湖南省長(zhǎng)沙市藝方中學(xué)2021-2022學(xué)年高三數(shù)學(xué)理月考試卷含解析

湖南省長(zhǎng)沙市藝方中學(xué)2021-2022學(xué)年高三數(shù)學(xué)理月考試卷含解析一、選擇題：本大題共10小題，每小題5分，共50分。在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有是一個(gè)符合題目要求的1.已知集合,,若，則的值為A．

B．

C．

D．參考答案：B2.已知＜x＜，則tan為A.

B.

C.2

D.參考答案：A略3.如圖所示，邊長(zhǎng)為a的空間四邊形ABCD中，∠BCD＝90°，平面ABD⊥平面BCD，則異面直線AD與BC所成角的大小為（）A.30° B.45° C.60° D.90°參考答案：C【分析】由題意得，，從而，，取中點(diǎn)，連結(jié)，，從而平面，延長(zhǎng)至點(diǎn)，使，連結(jié)，，，則四邊形為正方形，即有，從而（或其補(bǔ)角）即為異面直線與所成角，由此能求出異面直線與所成角的大?。驹斀狻坑深}意得BC＝CD＝a，∠BCD＝90°，∴BD＝，∴∠BAD＝90°，取BD中點(diǎn)O，連結(jié)AO，CO，∵AB＝BC＝CD＝DA＝a，∴AO⊥BD，CO⊥BD，且AO＝BO＝OD＝OC＝，又∵平面ABD⊥平面BCD，平面ABD∩平面BCD＝BD，AO⊥BD，∴AO⊥平面BCD，延長(zhǎng)CO至點(diǎn)E，使CO＝OE，連結(jié)ED，EA，EB，則四邊形BCDE為正方形，即有BC∥DE，∴∠ADE（或其補(bǔ)角）即為異面直線AD與BC所成角，由題意得AE＝a，ED＝a，∴△AED為正三角形，∴∠ADE＝60°，∴異面直線AD與BC所成角的大小為60°．故選：C．【點(diǎn)睛】本題考查異面直線所成角的求法，考查空間中線線、線面、面面間的位置關(guān)系，考查運(yùn)算求解能力，考查空間想象能力，是中檔題．4.如圖所示，在邊長(zhǎng)為1的正方形中任取一點(diǎn)，則點(diǎn)恰好取自陰影部分的概率為A.

B.

C.

D.參考答案：B5.圓x2+y2=1與直線y=kx﹣3有公共點(diǎn)的充分不必要條件是（）A． B． C．k≥2 D．參考答案：B【分析】先求出圓x2+y2=1與直線y=kx﹣3有公共點(diǎn)的等價(jià)條件，然后根據(jù)充分不必要條件的定義進(jìn)行判斷．【解答】解：若直線與圓有公共點(diǎn)，則圓心到直線kx﹣y﹣3=0的距離d=，即，∴k2+1≥9，即k2≥8，∴k或k，∴圓x2+y2=1與直線y=kx﹣3有公共點(diǎn)的充分不必要條件是k，故選：B．【點(diǎn)評(píng)】本題主要考查充分條件和必要的條件的應(yīng)用，利用直線和圓的位置關(guān)系是解決本題的關(guān)鍵．6.已知a，b均為單位向量，其夾角為，有下列四個(gè)命題

，其中真命題是（

）A．

B．

C．

D．參考答案：A略7.若，則（

） 參考答案：C8.在等差數(shù)列中，，則的前11項(xiàng)和（

）A．132

B．66

C.48

D．24參考答案：A設(shè)等差數(shù)列的公差為，則，，，，故選A.

9.設(shè)，，，則，，的大小關(guān)系是（

）A．

B．

C．

D．參考答案：D試題分析：因?yàn)椋?，，所以．故選D．考點(diǎn)：指數(shù)函數(shù)與對(duì)數(shù)函數(shù)的性質(zhì)．10.已知a,b是不共線的向量，=λa+b,=a+μb,(λ,μ∈R），則A、B、C共線的充要條件是（

）

A、λ+μ=1

B、λ-μ=1

C、λμ=1

D、λμ=-1參考答案：C二、填空題:本大題共7小題,每小題4分,共28分11.設(shè)數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和為Sn＝3?2n（n∈N+），數(shù)列{bn}為等差數(shù)列，其前n項(xiàng)和為Tn．若b2＝a5，b10＝S3，則Tn取最大值時(shí)n＝_____．參考答案：17或18【分析】利用Sn和an的關(guān)系求出，根據(jù)條件列出方程組，求出b1和d，由此求得{bn}的通項(xiàng)公式，根據(jù)通項(xiàng)公式得到b18＝0，由此即可求出Tn取最大值時(shí)n的值.【詳解】數(shù)列{an}前n項(xiàng)和為Sn＝3?2n（n∈N+），所以，，，設(shè)數(shù)列{bn}的公差為d，且b2＝a5，b10＝S3，則，解得：b1＝51，d＝﹣3，所以，bn＝51﹣3(n﹣1)＝54﹣3n，當(dāng)n＝18時(shí)，b18＝0，故Tn取最大值時(shí)n＝17或18．故答案為：17或18.【點(diǎn)睛】本題考查Sn和an的關(guān)系以及等差數(shù)列前n項(xiàng)和的最大值問(wèn)題，等差數(shù)列的正負(fù)轉(zhuǎn)折項(xiàng)是其前n項(xiàng)和取得最值的項(xiàng)，注意項(xiàng)為0時(shí)有兩項(xiàng)，屬中檔題.12.某袋中裝有大小相同質(zhì)地均勻的5個(gè)球，其中3個(gè)黑球和2個(gè)白球．從袋中隨機(jī)取出2個(gè)球，記取出白球的個(gè)數(shù)為，則

，

．參考答案：，13.已知角的始邊與x軸的非負(fù)半軸重合，終邊過(guò)點(diǎn)P（-3，4），則sin（）=

▲

．參考答案：14.給出下列命題：①拋物線的準(zhǔn)線方程是；②在進(jìn)制計(jì)算中，③命題：“”是真命題；④已知線性回歸方程，當(dāng)變量增加2個(gè)單位，其預(yù)報(bào)值平均增加4個(gè)單位；⑤設(shè)函數(shù)的最大值為M，最小值為m，則M＋m=4027，其中正確命題的個(gè)數(shù)是

個(gè)。參考答案：4①拋物線的標(biāo)準(zhǔn)方程為，所以其的準(zhǔn)線方程是，正確；②在進(jìn)制計(jì)算中，③命題：“”是真命題，錯(cuò)誤?；?；④已知線性回歸方程，當(dāng)變量增加2個(gè)單位，其預(yù)報(bào)值平均增加4個(gè)單位，正確；⑤因?yàn)樵谏蠁握{(diào)遞增，所以，，所以M＋m=4027。15.已知一組數(shù)據(jù)6，7，8，8，9，10，則該組數(shù)據(jù)的方差是____.參考答案：【分析】由題意首先求得平均數(shù)，然后求解方差即可.【詳解】由題意，該組數(shù)據(jù)的平均數(shù)為，所以該組數(shù)據(jù)的方差是.【點(diǎn)睛】本題主要考查方差的計(jì)算公式，屬于基礎(chǔ)題.

16.等比數(shù)列{an}中，若a1=﹣2，a5=﹣4，則a3=．參考答案：【考點(diǎn)】88：等比數(shù)列的通項(xiàng)公式．【分析】由題意，{an}是等比數(shù)列，a1=﹣2，設(shè)出公比q，表示出a5=﹣4，建立關(guān)系，求q，可得a3的值【解答】解：由題意，{an}是等比數(shù)列，a1=﹣2，設(shè)公比為q，∵a5=﹣4，即﹣2×q4=﹣4，可得：q4=2，則那么a3=故答案為．【點(diǎn)評(píng)】本題考查等比數(shù)列的第3項(xiàng)的求法，是基礎(chǔ)題，解題時(shí)要認(rèn)真審題，注意等比數(shù)列的性質(zhì)的合理運(yùn)用17.直線的傾斜角為，則的值是___________參考答案：3略三、解答題：本大題共5小題，共72分。解答應(yīng)寫(xiě)出文字說(shuō)明，證明過(guò)程或演算步驟18.（本小題滿分12分）已知函數(shù)。（I）求函數(shù)的單調(diào)區(qū)間；（II）設(shè)，求函數(shù)在區(qū)間上的最小值。參考答案：19.（本小題滿分12分）直三棱柱中，，，點(diǎn)D在線段AB上.（I）若平面，確定D點(diǎn)的位置并證明；（II）當(dāng)時(shí)，求二面角的余弦值.參考答案：

所以AC1∥平面B1CD．

………4分（Ⅱ）由，得AC⊥BC，以C為原點(diǎn)建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系C-xyz．

則B(6,0,0)，A(0,8,0)，A1(0,8,8)，B1(6,0,8)．設(shè)D(a,b,0)（，），…5分因?yàn)辄c(diǎn)D在線段AB上，且，即．所以．…7分所以，． 平面BCD的法向量為．設(shè)平面B1CD的法向量為，由，，得，所以，．

…10分

設(shè)二面角的大小為，．所以二面角的余弦值為．……………12分20.設(shè)函數(shù)=（1）證明：2；（2）若，求的取值范圍.參考答案：（2）試題分析：本題第（1）問(wèn)，可由絕對(duì)值不等式的幾何意義得出，從而得出結(jié)論；對(duì)第（2）問(wèn)，由去掉一個(gè)絕對(duì)值號(hào)，然后去掉另一個(gè)絕對(duì)值號(hào)，解出的取值范圍.試題解析：（1）證明：由絕對(duì)值不等式的幾何意義可知：，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)，取等號(hào)，所以.（2）因?yàn)?，所以，解得?【易錯(cuò)點(diǎn)】在應(yīng)用均值不等式時(shí),注意等號(hào)成立的條件:一正二定三相等.考點(diǎn)：本小題主要考查不等式的證明、絕對(duì)值不等式的幾何意義、絕對(duì)值不等式的解法、求參數(shù)范圍等不等式知識(shí)，熟練基礎(chǔ)知識(shí)是解答好本類題目的關(guān)鍵.21.（本小題滿分13分）如圖，已知圓E:，點(diǎn)，P是圓E上任意一點(diǎn)．線段PF的垂直平分線和半徑PE相交于Q．（Ⅰ）求動(dòng)點(diǎn)Q的軌跡的方程；（Ⅱ）設(shè)直線與(Ⅰ)中軌跡相交于兩點(diǎn),直線的斜率分別為(其中)．△的面積為,以為直徑的圓的面積分別為．若恰好構(gòu)成等比數(shù)列,求的取值范圍．參考答案：（13分）（Ⅰ）連結(jié)QF，根據(jù)題意，|QP|＝|QF|，則|QE|＋|QF|＝|QE|＋|QP|＝4，故動(dòng)點(diǎn)Q的軌跡是以E，F(xiàn)為焦點(diǎn)，長(zhǎng)軸長(zhǎng)為4的橢圓．

2分設(shè)其方程為，可知，，則，

3分所以點(diǎn)Q的軌跡的方程為．

4分(Ⅱ)設(shè)直線的方程為，，由可得，由韋達(dá)定理有：

且

6分∵構(gòu)成等比數(shù)列，=，即：由韋達(dá)定理代入化簡(jiǎn)得：．∵，．

8分此時(shí)，即．又由三點(diǎn)不共線得，從而．故

10分∵

則為定值．

12分∴∴當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)等號(hào)成立．綜上：的取值范圍是．

13分22.已知函數(shù)與函數(shù)且圖象關(guān)于對(duì)稱（Ⅰ）若當(dāng)時(shí)，函數(shù)恒有意義，求實(shí)數(shù)a的取值范圍；（Ⅱ）當(dāng)時(shí)，求函數(shù)最小值．參考答案：（Ⅰ）且；（Ⅱ）【分析】（Ⅰ）由題意，求得函數(shù)的解析式為，進(jìn)而得到，再利用對(duì)數(shù)函