺點(diǎn)是：只反映最大和最小值的變異，不夠全面；容易受n大小的影響，不穩(wěn)定。

2、四分位間距(quartilerange,Q)

（1）百分位數(shù)：表示一組觀察值按升序排列，并等分為100等份，位居第x%位置的數(shù)。用Px

表示。是一個(gè)位置指標(biāo)。

它將全部數(shù)據(jù)分成兩部分，有X%的數(shù)據(jù)小于Px,有1-X%的數(shù)據(jù)大于Px,,中位數(shù)M是特殊的百分位數(shù)，M=P50。是表示集中趨勢(shì)的指標(biāo)。（2）四分位數(shù)

下四分位數(shù)即P25

；上四分位數(shù)即P75；四分位間距Q=P75-P25

是指上、下四分位數(shù)的間距，它是從小到大排列后中間一半數(shù)據(jù)所在的范圍。四分位數(shù)間距越大，數(shù)據(jù)分布的離散程度越大。它描述了中間50%數(shù)據(jù)的離散程度，比極差穩(wěn)定。

四分位數(shù)間距P75-P25，計(jì)算：例如對(duì)例2-8題求P25本例的四分位數(shù)間距：

Q=P75-P25

=73.20-40.91=32.29(h)。二、方差與標(biāo)準(zhǔn)差1、方差(Variance)

是描述數(shù)據(jù)分布離散程度的指標(biāo)。S2表示樣本方差，表示總體方差，總體方差一般未知，常用樣本方差來(lái)估計(jì)，樣本方差的計(jì)算公式：

上式中的分子部分稱(chēng)為離均差平方和，它描述了每個(gè)x相對(duì)于分布的集中程度，若數(shù)據(jù)x分布相對(duì)于很集中，則分子部分很??；分子部分很大時(shí)，則意味著數(shù)據(jù)分布分散。因?yàn)閷?duì)所有x,均有，所以樣本含量n越大，分子越大。為消除n大小不同的影響，將離均差平方和除以（n-1)即得方差。故方差既描述了所有數(shù)據(jù)的離散程度，又可用于不同樣本含量數(shù)據(jù)離散程度的比較。方差越大，數(shù)據(jù)分布的離散度也越大。方差計(jì)算公式中的n-1,稱(chēng)為自由度(degreeoffreedom)。自由度：允許其自由變動(dòng)的變量值個(gè)數(shù)。如有n個(gè)變量，不受任何條件的限制，可自由變動(dòng)，其自由度則得n,如受到一個(gè)條件限制，自由度則得n-1。自由度用表示。

方差為一描述離散程度的指標(biāo)，既有優(yōu)點(diǎn)也有缺點(diǎn)，如5名兒童的體重方差

2、標(biāo)準(zhǔn)差(standarddeviation，s)

是描述正態(tài)分布的定量變量離散程度的指標(biāo)。標(biāo)準(zhǔn)差越大，說(shuō)明個(gè)體變異越大。為克服方差的單位是平方，與均數(shù)不符的缺點(diǎn)，將S2開(kāi)方即為標(biāo)準(zhǔn)差S

標(biāo)準(zhǔn)差的計(jì)算：

公式中是變量值的平方和，是變量值和的平方。

如今有5名兒童的身高為110、115、120、125、112厘米，其平均身是其標(biāo)準(zhǔn)差是：式中

標(biāo)準(zhǔn)差的適用范圍：

適用于對(duì)稱(chēng)分布資料，尤其正態(tài)分布，近似正態(tài)分布的資料。與均數(shù)配套使用。三、變異系數(shù)（coefficientvariation,cv)(1)、計(jì)算

(2)、適用范圍：

①比較資料的變異度,度量衡單位不同時(shí)。②比較資料的變異度，均數(shù)相差較大時(shí)。例如調(diào)查得知，某農(nóng)村周歲女童其身高均數(shù)為74.2cm,標(biāo)準(zhǔn)差3.0cm;其體重均數(shù)為8.42kg,標(biāo)準(zhǔn)差。欲比較身高與體重的變異情況，應(yīng)用變異系數(shù)。

身高體重

思考題1、為什么要把資料列出頻數(shù)分布表或圖？頻數(shù)分布表的劃記步驟？2、常用平均指標(biāo)在應(yīng)用上有哪些異同點(diǎn)？3、標(biāo)準(zhǔn)差、四分位間距、變異系數(shù)在應(yīng)用上有何區(qū)別？例如？

正態(tài)分布

55頁(yè)正態(tài)分布的概念和特征一、概念：一組變量值的頻數(shù)分布是中間多，兩邊少，且左右對(duì)稱(chēng)的連續(xù)性分布。如果設(shè)想成年男子的血清鐵觀察的人數(shù)很多，且組段分得很細(xì)，則頻數(shù)分布圖中的直條變的很窄，其頂端窄到是一個(gè)點(diǎn)，將這些點(diǎn)連線(xiàn)則成為一條光滑曲線(xiàn)，這條光滑曲線(xiàn)呈鐘型，兩頭低中間高，左右對(duì)稱(chēng)，則稱(chēng)其為正態(tài)分布曲線(xiàn)。見(jiàn)P56正態(tài)分布圖。二、正態(tài)分布（曲線(xiàn)）的特征：

1、曲線(xiàn)在橫軸之上，以均數(shù)處最高；

2、以均數(shù)為中心左右對(duì)稱(chēng)，兩端永遠(yuǎn)不與橫軸相交；

3、正態(tài)分布有兩個(gè)參數(shù)：μ為位置參數(shù)，σ為形狀參數(shù)，μ描述了正態(tài)分布的集中位置，所以稱(chēng)μ為位置參數(shù)，又稱(chēng)其為總體均數(shù)；σ描述了正態(tài)分布的離散程度，σ決定了正態(tài)曲線(xiàn)的形狀，σ越小，分布越集中，所形成的曲線(xiàn)形狀越高尖，σ越大，分布越離散，所形成的曲線(xiàn)形狀越低平。所以稱(chēng)σ為形狀參數(shù)，又稱(chēng)其為總體標(biāo)準(zhǔn)差。曲線(xiàn)形狀見(jiàn)P57圖三、正態(tài)曲線(xiàn)下面積分布規(guī)律

1、正態(tài)曲線(xiàn)下全面積為100%，或等于1。

2、占全面積的68.27%

占全面積的95.00%

占全面積的99.00%。一個(gè)服從正態(tài)分布的指標(biāo)，只要求得均數(shù)和標(biāo)準(zhǔn)差，就可全面掌握該指標(biāo)的頻數(shù)分布規(guī)律。服從正態(tài)分布的指標(biāo)，可簡(jiǎn)記為

x~N(μ，σ)

95.00%68.27%99.00%

標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布與標(biāo)準(zhǔn)化變換

雖然正態(tài)曲線(xiàn)下面積分布很有規(guī)律，對(duì)于服從正態(tài)分布的指標(biāo)，只要知道均數(shù)μ，與標(biāo)準(zhǔn)差σ，就可用公式求得曲線(xiàn)下（x1,x2）范圍內(nèi)的面積，從而估計(jì)在（x1,x2）范圍內(nèi)的頻數(shù)分布比例，但上述積分是相當(dāng)困難的，這給實(shí)際應(yīng)用帶來(lái)諸多不便。為方便使用，又方便不同，使用，考慮對(duì)服從正態(tài)分布的變量x進(jìn)行標(biāo)準(zhǔn)化轉(zhuǎn)換：

則z(u)就服從均數(shù)為0，標(biāo)準(zhǔn)差為1的正態(tài)分布，這種正態(tài)分布稱(chēng)為標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布。簡(jiǎn)記作z~N(0,1)。

引進(jìn)標(biāo)準(zhǔn)化轉(zhuǎn)換后，制定一個(gè)標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)曲線(xiàn)下面積分布表，就可借助標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)表估計(jì)任何（x1,x2）范圍內(nèi)的頻數(shù)分布比例。標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)表即附表1（P433)。正態(tài)分布的應(yīng)用一、估計(jì)頻數(shù)分布例如出生體重低于2500克為低體重兒。若由某項(xiàng)研究得某地嬰兒出生體重均數(shù)3200克，標(biāo)準(zhǔn)差為350克，估計(jì)該地當(dāng)年低體重兒所占的比例。記X為當(dāng)年該地新生兒出生體重，則X服從正態(tài)分布N（3200，350）。先求（轉(zhuǎn)換）再查標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)表得：即標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)曲線(xiàn)下從－∞到u＝-2范圍內(nèi)的面積為2.28%，從而在正態(tài)分布N（3200，350）曲線(xiàn)下，從－∞到X=2500的比例為2.28%，即X<2500克的比例為2.28%。故估計(jì)該地當(dāng)年低體重兒所占的比例為2.28%。二、確定醫(yī)學(xué)參考值范圍

1、概念：參考值范圍也稱(chēng)為正常值范圍。醫(yī)學(xué)上常把絕大多數(shù)正常人的某指標(biāo)波動(dòng)范圍，稱(chēng)為該指標(biāo)的正常值范圍。這里的“絕大多數(shù)”可以是90%、95%、99%等等，最常用的是95%。所謂“正常人”不是指完全健康的人，而是指排除了影響所研究指標(biāo)的疾病和有關(guān)因素的同質(zhì)人群。

2、估計(jì)方法：

常用的有百分位數(shù)法和正態(tài)分布法，見(jiàn)P59。

3、制定正常值選計(jì)算方法的原則：

(1)根據(jù)資料的分布類(lèi)型選方法對(duì)于服從正態(tài)分布的資料，其參考值范圍的制定可用正態(tài)分布法計(jì)算；

u是系數(shù)，根據(jù)%大小定，

對(duì)于不服從正態(tài)分布的指標(biāo)，直接利用百分位數(shù)法（或進(jìn)行變量變換使之服從正態(tài)分布）制定參考值范圍。求px(2)根據(jù)專(zhuān)業(yè)知識(shí)確定該指標(biāo)的參考值范圍是雙側(cè)范圍還是單側(cè)范圍。

若一個(gè)指標(biāo)過(guò)大過(guò)小均屬異常，制定雙側(cè)參考值范圍，即參考值范圍應(yīng)既有上限又有下限；若一個(gè)指標(biāo)僅過(guò)大屬異常，則此指標(biāo)的參考值范圍只有上限，是單側(cè)參考值范圍；若一個(gè)指標(biāo)僅過(guò)小屬異常，則此指標(biāo)的參考值范圍只有下限，也是單側(cè)參考值范圍。

對(duì)于一個(gè)指標(biāo)，隨機(jī)抽取一個(gè)大樣本后，如何據(jù)樣本資料利用正態(tài)分布法或百分位數(shù)法制定參考值范圍。例如某地調(diào)查正常成年男子144人的紅細(xì)胞數(shù)（近似正態(tài)分布），得均數(shù)=55.38×1012/L，標(biāo)準(zhǔn)差S=0.44×1012/L,試估計(jì)該地成年男子紅細(xì)胞數(shù)的95%參考值范圍。因紅細(xì)胞數(shù)過(guò)多或過(guò)少均為異常，故此參考值范圍應(yīng)是雙側(cè)范圍。又因?yàn)榇酥笜?biāo)近似正態(tài)，故可用正態(tài)分布法求95%參考值范圍如下：三、進(jìn)行質(zhì)量控制常用作為上、下警戒限作為上、下控制限四、正態(tài)分布是許多統(tǒng)計(jì)方法的基礎(chǔ)。如t檢驗(yàn)，F(xiàn)檢驗(yàn)等。第五章參數(shù)估計(jì)一、均數(shù)的抽樣誤差（Samplingerrorofmean）由于個(gè)體存在差異，又因抽樣造成的樣本均數(shù)與總體均數(shù)間的差異，稱(chēng)為均數(shù)的抽樣誤差,用均數(shù)的標(biāo)準(zhǔn)誤(Standarderror,SE)表示。均數(shù)的標(biāo)準(zhǔn)誤是表示均數(shù)抽樣誤差大小的指標(biāo)，描述樣本均數(shù)的離散程度，反映用樣本均數(shù)估計(jì)或推斷總體均數(shù)的可靠性.二、均數(shù)標(biāo)準(zhǔn)誤的計(jì)算

?表示總體標(biāo)準(zhǔn)差,當(dāng)?不知道,只知S時(shí),可用下式計(jì)算:

從公式中可看出,均數(shù)的標(biāo)準(zhǔn)誤與兩個(gè)因素有關(guān),與標(biāo)準(zhǔn)差成正比,與樣本例數(shù)的平方根成反比。若標(biāo)準(zhǔn)差固定不變時(shí)，可增加n而縮小抽樣誤差。三、均數(shù)標(biāo)準(zhǔn)誤的應(yīng)用

1、表示均數(shù)抽樣誤差大小，描述（n相同）樣本均數(shù)的離散程度，反映用樣本均數(shù)估計(jì)或推斷總體均數(shù)的可靠性；

2、用于估計(jì)總體均數(shù)的可信區(qū)間；

3、用于進(jìn)行均數(shù)的假設(shè)檢驗(yàn)。第二節(jié)t分布

一、t分布概念：若干個(gè)t值分布所形成的曲線(xiàn)分布。t值是兩均數(shù)之差相當(dāng)于標(biāo)準(zhǔn)誤的倍數(shù)值。即如何理解t分布呢？不妨再回憶一下正態(tài)分布和標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布：當(dāng)變量x服從均數(shù)為μ，標(biāo)準(zhǔn)差為?的正態(tài)分布時(shí)，可簡(jiǎn)記為x~N(μ,?)。為了方便使用，可對(duì)變量x進(jìn)行標(biāo)準(zhǔn)化轉(zhuǎn)換：則u的分布服從標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布N(0,1),即u分布。若從N(μ,?)的正態(tài)分布總體中，隨機(jī)抽樣并算得多個(gè)樣本均數(shù)，它們則服從總體均數(shù)為,總體標(biāo)準(zhǔn)差為的正態(tài)分布，對(duì)于也可經(jīng)過(guò)標(biāo)準(zhǔn)化轉(zhuǎn)換，使服從u~N(0,1)的標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布。但在實(shí)際工作中，由于未知，多是知道，則服從t分布。二、t分布的圖形和特征

1、t分布的圖形:t分布是一簇曲線(xiàn)。它受自由度的影響（實(shí)際是受n不同的影響)，自由度不同時(shí)，曲線(xiàn)的形狀不同。

n小時(shí)，亦小，t分布曲線(xiàn)的形狀越低平，n越大，亦越大，t分布曲線(xiàn)的形狀越高尖，當(dāng)時(shí)，t分布曲線(xiàn)趨近于標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布曲線(xiàn)。見(jiàn)P74圖。2、t分布的特征