特殊平行四邊形提高訓練

/特殊平行四邊形提高訓練一．選擇題〔共16小題1．〔2016?靈璧縣一模如圖所示.矩形ABCD中.AE平分∠BAD交BC于E.∠CAE=15°.則下面的結(jié)論：①△ODC是等邊三角形；②BC=2AB；③∠AOE=135°；④S△AOE=S△COE.其中正確結(jié)論有〔A．1個 B．2個 C．3個 D．4個2．〔2016?XX一模如圖.在矩形AOBC中.點A的坐標〔﹣2.1.點C的縱坐標是4.則B、C兩點的坐標分別是〔A．〔.、〔﹣.4 B．〔.3、〔﹣.4 C．〔.3、〔﹣.4 D．〔.、〔﹣.43．〔2016?石峰區(qū)模擬矩形ABCD中.AB=2.AD=1.點M在邊CD上.若AM平分∠DMB.則DM的長是〔A． B． C． D．4．〔2016?姜堰區(qū)校級模擬矩形ABCD中.AB=4.BC=8.矩形CEFG上的點G在CD邊.EF=a.CE=2a.連接BD、BF、DF.則△BDF的面積是〔A．32 B．16 C．8 D．16+a25．〔2016?燈塔市二模如圖.在矩形ABCD中.AB=3.DC=2.O是AD的中點.連接OB、OC.點E在線段BC上〔點E不與點B、C重合.過點E作EM⊥OB于M.EN⊥OC于N.則EM+EN的值為〔A．6 B．1.5 C． D．6．〔2016?肥城市二模已知一個菱形的周長是20cm.兩條對角線的比是4：3.則這個菱形的面積是〔A．12cm2 B．96cm2 C．48cm2 D．24cm27．〔2015?XX過矩形ABCD的對角線AC的中點O作EF⊥AC.交BC邊于點E.交AD邊于點F.分別連接AE、CF．若AB=.∠DCF=30°.則EF的長為〔A．2 B．3 C． D．8．〔2016?天津一模如圖.菱形ABCD的對角線AC、BD相交于點O.AC=8.BD=6.過點O作OH⊥AB.垂足為H.則點O到邊AB的距離OH等于〔A．2 B． C． D．9．〔2016?和縣一模如圖.菱形ABCD中.點O對角線AC的三等分點.連接OB、OD.且OB=OC=OD．已知AC=3.那么菱形的邊長為〔A． B．2 C． D．10．〔2016?XX模擬如圖.在菱形ABCD中.對角線AC.BD相交于點O.點E為BC的中點.則下列等式中一定成立的是〔A．AB=BE B．AC=2AB C．AB=2OE D．AC=2OE11．〔2015?西城區(qū)二模如圖.將正方形OABC放在平面直角坐標系xOy中.O是原點.若點A的坐標為〔1..則點C的坐標為〔A．〔.1 B．〔﹣1. C．〔﹣.1 D．〔﹣.﹣112．〔2015?桐廬縣模擬如圖.在正方形ABCD中.對角線AC=6.點P是對角線AC上的一點.過點P作PF⊥AD.PE⊥CD.則PF+PE的值為〔A．3 B．3 C．2 D．613．〔2015?XX二模如圖.在矩形ABCD中.AD=2AB.E、F分別是AD、BC的中點.連接AF與BE、CE與DF分別交于點M、N兩點.則四邊形EMFN是〔A．正方形 B．菱形 C．矩形 D．無法確定14．〔2015春?石林縣期末如圖.在正方形ABCD的外側(cè).作等邊三角形ADE.連接CE.與對角線BD交于F.則∠BFC為〔A．75° B．70° C．65° D．60°15．〔2015?鐵力市二模如圖.點P是正方形ABCD的對角線BD上一點.PE⊥BC于點E；PF⊥CD于點F.連接EF.給出下列五個結(jié)論：①AP=EF；②AP⊥EF；③∠PFE=∠BAP；④PD=EC；⑤PB2+PD2=2PA2.正確的有〔個．A．5 B．4 C．3 D．216．〔2015?XX模擬如圖.E是邊長為1的正方形ABCD的對角線BD上一點.且BE=BC.P為CE上任意一點.PQ⊥BC于點Q.PR⊥BE于點R.則PQ+PR的值是〔A． B． C． D．二．解答題〔共11小題17．〔2016?XX模擬如圖.矩形ABCD.E、F在AB、CD上.且EF∥AD.M為EF的中點.連接AM、DM.求證：AM=DM．18．〔2016?市南區(qū)一模已知：如圖.在矩形ABCD中.點E在邊AD上.點F在邊BC上.且AE=CF.作EG∥FH.分別與對角線BD交于點G、H.連接EH.FG．〔1求證：△BFH≌△DEG；〔2連接DF.若BF=DF.則四邊形EGFH是什么特殊四邊形？證明你的結(jié)論．19．〔2016春?XX校級月考已知：如圖.BE、BF分別是∠ABC與它的鄰補角∠ABD的平分線.AE⊥BE.垂足為點E.AF⊥BF.垂足為點F.EF分別交邊AB、AC于點M和N．求證：〔1四邊形AFBE是矩形；〔2MN=BC．20．〔2016?XX模擬如圖.在△ABC中.D是BC邊的中點.F.E分別是AD及其延長線上的點.CF∥BE.連結(jié)BF.CE．〔1求證：四邊形BFCE是平行四邊形；〔2當邊AB、AC滿足什么條件時.四邊形BECF是菱形？并說明理由．21．〔2016?XX模擬已知：如圖.在菱形ABCD中.F為邊BC的中點.DF與對角線AC交于點M.過M作ME⊥CD于點E.∠1=∠2．〔1若CE=2.求BC的長；〔2求證：ME=AM﹣DF．22．〔2016?東平縣一模如圖.在△ABC中.∠ABC=90°.BD為AC的中線.過點C作CE⊥BD于點E.過點A作BD的平行線.交CE的延長線于點F.在AF的延長線上截取FG=BD.連接BG、DF．〔1求證：BD=DF；〔2求證：四邊形BDFG為菱形；〔3若AG=13.CF=6.求四邊形BDFG的周長．23．〔2016?南崗區(qū)模擬如圖.在正方形ABCD中.點E在對角線AC上.點F在邊BC上.連接BE、DF.DF交對角線AC于點G.且DE=DG．〔1求證：AE=CG；〔2試判斷BE和DF的位置關(guān)系.并說明理由．24．〔2016?XX校級二模如圖.在四邊形ABCD中.AB=BC.對角線BD平分∠ABC.P是BD上一點.過點P作PM⊥AD.PN⊥CD.垂足分別為M.N．〔1求證：點A與C關(guān)于直線BD對稱．〔2若∠ADC=90°.求證四邊形MPND為正方形．25．〔2015?滕州市模擬已知：如圖.正方形ABCD中.點E在BC的延長線上.AE分別交DC.BD于F.G.點H為EF的中點．求證：〔1∠DAG=∠DCG；〔2GC⊥CH．26．〔2016春?丹陽市校級月考如圖.已知正方形ABCD的對角線AC、BD相交于點O.E是AC上的一點.過點A作AG⊥BE.垂足為G.AG交BD于點F．〔1試說明OE=OF；〔2當AE=AB時.過點E作EH⊥BE交AD邊于H.找出與△AHE全等的一個三角形加以證明.〔3在〔2的條件下若該正方形邊長為1.求AH的長．27．〔2015?荊州如圖1.在正方形ABCD中.P是對角線BD上的一點.點E在AD的延長線上.且PA=PE.PE交CD于F．〔1證明：PC=PE；〔2求∠CPE的度數(shù)；〔3如圖2.把正方形ABCD改為菱形ABCD.其他條件不變.當∠ABC=120°時.連接CE.試探究線段AP與線段CE的數(shù)量關(guān)系.并說明理由．特殊平行四邊形提高訓練參考答案與試題解析一．選擇題〔共16小題1．〔2016?靈璧縣一模如圖所示.矩形ABCD中.AE平分∠BAD交BC于E.∠CAE=15°.則下面的結(jié)論：①△ODC是等邊三角形；②BC=2AB；③∠AOE=135°；④S△AOE=S△COE.其中正確結(jié)論有〔A．1個 B．2個 C．3個 D．4個[分析]根據(jù)矩形性質(zhì)求出OD=OC.根據(jù)角求出∠DOC=60°即可得出三角形DOC是等邊三角形.求出AC=2AB.即可判斷②.求出∠BOE=75°.∠AOB=60°.相加即可求出∠AOE.根據(jù)等底等高的三角形面積相等得出S△AOE=SCOE．[解答]解：∵四邊形ABCD是矩形.∴∠BAD=90°.OA=OC.OD=OB.AC=BD.∴OA=OD=OC=OB.∵AE平分∠BAD.∴∠DAE=45°.∵∠CAE=15°.∴∠DAC=30°.∵OA=OD.∴∠ODA=∠DAC=30°.∴∠DOC=60°.∵OD=OC.∴△ODC是等邊三角形.∴①正確；∵四邊形ABCD是矩形.∴AD∥BC.∠ABC=90°∴∠DAC=∠ACB=30°.∴AC=2AB.∵AC＞BC.∴2AB＞BC.∴②錯誤；∵AD∥BC.∴∠DBC=∠ADB=30°.∵AE平分∠DAB.∠DAB=90°.∴∠DAE=∠BAE=45°.∵AD∥BC.∴∠DAE=∠AEB.∴∠AEB=∠BAE.∴AB=BE.∵四邊形ABCD是矩形.∴∠DOC=60°.DC=AB.∵△DOC是等邊三角形.∴DC=OD.∴BE=BO.∴∠BOE=∠BEO=〔180°﹣∠OBE=75°.∵∠AOB=∠DOC=60°.∴∠AOE=60°+75°=135°.∴③正確；∵OA=OC.∴根據(jù)等底等高的三角形面積相等得出S△AOE=SCOE.∴④正確；故選C．2．〔2016?XX一模如圖.在矩形AOBC中.點A的坐標〔﹣2.1.點C的縱坐標是4.則B、C兩點的坐標分別是〔A．〔.、〔﹣.4 B．〔.3、〔﹣.4 C．〔.3、〔﹣.4 D．〔.、〔﹣.4[分析]如過點A、B作x軸的垂線垂足分別為F、M．過點C作y軸的垂線交FA、根據(jù)△AOF∽△CAE.△AOF≌△BCN.△ACE≌△BOM解決問題．[解答]解：如圖過點A、B作x軸的垂線垂足分別為F、M．過點C作y軸的垂線交FA、∵點A坐標〔﹣2.1.點C縱坐標為4.∴AF=1.FO=2.AE=3.∵∠EAC+∠OAF=90°.∠OAF+∠AOF=90°.∴∠EAC=∠AOF.∵∠E=∠AFO=90°.∴△AEC∽△OFA.∴.∴EC=.∴點C坐標〔﹣.4.∵△AOF≌△BCN.△AEC≌△BMO.∴CN=2.BN=1.BM=MN﹣BN=3.BM=AE=3.OM=EC=.∴點B坐標〔.3.故選C．3．〔2016?石峰區(qū)模擬矩形ABCD中.AB=2.AD=1.點M在邊CD上.若AM平分∠DMB.則DM的長是〔A． B． C． D．[分析]由矩形的性質(zhì)得出CD=AB=2.AB∥CD.BC=AD=1.∠C=90°.由平行線的性質(zhì)得出∠BAM=∠AMD.再由角平分線證出∠BAM=∠AMB.得出MB=AB=2.由勾股定理求出CM.即可得出DM的長．[解答]解：∵四邊形ABCD是矩形.∴CD=AB=2.AB∥CD.BC=AD=1.∠C=90°.∴∠BAM=∠AMD.∵AM平分∠DMB.∴∠AMD=∠AMB.∴∠BAM=∠AMB.∴BMB=AB=2.∴CM===.∴DM=CD﹣CM=2﹣；故選：D．4．〔2016?姜堰區(qū)校級模擬矩形ABCD中.AB=4.BC=8.矩形CEFG上的點G在CD邊.EF=a.CE=2a.連接BD、BF、DF.則△BDF的面積是〔A．32 B．16 C．8 D．16+a2[分析]根據(jù)兩個矩形面積之和加上三角形DGF面積.減去△ABD面積與△BEF面積.求出△BDF面積即可．[解答]解：根據(jù)題意得：△BDF的面積=8×4+2a?a+×2a〔4﹣a﹣×8×4﹣a〔2a+8=32+2a2+4a﹣a2﹣16﹣a2﹣4a=16；故選：B．5．〔2016?燈塔市二模如圖.在矩形ABCD中.AB=3.DC=2.O是AD的中點.連接OB、OC.點E在線段BC上〔點E不與點B、C重合.過點E作EM⊥OB于M.EN⊥OC于N.則EM+EN的值為〔A．6 B．1.5 C． D．[分析]連接OE.由矩形的性質(zhì)得出CD=AB=3.AD=BC=2.∠A=∠D=90°.由勾股定理得出OB=OC=.由△OBE的面積+△OCE的面積=△OBC的面積.即可得出結(jié)果．[解答]解：連接OE.如圖所示：∵四邊形ABCD是矩形.∴CD=AB=3.AD=BC=2.∠A=∠D=90°.∵O是AD的中點.∴AO=DO=1.∴OB=OC==.∵△OBE的面積+△OCE的面積=△OBC的面積.∴OB?EM+OC?EN=BC?AB.∴〔EM+EN×=×2×3.解得：EM+EN=；故選：D．6．〔2016?肥城市二模已知一個菱形的周長是20cm.兩條對角線的比是4：3.則這個菱形的面積是〔A．12cm2 B．96cm2 C．48cm2 D．24cm2[分析]先求出菱形的邊長.然后設(shè)菱形的兩對角線分別為8x.6x.根據(jù)菱形的對角線垂直平分求出兩對角線的一半.再利用勾股定理列式求出x.從而得到對角線的長.然后根據(jù)菱形的面積等于對角線乘積的一半列式進行計算即可得解．[解答]解：∵菱形的周長是20cm.∴邊長為20÷4=5cm.∵兩條對角線的比是4：3.∴設(shè)菱形的兩對角線分別為8x.6x.根據(jù)菱形的性質(zhì)可知.菱形的對角線互相垂直平分.則對角線的一半分別為4x.3x.根據(jù)勾股定理得.〔4x2+〔3x2=52.解得x=1.所以.兩對角線分別為8cm.6cm.所以.這個菱形的面積=×8×6=24cm2．故選：D．7．〔2015?XX過矩形ABCD的對角線AC的中點O作EF⊥AC.交BC邊于點E.交AD邊于點F.分別連接AE、CF．若AB=.∠DCF=30°.則EF的長為〔A．2 B．3 C． D．[分析]求出∠ACB=∠DAC.然后利用"角角邊"證明△AOF和△COE全等.根據(jù)全等三角形對應邊相等可得OE=OF.再根據(jù)對角線互相垂直平分的四邊形是菱形得到四邊形AECF是菱形.再求出∠ECF=60°.然后判斷出△CEF是等邊三角形.根據(jù)等邊三角形的三條邊都相等可得EF=CF.根據(jù)矩形的對邊相等可得CD=AB.然后求出CF.從而得解．[解答]解：∵矩形對邊AD∥BC.∴∠ACB=∠DAC.∵O是AC的中點.∴AO=CO.在△AOF和△COE中..∴△AOF≌△COE〔ASA.∴OE=OF.又∵EF⊥AC.∴四邊形AECF是菱形.∵∠DCF=30°.∴∠ECF=90°﹣30°=60°.∴△CEF是等邊三角形.∴EF=CF.∵AB=.∴CD=AB=.∵∠DCF=30°.∴CF=÷=2.∴EF=2．故選A．8．〔2016?天津一模如圖.菱形ABCD的對角線AC、BD相交于點O.AC=8.BD=6.過點O作OH⊥AB.垂足為H.則點O到邊AB的距離OH等于〔A．2 B． C． D．[分析]因為菱形的對角線互相垂直平分.菱形的四邊相等.根據(jù)面積相等.可求出OH的長．[解答]解：∵四邊形ABCD是菱形.AC=8.BD=6.∴BO=3.AO=4.AO⊥BO.∴AB==5．∵OH⊥AB.∴AO?BO=AB?OH.∴OH=.故選D．9．〔2016?和縣一模如圖.菱形ABCD中.點O對角線AC的三等分點.連接OB、OD.且OB=OC=OD．已知AC=3.那么菱形的邊長為〔A． B．2 C． D．[分析]由菱形的性質(zhì)得出AB=BC.得出∠BAC=∠ACB.由已知條件得出OB=OC=AC=1.由等腰三角形的性質(zhì)得出△BOC∽△ABC.得出對應邊成比例.即可求出菱形的邊長．[解答]解：∵四邊形ABCD是菱形.∴AB=BC.∴∠BAC=∠ACB.∵點O對角線AC的三等分點.∴OB=OC=AC=1.∴∠BAC=∠ACB=∠OBC.∴△BOC∽△ABC.所以.即.∴BA2=3.∴BA=；故選：A．10．〔2016?XX模擬如圖.在菱形ABCD中.對角線AC.BD相交于點O.點E為BC的中點.則下列等式中一定成立的是〔A．AB=BE B．AC=2AB C．AB=2OE D．AC=2OE[分析]由菱形的性質(zhì)以及三角形中位線定理逐項分析即可．[解答]解：∵點E為BC的中點.∴CE=BE=BC.∵AB=BC.∴AB=2BE.故選項A錯誤；∵在菱形ABCD中.對角線AC.BD相交于點O.∴AO=CO=AC.∴OE是△ABC的中位線.∴OE=AB.故選項C正確；∵AC≠AB≠BC.∴AC≠2AB≠2OE.故選項B.D錯誤.故選C．11．〔2015?西城區(qū)二模如圖.將正方形OABC放在平面直角坐標系xOy中.O是原點.若點A的坐標為〔1..則點C的坐標為〔A．〔.1 B．〔﹣1. C．〔﹣.1 D．〔﹣.﹣1[分析]作AD⊥軸于D.作CE⊥x軸于E.則∠ADO=∠OEC=90°.得出∠1+∠2=90°.由正方形的性質(zhì)得出OC=AO.∠1+∠3=90°.證出∠3=∠2.由AAS證明△OCE≌△AOD.OE=AD=.CE=OD=1.即可得出結(jié)果．[解答]解：作AD⊥軸于D.作CE⊥x軸于E.如圖所示：則∠ADO=∠OEC=90°.∴∠1+∠2=90°.∵點A的坐標為〔1..∴OD=1.AD=.∵四邊形OABC是正方形.∴∠AOC=90°.OC=AO.∴∠1+∠3=90°.∴∠3=∠2.在△OCE和△AOD中..∴△OCE≌△AOD〔AAS.∴OE=AD=.CE=OD=1.∴點C的坐標為〔﹣.1；故選：C．12．〔2015?桐廬縣模擬如圖.在正方形ABCD中.對角線AC=6.點P是對角線AC上的一點.過點P作PF⊥AD.PE⊥CD.則PF+PE的值為〔A．3 B．3 C．2 D．6[分析]由正方形的性質(zhì)得出∠PAF=∠PCE=45°.證出△APF和△CPE是等腰直角三角形.得出PF=AP.PE=PC.即可得出結(jié)論．[解答]解：∵四邊形ABCD是正方形.∴∠BAD=∠BCD=90°.∠PAF=∠PCE=45°.∵PF⊥AD.PE⊥CD.∴△APF和△CPE是等腰直角三角形.∴PF=AP.PE=PC.∴PF+PE=〔AP+PC=AC=3；故選：A．13．〔2015?XX二模如圖.在矩形ABCD中.AD=2AB.E、F分別是AD、BC的中點.連接AF與BE、CE與DF分別交于點M、N兩點.則四邊形EMFN是〔A．正方形 B．菱形 C．矩形 D．無法確定[分析]利用矩形的性質(zhì)與判定方法得出四邊形EMFN是矩形.進而利用等腰直角三角形的性質(zhì)得出AM=ME.BM=MF=AM.則ME=MF.進而求出即可．[解答]解：∵四邊形ABCD為矩形.∴AD∥BC.AD=BC.∠EAB=∠ABF=∠BCD=∠CDA=90°.又∵E.F分別為AD.BC中點.AD=2AB.∴AE∥BF.ED∥CF.AE=BF=DE=CF=AB=DC.∴∠ABE=∠AEB=∠DEC=∠DCE=∠DFC=45°.∴∠BEN=90°.又∵DEBF.AEFC.∴四邊形EMFN是矩形.∴AM⊥BE.BM⊥AF.∴AM=ME.BM=MF=AM.∴ME=MF.∴四邊形EMFN是正方形．故選：A．14．〔2015春?石林縣期末如圖.在正方形ABCD的外側(cè).作等邊三角形ADE.連接CE.與對角線BD交于F.則∠BFC為〔A．75° B．70° C．65° D．60°[分析]由于四邊形ABCD是正方形.△ADE是正三角形.由此可以得到CD=DE.接著利用正方形和正三角形的內(nèi)角的性質(zhì)即可求解．[解答]解：∵四邊形ABCD是正方形.∴∠ADC=90°.AD=DC.又∵△ADE是正三角形.∴CD=DE.∠ADE=60°.∴△CDE是等腰三角形.∠CDE=90°+60°=150°.∴∠ECD=∠DEC=15°.∵∠BDC=45°.∴∠CFD=180°﹣15°﹣45°=120°.∴∠BFC=60°.故選D15．〔2015?鐵力市二模如圖.點P是正方形ABCD的對角線BD上一點.PE⊥BC于點E；PF⊥CD于點F.連接EF.給出下列五個結(jié)論：①AP=EF；②AP⊥EF；③∠PFE=∠BAP；④PD=EC；⑤PB2+PD2=2PA2.正確的有〔個．A．5 B．4 C．3 D．2[分析]根據(jù)正方形的性質(zhì)與正方形關(guān)于對角線對稱可得所給選項的正誤．[解答]解：①正確.連接PC.可得PC=EF.PC=PA.∴AP=EF；②正確；延長AP.交EF于點N.則∠EPN=∠BAP=∠PCE=∠PFE.可得AP⊥EF；③正確；∠PFE=∠PCE=∠BAP；④錯誤.PD=PF=CE；⑤正確.PB2+PD2=2PA2．故選B．16．〔2015?XX模擬如圖.E是邊長為1的正方形ABCD的對角線BD上一點.且BE=BC.P為CE上任意一點.PQ⊥BC于點Q.PR⊥BE于點R.則PQ+PR的值是〔A． B． C． D．[分析]連接BP.利用面積法求解.PQ+PR的值等于C點到BE的距離.即正方形對角線的一半．[解答]解：連接BP.過C作CM⊥BD.∵S△BCE=S△BPE+S△BPC=BC×PQ×+BE×PR×=BC×〔PQ+PR×=BE×CM×.BC=BE.∴PQ+PR=CM.∵BE=BC=1.且正方形對角線BD=BC=.又∵BC=CD.CM⊥BD.∴M為BD中點.又△BDC為直角三角形.∴CM=BD=.即PQ+PR值是．故選：D．二．解答題〔共11小題17．〔2016?XX模擬如圖.矩形ABCD.E、F在AB、CD上.且EF∥AD.M為EF的中點.連接AM、DM.求證：AM=DM．[分析]由矩形的性質(zhì)得出AE∥DF.∠BAD=90°.再由EF∥AD.證出四邊形AEFD是矩形.得出AE=DF.∠AEM=∠DFM=90°.由SAS證明△AEM≌△DFM.得出對應邊相等即可．[解答]證明：∵四邊形ABCD是矩形.∴AE∥DF.∠BAD=90°.∵EF∥AD.∴四邊形AEFD是矩形.∴AE=DF.∠AEM=∠DFM=90°.∵M為EF的中點.∴EM=FM.在△AEM和△DFM中..∴△AEM≌△DFM〔SAS.∴AM=DM．18．〔2016?市南區(qū)一模已知：如圖.在矩形ABCD中.點E在邊AD上.點F在邊BC上.且AE=CF.作EG∥FH.分別與對角線BD交于點G、H.連接EH.FG．〔1求證：△BFH≌△DEG；〔2連接DF.若BF=DF.則四邊形EGFH是什么特殊四邊形？證明你的結(jié)論．[分析]〔1由平行四邊形的性質(zhì)得出AD∥BC.AD=BC.OB=OD.由平行線的性質(zhì)得出∠FBH=∠EDG.∠OHF=∠OGE.得出∠BHF=∠DGE.求出BF=DE.由AAS即可得出結(jié)論；〔2先證明四邊形EGFH是平行四邊形.再由等腰三角形的性質(zhì)得出EF⊥GH.即可得出四邊形EGFH是菱形．[解答]〔1證明：∵四邊形ABCD是平行四邊形.∴AD∥BC.AD=BC.OB=OD.∴∠FBH=∠EDG.∵AE=CF.∴BF=DE.∵EG∥FH.∴∠OHF=∠OGE.∴∠BHF=∠DGE.在△BFH和△DEG中..∴BFH≌△DEG〔AAS；〔2解：四邊形EGFH是菱形；理由如下：連接DF.如圖所示：由〔1得：BFH≌△DEG.∴FH=EG.又∵EG∥FH.∴四邊形EGFH是平行四邊形.∵BF=DF.OB=OD.∴EF⊥BD.∴EF⊥GH.∴四邊形EGFH是菱形．19．〔2016春?XX校級月考已知：如圖.BE、BF分別是∠ABC與它的鄰補角∠ABD的平分線.AE⊥BE.垂足為點E.AF⊥BF.垂足為點F.EF分別交邊AB、AC于點M和N．求證：〔1四邊形AFBE是矩形；〔2MN=BC．[分析]〔1由BE、BE是角平分線可得∠EBF是90°.進而由條件中的兩個垂直可得兩個直角.可得四邊形AEBF是矩形；〔2由矩形的F質(zhì)可得∠2=∠5進而利用角平分線的性質(zhì)可得∠1=∠5.可得ME∥BC.進而可得N為AC中點.根據(jù)三角形中位線性質(zhì)求出即可．[解答]證明：〔1∵BE、BF分別是△ABC中∠B及它的外角的平分線.∴∠1=∠2.∠3=∠4.∵∠1+∠2+∠3+∠4=180°.∴∠2+∠3=90°.∵AE⊥BE.E為垂足.AF⊥BF.F為垂足.∴∠AFB=∠AEB=90°.∴四邊形AEBF為矩形；〔2∵四邊形AEBF為矩形.∴BM=MA=ME.∴∠2=∠5.∵∠2=∠1.∴∠1=∠5.∴ME∥BC.∵M是AB的中點.∴N為AC的中點.∴MN=BC．20．〔2016?XX模擬如圖.在△ABC中.D是BC邊的中點.F.E分別是AD及其延長線上的點.CF∥BE.連結(jié)BF.CE．〔1求證：四邊形BFCE是平行四邊形；〔2當邊AB、AC滿足什么條件時.四邊形BECF是菱形？并說明理由．[分析]〔1由已知各件.據(jù)AAS很容易證得：△BDE≌△CDF；〔2連接BF、CE.由AB=AC.D是BC邊的中點.可知AD⊥BC.易證得△BFD≌△CFD.可得BF=CF；又因為〔1中△BDE≌△CDF得ED=FD.所以EF、BC互相垂直平分.根據(jù)菱形的性質(zhì).可得四邊形BECF是菱形．[解答]〔1證明：∵在△ABC中.D是BC邊的中點.∴BD=CD.∵CF∥BE.∴∠CFD=∠BED.在△CFD和△BED中..∴△CFD≌△BED〔AAS.∴CF=BE.∴四邊形BFCE是平行四邊形；〔2解：當AB=AC時.四邊形BECF是菱形；理由如下：∵AB=AC.D是BC邊的中點.∴AD⊥BC.∴EF⊥BC.∴四邊形BECF是菱形．21．〔2016?XX模擬已知：如圖.在菱形ABCD中.F為邊BC的中點.DF與對角線AC交于點M.過M作ME⊥CD于點E.∠1=∠2．〔1若CE=2.求BC的長；〔2求證：ME=AM﹣DF．[分析]〔1根據(jù)菱形的性質(zhì)可得CB=CD.AB∥CD.然后再證明∠2=∠ACD.根據(jù)等角對等邊可得MC=MD.根據(jù)等腰三角形三線合一的性質(zhì)可得CD=2CE=4.進而可得BC=4．〔2延長DF.BA交于G.首先證明△CEM≌△CFM可得ME=MF.然后再證明△CDF≌△BGF可得DF=GF.然后證明∠1=∠G.根據(jù)等角對等邊可得GM=CM.利用線段的和差關(guān)系可得結(jié)論．[解答]〔1解：∵四邊形ABCD是菱形.∴CB=CD.AB∥CD.∴∠1=∠ACD．∵∠1=∠2.∴∠2=∠ACD.∴MC=MD．∵ME⊥CD.∴CD=2CE=4.∴BC=CD=4；〔2證明：如圖.延長DF.BA交于G.∵四邊形ABCD是菱形.∴∠BCA=∠DCA．∵BC=2CF.CD=2CE.∴CE=CF．在△CEM和△CFM中..∴△CEM≌△CFM〔SAS.∴ME=MF．∵AB∥CD.∴∠2=∠G.∠GBF=∠BCD.∵F為邊BC的中點.∵CF=BF.在△CDF和△BGF中..∴△CDF≌△BGF〔AAS.∴DF=GF．∵∠1=∠2.∠G=∠2.∴∠1=∠G.∴AM=GM=MF+GF=DF+ME.即ME=AM﹣DF．22．〔2016?東平縣一模如圖.在△ABC中.∠ABC=90°.BD為AC的中線.過點C作CE⊥BD于點E.過點A作BD的平行線.交CE的延長線于點F.在AF的延長線上截取FG=BD.連接BG、DF．〔1求證：BD=DF；〔2求證：四邊形BDFG為菱形；〔3若AG=13.CF=6.求四邊形BDFG的周長．[分析]〔1先可判斷四邊形BGFD是平行四邊形.再由直角三角形斜邊中線等于斜邊一半.可得BD=FD；〔2由鄰邊相等可判斷四邊形BGFD是菱形；〔3設(shè)GF=x.則AF=13﹣x.AC=2x.在Rt△ACF中利用勾股定理可求出x的值．[解答]〔1證明：∵∠ABC=90°.BD為AC的中線.∴BD=AC.∵AG∥BD.BD=FG.∴四邊形BGFD是平行四邊形.∵CF⊥BD.∴CF⊥AG.又∵點D是AC中點.∴DF=AC.∴BD=DF；〔2證明：∵BD=DF.∴四邊形BGFD是菱形.〔3解：設(shè)GF=x.則AF=13﹣x.AC=2x.∵在Rt△ACF中.∠CFA=90°.∴AF2+CF2=AC2.即〔13﹣x2+62=〔2x2.解得：x=5.∴四邊形BDFG的周長=4GF=20．23．〔2016?南崗區(qū)模擬如圖.在正方形ABCD中.點E在對角線AC上.點F在邊BC上.連接BE、DF.DF交對角線AC于點G.且DE=DG．〔1求證：AE=CG；〔2試判斷BE和DF的位置關(guān)系.并說明理由．[分析]〔1先證∠AED=∠CGD.再證明△ADE≌△CDG.根據(jù)全等三角形的對應邊相等即可得出結(jié)論；〔2先證明△AEB≌△CGD.得出對應角相等∠AEB=∠CGD.得出∠AEB=∠EGF.即可證出平行線．[解答]解：〔1證明：在正方形ABCD中.∵AD=CD.∴∠DAE=∠DCG.∵DE=DG.∴∠DEG=∠DGE.∴∠AED=∠CGD．在△AED和△CGD中.∴△AED≌△CGD〔AAS.∴AE=CG．〔2解法一：BE∥DF.理由如下：在正方形ABCD中.AB∥CD.∴∠BAE=∠DCG．在△AEB和△CGD中.∴△AEB≌△CGD〔SAS.∴∠AEB=∠CGD．∵∠CGD=∠EGF.∴∠AEB=∠EGF.∴BE∥DF．解法二：BE∥DF.理由如下：在正方形ABCD中.∵AD∥FC.∴=．∵CG=AE.∴AG=CE．又∵在正方形ABCD中.AD=CB.∴=．又∵∠GCF=∠ECB.∴△CGF∽△CEB.∴∠CGF=∠CEB.∴BE∥DF．24．〔2016?XX校級二模如圖.在四邊形ABCD中.AB=BC.對角線BD平分∠ABC.P是BD上一點.過點P作PM⊥AD.PN⊥CD.垂足分別為M.N．〔1求證：點A與C關(guān)于直線BD對稱．〔2若∠ADC=90°.求證四邊形MPND為正方形．[分析]〔1首先根據(jù)角平分線的定義求出∠ABD=∠CBD.然后在△ABD和△CBD中.根據(jù)SAS證明兩個三角形全等.進而得到∠ADB=∠CDB.AD=CD.根據(jù)等腰三角形的性質(zhì)可得BD垂直平分AC.進而可得點A與C關(guān)于直線BD對稱；〔2首先證明四邊形PMDN是矩形.再根據(jù)角平分線上的點到角兩邊的距離相等可得PM=PN.進而可得四邊形MPND為正方形．[解答]證明：〔1連接AC.∵BD平分∠ABC.∴∠ABD=∠CBD.在△ABD和△CBD中..∴△ABD≌△CBD〔SAS.∴∠ADB=∠CDB.DA=DC.∴BD垂直平分AC.∴點A與C關(guān)于直線BD對稱；〔2∵PM⊥AD.PN⊥CD.∴∠PMD=∠PND=90°.∵∠ADC=90°.∴四邊形PMDN是矩形.∵∠ADB=∠CDB.∴BD平分∠ADC.∵PM⊥AD.PN⊥CD.∴PM=PN.∴四邊形MPND為正方形．25．〔2015?滕州市模擬已知：如圖.正方形ABCD中.點E在BC的延長線上.AE分別交DC.BD于F.G.點H為EF的中點．求證：〔1∠DAG=∠DCG；〔2GC⊥CH．[分析]〔1要證明∠DAG=∠DCG.需把兩角放到兩三角形中.證明兩三角形△ADG與△CDG全等得到.全等的方法是：由ABCD為正方形.得到AD與DC相等.∠ADB與∠CDB相等.再加上公共邊DG.利用"SAS"得到全等.利用全等三角形的對應角相等得證；〔2要證明GC與CH垂直.需證∠GCH=90°.即∠FCH+∠DCG=90°.方法是：由正方形的對邊AD與BE平行.根據(jù)兩直線平行.內(nèi)錯角相等得到∠DAF與∠E相等.由〔1得到的∠DAG與∠DCG相等.等量代換得到∠E與∠DCG相等.再由CH為直角三角形ECF斜邊上的中線.得到CH與HE相等都等于斜邊EF的一半.根據(jù)"等邊對等角"得到∠E與∠HCE相等.又∠FCH+∠DCG等于90°.等量代換得到∠FCH+∠DCG=90°.即∠GCH=90°.得證．[解答]證明：〔1∵ABCD為正方形.∴AD=DC.∠ADC=90°.∠ADB=∠CDB=45°.又DG=DG.∴△ADG≌△CDG.∴∠DAG=∠DCG；〔2∵ABCD為正方形.∴AD∥BE.∴∠DAG=∠E.又∠DAG=∠DCG.∴∠E=∠DCG.∵H為直角三角形CEF斜邊EF邊的中點.∴CH=HE=EF.∴∠HCE=∠E.∴∠DCG=∠HCE.又∠FCH+∠HCE=90°.∴∠FCH+∠DCG