第一次數(shù)學危機

第一次數(shù)學危機第1頁，課件共47頁，創(chuàng)作于2023年2月2歷史上，數(shù)學的發(fā)展有順利也有曲折。大的挫折叫做危機。危機意味著挑戰(zhàn)，危機的解決就意味著進步。所以，危機往往是數(shù)學發(fā)展的先導。數(shù)學發(fā)展史上有三次數(shù)學危機。每一次數(shù)學危機，都是數(shù)學的基本部分受到質疑。實際上，也恰恰是這三次危機，引發(fā)了數(shù)學上的三次思想解放，大大推動了數(shù)學科學的發(fā)展。第2頁，課件共47頁，創(chuàng)作于2023年2月一、什么是數(shù)學危機

危機是一種激化的、非解決不可的矛盾。從哲學上來看，矛盾是無處不在的、不可避免的。人類最早認識的是自然數(shù)。從引進零及負數(shù)就經歷過斗爭：要么引進這些數(shù)，要么大量的數(shù)的減法就行不通；引進分數(shù)使乘法有了逆運算——除法。第3頁，課件共47頁，創(chuàng)作于2023年2月接著又出現(xiàn)了這樣的問題，是否所有的量都能用有理數(shù)來表示?于是發(fā)現(xiàn)無理數(shù)就導致了第一次數(shù)學危機，而危機的解決也就促使邏輯的發(fā)展和幾何學的體系化。

方程的解導致了虛數(shù)的出現(xiàn)，虛數(shù)從一開始就被認為是“不實的”?？墒沁@種不實的數(shù)卻能解決實數(shù)所不能解決的問題，從而為自己爭得存在的權利。

幾何學的發(fā)展從歐幾里得幾何的一統(tǒng)天下發(fā)展到各種非歐幾何學。第4頁，課件共47頁，創(chuàng)作于2023年2月5二、畢達哥拉斯學派和他們的

“萬物皆數(shù)”

1.畢達哥拉斯Pythagoras(約前570年—前500年）

畢達哥拉斯是公元前500多年古希臘的哲學家、數(shù)學家、天文學家。第5頁，課件共47頁，創(chuàng)作于2023年2月6畢達哥拉斯(公元前570年～公元前500年)第6頁，課件共47頁，創(chuàng)作于2023年2月7

畢達哥拉斯學派是一個宗教式的組織，也致力于哲學與數(shù)學的研究，促進了數(shù)學和理性哲學的發(fā)展，并對柏拉圖和亞里士多德的思想產生很大影響。第7頁，課件共47頁，創(chuàng)作于2023年2月8

相傳“哲學”（希臘原詞意為“智力愛好”）和“數(shù)學”（希臘原詞意為“可學到的知識”）這兩個詞是畢達哥拉斯本人所創(chuàng)。第8頁，課件共47頁，創(chuàng)作于2023年2月92.畢達哥拉斯學派在數(shù)學上的貢獻

1）數(shù)學證明的起始

泰勒斯畢達哥拉斯歐幾里得證明是要有假設的:公設、公理及定義。許多人推測，歐幾里得幾何《原本》前兩卷的大部分材料，來源于畢達哥拉斯學派。第9頁，課件共47頁，創(chuàng)作于2023年2月10

2）數(shù)學抽象的提出

從實物的數(shù)與形，抽象到數(shù)學上的數(shù)與形，本身就把數(shù)學推向了科學。

3）畢達哥拉斯定理

即“直角三角形兩條直角邊的平方和等于斜邊的平方”。在中國叫商高定理或勾股定理。第10頁，課件共47頁，創(chuàng)作于2023年2月11《周髀算經》中的“勾股定理”

（約公元前700年）

《周髀算經》卷上記載西周開國時期周公與大夫商高討論勾股測量的對話，商高答周公問時提到“勾廣三股修四經隅五”，這是勾股定理的特例。卷上另一處敘述周公后人榮方與陳子（約公元前6、7世紀）的對話中，則包含了勾股定理的一般形式：“……以日下為勾，日高為股，勾股各自乘，并而開方除之，得邪至日?！钡?1頁，課件共47頁，創(chuàng)作于2023年2月12

中國數(shù)學史上最先完成勾股定理證明：公元3世紀三國時期的趙爽。趙爽注《周髀算經》，作“勾股圓方圖”，其中的弦圖，相當于運用面積的“出入相補”方法（劉徽），證明了勾股定理。如圖第12頁，課件共47頁，創(chuàng)作于2023年2月13第13頁，課件共47頁，創(chuàng)作于2023年2月14

西方文獻中稱此定理為畢達哥拉斯定理。曾經有人編書，收集了勾股定理的370種證法。第14頁，課件共47頁，創(chuàng)作于2023年2月153.畢達哥拉斯學派的“萬物皆數(shù)”學說

1）“萬物皆數(shù)”學說

①數(shù)，是世界的法則

畢達哥拉斯說的“數(shù)”，是指自然數(shù)，即正整數(shù)，同時還包含它們的比，即正分數(shù)。

②任意兩條線段a、d都是可公度的

“可公度的”，意即有公共的度量單位

t。第15頁，課件共47頁，創(chuàng)作于2023年2月162）實例

①形數(shù)

三邊形數(shù)、四邊形數(shù)、五邊形數(shù)、六邊形數(shù)；第16頁，課件共47頁，創(chuàng)作于2023年2月17

三邊形數(shù)四邊形數(shù)五邊形數(shù)六邊形數(shù)第17頁，課件共47頁，創(chuàng)作于2023年2月18

“形數(shù)”體現(xiàn)了數(shù)與形的結合；讓我們從又一個側面了解“萬物皆數(shù)”。

畢達哥拉斯學派的“萬物皆數(shù)”學說，加強了數(shù)學中的理論化傾向。第18頁，課件共47頁，創(chuàng)作于2023年2月19

②多個場合下的小整數(shù)比

ⅰ產生諧音的各個弦的長度成小整數(shù)比

繃得一樣緊的兩根弦，若其長度成小整數(shù)比，就會發(fā)出諧音。例如，1︰2時短弦的音高

8度，2︰3時短弦音高5度，3︰4時短弦音高4

度；當三根弦的長度之比為3︰4︰6時，就得到諧音。第19頁，課件共47頁，創(chuàng)作于2023年2月20

ⅱ同名正多邊形復蓋平面的情形（即鋪正多邊形地磚的情形）

只有三種情況：環(huán)繞平面上一個點可以緊密地放6個正三角形，或者4個正方形，或者3個正六邊形，如圖：第20頁，課件共47頁，創(chuàng)作于2023年2月21第21頁，課件共47頁，創(chuàng)作于2023年2月22

畢達哥拉斯學派確信：“宇宙的和諧在于數(shù)”，神是以數(shù)的規(guī)律創(chuàng)造世界的。

“萬物皆數(shù)”學說產生了很大的影響。第22頁，課件共47頁，創(chuàng)作于2023年2月23三、與第一次數(shù)學危機對“萬物皆數(shù)”理論產生沖擊的，卻正是畢達哥拉斯學派自己的一個發(fā)現(xiàn)，用現(xiàn)在的符號，這就是。第23頁，課件共47頁，創(chuàng)作于2023年2月241.的發(fā)現(xiàn)和危機的產生C11根據(jù)畢達哥拉斯定理，邊長為1的正方形，其對角線長度若記為，則，推出1）一個不能表成整數(shù)比的數(shù)第24頁，課件共47頁，創(chuàng)作于2023年2月25下邊證明，當時，不能表成整數(shù)比。由此知是偶數(shù)。由于偶數(shù)的平方是偶數(shù)，奇數(shù)的平方是奇數(shù)，∴是偶數(shù)。如果不然，有兩個正整數(shù)和使（不妨設是既約分數(shù)即）。兩端平方得，即。第25頁，課件共47頁，創(chuàng)作于2023年2月26因“既約”，不能再是偶數(shù)，于是是奇數(shù)。這樣的左端，因是奇數(shù)而不能被4整除，右端卻因是偶數(shù)而可以被4整除。這個矛盾說明開始的假設是錯誤的。從而不能表成兩個整數(shù)的比。證畢。

[注]：這是“反證法”的開始。第26頁，課件共47頁，創(chuàng)作于2023年2月272）不可公度的線段

設正方形的邊長為，對角線長為，如圖：daa第27頁，課件共47頁，創(chuàng)作于2023年2月28根據(jù)畢達哥拉斯定理，。如果存在第三個線段長為，使得和都是的整數(shù)倍，如

，

，這里，是整數(shù).第28頁，課件共47頁，創(chuàng)作于2023年2月29由得，從而，又可以類似于上一個證明導出矛盾。于是，與就是不可公度線段。所以，不可能存在長度為的線段，使得且。（嚴重：“可公度”涉及“成比例”，進一步還涉及“相似形”）第29頁，課件共47頁，創(chuàng)作于2023年2月30

3）危機產生，封鎖消息

希帕索斯泄露秘密，被拋進大海。一個正方形的對角線與其一邊的長度是不可公度的

希帕索斯(Hippasus)第30頁，課件共47頁，創(chuàng)作于2023年2月314）無理數(shù)

像這樣的數(shù)，和其它一些不能表成整數(shù)比的數(shù)，稱為無理數(shù)。

稱兩個整數(shù)之比為有理數(shù)，而把那樣的一類數(shù)叫做無理數(shù)，即沒有道理的數(shù)，原來是翻譯出了問題。第31頁，課件共47頁，創(chuàng)作于2023年2月32rationalnumber是有理數(shù)的英文名稱，而rational是一個多義詞，含有“比的”，“有理的”意思。而詞根ratio來自希臘文，完全是“比”的意思。對“rationalnumber”正確的翻譯應該是“比數(shù)”?！氨葦?shù)”的名稱才正確反應了這類數(shù)是兩個整數(shù)之比的內涵。人類在認識有理數(shù)之前，唯一知道的是自然數(shù)。那時所謂的“數(shù)”，都是自然數(shù)。把由自然數(shù)產生的數(shù)叫做比數(shù)，其實才符合古人的原意。第32頁，課件共47頁，創(chuàng)作于2023年2月33

在東方，最早把rationalnumber翻譯過來的是日本人?？赡苁悄莻€日本人英文不好，數(shù)學又不太懂，把它翻譯成“有理數(shù)”。而日本文字又和漢字形似，于是中國人把這三個字照搬過來，沿用至今，形成習慣。如果正確地把兩個整數(shù)之比叫做“比數(shù)”，那么像一類的數(shù)稱為“非比數(shù)”，還是頗有道理的。第33頁，課件共47頁，創(chuàng)作于2023年2月34

2.“兩個量的比相等”的新定義

——部分地消除了危機

第34頁，課件共47頁，創(chuàng)作于2023年2月35

兩個量的比相等，即。約公元前370年，希臘數(shù)學家歐多克索斯和阿契塔的定義：“稱四個量的第一個和第二個之比與第三個和第四個之比相等，如果取第一個和第三個量的任何相同的倍數(shù)，第二個和第四個量的任何其他的相同倍數(shù)后，從第三個量的倍數(shù)大于、等于或小于第四個量的倍數(shù)，便有第一個量的倍數(shù)對第二個量的倍數(shù)的相應關系”。

第35頁，課件共47頁，創(chuàng)作于2023年2月36

“兩個量的比相等”的這一定義，是正確的、嚴格的，部分地解決了危機，使幾何的基礎牢靠了，幾何從全部數(shù)學中脫穎而出。歐幾里得的幾何《原本》中也采用了這一定義，以致在以后的近二千年中，幾何變成了幾乎是全部嚴密數(shù)學的基礎。但是徹底解決這一危機是在19世紀，依賴于數(shù)系的擴充和實數(shù)理論的建立。第36頁，課件共47頁，創(chuàng)作于2023年2月37

3.無理數(shù)與數(shù)系的擴張——危機的解決

1）有理數(shù)的稠密性

定義：“一個數(shù)集在數(shù)軸上是稠密的”是指，在數(shù)軸上，每一個不管處于什么位置，也不論是多么小的區(qū)間（,）中都存在著這個數(shù)集中的點。

定理：有理數(shù)集在數(shù)軸上是稠密的。

第37頁，課件共47頁，創(chuàng)作于2023年2月38

2）數(shù)軸

①古代觀點：數(shù)軸?有理數(shù)②現(xiàn)代觀點：數(shù)軸?實數(shù)

第38頁，課件共47頁，創(chuàng)作于2023年2月393）數(shù)系的擴張——危機的解決

①自然數(shù)系②有理數(shù)系③實數(shù)系第39頁，課件共47頁，創(chuàng)作于2023年2月40實數(shù)系具有連續(xù)性。有理數(shù)系具有稠密性,卻不具有連續(xù)性。數(shù)系的連續(xù)性和稠密性是兩個不同的概念。數(shù)系的稠密性，通俗說成“到處都有”、“密密麻麻”；數(shù)系的連續(xù)性，通俗說成“一個挨一個”、“針插不進，水潑不進”。連續(xù)性是一個很好的性質。但是對“數(shù)系的連續(xù)性”的概念，給出嚴格的數(shù)學定義，就那么容易了。第40頁，課件共47頁，創(chuàng)作于2023年2月數(shù)系擴張為實數(shù)系以后，第一次數(shù)學危機就徹底解決了。因為數(shù)的范圍擴充以后，“萬物皆數(shù)”的命題就是正確的了；不能表成整數(shù)比的數(shù)，即無理數(shù)，也是實數(shù)系中的數(shù)了。41第41頁，課件共47頁，創(chuàng)作于2023年2月42[思]：能說“任何兩個有理數(shù)之間都有無理數(shù)”嗎？為什么？第42頁，課件共47頁，創(chuàng)作于2023年2月43四、反證法與無理數(shù)

1.反證法

1）反證法的威力

第43頁，課件共47頁，創(chuàng)作于2023年2月44