平面與空間直線課件

解析幾何的基本思想是用代數(shù)的方法來(lái)研究解決幾何問題，其主要內(nèi)容可示意如下：點(diǎn)坐標(biāo)軌跡第一章第二章方程曲線曲面平面與直線一般曲面一般曲線普通參數(shù)方程與關(guān)系第三章第四章常見曲面和二次曲面第五章二次曲線的一般理論第三章平面與空間直線3.1、平面的方程3.2、平面與點(diǎn)的相關(guān)位置3.3、兩平面的相關(guān)位置3.4、空間直線的方程3.5、直線與平面的相關(guān)位置3.6、空間兩直線的相關(guān)位置3.7、空間直線與點(diǎn)的相關(guān)位置3.8、平面束§3.1平面的方程一、由平面上一點(diǎn)與平面的方位向量決定的平面的方程二、平面的一般方程三、平面的法式方程一、由平面上一點(diǎn)與平面的方位向量決定的平面的方程1.平面的向量式參數(shù)方程2.平面的坐標(biāo)式參數(shù)方程3.平面的點(diǎn)位式方程4.平面的三點(diǎn)式方程5.平面的截距式方程1、方位向量

在空間給定一個(gè)點(diǎn)M0與兩個(gè)不共線的向量a,b，則通過點(diǎn)M0且與a,b平行的平面就被唯一確定。向量a,b稱為平面的方位向量。

顯然，任何一對(duì)與平面平行的不共線向量都可作為平面的方位向量。bxyzaM0MOr0r2、平面的向量式參數(shù)方程在空間，取標(biāo)架{O；e1,e2,e3},并設(shè)點(diǎn)M0的向徑OM0=r0,平面上的任意一點(diǎn)M的向徑為OM=r

,顯然M0M=ua+vb又因?yàn)镸0M=r-r0所以r-r0=ua+vb即r=r0+ua+vb（3.1-1）方程（3.1-1）稱為平面的向量式參數(shù)方程

，其中u，v為參數(shù)

。bxyzaM0MOr0r點(diǎn)M在平面上的充要條件為向量M0M與a,b共面，因?yàn)閍,b不共線，所以這個(gè)共面的條件可寫成：3、平面的坐標(biāo)式參數(shù)方程若設(shè)M0，M的坐標(biāo)分別為(x0,y0,z0),(x,y,z),則r0={x0,y0,z0},r={x,y,z}并設(shè)a={X1,Y1,Z1},b={X2,Y2,Z2}則由（3.1-1）可得（3.1-2）式稱為平面的坐標(biāo)式參數(shù)方程,其中u，v為參數(shù)。在（3.1-1）或r-r0=ua+vb兩邊與a×b作數(shù)量積，消去參數(shù)u，v得（r-r0，a，b）=0，（3.1-3）從（3.1-2）中消去參數(shù)得(3.1-1),(3.1-2),(3.1-3),(3.1-4)都叫做平面的點(diǎn)位式方程。4、平面的點(diǎn)位式方程注意：點(diǎn)位式方程要找兩個(gè)條件1、平面上的一個(gè)點(diǎn)2、平行于平面且不共線的兩個(gè)向量例1、已知不共線的三點(diǎn)M1(x1,y1,z1),M2(x2,y2,z2),M3(x3,y3,z3),求過這三點(diǎn)的平面的方程。解：r2-r1=M1M2={x2-x1,y2-y1,z2-z1},(1)因此，平面的向量式參數(shù)方程為r=r1+u(r2-r1)+v(r3-r1)(3)坐標(biāo)式參數(shù)方程為設(shè)M(x,y,z)是平面上任意一點(diǎn)，已知點(diǎn)為Mi的徑向?yàn)閞i=OMi，則可取方位向量為r3-r1=M1M3={x3-x1,y3-y1,z3-z1},(2)從（3），（4）中分別消去參數(shù)u,v可得：（r-r1,r2-r1,r3-r1)=0（5）(5)式可改寫為或(3)(4)(5)(6)(7)都叫做平面的三點(diǎn)式方程。平面為將三點(diǎn)坐標(biāo)代入得解方程兩邊同除以方程得平面的截距式方程特別地，若平面與三坐標(biāo)軸的交點(diǎn)分別為M1(a,0,0)M2(0,b,0),M3(0,0,c),其中abc≠0,則平面的方程為稱為平面的截距式方程。其中a,b,c分別稱為平面在三坐標(biāo)軸上的截距。xzyM1M2M3o由平面的點(diǎn)法式方程平面的一般方程法向量二、平面的一般式方程？即任一平面表示（A,B,C不同時(shí)為零）不妨設(shè)，則，為一平面.上一頁(yè)下一頁(yè)返回平面一般式方程的幾種特殊情況：平面通過坐標(biāo)原點(diǎn)；平面通過軸；平面平行于軸；平面平行于坐標(biāo)面；類似地可討論情形.類似地可討論情形.平面的一般方程上一頁(yè)下一頁(yè)返回2.平面一般方程的幾種特殊情形(1)過原點(diǎn)的平面方程由于O(0,0,0)滿足方程,所以D=0.于是,過原點(diǎn)的平面方程為:Ax+By+Cz=0(2)平行于坐標(biāo)軸的方程（ＡＢＣ中一為零）考慮平行于x軸的平面Ax+By+Cz+D=0,它的法向量n={A,B,C}與x軸上的單位向量i={1,0,0}垂直,所以n·i=A·1+B·0+C·0=

A=0于是:平行于x軸的平面方程是

By+Cz+D=0;平行于y軸的平面方程是

Ax+Cz+D=0;

平行于z軸的平面方程是

Ax+By+D=0.特別:D=0時(shí),平面過坐標(biāo)軸.(3)平行于坐標(biāo)面的平面方程（ＡＢＣ中兩個(gè)為零）平行于xOy面的平面方程是平行于xOz面的平面方程是平行于yOz面的平面方程是Cz+D=0;By+D=0;Ax+D=0二、平面的法式方程

如果一非零向量垂直于一平面，這向量就叫做該平面的法向量．法向量的特征：垂直于平面內(nèi)的任一向量．1.法向量:注:1對(duì)平面π,法向量n不唯一;2平面π的法向量n與π

上任一向量垂直.如果在空間給定一點(diǎn)和一個(gè)非零向量n，那么通過點(diǎn)與向量垂直的平面也唯一的被確定。2.平面的法式方程設(shè)平面π過定點(diǎn)M0(x0,

y0,z0),且有法向量n={A,B,C}.對(duì)于平面上任一點(diǎn)M(x,

y,z),向量M0M與n垂直.條件等價(jià)于

yxzM0MnOn

M0M=0而M0M={xx0,yy0,zz0},得:A(xx0)+B(yy0)+C(zz0)=0稱方程(3.1-12)為平面的點(diǎn)法式方程.(3.1-12)（3.1-11）例:求過點(diǎn)(2,3,0)且以n={1,2,3}為法向量的平面的方程.解:根據(jù)平面的點(diǎn)法式方程(3.1-12),可得平面方程為:1(x2)2(y+3)+3(z0)=0即:x2y+3z8=0設(shè)平面為由平面過原點(diǎn)知所求平面方程為解上一頁(yè)下一頁(yè)返回設(shè)平面為將三點(diǎn)坐標(biāo)代入得解上一頁(yè)下一頁(yè)返回將代入所設(shè)方程得平面的截距式方程上一頁(yè)下一頁(yè)返回設(shè)平面為由所求平面與已知平面平行得（向量平行的充要條件）解上一頁(yè)下一頁(yè)返回化簡(jiǎn)得令代入體積式所求平面方程為或上一頁(yè)返回例6、已知兩點(diǎn)M1(1,-2,3),M2(3,0,-1)，求線段的垂直平分面的方程。解：因?yàn)槭噶縈1M2={2，2，-4}=2{1，1，-2}垂直于平面，所以平面的一個(gè)法矢量為n={1,1,-2}.又所求平面過點(diǎn)M1M2的中點(diǎn)M0(2,-1,1)，故平面的點(diǎn)法式方程為(x-2)+(y+1)-2(z-1)=0整理得x+y-2z+1=0nM3M2M1解:先找出該平面的法向量n.由于n與向量M1M2,M1M3都垂直.而M1M2={3,4,6}M1M3={2,3,1}可取n=M1M2M1M3=14i+9j

k例7:求過三點(diǎn)M1(2,1,4),M2(1,3,2)和M3(0,2,3)的平面的方程.所以,所求平面的方程為:14(x2)+9(y+1)(z4)=0即:14x+9yz15=0例8:已知平面過點(diǎn)M0(1,2,3),且平行于平面2x3y+4z1=0,求其方程.解:所求平面與已知平面有相同的法向量n={23,4}2(x+1)3(y2)+4(z3)=0即:2x3y+4z4=0取法向量化簡(jiǎn)得所求平面方程為解例10求過點(diǎn)且平行于z軸的平面方程解一用點(diǎn)法式設(shè)所求平面的法向量為，則由點(diǎn)法式得，所求平面的方程為即解二用一般式因平面平行于z軸，故可設(shè)平面方程為在平面上解得所求平面方程為即例11:求通過x軸和點(diǎn)(4,3,1)的平面方程.解:由于平面過x軸,所以A=D=0.設(shè)所求平面的方程是By+Cz=0又點(diǎn)(4,3,1)在平面上,所以3BC=0

C=3B所求平面方程為By

3Bz=0即:y

3z=0

若平面上的一點(diǎn)特殊地取自原點(diǎn)O向平面所引垂線的垂足P，而的法向量取單位向量，設(shè)，那么由點(diǎn)P和法向量

決定的平面π的方程為：如果設(shè)r={x,y,z},平面的坐標(biāo)式方程，簡(jiǎn)稱法式方程為zxyopMn0rπ（3.1-13）叫做平面的向量式法式方程.(3.1-13)式中r是平面上任意點(diǎn)M的向徑。因?yàn)樗陨鲜娇蓪懗?3.1-14)在上述條件下我們來(lái)推導(dǎo)平面的向量式法式方程：取是平面上的單位法向量則有：規(guī)定：如果點(diǎn)不在平面上則平面的法向量方向?yàn)榈姆较?如果點(diǎn)在平面上則任取平面的一個(gè)方向?yàn)榉ň€向量的正向。xyopMn0rπ向量式法式方程2、設(shè)向量式的法式方程就變?yōu)椋簞t1、設(shè)

則坐標(biāo)式法式方程此處為故大于零,且向量垂直于平面，且是原點(diǎn)到平面的距離xyopMn0rπ一般方程與坐標(biāo)式法式方程的互化平面的法式方程是具有下列兩個(gè)特征的一種一般方程：①一次項(xiàng)的系數(shù)是單位法向量的坐標(biāo)，它們的平方和等于1；②因?yàn)閜是原點(diǎn)O到平面π的距離，所以常數(shù)根據(jù)平面的法式方程的兩個(gè)特征，我們不難把平面的一般方程(3.1-10),即Ax+By+Cz+D=0化為平面的法式方程.一般方程為：只要在左右兩方同時(shí)乘以數(shù)選定符號(hào)后叫法式化因子則：一般方程可以寫成：與向量式的法式方程比較可以發(fā)現(xiàn)：1、把改為

2、把根據(jù)符號(hào)改成符號(hào)：1、時(shí)取符號(hào)為負(fù)

2、時(shí)取符號(hào)為正取

乘平面的一般方程Ax+By+Cz+D=0

可得法式方程

其中的正負(fù)號(hào)的選取與常數(shù)項(xiàng)D(D≠0)相反的符號(hào),當(dāng)D=0時(shí)它的符號(hào)可以任意選取,這是因?yàn)?/p>

在取定符號(hào)后叫做法式化因子在直角坐標(biāo)系下，平面的一般方程的系數(shù)為法向量的坐標(biāo)并且等于原點(diǎn)到平面的距離。平面的一般方程乘上取定符號(hào)的λ以后，便可得到平面的法式方程，這個(gè)變形就是方程的法式化.

解因?yàn)锳=3，B=-2，C=6，D=14>0所以取法式化因子將已知的一般方程乘上λ，即得法式方程原點(diǎn)指向平面π的單位法向量為它的方向余弦為原點(diǎn)O到平面π的距離為p=2.作業(yè)：P10535（1）6（1）811§3.2平面與點(diǎn)的相關(guān)位置Contents一、點(diǎn)與平面的距離二、平面劃分空間問題，三元一次不等式的幾何意義一、點(diǎn)與平面的距離1.點(diǎn)與平面的離差2.點(diǎn)與平面之間的距離1.

點(diǎn)與平面的離差定義3.2.1一點(diǎn)與平面上的點(diǎn)之間的最短距離，叫做該點(diǎn)與平面之間的距離。π容易看到其實(shí)離差的絕對(duì)值就是點(diǎn)到平面的距離.離差的符號(hào)：（1）當(dāng)且僅當(dāng)位于平面π的單位法向量所指向的一側(cè)，即與同向時(shí)，離差δ>0;（2）當(dāng)位于平面π的單位法向量所指向的另一側(cè)，即與反向時(shí)，離差δ<0;（3）當(dāng)在平面上時(shí)離差為0.PR證明P點(diǎn)P0

到平面Ax

+By

+Cz

+D=0的距離:(3.2-4)推論22.點(diǎn)與平面的距離設(shè)P0(x0,y0,z0)是平面Ax+By+Cz+D=0外一點(diǎn)，求點(diǎn)P0到平