新北師大版8.1直線的傾斜角與斜率直線的方程學案

第一節(jié)直線的傾斜角與斜率、直線的方程【考試要求】，結合具體圖形，，，掌握直線方程的幾種形式(點斜式、兩點式及一般式)，了解斜截式與一次函數的關系．1．一次函數的圖象與直線的方程一般地，一次函數y＝kx＋b(k≠0)的圖象是一條直線，它是以滿足y＝kx＋b的每一對x，y值為坐標的點構成的，同時函數解析式y(tǒng)＝kx＋b可以看作二元一次方程．2．直線的傾斜角定義在平面直角坐標系中，對于一條與x軸相交的直線l，把x軸(正方向)按逆時針方向繞著交點旋轉到和直線l首次重合時所成的角，稱為直線l的傾斜角規(guī)定當直線l和x軸平行或重合時，規(guī)定它的傾斜角為0記法α圖示范圍[0，π)作用在平面直角坐標系中，直線的傾斜角刻畫了直線的傾斜程度，傾斜角越接近eq\f(π,2)，傾斜程度越大如圖，在直線l上任取兩個不同的點P1(x1，y1)，P2(x2，y2)，記Δx＝x2－x1(Δx≠0)，Δy＝y(tǒng)2－y1，則在直線l上點P1平移到點P2，相當于在橫軸上改變了Δx，即橫坐標的改變量為Δx，在縱軸上改變了Δy，即縱坐標的改變量為Δy.因此，比值k＝eq\f(Δy,Δx)反映了直線l的傾斜程度．由圖可知，k＝eq\f(Δy,Δx)的大小與兩點P1，P2在直線上的位置無關，稱k＝eq\f(y2－y1,x2－x1)(其中x1≠x2)為經過不同兩點P1(x1，y1)，P2(x2，y2)的直線l的斜率．4．直線的斜率與傾斜角、方向向量的關系(1)傾斜角不是eq\f(π,2)的直線，它的斜率k和它的傾斜角α滿足k＝tanα(其中α≠eq\f(π,2)，0≤α＜π).(2)結合正切函數的圖象與性質，發(fā)現(xiàn)斜率k與傾斜角α有如下關系：圖示傾斜角(范圍)α＝0eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(0，\f(π,2)))α＝eq\f(π,2)eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(π,2)，π))斜率(范圍)k＝0k>0不存在k<0(3)如圖，在直線l上任取兩個不同的點P1(x1，y1)，P2(x2，y2).向量eq\o(P1P2,\s\up6(→))是直線l的方向向量，它的坐標是(x2－x1，y2－y1)，直線的傾斜角α、斜率k、方向向量eq\o(P1P2,\s\up6(→))分別從不同角度刻畫一條直線相對于平面直角坐標系中x軸的傾斜程度，它們之間的關系是k＝eq\f(y2－y1,x2－x1)＝tanα(其中x1≠x2).若k是直線l的斜率，則v＝(1，k)是它的一個方向向量；若直線l的一個方向向量的坐標為(x，y)，其中x≠0，則它的斜率k＝eq\f(y,x).5．直線方程的五種形式名稱方程適用范圍點斜式y(tǒng)－y0＝k(x－x0)不含直線x＝x0斜截式y(tǒng)＝kx＋b不含垂直于x軸的直線兩點式eq\f(y－y1,y2－y1)＝eq\f(x－x1,x2－x1)不含直線x＝x1(x1≠x2)和直線y＝y(tǒng)1(y1≠y2)截距式eq\f(x,a)＋eq\f(y,b)＝1不含垂直于坐標軸和過原點的直線一般式Ax＋By＋C＝0(A2＋B2≠0)平面直角坐標系內的直線都適用點法式A(x－x0)＋B(y－y0)＝0平面直角坐標系內的直線都適用[常用結論]1．直線傾斜角和斜率的關系不是傾斜角越大，斜率k就越大，因為k＝tanα，當α∈eq\b\lc\[\rc\)(\a\vs4\al\co1(0，\f(π,2)))時，α越大，斜率k就越大，同樣α∈eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(π,2)，π))時也是如此，但當α∈[0，π)且α≠eq\f(π,2)時就不是了．2．謹防3種失誤(1)應用“點斜式”和“斜截式”方程時，要注意討論斜率是否存在．(2)應用“截距式”方程時要注意討論直線是否過原點，截距是否為0.(3)應用一般式Ax＋By＋C＝0確定直線的斜率時注意討論B是否為0.[思考辨析]判斷下列結論是否正確(請在括號中打“√”或“×”)(1)根據直線的傾斜角的大小不能確定直線的位置．()(2)若直線的斜率為tanα，則其傾斜角為α.()(3)斜率相等的兩直線的傾斜角不一定相等．()(4)經過定點A(0，b)的直線都可以用方程y＝kx＋b表示.()答案：(1)√(2)×(3)×(4)×[對點查驗]1．若過點M(－2，m)，N(m，4)的直線的斜率等于1，則m的值為()A．1 B．4C．1或3 D．1或4A由題意得eq\f(m－4,－2－m)＝1，解得mA.2．過點A(6，－4)，斜率為－eq\f(4,3)的直線方程為()A．4x－3y－12＝0 B．4x＋3y＋12＝0C．4x＋3y－12＝0 D．4x－3y＋12＝0C由于直線的斜率k＝－eq\f(4,3)，且過點A(6，－4)，根據直線方程的點斜式得直線方程為y＋4＝－eq\f(4,3)(x－6)，即4x＋3yC.3．已知直線斜率的絕對值等于1，則直線的傾斜角為．答案eq\f(π,4)或eq\f(3π,4)解析由|k|＝|tanα|＝1知tanα＝±1，∴α＝eq\f(π,4)或eq\f(3π,4).4．過點P(2，3)且在兩坐標軸上截距相等的直線方程為．答案3x－2y＝0或x＋y－5＝0解析當截距為0時，直線方程為3x－2y＝0；當截距不為0時，設直線方程為eq\f(x,a)＋eq\f(y,a)＝1，則eq\f(2,a)＋eq\f(3,a)＝1，解得ax＋y－5＝0.5．過直線l：y＝x上的點P(2，2)作直線m，若直線l，m與x軸圍成的三角形的面積為2，則直線m的方程為．答案x－2y＋2＝0或x＝2解析①若直線m的斜率不存在，則直線m的方程為x＝2，直線m，直線l和x軸圍成的三角形的面積為2，符合題意；②若直線m的斜率k＝0，則直線m與x軸沒有交點，不符合題意；③若直線m的斜率k≠0，設其方程為y－2＝k(x－2)，令y＝0，得x＝2－eq\f(2,k)，依題意有eq\f(1,2)×eq\b\lc\|\rc\|(\a\vs4\al\co1(2－\f(2,k)))×2＝2，即eq\b\lc\|\rc\|(\a\vs4\al\co1(1－\f(1,k)))＝1，解得k＝eq\f(1,2)，所以直線m的方程為y－2＝eq\f(1,2)(x－2)，即x－2y，直線m的方程為x－2y＋2＝0或x＝2.考點一直線的傾斜角與斜率(1)(2022·全國模擬)已知直線l的方程為xsinα＋eq\r(3)y－1＝0，α∈R，則直線l的傾斜角范圍是()A．eq\b\lc\(\rc\](\a\vs4\al\co1(0，\f(π,3)))∪eq\b\lc\[\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(2,3)π，π)) B．eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(0，\f(π,6)))∪eq\b\lc\[\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(5π,6)，π))C．eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(0，\f(π,6)))∪eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(5π,6)，π)) D．eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(0，\f(π,3)))∪eq\b\lc\[\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(2π,3)，π))B由直線l的方程為xsinα＋eq\r(3)y－1＝0，所以y＝－eq\f(sinα,\r(3))x＋eq\f(1,\r(3))，即直線的斜率k＝－eq\f(sinα,\r(3))，由－1≤sinα≤1.所以－eq\f(\r(3),3)≤k≤eq\f(\r(3),3)，又直線的傾斜角的取值范圍為[0，π)，由正切函數的性質可得：直線的傾斜角為eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(0，\f(π,6)))∪eq\b\lc\[\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(5π,6)，π)).故選B.(2)設直線l的方程是x＋By－4＝0傾斜角為α.若eq\f(π,6)<α<eq\f(3π,4)，則B的取值范圍是()A.(－eq\f(\r(3),3)，1) B．eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\r(3)，1))C．eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\r(3)，0))∪(0，1) D．(－∞，－eq\f(\r(3),3))∪(1，＋∞)B∵直線l的方程是x＋By－4＝0傾斜角為α，當α＝eq\f(π,2)時，直線l的斜率不存在，則B＝0；當α≠eq\f(π,2)時，tanα＝－eq\f(1,B).若eq\f(π,6)<α<eq\f(π,2)，則tanα＝－eq\f(1,B)>eq\f(\r(3),3)，求得－eq\r(3)<B<0；若eq\f(π,2)<α<eq\f(3π,4)，則tanα＝－eq\f(1,B)<－1，求得0<B<1.綜上可得，B的取值范圍為(－eq\r(3)，1).故選B.(3)(2022·安陽模擬)已知點A(1，3)，B(－2，－1).若直線l：y＝k(x－2)＋1與線段AB相交，則k的取值范圍是()A．k≥eq\f(1,2) B．k≤－2C．k≥eq\f(1,2)或k≤－2 D．－2≤k≤eq\f(1,2)D直線l：y＝k(x－2)＋1經過定點P(2，1)，∵kPA＝eq\f(3－1,1－2)＝－2，kPB＝eq\f(－1－1,－2－2)＝eq\f(1,2)，又直線l：y＝k(x－2)＋1與線段AB相交，∴－2≤k≤eq\f(1,2).故選D.思維升華(1)斜率的兩種求法：定義法、斜率公式法．(2)傾斜角和斜率范圍求法：①圖形觀察(數形結合)；②充分利用函數k＝tanα的單調性．對點強化1(1)(2022·湖南師大附中期末)已知直線l：(2＋a)x＋(a－1)y－3a＝0在x軸上的截距的取值范圍是(－3，3)，則其斜率的取值范圍是()A．－1<k<eq\f(1,5) B．k>1或k<eq\f(1,2)C．k>eq\f(1,5)或k<1 D．k>eq\f(1,2)或k<－1D已知直線l：(2＋a)x＋(a－1)y－3a＝0，所以(x＋y－3)a＋2x－yeq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(x＋y－3＝0,2x－y＝0))?eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(x＝1,y＝2))，所以直線l過點A(1，2)，由題知，在x軸上的截距取值范圍是(－3，3)，所以直線端點的斜率分別為：eq\f(2－0,1－3)＝－1，eq\f(2－0,1＋3)＝eq\f(1,2)，如圖：∴k>eq\f(1,2)或kD.(2)(2022·全國模擬)直線x＋ycosθ－5＝0的傾斜角α的取值范圍是．答案eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(\f(π,4)，\f(3π,4)))解析若cosθ＝0，則直線方程為x＝5，即傾斜角α＝eq\f(π,2)；若cosθ≠0，則直線方程為y＝－eq\f(1,cosθ)x＋eq\f(5,cosθ)，即tanα＝－eq\f(1,cosθ)，∵cosθ∈[－1，0)∪(0，1]，∴－eq\f(1,cosθ)≤－1或－eq\f(1,cosθ)≥1，即tanα≤－1或tanα≥1，解得α∈eq\b\lc\[\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(π,4)，\f(π,2)))∪eq\b\lc\(\rc\](\a\vs4\al\co1(\f(π,2)，\f(3π,4)))，綜上可得α∈eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(\f(π,4)，\f(3π,4))).考點二求直線的方程1．(2022·江蘇模擬)已知直線a1x＋b1y＋1＝0和直線a2x＋b2y＋1＝0都過點A(2，1)，則過點P1(a1，b1)和點P2(a2，b2)的直線方程是()A．2x＋y＋1＝0 B．2x－y＋1＝0C．2x＋y－1＝0 D．x＋2y＋1＝0A把A(2，1)坐標代入兩條直線方程a1x＋b1y＋1＝0和a2x＋b2y＋1＝0，得2a1＋b1＋1＝0，2a2＋b2∴2(a1－a2)＝b2－b1，過點P1(a1，b1)，P2(a2，b2)的直線的方程是：eq\f(y－b1,b2－b1)＝eq\f(x－a1,a2－a1)，∴y－b1＝－2(x－a1)，則2x＋y－(2a1＋b1)＝0，∵2a1＋b1＋1＝0，∴2a1＋b1＝－1，∴所求直線方程為：2x＋yA.2．經過兩條直線l1：x＋y＝2，l2：2x－y＝1的交點，且直線的一個方向向量v＝(－3，2)的直線方程為．答案2x＋3y－5＝0解析聯(lián)立eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(x＋y＝2，,2x－y＝1，))解得x＝1，y＝1，∴直線過點(1，1)，∵直線的方向向量v＝(－3，2)，∴直線的斜率k＝－eq\f(2,3).則直線的方程為y－1＝－eq\f(2,3)(x－1)，即2x＋3y－5＝0.3．若直線經過點A(－5，2)，且在x軸上的截距等于在y軸上的截距的2倍，則該直線的方程為．答案x＋2y＋1＝0或2x＋5y＝0解析①當橫截距、縱截距均為零時，設所求的直線方程為y＝kx，將(－5，2)代入y＝kx中，得k＝－eq\f(2,5)，此時，直線方程為y＝－eq\f(2,5)x，即2x＋5y＝0.②當橫截距、縱截距都不為零時，設所求直線方程為eq\f(x,2a)＋eq\f(y,a)＝1，將(－5，2)代入所設方程，解得a＝－eq\f(1,2)，此時，直線方程為x＋2y＋1＝0.綜上所述，所求直線方程為x＋2y＋1＝0或2x＋5y＝0.4．過點P(3，0)作直線l，使它被兩條相交直線2x－y－2＝0和x＋y＋3＝0所截得的線段AB恰好被P點平分，求直線l的方程．解設直線l與直線2x－y－2＝0交于點A(x1，y1).∵點P(3，0)是線段AB的中點，由中點坐標公式得B點的坐標為(6－x1，－y1)，∴eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(2x1－y1－2＝0,（6－x1）＋（－y1）＋3＝0))，解得eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(x1＝\f(11,3),y1＝\f(16,3))).由兩點式直線方程得直線l的方程為eq\f(y－\f(16,3),0－\f(16,3))＝eq\f(x－\f(11,3),3－\f(11,3))，即8x－y－24＝0.思維升華(1)求直線方程一般有以下兩種方法：①直接法：由題意確定出直線方程的適當形式，然后直接寫出其方程．②待定系數法：先由直線滿足的條件設出直線方程，方程中含有待定的系數，再由題設條件求出待定系數，即得所求直線方程．(2)在求直線方程時，應選擇適當的形式，并注意各種形式的適用條件，特別是對于點斜式、截距式方程，使用時要注意分類討論思想的運用．考點三直線方程的綜合應用命題點1直線過定點問題(2022·上海高三專題練習)對任意的實數a，b，直線(a＋2b)x＋(2b－a)y＋a－6b＝0恒經過的一個定點的坐標是．答案(1，2)解析由直線(a＋2b)x＋(2b－a)y＋a－6b＝0整理得a(x－y＋1)＋2b(x＋y－3)＝0對任意的實數a，b，直線(a＋2b)x＋(2b－a)y＋a－6b＝0恒經過的一個定點．所以eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(x－y＋1＝0,x＋y－3＝0))，解得eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(x＝1,y＝2))即直線(a＋2b)x＋(2b－a)y＋a－6b＝0恒過定點(1，2)命題點2與直線有關的多邊形面積的最值已知直線l過點M(2，1)，且分別與x軸的正半軸，y軸的正半軸交于A，B兩點，O為原點，當△AOB面積最小時，求直線l的方程．解法一設直線l的方程為y－1＝k(x－2)，則可得Aeq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(2k－1,k)，0))，B(0，1－2k).∵與x軸，y軸正半軸分別交于A，B兩點，∴eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(\f(2k－1,k)>0，,1－2k>0))?k<0.于是S△AOB＝eq\f(1,2)·|OA|·|OB|＝eq\f(1,2)·eq\f(2k－1,k)·(1－2k)＝eq\f(1,2)eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(4－\f(1,k)－4k))≥eq\f(1,2)eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(4＋2\r(\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(1,k)))·（－4k）)))＝4.當且僅當－eq\f(1,k)＝－4k，即k＝－eq\f(1,2)時，△AOB面積有最小值為4，此時，直線l的方程為y－1＝－eq\f(1,2)(x－2)，即x＋2y－4＝0.法二設所求直線l的方程為eq\f(x,a)＋eq\f(y,b)＝1(a>0，b>0)，則eq\f(2,a)＋eq\f(1,b)＝1.又∵eq\f(2,a)＋eq\f(1,b)≥2eq\r(\f(2,ab))?eq\f(1,2)ab≥4，當且僅當eq\f(2,a)＝eq\f(1,b)＝eq\f(1,2)，即a＝4，b＝2時，△AOB面積S＝eq\f(1,2)ab有最小值為4.此時，直線l的方程是eq\f(x,4)＋eq\f(y,2)＝1.[引申探究]本例中，當|MA|·|MB|取得最小值時，求直線l的方程．解法一由本例知Aeq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(2k－1,k)，0))，B(0，1－2k)(k<0).∴|MA|·|MB|＝eq\r(\f(1,k2)＋1)·eq\r(4＋4k2)＝2eq\f(1＋k2,|k|)＝2eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(（－k）＋\f(1,（－k）)))≥4.當且僅當－k＝－eq\f(1,k)，即k＝－1時取等號．此時直線l的方程為x＋y－3＝0.法二由本例知A(a，0)，B(0，b)，a>0，b>0，eq\f(2,a)＋eq\f(1,b)＝1.∴|MA|·|MB|＝|eq\o(MA,\s\up6(→))|·|eq\o(MB,\s\up6(→))|＝－eq\o(MA,\s\up6(→))·eq\o(MB,\s\up6(→))＝－(a－2，