微分中值定理與導(dǎo)數(shù)的應(yīng)用內(nèi)容提要與典型例題-第三講微分

第三講微分中值定理與導(dǎo)數(shù)的應(yīng)用習(xí)題課內(nèi)容提要典型例題1一、內(nèi)容提要1.理解羅爾(Rolle)定理和拉格朗日(Lagrange)2.了解柯西(Cauchy)定理和泰勒(Tayloy)定理.3.理解函數(shù)的極值概念,掌握用導(dǎo)數(shù)判斷函數(shù)定理.的單調(diào)性和求極值的方法.第三講微分中值定理與導(dǎo)數(shù)的應(yīng)用習(xí)題課25.會(huì)用洛必達(dá)(L,Hospital)法那么求不定式的極限.

6.了解曲率和曲率半徑的概念并會(huì)計(jì)算曲率和曲率半徑.

4.會(huì)用導(dǎo)數(shù)判斷函數(shù)圖形的凹凸性,會(huì)求拐點(diǎn),會(huì)求解最大值和最小值的應(yīng)用問題.會(huì)描繪函數(shù)的圖形(包括水平,鉛直和斜漸近線).第三講微分中值定理與導(dǎo)數(shù)的應(yīng)用習(xí)題課3洛必達(dá)法則Rolle定理Lagrange中值定理常用的泰勒公式Cauchy中值定理Taylor中值定理單調(diào)性,極值與最值,凹凸性,拐點(diǎn),函數(shù)圖形的描繪;曲率;求根方法.導(dǎo)數(shù)的應(yīng)用一、內(nèi)容提要第三講微分中值定理與導(dǎo)數(shù)的應(yīng)用習(xí)題課41.微分中值定理及其相互關(guān)系

羅爾定理

拉格朗日中值定理

柯西中值定理

泰勒中值定理))(()()(000xxxfxfxf-￠+=abafbff--=￠)()()(x0=n第三講微分中值定理與導(dǎo)數(shù)的應(yīng)用習(xí)題課52.微分中值定理的主要應(yīng)用(1)研究函數(shù)或?qū)?shù)的性態(tài)(3)證明恒等式或不等式(4)證明有關(guān)中值問題的結(jié)論(2)證明方程根的存在性第三講微分中值定理與導(dǎo)數(shù)的應(yīng)用習(xí)題課6利用一般解題方法:證明含一個(gè)中值的等式或根的存在,假設(shè)結(jié)論中涉及到含中值的兩個(gè)不同函數(shù),可考慮用假設(shè)條件中含高階導(dǎo)數(shù),假設(shè)結(jié)論中含兩個(gè)或兩個(gè)以上的中值,3.有關(guān)中值問題的解題方法(1)可用原函數(shù)法找輔助函數(shù).(2)柯西中值定理.中值定理.(3)(4)有時(shí)也可考慮多考慮用泰勒公式,逆向思維,設(shè)輔助函數(shù).多用羅爾定理,必須屢次應(yīng)用對(duì)導(dǎo)數(shù)用中值定理.第三講微分中值定理與導(dǎo)數(shù)的應(yīng)用習(xí)題課7(1)研究函數(shù)的性態(tài):增減,極值,凹凸,拐點(diǎn),漸近線,曲率(2)解決最值問題

目標(biāo)函數(shù)的建立

最值的判別問題(3)其他應(yīng)用:求不定式極限;幾何應(yīng)用;相關(guān)變化率;證明不等式;研究方程實(shí)根等.4.導(dǎo)數(shù)應(yīng)用第三講微分中值定理與導(dǎo)數(shù)的應(yīng)用習(xí)題課8二、典型例題在內(nèi)可導(dǎo),且證明在內(nèi)有界.證再取異于的點(diǎn)在以為端點(diǎn)的區(qū)間上用定數(shù)對(duì)任意即證.例取點(diǎn)拉氏定理,第三講微分中值定理與導(dǎo)數(shù)的應(yīng)用習(xí)題課9例解第三講微分中值定理與導(dǎo)數(shù)的應(yīng)用習(xí)題課10這就驗(yàn)證了命題的正確性.第三講微分中值定理與導(dǎo)數(shù)的應(yīng)用習(xí)題課11例Darboux定理:證首先假定不妨設(shè)如右圖所示oyxab由假設(shè)知第三講微分中值定理與導(dǎo)數(shù)的應(yīng)用習(xí)題課12由右方鄰近，有由左側(cè)鄰近，有由Fermat定理,得其次，取介于之間的任意數(shù)

C為明確起見，不妨設(shè)引進(jìn)輔助函數(shù)第三講微分中值定理與導(dǎo)數(shù)的應(yīng)用習(xí)題課13由上述已證知例證明方程在(0,1)內(nèi)至少有一實(shí)根[分析]如令則的符號(hào)不易判別不便使用介值定理用Rolle定理來證第三講微分中值定理與導(dǎo)數(shù)的應(yīng)用習(xí)題課14證令則且故由Rolle定理知即在(0,1)內(nèi)有一實(shí)根例證滿足Rolle定理的條件第三講微分中值定理與導(dǎo)數(shù)的應(yīng)用習(xí)題課15在內(nèi)可導(dǎo),且證明至少存在一點(diǎn)使上連續(xù),在問題轉(zhuǎn)化為證設(shè)輔助函數(shù)用Rolle定理,使即有例證分析?0)(2)(=+￠xxxff0)()(2)(2=￠+=￠xxxxxffF第三講微分中值定理與導(dǎo)數(shù)的應(yīng)用習(xí)題課16例分析構(gòu)造輔助函數(shù)F(x),那么問題轉(zhuǎn)化為的零點(diǎn)存在問題.證設(shè)設(shè)

Rolle定理使得因此必定有第三講微分中值定理與導(dǎo)數(shù)的應(yīng)用習(xí)題課17例且試證存在證:欲證因f(x)在[a,b]上滿足拉氏中值定理?xiàng)l件,故有將①代入②,化簡(jiǎn)得故有①②即要證第三講微分中值定理與導(dǎo)數(shù)的應(yīng)用習(xí)題課18例設(shè)函數(shù)f(x)在[0,3]上連續(xù),在(0,3)內(nèi)可導(dǎo),且分析:所給條件可寫為(03考研)試證必存在想到找一點(diǎn)c,使證:因f(x)在[0,3]上連續(xù),所以在[0,2]上連續(xù),且在[0,2]上有最大值M與最小值m,故由介值定理,至少存在一點(diǎn)由Rolle定理知,必存在第三講微分中值定理與導(dǎo)數(shù)的應(yīng)用習(xí)題課19例

設(shè)函數(shù)在上二階可導(dǎo),且證明證:由Taylor公式得兩式相減得第三講微分中值定理與導(dǎo)數(shù)的應(yīng)用習(xí)題課20例設(shè)在上可導(dǎo),且證明f(x)至多只有一個(gè)零點(diǎn).

證:

設(shè)那么故在上連續(xù)單調(diào)遞增,從而至多只有一個(gè)零點(diǎn).又因因此也至多只有一個(gè)零點(diǎn).思考:假設(shè)題中改為其它不變時(shí),如何設(shè)輔助函數(shù)?第三講微分中值定理與導(dǎo)數(shù)的應(yīng)用習(xí)題課21且在上存在,并單調(diào)遞減,證明對(duì)一切有證那么所以當(dāng)時(shí),令得即所證不等式成立.設(shè)例設(shè)0)()()()(<--+=bfafbafbj第三講微分中值定理與導(dǎo)數(shù)的應(yīng)用習(xí)題課22例證法一用單調(diào)性設(shè)即由證明不等式第三講微分中值定理與導(dǎo)數(shù)的應(yīng)用習(xí)題課23可知,即法二用Lagrange定理設(shè)Lagrange定理由得即第三講微分中值定理與導(dǎo)數(shù)的應(yīng)用習(xí)題課24例證明不等式

證第三講微分中值定理與導(dǎo)數(shù)的應(yīng)用習(xí)題課25例設(shè)在上可導(dǎo),且證明f(x)至多只有一個(gè)零點(diǎn).

證:

設(shè)那么故在上連續(xù)單調(diào)遞增,從而至多只有一個(gè)零點(diǎn).又因因此也至多只有一個(gè)零點(diǎn).思考:假設(shè)題中改為其它不變時(shí),如何設(shè)輔助函數(shù)?第三講微分中值定理與導(dǎo)數(shù)的應(yīng)用習(xí)題課26例解第三講微分中值定理與導(dǎo)數(shù)的應(yīng)用習(xí)題課27例解第三講微分中值定理與導(dǎo)數(shù)的應(yīng)用習(xí)題課28例第三講微分中值定理與導(dǎo)數(shù)的應(yīng)用習(xí)題課29第三講微分中值定理與導(dǎo)數(shù)的應(yīng)用習(xí)題課30例證由介值定理,第三講微分中值定理與導(dǎo)數(shù)的應(yīng)用習(xí)題課31〔1〕〔2〕注意到由〔1〕,〔2〕有〔3〕〔4〕〔3〕+〔4〕,得第三講微分中值定理與導(dǎo)數(shù)的應(yīng)用習(xí)題課32例問方程有幾個(gè)實(shí)根解同時(shí)也是最大值分三種情況討論第三講微分中值定理與導(dǎo)數(shù)的應(yīng)用習(xí)題課33①由于方程有兩個(gè)實(shí)根，分別位于②方程僅有一個(gè)實(shí)根，即③方程無(wú)實(shí)根①②③34例證〔1〕〔2〕第三講微分中值定理與導(dǎo)數(shù)的應(yīng)用習(xí)題課35〔1〕–〔2〕,那么有第三講微分中值定理與導(dǎo)數(shù)的應(yīng)用習(xí)題課36例解第三講微分中值定理與導(dǎo)數(shù)的應(yīng)用習(xí)題課37假設(shè)兩曲線滿足題設(shè)條件,必在該點(diǎn)處具有相同的一階導(dǎo)數(shù)和二階導(dǎo)數(shù),于是有第三講微分中值定理與導(dǎo)數(shù)的應(yīng)用習(xí)題課38解此方程組得故所求作拋物線的方程為曲率圓的方程為兩曲線在點(diǎn)處的曲率圓的圓心為第三講微分中值定理與導(dǎo)數(shù)的應(yīng)用習(xí)題課39例解奇函數(shù)第三講微分中值定理與導(dǎo)數(shù)的應(yīng)用習(xí)題課40第三講微分中值定理與導(dǎo)數(shù)的應(yīng)用習(xí)題課41列表如下:第三講微分中值定理與導(dǎo)數(shù)的應(yīng)用習(xí)題課42極大值拐點(diǎn)極小值第三講微分中值定理與導(dǎo)數(shù)的應(yīng)用習(xí)題課43作圖第三講微分中值定理與導(dǎo)數(shù)的應(yīng)用習(xí)題課44例Rolle定理的推廣形式①證由Rolle定理知②第三講微分中值定理與導(dǎo)數(shù)的應(yīng)用習(xí)題課45證一那么由題設(shè)知故由①知而第三講微分中值定理與導(dǎo)數(shù)的應(yīng)用習(xí)題課46證二若那么結(jié)論顯然成立下設(shè)不妨設(shè)有必存在最大值M即第三講微分中值定理與導(dǎo)數(shù)的應(yīng)用習(xí)題課47故由Fermat定理知③證一類似于②證一，作變換證二作變換第三講微分中值定理與導(dǎo)數(shù)的應(yīng)用習(xí)題課48證三若那么結(jié)論顯然成立下設(shè)不妨設(shè)有必存在最小值m即第三講微分中值定理與導(dǎo)數(shù)的應(yīng)用習(xí)題課49故由Fermat定理知④證明與③類似第三講微分中值定理與導(dǎo)數(shù)的應(yīng)用習(xí)題課50例證不妨設(shè)由Lagrange定理，有第三講微分中值定理與導(dǎo)數(shù)的應(yīng)用習(xí)題課51得注這個(gè)結(jié)論其實(shí)就是Jensen不等式(n=2的情況)其幾何意義，如以下圖所示第三講微分中值定理與導(dǎo)數(shù)的應(yīng)用習(xí)題課52例證明當(dāng)x>0時(shí),證:令那么法1由在處的二階Taylor公式,得故所證不等式成立.與1之間)第三講微分中值定理與導(dǎo)數(shù)的應(yīng)用習(xí)題課53法2

列表判別:即第三講微分中值定理與導(dǎo)數(shù)的應(yīng)用習(xí)題課54法3

利用極值第二判別法.故也是最小值,因此當(dāng)時(shí)即第三講微分中值定理與導(dǎo)數(shù)的應(yīng)用習(xí)題課55P180

5;7;8;10

(2),(3);

11

(1);17作業(yè)第三講微分中值定理與導(dǎo)數(shù)的應(yīng)用習(xí)題課56測(cè)驗(yàn)題第三講微分中值定理與導(dǎo)數(shù)的應(yīng)用習(xí)題課57第三講微分中值定理