2022-2023學(xué)年浙江省麗水市高一（下）期末數(shù)學(xué)試卷（含解析）

第=page11頁，共=sectionpages11頁2022-2023學(xué)年浙江省麗水市高一（下）期末數(shù)學(xué)試卷一、單選題（本大題共8小題，共40.0分。在每小題列出的選項中，選出符合題目的一項）1.已知i是虛數(shù)單位，復(fù)數(shù)i(1?A.1+2i B.1?2i2.已知向量a=(1,2)，b=(coA.?12 B.?2 C.13.甲、乙兩人進(jìn)行射擊比賽，甲的中靶概率為0.4，乙的中靶概率為0.5，則兩人各射擊一次，恰有一人中靶的概率是(

)A.0.2 B.0.4 C.0.5 D.0.94.演講比賽共有9位評委分別給出某選手的原始評分，評定該選手的成績時，從9個原始評分中去掉1個最高分、1個最低分，得到7個有效評分.7個有效評分與9個原始評分相比，不變的數(shù)字特征是(

)A.中位數(shù) B.平均數(shù) C.方差 D.極差5.某中學(xué)組織三個年級的學(xué)生進(jìn)行黨史知識競賽.經(jīng)統(tǒng)計，得到前200名學(xué)生分布的扇形圖(如圖)和前200名中高一學(xué)生排名分布的頻率條形圖(如圖)，則下列命題錯誤的是(

)

A.成績前200名的學(xué)生中，高一人數(shù)比高二人數(shù)多30人

B.成績前100名的學(xué)生中，高一人數(shù)不超過50人

C.成績前50名的學(xué)生中，高三人數(shù)不超過32人

D.成績第51名到第100名的學(xué)生中，高二人數(shù)比高一人數(shù)多6.如圖，A、B、C三點在半徑為1的圓O上運動，且AC⊥BC，M是圓O外一點，OM=2A.5

B.8

C.10

D.127.一個袋中有大小和質(zhì)地相同的4個球，其中有2個紅球和2個白球，從中一次性隨機(jī)摸出2個球，則下列說法正確的是(

)A.“恰好摸到1個紅球”與“至少摸到1個白球”是互斥事件

B.“恰好沒摸到紅球”與“至多摸到1個白球”是對立事件

C.“至少摸到1個紅球”的概率大于“至少摸到1個白球”的概率

D.“恰好摸到2個紅球”與“恰好摸到2個白球”是相互獨立事件8.將函數(shù)f(x)=sinωx(ω>0)的圖象向右平移π3ω個單位得到函數(shù)y=gA.(0,33π) B.二、多選題（本大題共4小題，共20.0分。在每小題有多項符合題目要求）9.已知復(fù)數(shù)z=a+bi(A.|z|2=a2+b210.已知m，n是異面直線，α，β是不同的平面，m⊥α，n⊥β，直線l滿足l⊥mA.α/?/β B.α⊥β11.已知a,b是單位向量，則下列命題正確的是(

)A.若a=(?32,t)，則t=12

B.若a,b不共線，則(a+b)⊥(12.如圖，矩形BDEF所在平面與正方形ABCD所在平面互相垂直，BD=2，DA.不存在點P，使得直線DP/?/平面ACF

B.直線DP與BC所成角余弦值的取值范圍是[0,105]

C.直線

三、填空題（本大題共6小題，共30.0分）13.若圓錐的母線長為2，軸截面是等腰直角三角形，則該圓錐的體積是______．14.已知tanα=2，則s15.如圖，平面四邊形ABCD的斜二測直觀圖是等腰梯形A′B′C′D′

16.如圖，測量河對岸的塔高AB，可以選取與塔底B在同一水平面內(nèi)的兩個基點C和D進(jìn)行測量，現(xiàn)測得CD=28米，∠CBD=30°，在點C和D測得塔頂A的仰角分別為45°

17.如圖，從正四面體的4個頂點處截去4個相同的正四面體，得到一個由正三角形與正六邊形構(gòu)成的多面體.若該多面體的表面積是143，則該多面體外接球的表面積是______．

18.趙爽是我國古代數(shù)學(xué)家，大約在公元222年，他為《周髀算經(jīng)》一書作序時，介紹了“勾股圓方圖”，亦稱“趙爽弦圖”(由4個全等的直角三角形再加上中間的一個小正方形組成).類比“趙爽弦圖”，可構(gòu)造如圖所示的圖形，它是由3個全等的三角形與中間一個小等邊三角形拼成的一個較大的等邊三角形，設(shè)AD=λAB+μAC，若A四、解答題（本大題共5小題，共60.0分。解答應(yīng)寫出文字說明，證明過程或演算步驟）19.(本小題12.0分)

杭州2022年第19屆亞運會將于2023年9月23日至10月8日舉行.隨著亞運會的臨近，亞運會的熱度持續(xù)提升.為讓更多的人了解亞運會運動項目和亞運精神，某大學(xué)舉辦了亞運會知識競賽，并從中隨機(jī)抽取了100名學(xué)生的成績，繪制成如圖所示的頻率分布直方圖．

(1)試根據(jù)頻率分布直方圖求出這100名學(xué)生中成績低于60分的人數(shù)；

(2)試估計這100名學(xué)生成績的第75百分位數(shù)；

(3)若采用分層抽樣的方法從成績在[70,80)，[80,90)，[9020.(本小題12.0分)

已知函數(shù)f(x)=sin(x+π6)+sin(x?π21.(本小題12.0分)

在直三棱柱ABC?A1B1C1中，D、E分別是AA1、B1C1的中點，DC1⊥BD，A22.(本小題12.0分)

在△ABC中，三個內(nèi)角A，B，C所對的邊分別是a，b，c，AD=2DC，BD=2，且(a?c)23.(本小題12.0分)

如圖，四棱錐P?ABCD中，底面ABCD為直角梯形，AB/?/CD，∠BAD=90°，AB=2CD=4，PA⊥CD

答案和解析1.【答案】C

【解析】解：復(fù)數(shù)i(1?2i)=i?2i22.【答案】D

【解析】解：向量a=(1,2)，b=(cosθ,sinθ)，且向量a與b3.【答案】C

【解析】解：記甲中靶為事件A，乙中靶為事件B，

則P(A)=0.4,P(A?)=1?0.4=0.64.【答案】A

【解析】【分析】根據(jù)題意，由數(shù)據(jù)的數(shù)字特征的定義，分析可得答案．

本題考查數(shù)據(jù)的數(shù)字特征，關(guān)鍵是掌握數(shù)據(jù)的平均數(shù)、中位數(shù)、方差、極差的定義以及計算方法，屬于基礎(chǔ)題．【解答】解：根據(jù)題意，從9個原始評分中去掉1個最高分、1個最低分，得到7個有效評分，

7個有效評分與9個原始評分相比，最中間的一個數(shù)不變，即中位數(shù)不變，

故選：A．

5.【答案】D

【解析】解：由餅狀圖，成績前200名的200人中，高一人數(shù)比高二人數(shù)多200×(45%?30%)=30，A正確；

由條形圖知高一學(xué)生在前200名中，前100和后100人數(shù)相等，因此高一人數(shù)為200×45%×12=45<50，B正確；

成績前50名的50人中，高一人數(shù)為200×45%×0.2=18，因此高三最多有6.【答案】C

【解析】解：連接AB，如下圖所示：

因為AC⊥BC，則AB為圓O的一條直徑，故O為AB的中點，

所以，MA+MB=(MO+OA)+(MO+OB)=2MO，

所以，|MA+MB+2MC|=7.【答案】B

【解析】解：對于A選項，“恰好摸到1個紅球”為1紅1白，“至少摸到1個白球”包含：1紅1白、2白，

所以“恰好摸到1個紅球”與“至少摸到1個白球”不是互斥事件，A錯；

對于B選項，“恰好沒摸到紅球”為2白，“至多摸到1個白球”包含：2紅、1紅1白，

所以“恰好沒摸到紅球”與“至多摸到1個白球”是對立事件，B對；

對于C選項，2個紅球分別記為a、b，2個白球分別記為A、B，

從2個紅球和2個白球中一次性隨機(jī)摸出2個球，所有的基本事件有：ab、aA、aB、bA、bB、AB，

其中事件“至少摸到1個紅球”包含的基本事件有：ab、aA、aB、bA、bB，其概率為56，

事件“至少摸到1個白球”包含的基本事件有：aA、aB、bA、bB、AB，其概率為56，

所以“至少摸到1個紅球”的概率等于“至少摸到1個白球”的概率，C錯；

對于D選項，記事件E：恰好摸到2個紅球，事件F：恰好摸到2個白球，

則P(E)=P(F)=16，8.【答案】C

【解析】解：依題意，g(x)=f(x?π3ω)=sin[ω(x?π3ω)]=sin(ωx?π3)，函數(shù)y=f(x)，y=g(x)周期T=2πω，

在同一坐標(biāo)系內(nèi)作出函數(shù)y=f(x)，y=g(x)的圖象，如圖，

A，B，C為連續(xù)三交點，(不妨設(shè)B在x軸下方)，D為AC的中點，

由對稱性知，△ABC是以AC為底邊的等腰三角形，9.【答案】AC【解析】解：因為z=a+bi(a,b∈R)，

故|z|=|OZ|=a2+b2，故|OZ|2=a2+b2，|10.【答案】AD【解析】解：若α/?/β，m⊥α可得m⊥β，又n⊥β，可得m/?/n，與m，n是異面直線矛盾，故A不可能成立；

若α⊥β，m⊥α，n⊥β，則m，n可能異面或相交，故B可能成立；

當(dāng)m⊥α，n⊥β，直線

l

滿足l⊥m，l⊥n，

當(dāng)直線與兩個平面的交線平行且在平面外時，滿足l/?/α，如圖，

故11.【答案】BC【解析】解：對于選項A，因為向量a是單位向量，

所以|a|=(?32)2+t2=1，得t=±12，故選項A錯誤；

對于選項B，(a+b)?(a?b)=a2?b2=1?1=0，所以(a+12.【答案】BC【解析】解：取EF中點G，連DG，令A(yù)C∩BD=O，連FO，如圖，

在正方形ABCD中，O為BD中點，而BDEF是矩形，則DO//GF且DO=GF，

即四邊形DGFO是平行四邊形，即有DG//FO，而FO?平面ACF，

DG?平面ACF，于是得DG/?/平面ACF，

當(dāng)點P與G重合時，直線DP/?/平面ACF，故A錯誤；

因平面BDEF⊥平面ABCD，平面BDEF∩平面ABCD=BD，

ED⊥BD，ED?平面BDEF，所以ED⊥平面ABCD，

因為BF/?/ED，所以BF⊥平面ABCD，

因為AD，AB，BC，BD?平面ABCD，

所以ED⊥AD，ED⊥BD，BF⊥AB，BF⊥BC，因為BD=2，DE=1，

所以AD=2，EA=3，DF=5，AF=CF=3，

又BC/?/AD，所以直線DP與BC所成角為∠ADP(或其補(bǔ)角)，

因為DA??DP=DA?(DE+EP?)=DA??(DE+13.【答案】2【解析】解：因為圓錐的母線長為2，軸截面是等腰直角三角形，

故圓錐的高為2且底面半徑為2，

故體積為13×π×(2)14.【答案】4

【解析】解：∵tanα=2，則sinα+15.【答案】6【解析】解：在等腰梯形A′B′C′D′中，∠D′A′B′=45°，A′D′=D′C′=1，

則A′B′=2?A′D′cos∠D′A′B16.【答案】28

【解析】解：設(shè)AB=h米，

在△ABC中，BC=ABtan45°=h，

在△ABD中，BD=ABtan30°=3h，

在17.【答案】11π【解析】解：由題意可得多面體的棱長為原正四面體棱長的13，設(shè)原正四面體的棱長為a，

則其表面積為4×34×a2=3a2，由圖易知該多面體與原正四面體相比較，

表面積少了8個邊長為13a的正三角形的面積，

所以該多面體的表面積為3a2?8×34×(13a)2=73a29=143，所以a=32．

如圖，O1是下底面正六邊形ABCDEF的中心，O2是上底面正三角形MNG的中心，18.【答案】2031【解析】解：∵AD=5AF，

不妨設(shè)DF=4AF=4，

∴BD=AF=1，AD=5，

由題意得∠ADB=120°，

∴AB2=AD2+BD2?2AD?BD?cos∠ADB=25+1?2×5×1×(?12)=31，

∴AB=31，

延長AD交BC于M，

記∠AMB=α，∠DAB=θ，

則cosθ=AD2+AB2?B19.【答案】解：(1)由頻率分布直方圖中數(shù)據(jù)可知：(0.002+0.016)×10×100=18(人)

(2)成績小于80的頻率為10×(0.002+0.016+0.022+0.030)=0.7，成績在[80,90)的頻率為10×0.020=0.2，因為0.7<0.75<0.9，

所以這100名學(xué)生成績的第75百分位數(shù)在[80,90)內(nèi)，

所以隨機(jī)抽取的100名學(xué)生成績的第75百分位數(shù)為80+10×0.75?0.70.9?0.7=82.5．

(3)因為成績在[70,80)，[80,90)，[90,100]的學(xué)生人數(shù)所占比例為3：2：1，

所以從成績在[70,80)，[80,90)，[90,100]所抽取人數(shù)分別應(yīng)抽取3人，2人，1【解析】(1)根據(jù)頻率分布直方圖直接計算即可得解；

(2)由百分位數(shù)的定義直接計算即可；

(20.【答案】解：(1)f(x)=sin(x+π6)+sin(x?π6)+cosx+a

=32sinx+12【解析】(1)對f(x)進(jìn)行整理化簡，然后根據(jù)最大值得到a的值；

(2)根據(jù)21.【答案】(1)證明：連接CD，

因為AC=1，AA1=2，D是AA1的中點，

所以CD=2，C1D=2，則CD2+C1D2=CC12，

所以CD⊥C1D，又DC1⊥BD，DC?BD=D，DC，BD?平面BCD，

所以DC1⊥平面BCD，

又BC?平面BCD，所以DC1⊥BC，

又CC1⊥平面ABC，BC?平面ABC，所以CC1⊥BC，

CC1∩DC1=C1，C【解析】(1)連接CD，即可得到CD⊥C1D，從而得到DC1⊥平面BCD，則DC1⊥B22.【答案】解：(1)因為A+B+C=π，所以(a?c)sin(A+B)=(a+c)sinC=(a?b)(sinA+sinB)，

由正弦定理可得(a+【解析】(1)根據(jù)正弦定理可得a2+c2?b2=ac，結(jié)合余弦定理可求23.【答案】(1)證明：連接BD交AC于點O，連接OE，

∵CD/?/AB，∴DOOB