畢業(yè)設(shè)計（論文）：帶兩類形狀參數(shù)的三角B樣條的構(gòu)造和調(diào)配

本科畢業(yè)設(shè)計（論文）課題名稱：帶兩類形狀參數(shù)的三角B樣條的構(gòu)造和調(diào)配專業(yè)：信息與計算科學(xué)姓名：學(xué)號：指導(dǎo)教師：數(shù)理學(xué)院年月本科畢業(yè)設(shè)計（論文）摘要為了方便修改給定的樣條曲線曲面，本文構(gòu)造了滿足幾何連續(xù)的帶形狀參數(shù)的代數(shù)三角多項式樣條曲線曲面，簡稱。這種代數(shù)三角曲線曲面不僅滿足普通三角多項式的性質(zhì)，同時滿足全局和局部形狀可調(diào)性，而且滿足連續(xù)性。在給定的范圍內(nèi)兩類形狀參數(shù)任意取值時，曲線滿足一階幾何連續(xù)性；若給定相鄰的兩段曲線段中的形狀參數(shù)滿足且同時滿足或時，曲線滿足連續(xù)。同時結(jié)合奇異混合思想，構(gòu)造了滿足連續(xù)的插值曲線，解決了曲線反求的幾何連續(xù)性等問題，同時給出了旋轉(zhuǎn)面構(gòu)造的實例，分別描述了全局形狀參數(shù)和局部形狀參數(shù)與旋轉(zhuǎn)面外形之間的關(guān)聯(lián)性；根據(jù)實驗結(jié)果顯示，本文構(gòu)造的曲線曲面具有實效性。關(guān)鍵詞：三角曲線曲面；幾何連續(xù)性；插值擬合；形狀參數(shù)；奇異混合

AbstractInordertofacilitatethemodificationofagivensplinecurveandsurface,analgebraictrigonometricpolynomialsplinecurvewithshapeparametersisconstructedinthispaper,referredto.Thisalgebraictrigonometriccurveandsurfacenotonlysatisfiesthepropertiesofordinarytrigonometricpolynomials,butalsosatisfiestheglobalandlocalshapetunability,andsatisfiescontinuity.Inthegivenrangeoftwotypesofshapeparametersarbitraryvalue,thecurvesatisfiesthefirstordergeometriccontinuity;theshapeparameterinagiventwo-segmentcurvesatisfies,andor,curveissatisfiedcontinuous.Inadditiontotheuseofsingularblendingthinking,thepaperhaveconstructedaninterpolatedcurvethatsatisfiescontinuous,tosolvedtheproblemofgeometriccontinuityoftheinverseofthecurve,atthesametime,anexampleofthestructureoftherotatingsurfaceisgiven,andtheinfluenceoftheglobalshapeparameterandthelocalshapeparameterontheshapeoftherotatingsurfacearedescribedrespectively.Accordingtotheexperimentalresults,thecurveandsurfacewhichisconstructediseffectiveinthispaper.Keywords:TrigonometricCurveandSurface;GeometricContinuity;InterpolationandApproximation;ShapeParameter;SingularBlending

目錄摘要 IAbstract II目錄 III第一章緒論 11.1課題研究背景與意義 11.1.1選題的背景 11.1.2選題的意義 11.2國內(nèi)外研究現(xiàn)狀 11.3本文主要研究內(nèi)容 2第二章三次均勻B樣條曲線的構(gòu)造和調(diào)配 32.1基函數(shù)的構(gòu)造及性質(zhì) 32.1.1基函數(shù)的定義 32.1.2基函數(shù)的性質(zhì) 42.2曲線的構(gòu)造及性質(zhì) 52.2.1曲線的定義 52.2.2曲線的性質(zhì) 52.3曲線的連續(xù)性 72.4基于奇異混合的曲線構(gòu)造 82.5曲面的精確表示 102.5.1曲面的定義 102.6本章小結(jié) 11第三章帶兩類形狀參數(shù)的三角B樣條的構(gòu)造和調(diào)配 123.1帶兩類形狀參數(shù)的基函數(shù)的定義及性質(zhì) 123.1.1帶有兩類形狀參數(shù)的基函數(shù)的定義 123.1.2帶有兩類形狀參數(shù)的基函數(shù)的性質(zhì) 133.2帶有兩類形狀參數(shù)的曲線的定義及其質(zhì) 133.2.1帶有兩類形狀參數(shù)的曲線的定義 133.2.2帶有兩類形狀參數(shù)的曲線的性質(zhì) 143.3帶有兩類形狀參數(shù)的曲線的連續(xù)性 163.4基于奇異混合的曲線的構(gòu)造 183.5曲面的精確表示 213.5.1曲面的定義 213.6本章小結(jié) 22第四章總結(jié) 23參考文獻 24致謝 26

圖表目錄TOC\c"圖"圖2.1帶形狀參數(shù)的基函數(shù) 3圖2.2不同形狀參數(shù)對曲線的調(diào)配 6圖2.3不同形狀參數(shù)對曲線的影響 7圖2.4帶不同形狀參數(shù)的構(gòu)造 8圖2.5形狀參數(shù)取值不同時的奇異混合閉曲線構(gòu)造 10圖2.6帶局部形狀參數(shù)的曲面構(gòu)造 11圖3.1帶兩類形狀參數(shù)的基函數(shù) 12圖3.2不同形狀參數(shù)對曲線的調(diào)配 15圖3.3不同形狀參數(shù)對曲線的影響 16圖3.4不同形狀參數(shù)對曲線的局部和整體的影響 16圖3.5帶不同形狀參數(shù)曲線構(gòu)造 17圖3.6帶兩類形狀參數(shù)的曲線旋轉(zhuǎn)面構(gòu)造 18圖3.7形狀參數(shù)取值不同時的奇異混合閉曲線構(gòu)造 21圖3.8形狀參數(shù)取值不同時的奇異混合開曲線構(gòu)造 21圖3.9帶兩類形狀參數(shù)的曲面構(gòu)造 22第一章緒論1.1課題研究背景與意義1.1.1選題的背景計算機輔助幾何設(shè)計中經(jīng)常需要用到自由曲線、面的構(gòu)造，Ｂ樣條曲線、面因為易于構(gòu)造，使用靈敏以及自然光滑連接是CAGD中使用率較高的曲線，但是曲線的形狀、位置由控制頂點所決定,要改變曲線的形狀必須改變其控制多邊形,這帶來了極大的不便，為此給定了帶兩類形狀參數(shù)的代數(shù)三角多項式樣條曲線、面，方便修改給定的樣條曲線、面的形狀。1.1.2選題的意義本文通過對一系列基函數(shù)的各種性質(zhì)的分析，如基函數(shù)的端點性質(zhì)，凸包性，連續(xù)性以及對稱性等等，通過對這些性質(zhì)的分析，來判斷這些基函數(shù)是否滿足構(gòu)造B樣條的條件。然后給出帶兩類參數(shù)的三角B樣條曲線、面的構(gòu)造，在給定的取值范圍內(nèi)改變形狀參數(shù)的取值使基函數(shù)發(fā)生變化，從而間接修改曲線、面的形狀，使得曲線、面形狀的調(diào)整更加靈活方便。本文構(gòu)造帶有兩類形狀參數(shù)的代數(shù)三角多項式樣條，這種曲線和一般三角多項式曲線有相同的性質(zhì)，而且能夠全局或局部的修改形狀，同時具有較為靈活性的連續(xù)性，方便曲線、面的形狀調(diào)整。1.2國內(nèi)外研究現(xiàn)狀計算機輔助幾何設(shè)計中經(jīng)常需要用到自由曲線、面的構(gòu)造，Ｂ樣條曲線、面因為易于構(gòu)造，使用方便因而具有較高的使用率。但是在這些設(shè)計方法中有許多不便之處。如Ｂ樣條曲線、面的形狀取決于控制頂點的選取，如果要修改曲線、面的外形，只能通過改變控制頂點來實現(xiàn)，這帶來許多不便。針對Ｂ樣條的弊端，近些年來，一些學(xué)者一直在尋找新的建模方法來提高Ｂ樣條模型的靈活性，一些學(xué)者提出將形狀參數(shù)加入基函數(shù)來構(gòu)造曲線、面，從而取得了較好的效果。比如文獻HYPERLINK[1]構(gòu)造了一種帶形狀參數(shù)的3次多項式曲線，因為帶有形狀參數(shù)，所以可以在給定的取值范圍內(nèi)改變形狀參數(shù)的取值來改變曲線的形狀，不必改變控制頂點，但只能對曲線整體控制，因此不具有局部性。文獻HYPERLINK[2-3]分別構(gòu)造了帶局部形狀參數(shù)的代數(shù)三角樣條曲線和多項式樣條曲線，此類曲線均可通過改變形狀參數(shù)的取值來調(diào)整曲線形狀，無需改變控制頂點，具有靈活的形狀可調(diào)性。文獻HYPERLINK[4-6]對曲線的性質(zhì)進行了研究，形狀參數(shù)和曲線的幾何連續(xù)性有一定的關(guān)聯(lián)。文獻HYPERLINK[7-9]對曲線曲面的構(gòu)造理論進行了分析和探討，應(yīng)用張量積的方法，將曲線的構(gòu)造方法推廣到曲面。文獻HYPERLINK[10-13]構(gòu)造了帶全局形狀參數(shù)的代數(shù)多項式曲線曲面及帶局部形狀參數(shù)的擬三角插值樣條，它們可以全局或局部的調(diào)整形狀，同時滿足連續(xù)，但是無法滿足工程上需要的幾何連續(xù)性。1.3本文主要研究內(nèi)容本文給出了帶有局部形狀參數(shù)和全局形狀參數(shù)代數(shù)三角多項式樣條曲線、面，不僅能夠局部和全局的調(diào)整曲線曲面的形狀，同時滿足工程上需要的幾何連續(xù)性要求，而且結(jié)合奇異混合思想HYPERLINK[14-16]，構(gòu)造滿足幾何連續(xù)性的插值曲線，使得反求插值曲線幾何連續(xù)性等問題得以解決。

第二章三次均勻B樣條曲線的構(gòu)造和調(diào)配本章主要研究構(gòu)造多項式樣條曲線曲面。分別研究基函數(shù)，曲線的性質(zhì)，結(jié)合這些性質(zhì)，得出局部形狀參數(shù)和曲線形狀之間的關(guān)聯(lián)，研究曲線的連續(xù)性，結(jié)合奇異混合思想構(gòu)造插值曲線，用張量積構(gòu)造曲面。2.1基函數(shù)的構(gòu)造及性質(zhì)2.1.1基函數(shù)的定義定義1：對于給定稱:(2.1)為帶參數(shù)，（局部參數(shù)）的基函數(shù)，簡稱基函數(shù)。(a)當(dāng)時的基函數(shù)(b)當(dāng)時的基函數(shù)圖圖2.1帶形狀參數(shù)的基函數(shù)圖形2.1.2基函數(shù)的性質(zhì)性質(zhì)1.權(quán)性：性質(zhì)2.非負(fù)性：性質(zhì)3.對稱性：當(dāng)時，性質(zhì)4.端點性：證明：將（2.1）式左右兩邊分別相加即可得出性質(zhì)1；+++=1通過文獻[3]中非負(fù)性的證明方法，可得出性質(zhì)2；當(dāng)時，令：得：；同理可得：.分別對基函數(shù)求導(dǎo)即可的到性質(zhì)4。2.2曲線的構(gòu)造及性質(zhì)2.2.1曲線的定義由式（2.1）可以定義帶有局部形狀控制參數(shù)的多項式曲線。定義2：給定控制頂點和節(jié)點向量定義多項式曲線段：(2.2)式中為定義1中的基函數(shù)。所有的曲線段組成一條不同形狀參數(shù)的光滑的分段曲線(2.3)式中2.2.2曲線的性質(zhì)性質(zhì)1.端點性：(a)取值相同時的曲線(b)取相反值時的曲線(c)，取不同值時的曲線(d)，取不同值時的曲線圖2.2不同形狀參數(shù)對曲線的調(diào)配如圖2.2(a),(b)所示：的取值及曲線與控制多邊形的距離符合曲線端點性質(zhì)；如圖2.2(c)，(d)所示：當(dāng)形狀參數(shù)不變，增加或當(dāng)形狀參數(shù)不變，增加，曲線分別從左右側(cè)靠近控制多邊形。性質(zhì)2.凸包性：因為基函數(shù)滿足和，所以曲線始終在控制多邊形內(nèi)部，因此曲線具有凸包性。性質(zhì)3.對稱性：當(dāng)時，由控制多邊形和所決定的曲線完全相同，但曲線的生成方向和原曲線生成的方向相反。性質(zhì)4.幾何不變性和仿射不變性：曲線的形狀取決于控制頂點的選擇，通過幾何變換后曲線與控制多邊形之間的相對形狀依舊相同，即曲線本身的形狀無法改變。控制多邊形由控制頂點決定，對控制多邊形進行縮放即相當(dāng)于對控制頂點的坐標(biāo)進行相應(yīng)的變換，即，曲線的構(gòu)造方法可以推出，兩條曲線只是發(fā)生相應(yīng)的放縮，同理可推出其他仿射變換，證明曲線滿足仿射不變性。性質(zhì)5.局部形狀可調(diào)性：基函數(shù)中含有參數(shù)，在給定的范圍內(nèi)取不同的值，可得到不同的基函數(shù)，因此可通過改變局部參數(shù)的取值來間接改變曲線形狀，無需改變控制頂點。（a）當(dāng)同時增加時的曲線(b)的局部性圖2.3不同形狀參數(shù)（局部參數(shù)）對曲線的影響如圖2.3(a)所示：當(dāng)改變時，曲線僅局部形狀發(fā)生改變，起點和終點位置不變，說明是局部形狀參數(shù)，當(dāng)參數(shù)增加，曲線靠近控制多邊形，且隨參數(shù)增大，曲線更加圓潤，更靠近控制多邊形;如圖(b)所示：三種顏色分別表示局部形狀參數(shù)取不同值同的情況，可以看出曲線局部的形狀可以調(diào)整而不影響全局，所以滿足局部可調(diào)性。2.3曲線的連續(xù)性定理1：當(dāng)時，帶形狀參數(shù)的曲線滿足連續(xù)，如果給定兩個相鄰的和中的參數(shù)則帶形狀參數(shù)的曲線滿足連續(xù)。證明：當(dāng)，由端點性質(zhì)可知(2.4)經(jīng)過簡單的計算可得：其中.當(dāng)?shù)?。即曲線滿足連續(xù)。(a)取不同值時的曲線構(gòu)造(b)取不同值時的曲線構(gòu)造圖2.4帶不同形狀參數(shù)的曲線的構(gòu)造如圖2.4(a),(b)所示：局部形狀參數(shù)對曲線的調(diào)配，當(dāng)每一段的局部形狀參數(shù)都相同時，曲線滿足連續(xù)2.4基于奇異混合的曲線構(gòu)造在曲線的外形設(shè)計中，通常需要反求控制頂點來插值給定的數(shù)據(jù)點但現(xiàn)有的構(gòu)造方法中，僅僅考慮曲面曲面形狀參數(shù)的連續(xù)性，而且還需要解決復(fù)雜的計算來反求控制頂點。如何構(gòu)造一插值方程既能減少計算量，又滿足幾何連續(xù)性？為了構(gòu)造此類曲線，本文結(jié)合奇異混合思想，引入局部形狀參數(shù)，定義了一個奇異混合函數(shù)為：(2.5)計算可得：；可以計算函數(shù)的區(qū)間端點性質(zhì)，即：如果給定局部的調(diào)配參數(shù)和控制頂點,定義配置函數(shù)：(2.6)其中為了研究他們的性質(zhì)，首先分別對求導(dǎo)，有：當(dāng)；時，有：定義3.給定局部調(diào)整參數(shù)，控制頂點和配置函數(shù)稱：(2.7)為奇異混合代數(shù)插值曲線段，簡稱插值曲線段。為了研究這種曲線段的性質(zhì)，先對求導(dǎo)：又有：由此可以得到以下定理。定理2.曲線段插值與點和且任意兩個相鄰曲線段之間滿足連續(xù)。特別的，當(dāng)時，曲線段之間滿足連續(xù)。證明:由上述式子可知:,即曲線段插值于和若時，則曲線段插值于點.若時，則曲線段插值于或，即插值于點,并且所有曲線段的首位是相連的，即滿足連續(xù)。；令：(2.8)當(dāng)時，得：即曲線段之間滿足連續(xù)。(a)取不同值時的奇異混合閉曲線的構(gòu)造(b)取不同值時奇異混合閉曲線圖2.5形狀參數(shù)取值不同時的奇異混合閉曲線構(gòu)造圖2.5給出了奇異混合閉曲線的構(gòu)造，(a),(b)分別給出了和時分別取不同參數(shù)值得構(gòu)造情況，插值點不會隨局部參數(shù)的改變而改變。2.5曲面的精確表示2.5.1曲面的定義本節(jié)考慮利用張量積的方法來構(gòu)造帶形狀參數(shù)的曲面，如果給定了控制頂點，可以定義曲面片，其表達式：(2.9)式(2.9)中的和為本章式（2.1）定義的基函數(shù)?？紤]到之前定義的帶形狀參數(shù)的曲線性質(zhì)都可以推廣的曲面上，所以曲線具有的良好性質(zhì)同樣適用于這種曲面，如凸包性，幾何不變性等，并且可以證明帶形狀參數(shù)的曲面同樣滿足連續(xù)性。(a)(b)圖2.6帶局部形狀參數(shù)的曲面構(gòu)造2.6本章小結(jié)本章使用帶兩個形狀參數(shù)的基函數(shù)，構(gòu)造出了帶兩個局部形狀參數(shù)的分段多項式樣條曲線?？梢栽诮o定的取值范圍內(nèi)使用局部形狀參數(shù)來間接調(diào)整曲線的形狀，無需改變控制頂點，且曲線依舊滿足連續(xù)性；應(yīng)用張量積的方法，將曲線構(gòu)造方法應(yīng)用到曲面。第三章帶兩類形狀參數(shù)的三角B樣條的構(gòu)造和調(diào)配本章主要研究帶兩類形狀參數(shù)的代數(shù)三角B樣條曲線、面，通過對基函數(shù)，曲線性質(zhì)的分析研究，得出形狀參數(shù)對曲線的調(diào)配，研究曲線的連續(xù)性，結(jié)合奇異混合思想，構(gòu)造插值曲線，利用張量積方法構(gòu)造曲面。3.1帶兩類形狀參數(shù)的基函數(shù)的定義及性質(zhì)3.1.1帶有兩類形狀參數(shù)的基函數(shù)的定義定義1：對于給定稱：(3.1)為帶有兩類形狀參數(shù)的三角樣條基函數(shù)，它滿足幾何連續(xù)要求，簡稱基函數(shù)。其中稱為全局形狀參數(shù)，為局部形狀參數(shù).(a)當(dāng)時的基函數(shù)(b)當(dāng)時的基函數(shù)圖3.1帶兩類形狀參數(shù)的基函數(shù)圖形3.1.2帶有兩類形狀參數(shù)的基函數(shù)的性質(zhì)由式（3.1）可知，具有以下性質(zhì)：性質(zhì)1.非負(fù)性：；性質(zhì)2.權(quán)性：；性質(zhì)3.擬對稱性：當(dāng)時，；性質(zhì)4.退化性：當(dāng)時，退化為三角樣條[16]；性質(zhì)5.端點性：上述這些性質(zhì)為構(gòu)造帶兩類形狀參數(shù)的曲線帶來很大的方便。3.2帶有兩類形狀參數(shù)的曲線的定義及其質(zhì)3.2.1帶有兩類形狀參數(shù)的曲線的定義定義2：給定控制頂點和節(jié)點向量，稱：(3.2)為本文構(gòu)造的曲線，它帶兩類形狀參數(shù)，且基函數(shù)由代數(shù)多項式和三角組成，簡稱曲線。其中為定義1中的基函數(shù)。所有的曲線段組成一條帶不同形狀參數(shù)的光滑的分段的曲線，(3.3)其中.特別的，當(dāng)任意給定時就退化為帶全局參數(shù)的三角樣條曲線。3.2.2帶有兩類形狀參數(shù)的曲線的性質(zhì)凸包性.因為基函數(shù)滿足和，所以曲線始終在控制多邊形內(nèi)部，。因此曲線具有凸包性并且具有強凸包性。對稱性.當(dāng)時，，且全局形狀參數(shù)，所以由控制多邊形和所決定的曲線的形狀是完全相同的，只是兩條曲線發(fā)生了幾何變換，起點和終點位置互換。端點性.由基函數(shù)的端點性質(zhì)可知，曲線同樣具有以下性質(zhì)。由端點性質(zhì)可知曲線的起始點和終點具有B樣條曲線起始點和終點同樣的性質(zhì)，但起始點和終點的位置只與全局參數(shù)有關(guān)，而與局部參數(shù)的選取無關(guān)。(a)取不同值的曲線(b)時，取不同值的曲線(c)當(dāng)時，取不同值的曲線(d)當(dāng)時，取不同值的曲線圖3.2不同形狀參數(shù)對曲線的調(diào)配如圖3.2(a)所示改變的取值，曲線形狀改變，且起點和終點位置改變說明是全局參數(shù)；圖3.2(b)所示，取值不變，只改變的取值，曲線形狀改變，但始末位置不發(fā)生改變；取值不同，曲線與控制多邊形的距離和參數(shù)值成反比。圖3.2(c)所示,取值不變，曲線從右側(cè)逼近控制多邊形；圖3.2(d)所示,取值不變，曲線從左側(cè)逼近控制多邊形幾何不變性與仿射不變性.結(jié)合3.2.2給出的基函數(shù)的性質(zhì)可知，曲線的形狀取決于控制頂點的選擇，通過幾何變換后曲線與控制多邊形之間的相對形狀依舊相同，即曲線本身的形狀無法改變；對控制多邊形由控制頂點決定，對控制多邊形進行縮放即相當(dāng)于對控制頂點的坐標(biāo)進行相應(yīng)的變換，即，曲線的構(gòu)造方法可以推出，兩條曲線只是發(fā)生相應(yīng)的變換。局部形狀可調(diào)性.由于基函數(shù)中含有全局參數(shù)和局部參數(shù)，當(dāng)全局形狀參數(shù)不變時，在給定的取值范圍內(nèi)局部形狀參數(shù)取不同的值，基函數(shù)會隨之變化，曲線的形狀也可以間接地得到調(diào)整，無需改變控制頂點，且曲線起點、終點位置不變，所以具有局部性；同理當(dāng)局部形狀參數(shù)不變時，曲線的形狀也可以由來調(diào)整，只不過曲線的起點終點位置也會發(fā)生改變，曲線形狀整體得到調(diào)整。(a)當(dāng)時，取不同值的曲線(b)當(dāng)時，取不同值的曲線圖3.3不同形狀參數(shù)對曲線的影響如圖3.3所示：當(dāng)局部形狀參數(shù)不變，隨著增加，曲線逼近控制多邊形，且起始點和終點也逐漸逼近控制多邊形，得出是全局參數(shù)。(a)當(dāng)時，同時增加(b)當(dāng)?shù)木植靠烧{(diào)性圖3.4不同形狀參數(shù)對曲線的局部和整體的影響如圖3.4(a)所示：曲線與控制多邊形的距離和局部形狀參數(shù)的取值成反比，且取值越大曲線越飽滿圓潤；圖3.4(b)所示：三種顏色分別表示局部形狀參數(shù)取不同值同的情況，可以看出曲線局部的形狀可以調(diào)整而不影響全局，所以滿足局部可調(diào)性。3.3帶有兩類形狀參數(shù)的曲線的連續(xù)性定理1.當(dāng)時帶形狀參數(shù)的曲線滿足連續(xù)，如果給定兩個相鄰的和中的參數(shù)或，則帶形狀參數(shù)的曲線滿足連續(xù)。證明：當(dāng)時，從端點性質(zhì)可得出：(3.4)其中當(dāng)時，可得，即曲線滿足連續(xù);當(dāng)時，令，則由兩個相鄰的和曲線端點二階導(dǎo)的性質(zhì)為：通過簡單的計算可推出：(3.5)其中，.即曲線滿足連續(xù)。(a)時，取不同值的曲線構(gòu)造(b)時，取不同值的曲線構(gòu)造圖3.5帶不同形狀參數(shù)的曲線構(gòu)造圖3.5(a)和(b)分別給出了的兩類形狀參數(shù)的曲線全局參數(shù)不變時局部參數(shù)對曲線的調(diào)配，并且，當(dāng)每一段局部參數(shù)相同時，曲線滿足連續(xù)。(a)(b)(c)(d)圖3.6帶兩類形狀參數(shù)的曲線旋轉(zhuǎn)面的構(gòu)造圖3.6分別給出了帶兩類形狀參數(shù)的曲線的旋轉(zhuǎn)面應(yīng)用實例，圖3.6(a)，(b)和圖3.6(c)，(d)分別給出了(全局形狀參數(shù))不變時，(局部形狀參數(shù))對曲線的調(diào)配。每一段給定的局部參數(shù)都相同，整個曲線滿足連續(xù)。3.4基于奇異混合的曲線的構(gòu)造在曲線的外形設(shè)計中，通常需要反求控制頂點來插值給定的數(shù)據(jù)點但現(xiàn)有的構(gòu)造方法中，僅僅考慮曲面曲面形狀參數(shù)的連續(xù)性，而且還需要解決大量的大型方程組來反求控制頂點。如何構(gòu)造一插值方程既能減少計算量，又滿足幾何連續(xù)性？為了構(gòu)造此類曲線，本文結(jié)合奇異混合思想，引入局部形狀參數(shù)，定義了一個奇異混合三角函數(shù)為：(3.6)計算可得：可計算函數(shù)的區(qū)間端點性質(zhì)，即：如果給定控制頂點和局部調(diào)配參數(shù)，定義配置三角函數(shù)：(3.7)其中.為了研究它們的性質(zhì)，首先分別對對求導(dǎo)，得：經(jīng)過簡單的計算可推出，當(dāng)有：定義3：給定控制頂點，局部調(diào)配參數(shù)，配置三角函數(shù)，稱：(3.8)為奇異混合代數(shù)插值曲線段，簡稱插值曲線段。為了研究這種曲線段的性質(zhì)，先對求導(dǎo)又有：由此可以得到以下定理。定理2.曲線段插值與點和且在每兩個相鄰曲線段之間滿足連續(xù)。特別的，當(dāng)時，曲線段之間滿足連續(xù)；當(dāng)時，任意相鄰的曲線段之間滿足連續(xù)。證明：由上式可知:,即曲線段插值于和。若時，則曲線段插值于點.若時，則曲線段插值于或，即插值于點,并且所有曲線段的首位是相連的，即滿足連續(xù)。;令：(3.9)當(dāng)時，得：即曲線段之間滿足連續(xù)。如果當(dāng)形狀參數(shù)時，令，則有：由上述式子可得：(3.10)其中，.所以曲線段之間滿足連續(xù)。(a)取不同值時的奇異混合閉曲線(b)取不同值時的奇異混合閉曲線圖3.7形狀參數(shù)取不同值時的奇異混合閉曲線的構(gòu)造圖3.7(a)，(b)給出了奇異混合插值閉曲線的構(gòu)造，圖(a)所示：插值點隨全局形狀參數(shù)的改變而改變；圖(b)所示：當(dāng)不變時，插值點不隨局部形狀參數(shù)的改變而改變。圖中‘*’為插值點。(a)取不同值時的奇異混合開曲線(b)取不同值時的奇異混合開曲線圖3.8形狀參數(shù)取不同值時的奇異混合開曲線的構(gòu)造圖3.8(a)，(b)給出了奇異混合插值開曲線的構(gòu)造，圖(a)所示：插值點隨全局形狀參數(shù)的改變而改變；圖(b)所示：當(dāng)不變時，插值點不隨局部形狀參數(shù)的改變而改變。圖中‘*’為插值點。3.5曲面的精確表示3.5.1曲面的定義本節(jié)考慮用張量積的方法來構(gòu)造帶有兩類形狀參數(shù)的曲面，若給定了控制頂點，可以定義帶兩類形狀參數(shù)的曲片面，其表達式：(3.11)其中為本章（3.1）式中定義的基函數(shù)?？紤]到之前定義的帶兩類形狀參數(shù)的曲線的性質(zhì)都可以推廣到曲面上，以及曲面是由曲線組合而來，所以曲線的性質(zhì)應(yīng)該也適合于曲面。同樣帶兩類形狀參數(shù)的曲面滿足連續(xù)性，在特殊情況下滿足連續(xù)。(a)(b)圖3.9帶類形狀參數(shù)的曲面構(gòu)造3.6本章小結(jié)本章給出的帶兩類形狀參數(shù)（全局和局部）的代數(shù)多項式樣條曲線、面，這種曲線、面不僅滿足工業(yè)上需求的幾何連續(xù)性，同時還能通過形狀參數(shù)全局或局部調(diào)整曲線、面的形狀；且當(dāng)局部形狀參數(shù)滿足時，連續(xù)存在；結(jié)合奇異混合思想，構(gòu)造了插值樣條曲線，使得反求插值曲線幾何連續(xù)性等問題得以解決。

第四章總結(jié)本文分別給出了帶一類形狀參數(shù)(局部形狀參數(shù))的曲線、面構(gòu)造和帶兩類形狀參數(shù)的曲線、面的構(gòu)造,并討論了曲線、面的諸多性質(zhì),這種曲線曲面滿足一定的幾何連續(xù)性并帶有形狀參數(shù),可以全局和局部地調(diào)整曲線曲面形狀,在特殊情況下曲線曲面滿足連續(xù)性;同時結(jié)合奇異混合思想,構(gòu)造了滿足幾何連續(xù)性的插值曲線,給曲線的反求控制頂點和幾何連續(xù)提供了一種方法;本文還給出了一些旋轉(zhuǎn)面的應(yīng)用,分別給出了與旋轉(zhuǎn)面外形間的關(guān)聯(lián)性，通過實例證明該曲線曲面的優(yōu)點.

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