自動控制原理五

第五節(jié)系統(tǒng)的穩(wěn)定性和代數(shù)穩(wěn)定判據(jù)7/13/20231一、穩(wěn)定的基本概念和線性系統(tǒng)穩(wěn)定的充要條件穩(wěn)定是控制系統(tǒng)的重要性能，也是系統(tǒng)能夠正常運行的首要條件?？刂葡到y(tǒng)在實際運行過程中，總會受到外界和內(nèi)部一些因素的擾動，例如負載和能源的波動、系統(tǒng)參數(shù)的變化、環(huán)境條件的改變等。如果系統(tǒng)不穩(wěn)定，就會在任何微小的擾動作用下偏離原來的平衡狀態(tài)，并隨時間的推移而發(fā)散。因此，如何分析系統(tǒng)的穩(wěn)定性并提出保證系統(tǒng)穩(wěn)定的措施，是自動控制理論的基本任務之一。穩(wěn)定的充要條件和屬性

穩(wěn)定的基本概念：設系統(tǒng)處于某一起始的平衡狀態(tài)。在外作用的影響下，離開了該平衡狀態(tài)。當外作用消失后，如果經(jīng)過足夠長的時間它能回復到原來的起始平衡狀態(tài)，則稱這樣的系統(tǒng)為穩(wěn)定的系統(tǒng)。否則為不穩(wěn)定的系統(tǒng)。7/13/20232設系統(tǒng)或元件的微分方程為：上式右邊第一項為零狀態(tài)解，對應與由輸入引起的響應過程。第二項為零輸入解，對應于由初始狀態(tài)引起的響應過程。這項相當于系統(tǒng)齊次微分方程的解。+系數(shù)取決于初始條件的多項式穩(wěn)定的充要條件和屬性式中：x(t)—輸入，y(t)—輸出為常系數(shù)。將上式求拉氏變化，得(初始值不全為零）7/13/20233線性系統(tǒng)穩(wěn)定的充要條件：系統(tǒng)特征方程的根（即傳遞函數(shù)的極點）全為負實數(shù)或具有負實部的共軛復根?；蛘哒f，特征方程的根應全部位于s平面的左半部。穩(wěn)定的充要條件和屬性前面討論的當外作用消失后，如果經(jīng)過足夠長的時間它能回復到原來的起始平衡狀態(tài)可看作第二項經(jīng)過足夠長的時間變?yōu)榱恪?/13/20234充肝要飯條仰件傅說竊明如插果鄰特見征笑方狂程況中防有讀一竊個斷正督實踐根總，丸它張所圖對鈴應逆的謊指數(shù)數(shù)注項騰將別隨撒時寸間砌單這調(diào)廢增首長蹄；如果胳特征有方程聰中有座一對貢實部孩為正血的共憑軛復絮根，著它的綱對應犬項是杯發(fā)散灘的周艙期振唇蕩。上述劍兩種爺情況鬧下系妖統(tǒng)是不孝穩(wěn)贈定的斬。如果便特征橡方程骨中有渠一個粘零根際，它蜂所對煩應于顧一個顛常數(shù)壇項，停系統(tǒng)駛可在姥任何斗狀態(tài)催下平椅衡，潔稱為隨固遇砌平茶衡劃狀緒態(tài)；如果魄特征謎方程俯中有蘿一對確共軛育虛根宮，它知的對裂應于莫等幅派的周遷期振貍蕩，推稱為臨界張平衡扶狀態(tài)（或臨界糕穩(wěn)定展狀態(tài)）。從糊控航制苗工畏程肉的取角更度委認櫻為臨軟界辱穩(wěn)正定辣狀向態(tài)和隨沃遇子平缸衡夢狀染態(tài)屬稠于不穩(wěn)喝定。穩(wěn)定區(qū)不穩(wěn)定區(qū)臨界穩(wěn)定S平面7券/梨9核/繭2云0冊2遭35對于一階系統(tǒng)，只要都大于零，系統(tǒng)是穩(wěn)定的。對于二階系統(tǒng)，只有都大于零，系統(tǒng)才穩(wěn)定。（負實根或?qū)嵅繛樨摚τ谏A籠或以覆上系暢統(tǒng)，蹤蝶求根勢是很餓煩瑣野的。弄于是蝦就有旦了以鬼下描抽述的第代數(shù)雁穩(wěn)定答性判驕據(jù)。充要胃條件捧說明注意尿：穩(wěn)定樣性是撕線性閣定常兔系統(tǒng)僅的一蜂個屬左性，侍只與探系統(tǒng)慕本身嫩的結(jié)角構(gòu)參造數(shù)有蓮關(guān)，慢與輸篇入輸留出信境號無腫關(guān)，保與初述始條蛾件無澆關(guān)；享只與湖極點漁有關(guān)輩，與肅零點犯無關(guān)滴。7澤/鋪9極/冷2礎0她2鹿36二錄、歪勞趣思獲—古赫冰爾沒維右茨攔穩(wěn)罪定糊性震判象據(jù)（一）、勞思判據(jù)

設線性系統(tǒng)的特征方程為則該系統(tǒng)穩(wěn)定的充要條件為：特征方程的全部系數(shù)為正值；由特征方程系數(shù)組成的勞思陣的第一列也為正。勞思樓陣的糾前兩協(xié)行由埋特征奧方程敵的系籌數(shù)組彩成。第一醫(yī)行為炎1，疤3，蔽5，鳴…項貞系數(shù)童組成槐，第拌二描行態(tài)為辮2經(jīng)，襖4牽，擇6遙，格…運項垂系剩數(shù)航組川成噸。勞記斯拳判扔據(jù)7污/扭9青/池2爸0稼2克377/撤9/侍20飯238勞斯晝判據(jù)以護下系各侮項傲的悠計船算濟式刺為嫂：7/拼9/宋20申239勞斯淋判據(jù)依次類推。可求得7/鳳9/堤20懇231屋0勞斯牙判據(jù)抗例子[例]：特征方程為：，試判斷穩(wěn)定性。[解]：勞斯陣為：穩(wěn)定的充要條件為：均大于零且7菊/田9依/嫌2鬧0奔2腥31騰1特殊元情況生下勞吳斯陣癢列的到列寫歷及結(jié)隙論：用一咳個正桂數(shù)去絡乘或遠除某稻整行出，不療會改勒變系暴統(tǒng)的繡穩(wěn)定酬性結(jié)肺論；勞嬸斯蛋陣朱第逼一奧列鼠所若有句系蕉數(shù)育均由不咸為昨零備，嚼但途也構(gòu)不盒全筍為可正獸數(shù)找，騾則衛(wèi)系勿統(tǒng)膊不課穩(wěn)岡定她。智表常示s右猶半寬平艦面欠上月有銷極灑點顫，過極搭點震個深數(shù)妥等沖于何勞儲斯吃陣漂列悅第服一吸列耗系鹿數(shù)剛符踐號藝改拾變耗的單次扭數(shù)嚷。[挖例持]涉：棋系炕統(tǒng)喝的悶特銹征浙方剛程顆為滿：-130（2）100（）勞斯迫陣第繁一列首有負走數(shù)，豪系統(tǒng)滔是不福穩(wěn)定涼的。袖其符曬號變愚化兩趙次，節(jié)表示五有兩扛個極庸點在s的右報半平魂面。勞智斯鐮判頑據(jù)巡壽特廚殊燭情稻況7典/鋪9恐/亞2違0烘2皺31懼2勞撫斯閘判拒據(jù)養(yǎng)特寇殊底情兆況勞思陣某一行第一項系數(shù)為零，而其余系數(shù)不全為零。[處理辦法]：用很小的正數(shù)代替零的那一項，然后據(jù)此計算出勞斯陣列中的其他項。若第一次零（即）與其上項或下項的符號相反，計作一次符號變化。[例]：令則

故第一列不全為正，系統(tǒng)不穩(wěn)定，s右半平面有兩個極點。7猴/普9確/管2皺0攀2擁31謹3勞肺斯菊陣躺某戰(zhàn)行洽系逼數(shù)膛全相為伏零濁的怠情壘況們。甚表祖明召特嶼征容方笑程沙具難有桌大避小鋸相修等頓而塊位款置皮徑答向刮相匆反聾的陰根坦。專至熟少揭要得下樣述穩(wěn)幾破種龍情抹況到之睬一增出拉現(xiàn)夕，果如券：籌大郵小淡相蠢等廈，累符叮號劈燕相漫反班的戲一奇對礦實似根磚，勤或腹一厭對差共吃軛往虛演根巨，忠或叨對姜稱誰于洋虛徒軸拳的煌兩謊對隱共宗軛咬復緞根飄。勞斯名判據(jù)贏特殊公情況例如:[液處挖理梨辦棍法享]穴：可姨將泡不譽為咱零螞的養(yǎng)最來后品一粥行興的線系哥數(shù)郊組險成洲輔紀助覺方訪程眨，怖對錘此低輔郵助突方偶程偏式卡對s求染導搬所蝴得提方描程邪的濱系花數(shù)蠟代晝替竭全挨零甜的取行事。氣大輝小苦相俊等美，師位逃置弓徑假向魚相耽反勵的漆根姥可狠以啞通薪過包求怠解乳輔頃助船方傷程撲得甩到屬。秒輔聲助久方劈燕程宴應莫為渣偶扎次斜數(shù)躺的托。7/酒9/寧20儉2314[例]：168168130380從第籌一列該都大孝于零貸可見依，好沸象系胞統(tǒng)是鉗穩(wěn)定被的。才注意權(quán)此時墓還要營計算焰大小邀相等騾位置扶徑向廣相反寺的根嘴再來診判穩(wěn)宣。由橋輔助貴方程賀求得往：勞斯死判據(jù)茅特殊滔情況輔助方程為：，求導得：，或，用1，3，0代替全零行即可。此敏時婚系惜統(tǒng)對是擺臨男界音穩(wěn)淡定溪的川。球控鍛制堪工堡程栗上殿認沉為躬是故不鑄穩(wěn)浩定需的耕。7噴/收9今/口2斤0橡2報315（二賣）、嗚胡爾糞維茨蜂判據(jù)胡爾趴維茨判據(jù)設系統(tǒng)的特征方程式為：則系統(tǒng)穩(wěn)定的充要條件是：，且由特征方程系數(shù)構(gòu)成的胡爾維茨行列式的主子行列式全部為正。胡爾維茨行列式的構(gòu)造：主對角線上的各項為特征方程的第二項系數(shù)至最后一項系數(shù)，在主對角線以下各行中各項系數(shù)下標逐次增加，在主對角線以上各行中各項系數(shù)下標逐次減小。當下標大于n或小于0時，行列式中的項取0。胡爾維茨行列式：7/超9/衛(wèi)20氧2316胡瞎爾鐮維役茨判岡據(jù)以4階系統(tǒng)為例使用胡爾維茨判據(jù)：胡爾維茨行列式為：穩(wěn)定行的充撕要條煙件是股：7萬/局9鉗/廚2芳0置2倡317胡磚爾柄維己茨判醉據(jù)柄的段另經(jīng)一遭種拳形辭式系統(tǒng)穩(wěn)定的充要條件（Lienard-Chipard定理）：若或，則系統(tǒng)穩(wěn)定。胡爾撇維茨判據(jù)告的另滋一種殃形式狹：式中，為胡爾維茨主子行列式。采用這種形式的判據(jù)可減少一半的計算工作量。7/場9/柿20旁2318（三完）勞窯斯-健胡爾嗎維茨示穩(wěn)定彎性判漿據(jù)的蛇應用判務定氣控窩制怒系膜統(tǒng)必的震穩(wěn)遼定劣性[例3-4]系統(tǒng)的特征方程為：，判斷系統(tǒng)的穩(wěn)定性。[解誰]：砍排列紐奉勞斯勾陣如右下：因為，，且勞斯陣第一列不全為正，所以，系統(tǒng)不穩(wěn)定。由于勞斯陣第一列有兩次符號變化，所以系統(tǒng)在s右半平面有兩個極點。7/莖9/啊20奸231沃9[例3-5]：系統(tǒng)的特征方程為：試用胡爾維茨定理判穩(wěn)。[解]：系統(tǒng)的特征方程為：列胡爾維茨行列式如下：所薄以斤，壤系拆統(tǒng)豆是剝穩(wěn)弊定蒼的壯。注意：由于所以根據(jù)Lienard-Chipard定理，只要計算 這樣可以減小一半的計算量。7怪/見9腫/漁2溜0社2舉32罰0[例3-6]系統(tǒng)的特征方程為：該系統(tǒng)穩(wěn)定嗎？求出每一個極點并畫出極點分布圖。[胖解農(nóng)]確：羽勞栽斯閣陣吉如晝下行全為零。由前一行系數(shù)構(gòu)成輔助方程得：其導數(shù)為：將4,48或1,12代替行，可繼續(xù)排列勞斯陣如下：

因為行全為零，所以特征方程必有特殊的根。求解如下：

由于有特征根為共軛虛數(shù)，所以系統(tǒng)不穩(wěn)定7/以9/禾20俱232方1設剩余的一個根為-p。則：，整理得：比較系數(shù)得：-p=-2極買點棟分顫布晉如姜下僚：注助意壞：勞鵝斯移判鹽據(jù)籌實正際煉上捎只祝能旋判鑒斷險代牌數(shù)井方慈程鄉(xiāng)豐的近根轟是野在s平俱面渾左籠半帝閉魂平墳面箭還弊是索在緩右豎半柔開止平產(chǎn)面岡。誕對戰(zhàn)于始虛巖軸即上肉的厚根葬要索用扁輔笛助現(xiàn)方偷程探求蔑出柏。若纏代糊數(shù)本方山程泄有香對胖稱徒于貪虛吉軸匯的農(nóng)實律根吉或爸共貌軛茶復池根出，媽則納一真定拉在脅勞丹斯狡表局的跨第卷一宇列獨有局變藥號纖，舅并訊可疊由亞輔果助讀方吼程逃求顧出7倒/悶9放/泊2虧0表2細322分唇析濾系核統(tǒng)掉參叔數(shù)駕變芒化伏對牽穩(wěn)恨定塵性消的寬影墳響利用勞斯和胡爾維茨穩(wěn)定性判據(jù)還可以討論個別參數(shù)對穩(wěn)定性的影響，從而求得這些參數(shù)的取值范圍。若討論的參數(shù)為開環(huán)放大系數(shù)K，則使系統(tǒng)穩(wěn)定的最大K稱為臨界放大系數(shù)。[況例堪3衛(wèi)-競7君]古已厘知向系盆統(tǒng)遼的胡結(jié)堆構(gòu)家圖撐，巨試翠確咱定萄系盒統(tǒng)竿的愈臨逆界著放蔥大階系或數(shù)刷。[解]：閉環(huán)傳遞函數(shù)為：特征方程為：7/薦9/蛙20鞠2323勞斯陣：要使系統(tǒng)穩(wěn)定，必須①系數(shù)皆大于0，②勞斯陣第一列皆大于0所以，臨界放大系數(shù)確散定騎系捉統(tǒng)先的幸相芒對羽穩(wěn)情定技性釘（老穩(wěn)申定抓裕狹度割）利用楊勞斯預和胡飾爾維依茨穩(wěn)戚定性予判據(jù)員確定靠的是鍋系統(tǒng)寧穩(wěn)定乓或不廁穩(wěn)定忠，即清絕對紙穩(wěn)定珠性。朽在實含際系賞統(tǒng)中湖，往錫往需見要知梯道系暈統(tǒng)離袍臨界勺穩(wěn)定付有多男少裕希量，昌這就茂是相障對穩(wěn)幸定性全或穩(wěn)車定裕陣量問襖題。7/置9/其20四2324利用實部最大的特征方程的根p（若穩(wěn)定的話，它離虛軸最近）和虛軸的距離表示系統(tǒng)穩(wěn)定裕量。若p處于虛軸上，則，表示穩(wěn)定裕量為0。作的垂線，若系統(tǒng)的極點都在該線的左邊，則稱該系統(tǒng)具有的穩(wěn)定裕度。一般說，越大，穩(wěn)定程度越高?？捎?代入特征方程，得以z為變量的新的特征方程，用勞斯-胡爾維茨判據(jù)進行判穩(wěn)。若穩(wěn)定，則稱系統(tǒng)具有的穩(wěn)定裕度。[例]系統(tǒng)特征為：，可知它是穩(wěn)定的。令則：行全為零，以它上面的行組成輔助方程，其解為特殊根。對輔助方程求導，用其系數(shù)代替行。輔助方程為：，其系數(shù)為1，0。其解為： ，有一對共軛虛根，所以系統(tǒng)是臨界穩(wěn)定的。系統(tǒng)的穩(wěn)定裕度恰為1。7偶/次9騾/墊2掀0閉2呆32造5[京例麥3跳-肥7澆]都已攔知恰系捎統(tǒng)雁的嘴結(jié)眼構(gòu)歉圖鐵，晝?yōu)楸範I系獅統(tǒng)立特腿征泊方狐程峽的柜根施的弓實表數(shù)靠部畢分瞞不德大遲于嘴-迫1清，參試重確貸定k值稠的籠取嘗值著范啦圍橫。[巾解幸]坡：侄閉早環(huán)裙特駱征辰方紅程邪為物：現(xiàn)以s=團x-物1代瞞入宜上負式盼，由得勞斯陣：要使系統(tǒng)穩(wěn)定，必須①系數(shù)皆大于0，②勞斯陣第一列皆大于0所以，此時k的取值范圍為7閣/造9仙/兆2碧0艦2撕32述6討論相對穩(wěn)定性除了考慮極點離虛軸遠近外，還要考慮共軛極點的振蕩情況。對于共軛極點，其實部反映響應的衰減快慢，虛部反映響應的振蕩情況。對于極點，對應的時域響應為。所以，越小，衰減越慢，越大，振蕩越激烈。如下圖示意：可用共軛極點對負實軸的張角來表示系統(tǒng)的相對穩(wěn)定性。當時，表示極點在虛軸上，系統(tǒng)為臨界穩(wěn)定。越小，穩(wěn)定性越高。相對穩(wěn)定性越好。7竭/帶9感/吩2位0強2列32慘7三翠、部結(jié)被構(gòu)濕不阿穩(wěn)俘定腿系稠統(tǒng)及媽其拿改仰進兩措學施僅驗僅犧調(diào)侮節(jié)蜘參叼數(shù)早無都法攏穩(wěn)串定遇的盆系孕統(tǒng)拼稱娃為愛結(jié)匯構(gòu)睬不館穩(wěn)濤定燙系跳統(tǒng)繳。結(jié)質(zhì)構(gòu)旅不夢穩(wěn)掠定殺系輝統(tǒng)腦及夢其蜜改蘭進抗措租施-杠理桿建和中放粒大墻器洋的嫁傳按遞廢函慈數(shù)執(zhí)行往電機潑的傳支遞函搶數(shù)進水扛閥門主的傳軟遞函醫(yī)數(shù)控王制鑰對憐象淚水陰箱遵的灣傳拜遞疾函鞋數(shù)例守：繼如躲圖甘所敲示當?shù)慕K液鑰位加控需制有系貿(mào)統(tǒng)7響/茶9猶/避2差0驗2漁328結(jié)構(gòu)龍不穩(wěn)鏟定系余統(tǒng)及貢其改助進措哈施閉環(huán)遙傳遞糕函數(shù)晶為：令：閉環(huán)特征方程為：展開為：方程系數(shù)：由于，不滿足系統(tǒng)穩(wěn)定的必要條件，所以系統(tǒng)是不穩(wěn)定的。這也可從勞斯表看出。勞斯表：由蠟于陣無導論著怎映樣擴調(diào)各節(jié)鍋參辛數(shù)K和T都不暢能使碼系統(tǒng)袋穩(wěn)定名，所亮以是乘一個梁結(jié)構(gòu)肅不穩(wěn)日定的競系統(tǒng)簡。欲拘使罪系拜統(tǒng)配穩(wěn)賺定面，絨必櫻須宇改稅變故原犁系照統(tǒng)繪的兆結(jié)態(tài)構(gòu)暖。7/懲9/學20么2329結(jié)草構(gòu)爆不聞穩(wěn)膜定何系刃統(tǒng)里及株其岔改毫進標措貼施由圖摔可看冷出，創(chuàng)造成陜系統(tǒng)隱結(jié)構(gòu)殊不穩(wěn)駝定的血原因育是前慶向通粉路中肉有兩它個積賣分環(huán)衣節(jié)串部聯(lián)，肥而傳陪遞函坐數(shù)的籠分子恢只有磚增益K侮。這樣毯，造鳴成系嫩統(tǒng)閉浴環(huán)特翻征方庸程缺示項，后即s一架次恩項條系睬數(shù)闖為鉆零敬。因此皂，消偏除結(jié)堡構(gòu)不時穩(wěn)定脊的措蘇施可吸以有仙兩種尚，一腸是改蛇變積充分性要質(zhì)；腹二是丙引入唐開環(huán)雹零點稿，補周上特剃征方培程中題的缺伸項。-7紗/砍9挺/埋2坑0歸2妻330結(jié)盛構(gòu)伴不虛穩(wěn)職定需系掌統(tǒng)嗽及翠其