湖南省婁底市漣源馬頭山中學2021年高三數(shù)學文測試題含解析

湖南省婁底市漣源馬頭山中學2021年高三數(shù)學文測試題含解析一、選擇題：本大題共10小題，每小題5分，共50分。在每小題給出的四個選項中，只有是一個符合題目要求的1.設(shè)△ABC的內(nèi)角A、B、C所對的邊長分別為a、b、c，且acosB=3，bsinA=4．若△ABC的面積S=10，則△ABC的周長為（）A．10 B． C． D．12參考答案：C【考點】正弦定理．【分析】由圖及已知作CD垂直于AB，在直角三角形BDC中求BC的長，由面積公式解出邊長c，再由余弦定理解出邊長b，即可得解三邊的和即周長的值．【解答】解：過C作CD⊥AB于D，則由CD=bsinA=4，BD=acosB=3，∴在Rt△BCD中，a=BC==5，∵由面積公式得S=×AB×CD=×AB×4=10，得c=AB=5，又acosB=3，得cosB=，由余弦定理得：b===2，△ABC的周長l=5+5+2=10+2．故選：C．【點評】本題主要考查了射影定理及余弦定理，三角形面積的公式在解三角形中的應用，考查了數(shù)形結(jié)合思想和轉(zhuǎn)化思想，屬于基礎(chǔ)題．2.已知平面區(qū)域由以、、為頂點的三角形內(nèi)部和邊界組成.若在區(qū)域

上有無窮多個點可使目標函數(shù)取得最小值，則

參考答案：C略3.設(shè)變量，滿足約束條件，則目標函數(shù)的最小值為 （

）

A.

B.

C.

D.參考答案：C略4.下列函數(shù)中，不是偶函數(shù)的是（）A．y=sin（2x﹣） B．y=cos（2x﹣） C．y=10x+10﹣x D．y=ln（x2+1）參考答案：B【考點】函數(shù)奇偶性的判斷．【專題】函數(shù)思想；定義法；函數(shù)的性質(zhì)及應用．【分析】根據(jù)函數(shù)奇偶性的定義進行判斷即可．【解答】解：y=sin（2x﹣）=﹣cos2x，為偶函數(shù)，y=cos（2x﹣）=sin2x為奇函數(shù)，f（﹣x）=10x+10﹣x=f（x），則f（x）=10x+10﹣x為偶函數(shù)，f（﹣x）=ln（x2+1）=f（x），則f（x）為偶函數(shù)，故選：B．【點評】本題主要考查函數(shù)奇偶性的判斷，根據(jù)函數(shù)奇偶性的定義和性質(zhì)進行判斷是解決本題的關(guān)鍵．5.若函數(shù)f(x),g(x)分別是R上的奇函數(shù)、偶函數(shù)且滿足f(x)+g(x)=ex，其中e是自然對數(shù)的底數(shù)，則有

（

）Ks5uA．f(e)<f(3)<g(3)

B．g(3)<f(3)<f(e)C．f(3)<f(e)<g(3)

D．g(3)<f(e)<f(3)參考答案：A略6.在展開式中，二項式系數(shù)的最大值為，含項的系數(shù)為，則A.

B.

C.

D.參考答案：D由題，得，，所以，故選D.7.下列函數(shù)中，與函數(shù)的奇偶性、單調(diào)性均相同的是

（

）A.

B.

C.

D.參考答案：B略8.已知函數(shù)y=sin在區(qū)間[0，t]上至少取得2次最大值，則正整數(shù)t的最小值是（）A．6 B．7 C．8 D．9參考答案：C【考點】三角函數(shù)的周期性及其求法．【分析】先根據(jù)三角函數(shù)的性質(zhì)可推斷出函數(shù)的最小正周期為6，進而推斷出≤t進而求得t的范圍，進而求得t的最小值．【解答】解：函數(shù)y=sin的周期T=6，則≤t，∴t≥，∴tmin=8．故選C．9.已知命題：如果，那么；命題：如果，那么；命題：如果，那么.關(guān)于這三個命題之間的關(guān)系，下列三種說法正確的是

(

)①命題是命題的否命題，且命題是命題的逆命題.②命題是命題的逆命題，且命題是命題的否命題.③命題是命題的否命題，且命題是命題的逆否命題.A．①③；

B．②；

C．②③

D．①②③參考答案：A10.以Sn表示等差數(shù)列{an}的前n項和，若a2+a7﹣a5=6，則S7=(

)A．42 B．28 C．21 D．14參考答案：A【考點】等差數(shù)列的前n項和．【專題】等差數(shù)列與等比數(shù)列．【分析】由題意和通項公式易得a4=6，又可得S7=7a4，代值計算可得．【解答】解：設(shè)等差數(shù)列{an}的公差為d，∵a2+a7﹣a5=6，∴（a1+d）+（a1+6d）﹣（a1+4d）=6，∴a1+3d=6，即a4=6，∴S7=（a1+a7）=×2a4=7a4=42故選：A【點評】本題考查等差數(shù)列的求和公式和性質(zhì)，屬基礎(chǔ)題．二、填空題:本大題共7小題,每小題4分,共28分11.已知實數(shù)x，y滿足約束條件：，若只在點(4,3)處取得最小值，則a的取值范圍是______．參考答案：【分析】由約束條件作出可行域，然后對進行分類，當時顯然滿足題意，當時，化目標函數(shù)為直線方程斜截式，比較其斜率與直線的斜率的大小得到的范圍．【詳解】由實數(shù)x，y滿足約束條件：作可行域如圖，聯(lián)立，解得．當時，目標函數(shù)化為，由圖可知，可行解使取得最大值，符合題意；當時，由，得，此直線斜率大于0，當軸上截距最大時最大，可行解為使目標函數(shù)的最優(yōu)解，符合題意；當時，由，得，此直線斜率為負值，要使可行解為使目標函數(shù)取得最大值的唯一的最優(yōu)解，則，即．綜上，實數(shù)的取值范圍是，故答案為．【點睛】本題考查線性規(guī)劃問題，考查了分類討論的數(shù)學思想方法和數(shù)形結(jié)合的解題思想方法，解答的關(guān)鍵是化目標函數(shù)為直線方程斜截式，由直線在軸上的截距分析的取值情況，是中檔題．12.蜜蜂被認為是自然界中最杰出的建筑師，單個蜂巢可以近似地看作是一個正六邊形，如圖為一組蜂巢的截面圖，其中第一個圖有1個蜂巢，第二個圖有7個蜂巢，第三個圖有19個蜂巢，按此規(guī)律，以表示第個圖的蜂巢總數(shù)，則的表達式為

.參考答案：略13.已知等差數(shù)列的公差，若，則_____.參考答案：略14.半徑為r的圓的面積,周長，若將看作（0，+∞）上的變量，則①①式可用語言敘述為：圓的面積函數(shù)的導數(shù)等于圓的周長函數(shù)。對于半徑為R的球，若將R看作（0，+）上的變量，請你寫出類似于①的式子_______________②；②式可用語言敘述為________________。參考答案：，球的體積函數(shù)的導數(shù)等于球的表面積函數(shù)。15.某大學對1000名學生的自主招生水平測試成績進行統(tǒng)計，得到樣本頻率分布直方圖如下圖所示，現(xiàn)規(guī)定不低于70分為合格，則合格人數(shù)是

參考答案：60016.（2016秋?天津期中）設(shè)0＜a≤1，函數(shù)f（x）=x+﹣1，g（x）=x﹣2lnx，若對任意的x1∈[1，e]，存在x2∈[1，e]都有f（x1）≥g（x2）成立，則實數(shù)a的取值范圍是

．參考答案：[2﹣2ln2，1]【考點】函數(shù)的最值及其幾何意義．【專題】綜合題；轉(zhuǎn)化思想；演繹法；函數(shù)的性質(zhì)及應用．【分析】求導函數(shù)，分別求出函數(shù)f（x）的最小值，g（x）的最小值，進而可建立不等關(guān)系，即可求出a的取值范圍．【解答】解：求導函數(shù)，可得g′（x）=1﹣，x∈[1，2]，g′（x）＜0，x∈（2，e]，g′（x）＞0，∴g（x）min=g（2）=2﹣2ln2，令f'（x）=0，∵0＜a＜1，x=±，當0＜a≤1，f（x）在[1，e]上單調(diào)增，∴f（x）min=f（1）=a≥2﹣2ln2，∴2﹣2ln2≤a≤1，故答案為[2﹣2ln2，1]．【點評】本題考查導數(shù)知識的運用，考查函數(shù)的最值，解題的關(guān)鍵是將對任意的x1∈[1，e]，存在x2∈[1，e]都有f（x1）≥g（x2）成立，轉(zhuǎn)化為對任意的x1，x2∈[1，e]，都有f（x）min≥g（x）min．17.若函數(shù)f（x）=x2+ax﹣1是偶函數(shù)，則a=

．參考答案：0考點：函數(shù)奇偶性的性質(zhì)．專題：計算題．分析：由偶函數(shù)的定義f（﹣x）=f（x）即可求得a的值．解答： 解：∵f（x）=x2+ax﹣1是偶函數(shù)，∴f（﹣x）=f（x）．即（﹣x）2﹣ax﹣1=x2+ax﹣1，∴2ax=0，又x不恒為0，∴a=0．故答案為：0．點評：本題考查函數(shù)奇偶性的性質(zhì)，利用偶函數(shù)的定義求得2ax=0是關(guān)鍵，屬于基礎(chǔ)題．三、解答題：本大題共5小題，共72分。解答應寫出文字說明，證明過程或演算步驟18.（本小題滿分12分）已知四棱錐P-ABCD的三視圖如下圖所示，其中正視圖、側(cè)視圖是直角三角形，俯視圖是有一條對角線的正方形，E是側(cè)棱PC上的動點（1）求證：平面PAC⊥平面BDE．（2）若E為PC的中點，求直線BE與平面PBD所成角的正弦值．

參考答案：（1）由已知，平面ABCD，∵平面，又∵，∴平面．因平面EBD，則平面平面BDE．

（2）法1：記AC交BD于點O，連PO，由（1）得平面平面BDP，且交于直線PO，過點E作于H，則平面PBD，∴為BE與平面PBD所成的角．

∵，∴．∴．

又，則．于是，直線BE與平面PBD所成角的正弦值是．

法2：（等體積法）∵，∴E點到平面PBD的距離為．

又，則．于是，直線BE與平面PBD所成角的正弦值是．

19.已知圓C：（x﹣1）2+（y﹣2）2=25，直線l：（2m+1）x+（m+1）y﹣7m﹣4=0，（1）求證：直線l恒過定點；（2）判斷直線l被圓C截得的弦長何時最長，何時最短？并求截得的弦長最短時，求m的值以及最短長度．參考答案：【考點】直線和圓的方程的應用；恒過定點的直線．【分析】（1）直線l的方程可化為（2x+y﹣7）m+（x+y﹣4）=0，要使直線l恒過定點，則與參數(shù)的變化無關(guān)，從而可得，易得定點；（2）當直線l過圓心C時，直線被圓截得的弦長最長；當直線l⊥CP時，直線被圓截得的弦長最短【解答】解：（1）證明：直線l的方程可化為（2x+y﹣7）m+（x+y﹣4）=0所以直線恒過定點（3，1）（2）當直線l過圓心C時，直線被圓截得的弦長最長．當直線l⊥CP時，直線被圓截得的弦長最短直線l的斜率為由解得此時直線l的方程是2x﹣y﹣5=0圓心C（1，2）到直線2x﹣y﹣5=0的距離為）所以最短弦長是20.（本題滿分15分）已知拋物線().拋物線上的點到焦點的距離為2(1)求拋物線的方程和的值；(2)如圖，是拋物線上的一點，過作圓的兩條切線交軸于兩點，若的面積為,求點坐標.參考答案：（Ⅰ）由拋物線定義易得拋物線方程為…5分(2)設(shè)點,當切線斜率不存在,,設(shè)切線,圓心到切線距離為半徑1,不符合題意同理當切線斜率不存在,,當切線,斜率都存在.即,設(shè)切線方程為：圓心到切線距離為半徑1,即,兩邊平方整理得:韋達定理得:則切線,切線,得……15分21.已知橢圓M：+=1（a＞b＞0）的一個焦點為F（﹣1，0），離心率e=左右頂點分別為A、B，經(jīng)過點F的直線l與橢圓M交于C、D兩點（與A、B不重合）．（I）求橢圓M的方程；（II）記△ABC與△ABD的面積分別為S1和S2，求|S1﹣S2|的最大值，并求此時l的方程．參考答案：【考點】橢圓的簡單性質(zhì)．【分析】（Ⅰ）由焦點F坐標可求c值，根據(jù)離心率e及a，b，c的平方關(guān)系可求得a值；（Ⅱ）當直線l不存在斜率時可得，|S1﹣S2|=0；當直線l斜率存在（顯然k≠0）時，設(shè)直線方程為y=k（x+1）（k≠0），與橢圓方程聯(lián)立消y可得x的方程，根據(jù)韋達定理可用k表示x1+x2，x1x2，|S1﹣S2|可轉(zhuǎn)化為關(guān)于x1，x2的式子，進而變?yōu)殛P(guān)于k的表達式，再用基本不等式即可求得其最大值．【解答】解：（I）設(shè)橢圓M的半焦距為c，即c=1，又離心率e=，即=∴a=2，b2=a2﹣c2=3∴橢圓M的方程為（II）設(shè)直線l的方程為x=my﹣1，C（x1，y2），D（x2，y2），聯(lián)立方程組，消去x得，（3m2+4）y2﹣6my﹣9=0∴y1+y2=，y1y2=﹣＜0S1=S△ABC=|AB|?|y1|，S2=S△ABD=|AB|?|y2|，且y1，y2異號∴|S1﹣S2|=|AB|?|y1+y2|=×4×|y1+y2|==∵3|m|+≥4，當且僅當3|m|=，即m=±時，等號成立∴|S1﹣S2|的最大值為=此時l的方程為x±2y+=