概率論與數(shù)理統(tǒng)計最新完整版

關(guān)于概率論與數(shù)理統(tǒng)計最新完整版第1頁，講稿共142頁，2023年5月2日，星期三§1.1隨機(jī)事件及其概率的統(tǒng)計定義一、概率論的誕生及應(yīng)用1654年,一個名叫梅累的騎士就“兩個賭徒約定賭若干局,且誰先贏c局便算贏家,若在一賭徒勝a局(a<c),另一賭徒勝b局(b<c)時便終止賭博,問應(yīng)如何分賭本”為題求教于帕斯卡,帕斯卡與費(fèi)馬通信討論這一問題,于1654年共同建立了概率論的第一個基本概念─數(shù)學(xué)期望。概率論是數(shù)學(xué)的一個分支,它研究隨機(jī)現(xiàn)象的數(shù)量規(guī)律.概率論的廣泛應(yīng)用幾乎遍及所有的科學(xué)領(lǐng)域,例如天氣預(yù)報,地震預(yù)報,產(chǎn)品的抽樣調(diào)查;另外在經(jīng)濟(jì)、金融、保險；管理決策；生物醫(yī)藥；農(nóng)業(yè)（試驗設(shè)計等）等領(lǐng)域都有廣泛應(yīng)用.第2頁，講稿共142頁，2023年5月2日，星期三在一定條件下必然發(fā)生的現(xiàn)象稱為確定性現(xiàn)象.

“太陽不會從西邊升起”,1.確定性現(xiàn)象

“可導(dǎo)必連續(xù)”,“水從高處流向低處”,實例自然界所觀察到的現(xiàn)象:確定性現(xiàn)象隨機(jī)現(xiàn)象

二、隨機(jī)現(xiàn)象

確定性現(xiàn)象的特征:

條件完全決定結(jié)果第3頁，講稿共142頁，2023年5月2日，星期三在一定條件下可能出現(xiàn)也可能不出現(xiàn)的現(xiàn)象稱為隨機(jī)現(xiàn)象.實例1

“在相同條件下擲一枚均勻的硬幣,觀察正反兩面出現(xiàn)的情況”.2.隨機(jī)現(xiàn)象結(jié)果有可能出現(xiàn)正面也可能出現(xiàn)反面.第4頁，講稿共142頁，2023年5月2日，星期三結(jié)果有可能為:“1”,“2”,“3”,“4”,“5”或“6”.實例3“拋擲一枚骰子,觀察出現(xiàn)的點數(shù)”.實例2

“用同一門炮向同一目標(biāo)發(fā)射同一種炮彈多發(fā),觀察彈落點的情況”.結(jié)果:“彈落點會各不相同”.第5頁，講稿共142頁，2023年5月2日，星期三實例4“從一批含有正品和次品的產(chǎn)品中任意抽取一個產(chǎn)品”.其結(jié)果可能為:

正品

、次品.實例5

“過馬路交叉口時,可能遇上各種顏色的交通指揮燈”.實例6“一只燈泡的壽命”可長可短.隨機(jī)現(xiàn)象的特征:條件不能完全決定結(jié)果第6頁，講稿共142頁，2023年5月2日，星期三2.隨機(jī)現(xiàn)象在一次觀察中出現(xiàn)什么結(jié)果具有偶然性,但在大量重復(fù)試驗或觀察中,這種結(jié)果的出現(xiàn)具有一定的統(tǒng)計規(guī)律性

,概率論就是研究隨機(jī)現(xiàn)象這種本質(zhì)規(guī)律的一門數(shù)學(xué)學(xué)科.隨機(jī)現(xiàn)象是通過隨機(jī)試驗來研究的.問題什么是隨機(jī)試驗?如何來研究隨機(jī)現(xiàn)象?說明1.隨機(jī)現(xiàn)象揭示了條件和結(jié)果之間的非確定性聯(lián)系,其數(shù)量關(guān)系無法用函數(shù)加以描述.第7頁，講稿共142頁，2023年5月2日，星期三1.可以在相同的條件下重復(fù)地進(jìn)行;2.每次試驗的可能結(jié)果不止一個,并且能事先明確試驗的所有可能結(jié)果;3.進(jìn)行一次試驗之前不能確定哪一個結(jié)果會出現(xiàn).定義在概率論中,把具有以下三個特征的試驗稱為隨機(jī)試驗.三、隨機(jī)試驗第8頁，講稿共142頁，2023年5月2日，星期三說明

1.隨機(jī)試驗簡稱為試驗,是一個廣泛的術(shù)語.它包括各種各樣的科學(xué)實驗,也包括對客觀事物進(jìn)行的“調(diào)查”、“觀察”、或“測量”等.實例

“拋擲一枚硬幣,觀察正面,反面出現(xiàn)的情況”.分析

2.隨機(jī)試驗通常用E來表示.(1)試驗可以在相同的條件下重復(fù)地進(jìn)行;第9頁，講稿共142頁，2023年5月2日，星期三1.“拋擲一枚骰子,觀察出現(xiàn)的點數(shù)”.2.“從一批產(chǎn)品中,依次任選三件,記錄出現(xiàn)正品與次品的件數(shù)”.同理可知下列試驗都為隨機(jī)試驗(2)試驗的所有可能結(jié)果:正面，反面;(3)進(jìn)行一次試驗之前不能確定哪一個結(jié)果會出現(xiàn).故為隨機(jī)試驗.第10頁，講稿共142頁，2023年5月2日，星期三3.記錄某公共汽車站某日上午某時刻的等車人數(shù).4.考察某地區(qū)10月份的平均氣溫.5.從一批燈泡中任取一只,測試其壽命.第11頁，講稿共142頁，2023年5月2日，星期三四、概率的統(tǒng)計定義１、隨機(jī)事件：在試驗的結(jié)果中，可能發(fā)生、也可能不發(fā)生的事件。比如，拋硬幣試驗中，”徽花向上”是隨機(jī)事件；擲一枚骰子中，”出現(xiàn)奇數(shù)點”是一個隨機(jī)事件等。２、頻率：設(shè)A為實驗E中的一個隨機(jī)事件，將E重復(fù)n次，A發(fā)生m次，稱f(A)=m/n為事件A的頻率．隨著實驗次數(shù)n的增加，頻率將處于穩(wěn)定狀態(tài)．比如投硬幣實驗，頻率將穩(wěn)定在1/2附近．３、統(tǒng)計概率：將事件A的頻率的穩(wěn)定值p作為事件A出現(xiàn)的可能性的度量，即P(A)=p為事件A的統(tǒng)計概率．統(tǒng)計概率的缺點：（１）需要大量的重復(fù)試驗．（２）得到的是概率的近似值．第12頁，講稿共142頁，2023年5月2日，星期三§1.2樣本空間定義1

對于隨機(jī)試驗E，它的每一個可能結(jié)果稱為樣本點，由一個樣本點組成的單點集稱為基本事件。所有樣本點構(gòu)成的集合稱為E的樣本空間或必然事件，用或S表示我們規(guī)定不含任何元素的空集為不可能件，用表示。P(Ω)=1,P()=0第13頁，講稿共142頁，2023年5月2日，星期三例１、設(shè)試驗為拋一枚硬幣，觀察是正面還是反面，則樣本空間為：

Ω={正面，反面｝或｛ω1,ω2}例２、設(shè)試驗為從裝有三個白球（記為１，２，３號）與兩個黑球（記為４，５號）的袋中任取兩個球．（１）觀察取出的兩個球的顏色，則樣本空間為：

Ω={ω00,ω11,ω01}ω00

表示“取出兩個白球”，ω11

表示“取出兩個黑球”，ω01

表示“取出一個白球與一個黑球”第14頁，講稿共142頁，2023年5月2日，星期三（２）觀察取出的兩個球的號碼，則樣本空間為：

Ω={ω12,ω13,ω14,ω15,ω23,ω24,ω25,ω34,ω35,ω45}ωij表示“取出第i號與第j號球”．注：試驗的樣本空間是根據(jù)試驗的內(nèi)容確定的！第15頁，講稿共142頁，2023年5月2日，星期三隨機(jī)事件隨機(jī)試驗E的樣本空間

的子集(或某些樣本點的子集），稱為E的隨機(jī)事件,簡稱事件.試驗中,骰子“出現(xiàn)1點”,“出現(xiàn)2點”,…,“出現(xiàn)6點”,“點數(shù)不大于4”,“點數(shù)為偶數(shù)”等都為隨機(jī)事件.實例

拋擲一枚骰子,觀察出現(xiàn)的點數(shù).第16頁，講稿共142頁，2023年5月2日，星期三例3寫出擲骰子試驗的樣本點,樣本空間,基本事件,事件A—出現(xiàn)偶數(shù),事件B—出現(xiàn)奇數(shù)

基本事件解：用

表示擲骰子出現(xiàn)的點數(shù)為

第17頁，講稿共142頁，2023年5月2日，星期三

小結(jié)隨機(jī)現(xiàn)象的特征:1條件不能完全決定結(jié)果.2.隨機(jī)現(xiàn)象是通過隨機(jī)試驗來研究的.(1)可以在相同的條件下重復(fù)地進(jìn)行;(2)每次試驗的可能結(jié)果不止一個,并且能事先明確試驗的所有可能結(jié)果;(3)進(jìn)行一次試驗之前不能確定哪一個結(jié)果會出現(xiàn).隨機(jī)試驗3.隨機(jī)試驗、樣本空間與隨機(jī)事件的關(guān)系第18頁，講稿共142頁，2023年5月2日，星期三隨機(jī)試驗、樣本空間與隨機(jī)事件的關(guān)系每一個隨機(jī)試驗相應(yīng)地有一個樣本空間,樣本空間的子集就是隨機(jī)事件.隨機(jī)試驗樣本空間子集隨機(jī)事件必然事件不可能事件是兩個特殊的隨機(jī)事件第19頁，講稿共142頁，2023年5月2日，星期三

1.包含關(guān)系若事件A出現(xiàn),必然導(dǎo)致B出現(xiàn),則稱事件B包含事件A,記作實例

“長度不合格”必然導(dǎo)致“產(chǎn)品不合格”所以“產(chǎn)品不合格”包含“長度不合格”.圖示

B包含

A.BA§1.3事件的關(guān)系及運(yùn)算一.隨機(jī)事件間的關(guān)系第20頁，講稿共142頁，2023年5月2日，星期三若事件A包含事件B,而且事件B包含事件A,則稱事件A與事件B相等,記作A=B.2.事件的和(并)實例

某種產(chǎn)品的合格與否是由該產(chǎn)品的長度與直徑是否合格所決定,因此“產(chǎn)品不合格”是“長度不合格”與“直徑不合格”的并.圖示事件

A與

B的并.

BA第21頁，講稿共142頁，2023年5月2日，星期三3.事件的交

(積)推廣第22頁，講稿共142頁，2023年5月2日，星期三圖示事件A與B

的積事件.ABAB實例某種產(chǎn)品的合格與否是由該產(chǎn)品的長度與直徑是否合格所決定,因此“產(chǎn)品合格”是“長度合格”與“直徑合格”的交或積事件.第23頁，講稿共142頁，2023年5月2日，星期三和事件與積事件的運(yùn)算性質(zhì)第24頁，講稿共142頁，2023年5月2日，星期三實例拋擲一枚硬幣,“出現(xiàn)花面”與“出現(xiàn)字面”是互不相容的兩個事件.4.事件的互不相容(互斥)若事件A、B滿足則稱事件A與B互不相容.第25頁，講稿共142頁，2023年5月2日，星期三“骰子出現(xiàn)1點”“骰子出現(xiàn)2點”圖示A與B互斥AB互斥實例拋擲一枚骰子,觀察出現(xiàn)的點數(shù).說明當(dāng)AB=時,可將AB記為“直和”形式A+B.

任意事件A與不可能事件為互斥.第26頁，講稿共142頁，2023年5月2日，星期三5.事件的差圖示A與B的差A(yù)BB實例“長度合格但直徑不合格”是“長度合格”與“直徑合格”的差.A事件“A出現(xiàn)而B不出現(xiàn)”，稱為事件A與B的差.記作A-B(或)第27頁，講稿共142頁，2023年5月2日，星期三若事件A、B滿足則稱A與B為互逆(或?qū)α?事件.A的逆記作實例

“骰子出現(xiàn)1點”“骰子不出現(xiàn)1點”圖示A與B的對立.BA6.事件的互逆（對立）對立第28頁，講稿共142頁，2023年5月2日，星期三若事件A、B滿足則稱A與B為互逆(或?qū)α?事件.A的逆記作實例

“骰子出現(xiàn)1點”“骰子不出現(xiàn)1點”圖示A與B的對立.BA6.事件的互逆（對立）對立第29頁，講稿共142頁，2023年5月2日，星期三二.事件間的運(yùn)算規(guī)律第30頁，講稿共142頁，2023年5月2日，星期三三

完備事件組第31頁，講稿共142頁，2023年5月2日，星期三例1設(shè)A,B,C表示三個隨機(jī)事件,試將下列事件用A,B,C表示出來.(1)A出現(xiàn),B,C不出現(xiàn);(5)三個事件都不出現(xiàn);(2)A,B都出現(xiàn),C不出現(xiàn);(3)三個事件都出現(xiàn);(4)三個事件至少有一個出現(xiàn);第32頁，講稿共142頁，2023年5月2日，星期三解(6)不多于一個事件出現(xiàn);第33頁，講稿共142頁，2023年5月2日，星期三逆分配律第34頁，講稿共142頁，2023年5月2日，星期三概率論與集合論之間的對應(yīng)關(guān)系記號概率論集合論樣本空間,必然事件不可能事件基本事件隨機(jī)事件A的對立事件A出現(xiàn)必然導(dǎo)致B出現(xiàn)事件A與事件B相等空間(全集)空集元素子集A的補(bǔ)集A是B的子集A集合與B集合相等四、小結(jié)第35頁，講稿共142頁，2023年5月2日，星期三事件A與事件B的差A(yù)與B兩集合的差集事件A與B互不相容A與B兩集合中沒有相同的元素事件A與事件B的和A集合與B集合的并集事件A與B的積事件

A集合與B集合的交集第36頁，講稿共142頁，2023年5月2日，星期三一.古典概型§1.4概率的古典定義１、定義如果一個隨機(jī)試驗E具有以下特征（1）、試驗的樣本空間中僅含有有限個樣本點；（2）、每個樣本點出現(xiàn)的可能性相同。則稱該隨機(jī)試驗為古典概型。第37頁，講稿共142頁，2023年5月2日，星期三

設(shè)試驗E的樣本空間由n個樣本點構(gòu)成,A為E的任意一個事件,且包含

m個樣本點,則事件A出現(xiàn)的概率記為:2.古典概型中事件概率的計算公式稱此為概率的古典定義.

第38頁，講稿共142頁，2023年5月2日，星期三3.古典概型的基本模型:摸球模型(1)無放回地摸球問題1

設(shè)袋中有M個白球和

N個黑球,現(xiàn)從袋中無放回地依次摸出m+n個球,求所取球恰好含m個白球,n個黑球的概率?樣本點總數(shù)為A所包含的樣本點個數(shù)為解設(shè)A={所取球恰好含m個白球,n個黑球}第39頁，講稿共142頁，2023年5月2日，星期三(2)有放回地摸球問題2

設(shè)袋中有4只紅球和6只黑球,現(xiàn)從袋中有放回地摸球3次,求前2次摸到黑球、第3次摸到紅球的概率.解第1次摸球10種第2次摸球10種第3次摸球10種6種第1次摸到黑球6種第2次摸到黑球4種第3次摸到紅球第40頁，講稿共142頁，2023年5月2日，星期三樣本點總數(shù)為A所包含樣本點的個數(shù)為第41頁，講稿共142頁，2023年5月2日，星期三4.古典概型的基本模型:球放入杯子模型(1)杯子容量不限制問題1

把

4個球放到

3個杯子中去,求第1、2個杯子中各有兩個球的概率,其中假設(shè)每個杯子可放任意多個球.

4個球放到3個杯子的所有放法第42頁，講稿共142頁，2023年5月2日，星期三因此第1、2個杯子中各有兩個球的概率為第43頁，講稿共142頁，2023年5月2日，星期三(2)每個杯子只能放一個球問題2

把4個球放到10個杯子中去,每個杯子只能放一個球,求第1至第4個杯子各放一個球的概率.解第1至第4個杯子各放一個球的概率為第44頁，講稿共142頁，2023年5月2日，星期三解5、典型例題第45頁，講稿共142頁，2023年5月2日，星期三在N件產(chǎn)品中抽取n件,其中恰有k件次品的取法共有于是所求的概率為解在N件產(chǎn)品中抽取n件的所有可能取法共有第46頁，講稿共142頁，2023年5月2日，星期三

例3（分房問題）有n個人，每個人都以同樣的概率1/N被分配在間房中的每一間中，試求下列各事件的概率：(1)某指定間房中各有一人

;(2)恰有間房，其中各有一人；

(3)某指定一間房中恰有人。

解先求樣本空間中所含樣本點的個數(shù)。首先，把n個人分到N間房中去共有種分法，其次，求每種情形下事件所含的樣本點個數(shù)。第47頁，講稿共142頁，2023年5月2日，星期三(b)恰有n間房中各有一人，所有可能的分法為

(a)某指定n間房中各有一人，所含樣本點的個數(shù)，即可能的的分法為：(c)某指定一間房中恰有m人，可能的分法為

進(jìn)而我們可以得到三種情形下事件的概率，其分別為:（2）

（3）

(1)第48頁，講稿共142頁，2023年5月2日，星期三

把有限個樣本點推廣到無限個樣本點的場合,人們引入了幾何概型.由此形成了確定概率的另一方法

——幾何方法.概率的古典定義具有可計算性的優(yōu)點,但它也有明顯的局限性.要求樣本點有限,如果樣本空間中的樣本點有無限個,概率的古典定義就不適用了.二、幾何概型第49頁，講稿共142頁，2023年5月2日，星期三定義1第50頁，講稿共142頁，2023年5月2日，星期三定義2

當(dāng)隨機(jī)試驗的樣本空間是某個區(qū)域,并且任意一點落在度量(長度,面積,體積)相同的子區(qū)域是等可能的,則事件A的概率可定義為說明當(dāng)古典概型的試驗結(jié)果為連續(xù)無窮多個時,就歸結(jié)為幾何概率.第51頁，講稿共142頁，2023年5月2日，星期三那末兩人會面的充要條件為例1

甲、乙兩人相約在0到T這段時間內(nèi),在預(yù)定地點會面.先到的人等候另一個人,經(jīng)過時間t(t<T)后離去.設(shè)每人在0到T這段時間內(nèi)各時刻到達(dá)該地是等可能的,且兩人到達(dá)的時刻互不牽連.求甲、乙兩人能會面的概率.會面問題解第52頁，講稿共142頁，2023年5月2日，星期三故所求的概率為若以x,y

表示平面上點的坐標(biāo),則有第53頁，講稿共142頁，2023年5月2日，星期三§1.5概率加法定理(1)對于任意事件A,

對于前面討論的古典概型和幾何概型，我們?nèi)菀椎玫较旅鎯蓚€性質(zhì)：第54頁，講稿共142頁，2023年5月2日，星期三證明：只要證明P(A+B)=P(A)+P(B)即可，這里根據(jù)古典概型來證明．設(shè)試驗的樣本空間Ω共有N個等可能的基本事件，事件A包含M1個基本事件，事件B包含M2個基本事件．由于事件A與B是互不相容的，因此A與B的并A+B所包含的基本事件共有M1+M2個．于是有

P(A+B)=(M1+M2)/N=M1/N+M2/N=P(A)+P(B)第55頁，講稿共142頁，2023年5月2日，星期三推論2對立事件的概率和等于一：第56頁，講稿共142頁，2023年5月2日，星期三證明第57頁，講稿共142頁，2023年5月2日，星期三證明由圖可得又由定理２

得因此得第58頁，講稿共142頁，2023年5月2日，星期三推廣三個事件和的情況n個事件和的情況第59頁，講稿共142頁，2023年5月2日，星期三解第60頁，講稿共142頁，2023年5月2日，星期三ABAB第61頁，講稿共142頁，2023年5月2日，星期三第62頁，講稿共142頁，2023年5月2日，星期三（先從５雙中取４雙，再從每雙中任取一只）（先從５雙中取出１雙，在從剩下的８只鞋中?。仓唬┑?3頁，講稿共142頁，2023年5月2日，星期三例3

在1~2000的整數(shù)中隨機(jī)地取一個數(shù),問取到的整數(shù)既不能被6整除,又不能被8整除的概率是多少?

設(shè)A為事件“取到的數(shù)能被6整除”,B為事件“取到的數(shù)能被8整除”則所求概率為解第64頁，講稿共142頁，2023年5月2日，星期三于是所求概率為第65頁，講稿共142頁，2023年5月2日，星期三例４

甲、乙兩人約定在下午1時到2時之間到某站乘公共汽車,又這段時間內(nèi)有四班公共汽車它們的開車時刻分別為1:15、1:30、1:45、2:00.如果它們約定見車就乘;求甲、乙同乘一車的概率.假定甲、乙兩人到達(dá)車站的時刻是互相不牽連的,且每人在1時到2時的任何時刻到達(dá)車站是等可能的.第66頁，講稿共142頁，2023年5月2日，星期三見車就乘的概率為設(shè)x,y分別為甲、乙兩人到達(dá)的時刻,則有解第67頁，講稿共142頁，2023年5月2日，星期三概率的統(tǒng)計定義和古典定義都存在一定的缺點和局限性，有必要尋找概率的統(tǒng)一定義．經(jīng)過長期的研究，到1933年,蘇聯(lián)數(shù)學(xué)家柯爾莫哥洛夫在總結(jié)了前人研究成果基礎(chǔ)上，提出了概率論的公理化結(jié)構(gòu),給出了概率的嚴(yán)格定義,使概率論有了迅速的發(fā)展.§1.6概率的公理化體系第68頁，講稿共142頁，2023年5月2日，星期三第69頁，講稿共142頁，2023年5月2日，星期三概率的可列可加性二.概率的公理化定義第70頁，講稿共142頁，2023年5月2日，星期三第71頁，講稿共142頁，2023年5月2日，星期三證明由概率的可列可加性得三.概率的性質(zhì)第72頁，講稿共142頁，2023年5月2日，星期三概率的有限可加性證明由概率的可列可加性得第73頁，講稿共142頁，2023年5月2日，星期三引例：投擲骰子，觀察點數(shù)，A表示“出現(xiàn)３點”，B表示“出現(xiàn)奇數(shù)點”，求P(A)及已知B發(fā)生的條件下A發(fā)生的概率P(A|B).解：P(A)=1/6,P(B)=1/2,P(AB)=1/6,P(A|B)=1/3,從而P(A)≠P(A|B),但

P(A|B)=P(AB)/P(B)§1.7條件概率與概率乘法定理第74頁，講稿共142頁，2023年5月2日，星期三定理１ABAB證明：利用古典概型來證明．設(shè)樣本空間為Ω包含N個樣本點，A包含M1個樣本點,B包含M2個樣本點，A,B的交包含M個樣本點．則第75頁，講稿共142頁，2023年5月2日，星期三條件概率的性質(zhì)第76頁，講稿共142頁，2023年5月2日，星期三例1

擲兩顆均勻骰子,已知第一顆擲出6點,問“擲出點數(shù)之和不小于10”的概率是多少?解:解:設(shè)A={擲出點數(shù)之和不小于10}B={第一顆擲出6點}應(yīng)用定義第77頁，講稿共142頁，2023年5月2日，星期三定理2乘法定理第78頁，講稿共142頁，2023年5月2日，星期三例2

一盒子裝有4只產(chǎn)品,其中有3只一等品,1只二等品.從中取產(chǎn)品兩次,每次任取一只,作不放回抽樣.設(shè)事件A為“第一次取到的是一等品”,事件B為“第二次取到的是一等品”,試求條件概P(B|A).解第79頁，講稿共142頁，2023年5月2日，星期三由條件概率的公式得第80頁，講稿共142頁，2023年5月2日，星期三例3

某種動物由出生算起活20歲以上的概率為0.8,活到25歲以上的概率為0.4,如果現(xiàn)在有一個20歲的這種動物,問它能活到25歲以上的概率是多少?

設(shè)A表示“能活20歲以上”的事件;B表示“能活25歲以上”的事件,則有解第81頁，講稿共142頁，2023年5月2日，星期三例4

五個鬮,其中兩個鬮內(nèi)寫著“有”字,三個鬮內(nèi)不寫字,五人依次抓取,問各人抓到“有”字鬮的概率是否相同?解則有抓鬮是否與次序有關(guān)?

第82頁，講稿共142頁，2023年5月2日，星期三第83頁，講稿共142頁，2023年5月2日，星期三依此類推故抓鬮與次序無關(guān).第84頁，講稿共142頁，2023年5月2日，星期三1.8全概率公式全概率公式1、全概率公式第85頁，講稿共142頁，2023年5月2日，星期三圖示證明化整為零各個擊破第86頁，講稿共142頁，2023年5月2日，星期三說明

全概率公式的主要用途在于它可以將一個復(fù)雜事件的概率計算問題,分解為若干個簡單事件的概率計算問題,最后應(yīng)用概率的可加性求出最終結(jié)果.第87頁，講稿共142頁，2023年5月2日，星期三例1

有一批同一型號的產(chǎn)品,已知其中由一廠生產(chǎn)的占30%,二廠生產(chǎn)的占50%,三廠生產(chǎn)的占20%,又知這三個廠的產(chǎn)品次品率分別為2%,1%,1%,問從這批產(chǎn)品中任取一件是次品的概率是多少?設(shè)事件A為“任取一件為次品”,解第88頁，講稿共142頁，2023年5月2日，星期三由全概率公式得30%20%50%2%1%1%第89頁，講稿共142頁，2023年5月2日，星期三稱此為貝葉斯公式.

２.貝葉斯公式第90頁，講稿共142頁，2023年5月2日，星期三證明[證畢]第91頁，講稿共142頁，2023年5月2日，星期三例2第92頁，講稿共142頁，2023年5月2日，星期三解第93頁，講稿共142頁，2023年5月2日，星期三(1)由全概率公式得(2)由貝葉斯公式得第94頁，講稿共142頁，2023年5月2日，星期三第95頁，講稿共142頁，2023年5月2日，星期三上題中概率0.95是由以往的數(shù)據(jù)分析得到的,叫做先驗概率.而在得到信息之后再重新加以修正的概率0.97叫做后驗概率.先驗概率與后驗概率第96頁，講稿共142頁，2023年5月2日，星期三解例3第97頁，講稿共142頁，2023年5月2日，星期三由貝葉斯公式得所求概率為即平均1000個具有陽性反應(yīng)的人中大約只有87人患有癌癥.第98頁，講稿共142頁，2023年5月2日，星期三1.條件概率全概率公式貝葉斯公式小結(jié)乘法定理第99頁，講稿共142頁，2023年5月2日，星期三第100頁，講稿共142頁，2023年5月2日，星期三§1.9隨機(jī)事件的獨(dú)立性(一)兩個事件的獨(dú)立性由條件概率，知一般地，這意味著：事件B的發(fā)生對事件A發(fā)生的概率有影響.然而，在有些情形下又會出現(xiàn)：第101頁，講稿共142頁，2023年5月2日，星期三則有1.引例第102頁，講稿共142頁，2023年5月2日，星期三2.定義注.1o說明

事件A與B相互獨(dú)立,是指事件A的發(fā)生與事件B發(fā)生的概率無關(guān).第103頁，講稿共142頁，2023年5月2日，星期三2o獨(dú)立與互斥的關(guān)系這是兩個不同的概念.兩事件相互獨(dú)立兩事件互斥例如二者之間沒有必然聯(lián)系獨(dú)立是事件間的概率屬性互斥是事件間本身的關(guān)系11由此可見兩事件相互獨(dú)立但兩事件不互斥.兩事件相互獨(dú)立兩事件互斥.第104頁，講稿共142頁，2023年5月2日，星期三由此可見兩事件互斥但不獨(dú)立.又如：兩事件相互獨(dú)立.兩事件互斥第105頁，講稿共142頁，2023年5月2日，星期三可以證明：

特殊地，A與B

獨(dú)立A與B

相容(不互斥)

或A與B

互斥A與B

不獨(dú)立證若A與B獨(dú)立,則

即A與B

不互斥(相容).第106頁，講稿共142頁，2023年5月2日，星期三若A與B互斥，則AB=B發(fā)生時，A一定不發(fā)生.這表明:B的發(fā)生會影響A發(fā)生的可能性(造成A不發(fā)生),即B的發(fā)生造成A發(fā)生的概率為零.所以A與B不獨(dú)立.理解:BA第107頁，講稿共142頁，2023年5月2日，星期三3.性質(zhì)(1)必然事件及不可能事件與任何事件A相互獨(dú)立.證∵A=A,P()=1∴P(A)=P(A)=1?P(A)=P()P(A)即與A獨(dú)立.∵A=,P()=0∴P(A)=P()=0=P()P(A)即與A獨(dú)立.第108頁，講稿共142頁，2023年5月2日，星期三(2)若事件A與B相互獨(dú)立,則以下三對事件也相互獨(dú)立.①②③證①注

稱此為二事件的獨(dú)立性關(guān)于逆運(yùn)算封閉.第109頁，講稿共142頁，2023年5月2日，星期三又∵A與B相互獨(dú)立③第110頁，講稿共142頁，2023年5月2日，星期三第111頁，講稿共142頁，2023年5月2日，星期三甲,乙兩人同時向敵人炮擊,已知甲擊中敵機(jī)的概率為0.6,乙擊中敵機(jī)的概率為0.5,求敵機(jī)被擊中的概率.解設(shè)A={甲擊中敵機(jī)}B={乙擊中敵機(jī)}C={敵機(jī)被擊中}依題設(shè),∴A與B不互斥例1

(P(A)+P(B)=1.1>1≥P(A+B))第112頁，講稿共142頁，2023年5月2日，星期三由于甲，乙同時射擊，甲擊中敵機(jī)并不影響乙擊中敵機(jī)的可能性，所以A與B獨(dú)立,進(jìn)而=0.8第113頁，講稿共142頁，2023年5月2日，星期三1.三事件兩兩相互獨(dú)立的概念(二)多個事件的獨(dú)立性定義第114頁，講稿共142頁，2023年5月2日，星期三2.三事件相互獨(dú)立的概念定義第115頁，講稿共142頁，2023年5月2日，星期三

設(shè)A1，A2，…，An為n個事件，若對于任意k(1≤k≤n),及1≤i1<i2<···<ik≤n

3.n個事件的獨(dú)立性定義若事件A1，A2，…，An

中任意兩個事件相互獨(dú)立，即對于一切1≤i<j≤n,有定義第116頁，講稿共142頁，2023年5月2日，星期三注.第117頁，講稿共142頁，2023年5月2日，星期三兩個結(jié)論第118頁，講稿共142頁，2023年5月2日，星期三n個獨(dú)立事件和的概率公式:設(shè)事件相互獨(dú)立,則

也相互獨(dú)立即n個獨(dú)立事件至少有一個發(fā)生的概率等于1減去各自對立事件概率的乘積.結(jié)論的應(yīng)用第119頁，講稿共142頁，2023年5月2日，星期三則“

至少有一個發(fā)生”的概率為

P(A1…An)=1-(1-p1)…(1-pn)若設(shè)n個獨(dú)立事件發(fā)生的概率分別為類似可以得出：至少有一個不發(fā)生”的概率為“=1-p1

…pn

第120頁，講稿共142頁，2023年5月2日，星期三事件的獨(dú)立性在可靠性理論中的應(yīng)用：一個元件的可靠性：該元件正常工作的概率.一個系統(tǒng)的可靠性：由元件組成的系統(tǒng)正常工作的概率.第121頁，講稿共142頁，2023年5月2日，星期三§1.10獨(dú)立試驗序列1.定義(獨(dú)立試驗序列)設(shè){Ei

}(i=1,2,…)是一列隨機(jī)試驗,Ei的樣本空間為i,設(shè)Ak

是Ek中的任一事件,Ak

k,若Ak出現(xiàn)的概率都不依賴于其它各次試驗Ei(ik)的結(jié)果,則稱{Ei

}是相互獨(dú)立的隨機(jī)試驗序列,簡稱獨(dú)立試驗序列.第122頁，講稿共142頁，2023年5月2日，星期三則稱這n次重復(fù)試驗為n重貝努里試驗，簡稱為貝努里概型.若n

次重復(fù)試驗具有下列特點：2.n重貝努利(Bernoulli)試驗1)每次試驗的可能結(jié)果只有兩個A或2)各次試驗的結(jié)果相互獨(dú)立，(在各次試驗中p是常數(shù)，保持不變）第123頁，講稿共142頁，2023年5月2日，星期三