八年級下冊-二次根式壓軸題解析

八年級下冊----二次根式壓軸題解析

二次根式壓軸題（僅適合八年級學生）一．選擇題（共1小題）1.下列四個命題中，哪一個是正確的？A.若直角三角形的兩條邊長為3和4，則第三邊的長度為5。B.()2=a。C.若點P(a,b)在第三象限，則點Q(-a,-b)在第一象限。D.兩邊及其第三邊上的中線對應相等的兩個三角形全等。二．填空題（共11小題）2.若規(guī)定符號“*”的意義是a*b=ab-b2，則2*（）的值是。3.如圖，四邊形ABCD中，AB=AC=AD，E是CB的中點，AE=EC，∠BAC=3∠DBC，BD=6+6，則AB=。4.已知a，b是正整數(shù)，且滿足(1)寫出一對符合條件的數(shù)對。(2)所有滿足條件的有序數(shù)對(a,b)共有（）對。5.化簡6.若實數(shù)a滿足|a-8|+<2，則a的取值范圍是（）。7.化簡二次根式8.觀察下列等式：，，，…的正確結果是（）。=a，則a=（）。=（）。也是整數(shù)：請你從上述等式中找出規(guī)律，并利用這一規(guī)律計算：=（）。9.已知：a<，化簡10.已知11.已知ab=2，則（）。12.已知1<x<2，三．解答題（共4小題）13.先化簡，再求值：（-）?，其中x=（）。14.閱讀下列材料，然后回答問題。在進行二次根式的化簡與運算時，我們有時會碰上如們還可以將其進一步化簡：=（一）=（二），，一樣的式子，其實我==（三）以上這種化簡的步驟叫做分母有理化。還可以用以下方法化簡：=（1）請用不同的方法化簡①參照（三）式得②參照（四）式得（2）化簡：=（）；=（）。15.閱讀材料，解答下列問題。例：當a＞0時，如a=6則|a|=|6|=6，故此時a的絕對值是它本身；當a=0時，|a|=0，故此時a的絕對值是零；當a小于0時，例如a=-6，則|a|=|-6|=-(?6)，因此a的絕對值是它的相反數(shù)。因此，一個數(shù)的絕對值可以分為三種情況，即，正數(shù)、0和負數(shù)。這種分析方法體現(xiàn)了數(shù)學的分類討論思想。問題：（1）請仿照分類討論的方法，分析二次根式的各種展開情況；（2）猜想與|a|的大小關系。16.（2005?臺州）我國古代數(shù)學家秦九韶在《數(shù)書九章》中記述了“三斜求積術”，即已知三角形的三邊長，求它的面積。用現(xiàn)代式子表示為：s=√[s(s-a)(s-b)(s-c)]（其中a、b、c為三角形的三邊長，s為面積）。而另一個文明古國古希臘也有求三角形面積的海倫公式：s=√[p(p-a)(p-b)(p-c)]（其中p=(a+b+c)/2）。（1）若已知三角形的三邊長分別為5、7、8，則分別運用公式①和公式②計算該三角形的面積s；（2）你能否由公式①推導出公式②？請嘗試一下。第3頁（共14頁）壓軸題：二次根式一．選擇題（共1小題）1．（2003?杭州）對于以下四個命題：①若直角三角形的兩條邊長為3和4，則第三邊的長是5；②（-2）^2=a；③若點P（a，b）在第三象限，則點Q（-a，-b）在第一象限；④兩邊及其第三邊上的中線對應相等的兩個三角形全等。正確的說法是（）A．只有①錯誤，其他正確；B．①②錯誤，③④正確；C．①④錯誤，②③正確；D．只有④錯誤，其他正確。考點：二次根式的性質與化簡；點的坐標；全等三角形的判定；勾股定理。分析：①應明確邊長為4的邊是直角邊還是斜邊；②隱含條件是a≥0，根據(jù)二次根式的定義解答；③根據(jù)每個象限內點的符號特點判斷出a、b的符號，再判斷出-a、-b的符號即可；④用“倍長中線法”可證明兩個三角形全等。解答：①錯誤，應強調為直角三角形的兩條直角邊長為3和4，則第三邊的長是5；②正確，隱含條件是a≥0，根據(jù)二次根式的意義，等式成立；③正確，若點P（a，b）在第三象限，則a<0，b<0；則-a>0，-b>0，點Q（-a，-b）在第一象限；④正確，作輔助線，倍長中線，可證明兩個三角形全等。因此，選A。點評：本題考查了對勾股定理的理解，二次根式的化簡，點的對稱性質，全等三角形的判定方法。二．填空題（共11小題）2．（2012?山西模擬）若規(guī)定符號“*”的意義是a*b=ab-b^2，則2*（23）的值是45。考點：二次根式的混合運算。專題：壓軸題；新定義。解答：解：由題意可知，2*（）=2×（-1）-，根據(jù)二次根式的混合運算，可以得到2*（）=4-5=-1。點評：這道題目考察了二次根式的混合運算，難度不大，需要注意理解“*”的意義。3.如圖，四邊形ABCD中，AB=AC=AD，E是CB的中點，AE=EC，∠BAC=3∠DBC，BD=6+6，則AB=12。解析：首先以點A為圓心，AB為半徑畫圓，作CF⊥BD，垂足為F。由于AB=AC=AD，所以C、D兩點都在圓A上。又因為E是CB的中點，所以AE=EC=BE，AE⊥BC，因此∠BAC=90°。又因為∠BAC=3∠DBC，所以∠DBC=30°，∠CAD=2∠DBC=60°，并且△ACD為等邊三角形。設AB=AC=CD=x，在Rt△ABC中，BC=x，在Rt△BCF中，∠FBC=30°，BF=。同理，DF=x。因為BD=6+6，所以x+x=6+6，解得x=12，即AB=12。點評：這道題目考察了二次根式的應用、等腰三角形的性質、垂徑定理、解直角三角形等知識點，難度較大，需要認真理解題意和運用相關知識點進行分析和求解。根據(jù)二次根式的定義，形如$a\pm\sqrt$的代數(shù)式叫做二次根式。根據(jù)二次根式的性質，有$-\sqrt{a}\cdot\sqrt\geqslant\sqrt{ab}$，其中$a<b$。由此得到$-\sqrt{a}\cdot\sqrt\geqslant\sqrt{ab}$，即$-\frac{a}{\sqrt}\geqslant\sqrt{a}$。又因為$a<b$，所以$\sqrt{a}<\sqrt$，即$-\frac{a}{\sqrt}<-\sqrt{a}$。綜上所述，得到$-\sqrt{a}\cdot\sqrt=-\frac{a}{\sqrt}$。解答此類題目的關鍵是認真觀察題中式子的特點，找出其中的抵消規(guī)律。對于本題，可以利用差公式計算，化簡后得到$2008-2=2006$。已知$a<\sqrt{2}$，化簡$\frac{\sqrt{2}-a}{\sqrt{2}+a}$。根據(jù)二次根式的性質，有$\frac{\sqrt{a}-\sqrt}{\sqrt{a}+\sqrt}=\frac{(\sqrt{a}-\sqrt)^2}{a-b}$，其中$a>b$。對于本題，可以利用該性質進行化簡，得到$\frac{\sqrt{2}-a}{\sqrt{2}+a}=\frac{(\sqrt{2}-a)^2}{2-a^2}=-\frac{a^2-2\sqrt{2}a+2}{a^2-2}$。由于$a<\sqrt{2}$，所以$a^2<2$，即$a^2-2<0$，因此分母為負數(shù)。為了方便計算，可以將分子和分母同時乘以$-1$，得到$\frac{2\sqrt{2}-a^2}{a^2-2}$。綜上所述，$\frac{\sqrt{2}-a}{\sqrt{2}+a}=-\frac{2\sqrt{2}-a^2}{a^2-2}$。已知$ab=2$，求$\sqrt{a+\frac{1}{a}}+\sqrt{b+\frac{1}}$的值。根據(jù)二次根式的性質，有$\sqrt{a+\frac{1}{a}}=\sqrt{\frac{a^2+1}{a}}=\sqrt{\frac{(a+\frac{1}{a})^2-2}{a}}=\sqrt{\frac{(a+\frac{1}{a})^2}{a}-2\sqrt{\frac{(a+\frac{1}{a})^2}{a}}+1}-1$，其中$a>0$。同理，有$\sqrt{b+\frac{1}}=\sqrt{\frac{(b+\frac{1})^2}-2\sqrt{\frac{(b+\frac{1})^2}}+1}-1$，其中$b>0$。將$a=\frac{2}$代入第一個式子，得到$\sqrt{a+\frac{1}{a}}=\sqrt{\frac{(2+\frac{b^2}{4})^2}{2b}}-1=\frac{2+\frac{b^2}{4}}{\sqrt{2b}}-1$。將該式子代入第二個式子，得到$\sqrt{a+\frac{1}{a}}+\sqrt{b+\frac{1}}=\frac{2+\frac{b^2}{4}}{\sqrt{2b}}+\frac{2+\frac{2}}{\sqrt{2\cdot\frac{2}}}-2=\frac{2b+4+2b+4}{\sqrt{4b}}-2=4\sqrt-2$。由于$ab=2$，所以$b=\frac{2}{a}$，代入得到$\sqrt{a+\frac{1}{a}}+\sqrt{b+\frac{1}}=4\sqrt{\frac{2}{a}}-2$。綜上所述，$\sqrt{a+\frac{1}{a}}+\sqrt{b+\frac{1}}=4\sqrt{\frac{2}{a}}-2$。解答：（1）對于二次根式展開，也可以采用分類討論的方法，分為以下三種情況：①當∈時，展開后為本身；②當∈時，可將其化為一個整數(shù)和一個二次根式的和；③當∈時，可將其化為一個整數(shù)和一個二次根式的差．（2）根據(jù)絕對值的定義可知，|a|永遠是非負數(shù)，即|a|≥0．而對于二次根式展開后的結果，可以根據(jù)具體情況來判斷其與|a|的大小關系，無法一般化猜想．評：本題考查了分類討論的思想和二次根式的化簡方法，需要考生對二次根式的性質有一定的了解和掌握，同時需要注意語言表達的準確性和清晰度．分析：本文存在的問題主要是格式混亂，需要進行整理和改寫。刪除明顯有問題的段落，留下完整的內容。解答：16.（2005·臺州）我國古代數(shù)學家秦九韶在《數(shù)書九章》中記述了“三斜求積術”，即已知三角形的三邊長，求它的面積。用現(xiàn)代式子表示即為：s=√[s(s-a)(s-b)(s-c)]①其中a、b、c為三角形的三邊長，s為面積。而另一個文明古國古希臘也有求三角形面積的海倫公式：s=√[p(p-a)(p-b)(p-c)]②其中p=(a+b+c)/2。（1）若已知三角形的三邊長分別為5、7、8，試分別運用公式①和公式②，計算該三角形的面積s。（2）你能否由公式①推導出公式②？請試試。解：（1）代入計算即可：s=√[10(10-5)(10-7)(10-8)]=√(10×5×3×2)=10√3s=√[(5+7+8)/2×(5+7+8)/2-5×7×8/4]=√(10×3×2×1)=√60=2√15（2）需要在公式①的括號內都乘以4，括號外再乘，