2021年普通高等學(xué)校招生全國(guó)統(tǒng)一考試（模擬卷）數(shù)學(xué)

2021年普通高等學(xué)校招生全國(guó)統(tǒng)一考試（模擬卷）

數(shù)學(xué)

一、選擇題：本題共8小題，每小題5分，共40分。在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)

是符合題目要求的。

1.己知集合4={1,2,3},8={x|f-x-2<0且xGZ},貝ij

A.{1}B.{1,2}C.{0,1,2,3}D.{T,0,1,2,3）

2.（生活實(shí)際題）某大學(xué)4名大學(xué)生利用假期到3個(gè)山村參加基層扶貧工作，每名大學(xué)生只

去1個(gè)山村，每個(gè)山村至少有1人去，則不同的分配方案共有

A.6種B.24種C.36種D.72種

3.（邏輯題）甲、乙、丙、丁四位同學(xué)被問(wèn)到誰(shuí)去過(guò)長(zhǎng)城時(shí)，甲說(shuō)：“我沒(méi)去過(guò)”，乙說(shuō)：“丁

去過(guò)”，丙說(shuō)：“乙去過(guò)”，丁說(shuō)：“我沒(méi)去過(guò)”，假定四人中只有一人說(shuō)的是假話，由此可

判斷一定去過(guò)長(zhǎng)城的是

A.甲B.乙C.丙D.丁

4.（學(xué)科交織題）溫度對(duì)許多化學(xué)反應(yīng)的反應(yīng)速率有非常大的影響.一般來(lái)說(shuō)，溫度每升高

10K,化學(xué)反應(yīng)的反應(yīng)速率大約增加2?4倍.瑞典科學(xué)家Arrhenius總結(jié)了大量化學(xué)反應(yīng)

的反應(yīng)速率與溫度之間關(guān)系的實(shí)驗(yàn)數(shù)據(jù)，得出一個(gè)結(jié)論：化學(xué)反應(yīng)的速率常數(shù)出與溫度（Q

之間呈指數(shù)關(guān)系，并提出了相應(yīng)的Arrhenius公式：

k=Ae般

式中A為碰撞頻率因子（A>0）,e為自然對(duì)數(shù)的底數(shù)，及為活化能，R為氣體常數(shù).通過(guò)

Arrhenius公式，我們可以獲得不同溫度下化學(xué)反應(yīng)的速率常數(shù)之間的關(guān)系.已知溫度為

不時(shí)，化學(xué)反應(yīng)的速率常數(shù)為ki;溫度為T2時(shí)，化學(xué)反應(yīng)的速率常數(shù)為比.則出幺=

k2

A（…次B（TfRcE“（T「T’）/（『4）

￡?lnAE.lnARTJ2RTtT2

5.設(shè)Q,b,c為單位向量，且a力=0,則（a-c>3—c）的最小值為

A.-2B.y[2—2C.-1D.1—y/2

6.（數(shù)學(xué)文化題）我國(guó)古代數(shù)學(xué)家劉徽于公元263年在《九章算術(shù)注》中提出“割圓術(shù)”：“割

之彌細(xì)，所失彌少，割之又割，以至于不可割，則與圓合體，而無(wú)所失矣”.即通過(guò)圓內(nèi)

接正多邊形細(xì)割圓，并使正多邊形的面積無(wú)限接近圓的面積，進(jìn)而來(lái)求得較為精確的圓周

率.如果用圓的內(nèi)接正〃邊形逼近圓，算得圓周率的近似值記為n,”那么用圓的內(nèi)接正2〃

邊形逼近圓，算得圓周率的近似值兀2.可以表示為

A.?！˙.兀〃c.?！―.?！?/p>

180°360°.180°.90°

coscossinsin

nnnn

7.（社會(huì)熱點(diǎn)題）新型冠狀病毒肺炎（COVID-19）疫情爆發(fā)以來(lái),中國(guó)人民萬(wàn)眾一心，取

得了抗疫斗爭(zhēng)的初步勝利.面對(duì)秋冬季新冠肺炎疫情反彈風(fēng)險(xiǎn)，某地防疫防控部門決定進(jìn)

行全面入戶排查，過(guò)程中排查到一戶5口之家被確認(rèn)為新冠肺炎密切接觸者，按要求進(jìn)一

步對(duì)該5名成員逐一進(jìn)行核酸檢測(cè).若任一成員出現(xiàn)陽(yáng)性，則該家庭定義為“感染高危

戶”.設(shè)該家庭每個(gè)成員檢測(cè)呈陽(yáng)性相互獨(dú)立，且概率均為p(OVp<l).該家庭至少檢測(cè)

了4人才能確定為“感染高危戶”的概率為，3),當(dāng)〃=。0時(shí)，/(p)最大，此時(shí)po=

A.叵B.叵C.I-叵D.1-四

5555

8.定義在R上的偶函數(shù)兀0的導(dǎo)函數(shù)為尸(x),若VxCR,都有?x)+_V，(x)<2,則使￡/(x)

-.AD<^-1成立的實(shí)數(shù)x的取值范圍是

A.{x\x^±}}B.(-1,0)0(0,1)

C.(-1,1)D.(-8,-1)U(1,+8)

二、選擇題：本題共4小題，每小題5分，共20分。在每小題給出的選項(xiàng)中，有多項(xiàng)符合題

目要求。全部選對(duì)的得5分，有選錯(cuò)的得0分，部分選對(duì)的得2分。

9.若0<c<l,a>b>\,則

cc

A.log〃c>log/)cB.ah>baC.a\oghC>b\ogacD.a(b—c)>h{a—c)

10.下列四個(gè)命題中，真命題為

B.若復(fù)數(shù)z滿足;CR,則zWR

A.若復(fù)數(shù)z滿足zER,則NwR

C.若復(fù)數(shù)z滿足-eR,則zWRD.若復(fù)數(shù)Z|,Z2滿足Z「Z2GR,則4=%

11.已知拋物線C：V=2px(p>())的焦點(diǎn)尸到準(zhǔn)線的距離為2,過(guò)點(diǎn)F的直線與拋物線交于P,

。兩點(diǎn)，M為線段PQ的中點(diǎn)，。為坐標(biāo)原點(diǎn)，則

A.C的準(zhǔn)線方程為y=lB.線段尸。長(zhǎng)度的最小值為4

C.仞的坐標(biāo)可能為(3,2)D.OPOQ-=-3

12.(五育導(dǎo)向題?美育)黃金螺旋線又名等角螺線，是自然界最

美的鬼斧神工.在一個(gè)黃金矩形(寬長(zhǎng)比約等于0.618)里先

以寬為邊長(zhǎng)做正方形，然后在剩下小的矩形里以其寬為邊長(zhǎng)做

正方形，如此循環(huán)下去，再在每個(gè)正方形里畫出一段四分之一

圓弧，最后順次連接，就可得到一條“黃金螺旋線”.達(dá)?芬

奇的《蒙娜麗莎》，希臘雅典衛(wèi)城的帕特農(nóng)神廟等都符合這個(gè)

曲線.現(xiàn)將每一段黃金螺旋線與其所在的正方形所圍成的扇形

半徑設(shè)為〃〃伽￡N*),數(shù)列{斯}滿足。I=〃2=1，〃〃=an-}+an-2(n

23).再將扇形面積設(shè)為則

A.4s202。一22019)=兀42018.42021

B.a\+々2+。3H------H42019=02021-1

C.a12+???+(〃2020)2=2(22019,^2021

D.?2019-〃2021-(。2020)2+?2018,“2020—(。2019)2=。

三、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。

13.(數(shù)據(jù)分析題)某公司的廣告費(fèi)支出x(單位：萬(wàn)元)與營(yíng)業(yè)額)，(單位：萬(wàn)元)之間呈線性相

關(guān)關(guān)系，收集到的數(shù)據(jù)如下表：

廣告費(fèi)支出x（單位：萬(wàn)元）1020304050

營(yíng)業(yè)額y（單位：萬(wàn)元）6268758189

由最小二乘法求得回歸直線方程為y=0.67x+a,則a的值為.

14.（開放舉例題）已知a,4是兩個(gè)不同的平面，，①〃是平面a及△之外的兩條不同直線，

給出下面四個(gè)論斷：①，“L?；②a_L￡；③△￡；@mla.以其中的三個(gè)論斷作為條件，

余下的一個(gè)論斷作為結(jié)論，寫出一個(gè)正確的命題：.

15.己知尸是直線3x+4y-10=0上的動(dòng)點(diǎn)，PA,是圓/+丁-2%+4）,+4=0的兩條切線，

C為圓心，A,8為切點(diǎn)，則四邊形%CB的面積的最小值為.

16.（雙空題）在△ABC中，sin（A-8）=sinC—sin8,貝UcosA=；點(diǎn)。是8C上

靠近點(diǎn)B的一個(gè)三等分點(diǎn)，記黑男黑=九，則當(dāng)九取最大值時(shí)，tanZACD=

billz_DrxLJ

.（本題第一空2分，第二空3分.）

四、解答題：本題共6小題，共70分。解答應(yīng)寫出文字說(shuō)明、證明過(guò)程或演算步驟。

17.（10分）

記S,為等比數(shù)列｛%｝的前〃項(xiàng)和，已知S2=2,S3=-6.

（1）求｛%｝的通項(xiàng)公式；

（2）求S”,并判斷S“+”S“,S“+2是否成等差數(shù)列.

18.（結(jié)構(gòu)不良問(wèn)題）（12分）

在①離心率為小，且經(jīng)過(guò)點(diǎn)（3,4）；②一條準(zhǔn)線方程為x=4,且焦距為2.這兩個(gè)條件中

任選一個(gè)，補(bǔ)充在下面的問(wèn)題中，若問(wèn)題中的直線/存在，求出/的方程；若問(wèn)題中的直線/

不存在，說(shuō)明理由.

問(wèn)題：己知曲線C：nvr+ny2—l（m,〃W0）的焦點(diǎn)在x軸上，,是否存在過(guò)

點(diǎn)尸（-1,1）的直線/,與曲線C交于A,8兩點(diǎn)，且尸為線段A8的中點(diǎn)？

注：若選擇條件①和條件②分別解答，按第一個(gè)解答計(jì)分.

19.（三角函數(shù)與解三角形結(jié)合）（12分）

在aABC中，角A,B,C所對(duì)的邊分別為a,b,c,設(shè)向量,〃=（2sin（x-A）,sinA）,n=

57r

（cosX,1）,危）=*〃，且對(duì)任意都有於）（/（五）.

（1）求火犬）的單調(diào)遞增區(qū)間；

（2）若a=2，§,sinB+sinC=坐，求△A8C的面積.

20.（聯(lián)系高等數(shù)學(xué)、數(shù)學(xué)定理）（12分）

數(shù)學(xué)史上有一個(gè)著名的波爾約一格維也納定理：任意兩個(gè)面積相等的多邊形，它們可以相

互拼接得到.它由法卡斯?波爾約（FarksBolyai）和保羅?格維也納（PaulGerwien）兩位數(shù)學(xué)家

分別在1833年和1835年給出證明。試據(jù)此解決以下問(wèn)題：

（1）給出兩塊相同的正三角形紙片（如圖1、圖2）,要求用其中一塊剪拼成一個(gè)正三棱錐

模型，另一塊剪拼成一個(gè)正三棱柱模型，使它們的全面積都與原三角形的面積相等.請(qǐng)?jiān)O(shè)計(jì)一

種剪拼方案，分別用虛線標(biāo)示在圖1、圖2中，并作簡(jiǎn)要說(shuō)明；

（2）試比較你剪拼的正三棱錐與正三棱柱的體積的大小；

（3）如果給出的是一塊任意三角形的紙片（如圖3）,要求剪拼成一個(gè)直三棱柱模型，使它

的全面積與給出的三角形的面積相等.請(qǐng)?jiān)O(shè)計(jì)一種剪拼方案，用虛線標(biāo)示在圖3中，并作簡(jiǎn)要

說(shuō)明.

圖3

21.（導(dǎo)數(shù)與數(shù)列結(jié)合）（12分）

已知/（x）=xlnx-x+4，其中

x

（1）討論/（X）的極值點(diǎn)的個(gè)數(shù)；

（2）當(dāng)"CN*