定積分求面積

關(guān)于定積分求面積1第1頁，講稿共22頁，2023年5月2日，星期三2

用定積分解決實(shí)際問題，應(yīng)先明確

兩個問題：第一，定積分能解決哪類問題？(共性)第二，用定積分解決這類問題方法的關(guān)鍵是什么？第2頁，講稿共22頁，2023年5月2日，星期三3一、微元法第一個問題：用定積分所解決問題的共性：

2.這個在[a,b]上分布的整體量等于其所有1.都是求在[a,b]非均勻分布的一個整體量，如：面積、體積、曲線弧長；作功、引力、總成本、總利潤等等；第3頁，講稿共22頁，2023年5月2日，星期三4子區(qū)間局部量的總和(可和)，具體地講：設(shè)F(x)可微第4頁，講稿共22頁，2023年5月2日，星期三5第二個問題：用定積分解決問題的關(guān)鍵

——在找出整體量的微元：微元法解決問題的步驟1.寫出實(shí)際問題整體改變量的微元表達(dá)式：2.用定積分求出整體改變量：第5頁，講稿共22頁，2023年5月2日，星期三6二、定積分的幾何應(yīng)用1.平面圖形的面積（Area）用微元法求面積

第6頁，講稿共22頁，2023年5月2日，星期三7例1求由所圍圖形的面積.(如圖)思考:求面積前需要做那些準(zhǔn)備工作?第7頁，講稿共22頁，2023年5月2日，星期三8解從圖中可以明顯看出所求面積分為兩部兩塊面積的微元分別為：分:第8頁，講稿共22頁，2023年5月2日，星期三9第9頁，講稿共22頁，2023年5月2日，星期三10

用微元法求面積

求面積前需要做的準(zhǔn)備工作有:第10頁，講稿共22頁，2023年5月2日，星期三11(1)

最好能作出草圖,弄清邊界曲線的方程;

(2)

根據(jù)所選方法確定積分變量及總量微元;(3)

確定積分區(qū)間,為此常需要求出邊界曲線交點(diǎn)的坐標(biāo).(如圖)第11頁，講稿共22頁，2023年5月2日，星期三12例2再求由所圍圖形的面積.(如圖)第12頁，講稿共22頁，2023年5月2日，星期三13

解那種方法好？第13頁，講稿共22頁，2023年5月2日，星期三14例3求星形線所圍面積，它的參數(shù)方程為：直角坐標(biāo)方程第14頁，講稿共22頁，2023年5月2日，星期三解由對稱性只需求出(1/4)面積即可。第15頁，講稿共22頁，2023年5月2日，星期三例4用微元法推導(dǎo)由極坐標(biāo)給出的曲線C：用微元法先推導(dǎo)—

極坐標(biāo)系下求面積的表達(dá)式or所圍的面積,并求心臟所圍圖形的面積.第16頁，講稿共22頁，2023年5月2日，星期三17解心臟線的對稱性是明顯的，因此第17頁，講稿共22頁，2023年5月2日，星期三18例5求雙紐線：所圍封閉圖形的面積。第18頁，講稿共22頁，2023年5月2日，星期三19解(當(dāng)你不會作封閉曲線的圖形時，如何通過分析求出面積？)分析使用公式：

解這個問題的難點(diǎn)在確定積分限。注意到每兩個零點(diǎn)曲線封閉一次.變化過程中，第19頁，講稿共22頁，2023年5月2日，星期三20由于周期性的變化,你會發(fā)現(xiàn)封閉圖形將重復(fù)出現(xiàn)在第一、三象限,且圖形關(guān)于原點(diǎn)對稱，故有進(jìn)而得第20頁，講稿共22頁，2023年5