2022-2023學(xué)年湖南省郴州市臨武縣第二中學(xué)高三數(shù)學(xué)理下學(xué)期摸底試題含解析

2022-2023學(xué)年湖南省郴州市臨武縣第二中學(xué)高三數(shù)學(xué)理下學(xué)期摸底試題含解析一、選擇題：本大題共10小題，每小題5分，共50分。在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有是一個(gè)符合題目要求的1.雙曲線的中心在坐標(biāo)原點(diǎn)O，A、C分別為雙曲線虛軸的上、下頂點(diǎn)，B是雙曲線的左頂點(diǎn)，F(xiàn)是雙曲線的左焦點(diǎn)，直線AB與FC相交于D，若雙曲線離心率為2，則的余弦值為

A．

B．

C．

D．參考答案：C2.已知集合，，那么“”是“”的（

）（A）充分不必要條件（B）必要不充分條件（C）充分必要條件（D）不充分也不必要條件參考答案：B3.設(shè)函數(shù)D(x)＝則下列結(jié)論錯(cuò)誤的是A．D(x)的值域?yàn)閧0，1}

B．D(x)是偶函數(shù)C．D(x)不是周期函數(shù) D．D(x)不是單調(diào)函數(shù)參考答案：C略4.（08年全國(guó)卷Ⅰ文）是

A．最小正周期為的偶像函數(shù)

B．最小正周期為的奇函數(shù)

C．最小正周期為的偶函數(shù)

D．最小正周期為的奇函數(shù)參考答案：【解析】本題主要考查了三角函數(shù)的化簡(jiǎn)，主要應(yīng)用了與的關(guān)系，同時(shí)還考查了二倍角公式和函數(shù)的奇偶性和利用公式法求周期。因?yàn)?，所以．答案為D5.函數(shù)的單調(diào)增區(qū)間為（

）A.

B.

C.和

D.和參考答案：A略6.是（

）A.最小正周期為的奇函數(shù)

B.最小正周期為的偶函數(shù)C.最小正周期為的奇函數(shù)

D.最小正周期為的偶函數(shù)參考答案：C略7.復(fù)數(shù)（

）A．

B．

C．

D．參考答案：C8.集合，則（

）A．

B．

C．

D．參考答案：D略9.已知函數(shù)，若實(shí)數(shù)是方程

的解，且，則（

）A、恒為負(fù)數(shù)

B、等于0

C、恒為正值

D、不大于0參考答案：A10.已知滿足，則的最小值為

(

)A．1

B．

C．

D．參考答案：B略二、填空題:本大題共7小題,每小題4分,共28分11.已知向量,，若，則等于

.參考答案：2略12.執(zhí)行右邊的程序框圖,若，則輸出的

.參考答案：513.給出下面四個(gè)函數(shù)：①y=cos|2x|；②y=|sinx|；③y=cos(2x+)；④y=tan(2x－)．其中最小正周期為π的有（）A．①②③ B．②③④ C．②③ D．①④參考答案：A【分析】利用三角函數(shù)的周期性求得每個(gè)函數(shù)的周期，從而得出結(jié)論．【解答】解：由于：①y=cos|2x|的最小正周期為=π；②y=|sinx|的最小正周期為=π；③

的最小正周期為=π；④

的最小正周期為，故選：A．14.等差數(shù)列的前項(xiàng)和為，已知?jiǎng)t的最小值為

參考答案：略15.設(shè)函數(shù)若則函數(shù)的各極大值之和為

．參考答案：16.已知函數(shù)

；

參考答案：1/2略17.若直線的極坐標(biāo)方程為，圓：（為參數(shù)）上的點(diǎn)到直線的距離為，則的最大值為

參考答案：三、解答題：本大題共5小題，共72分。解答應(yīng)寫出文字說明，證明過程或演算步驟18.已知函數(shù)f（x）=lnx﹣x+1，x∈（0，+∞），g（x）=x3﹣ax．（1）求f（x）的最大值；（2）若對(duì)?x1∈（0，+∞），總存在x2∈[1，2]使得f（x1）≤g（x2）成立，求a的取值范圍；（3）證明不等式：（）n+（）n+…+（）n＜．參考答案：【考點(diǎn)】導(dǎo)數(shù)在最大值、最小值問題中的應(yīng)用；不等式的證明．【專題】綜合題；導(dǎo)數(shù)的綜合應(yīng)用．【分析】（1）求導(dǎo)函數(shù)，確定函數(shù)的單調(diào)性，可得f（x）≤f（1）=0，從而可求f（x）的最大值；（2）若對(duì)?x1∈（0，+∞），總存在x2∈[1，2]使得f（x1）≤g（x2）成立，等價(jià)于f（x）max≤g（x）max，由（1）知f（x）max=0，分類討論，求出g（x）max，即可求a的取值范圍；（3）由（1）知f（x）≤0即lnx≤x﹣1（x＞0），取x=，可得ln≤﹣1=，從而可得（）n≤ek﹣n，即可證明結(jié)論．【解答】（1）解：∵f（x）=lnx﹣x+1（x＞0）∴f′（x）=，∴當(dāng)0＜x＜1時(shí)，f′（x）＞0，x＞1時(shí)，f′（x）＜0，∴f（x）≤f（1）=0，∴f（x）的最大值為0；（2）解：?x1∈（0，+∞），總存在x2∈[1，2]使得f（x1）≤g（x2）成立，等價(jià)于f（x）max≤g（x）max，由（1）知f（x）max=0，當(dāng)a≤0時(shí)，g（x）=x3﹣ax在x∈[1，2]時(shí)恒為正，滿足題意．當(dāng)a＞0時(shí)，g′（x）=3x2﹣a，令g′（x）=0，解得x=±，∴g（x）在（﹣∞，﹣），（，+∞）上單調(diào)增若≤1即0＜a≤3時(shí)，g（x）max=g（2）=8﹣2a，∴8﹣2a≥0，∴a≤4，∴0＜a≤3若1＜≤2即3＜a≤12時(shí)，g（x）在[1，]，[，2]而g（1）=1﹣a＜0，g（2）=8﹣2a在（3，4]為正，在（4，12）為負(fù)∴3＜a≤4當(dāng)＞2而a＞12時(shí)g（1）＜0，g（2）＜0不合題意綜上a的取值范圍為

a≤4．（3）證明：由（1）知f（x）≤0即lnx≤x﹣1（x＞0）取x=，∴l(xiāng)n≤﹣1=，∴nln≤k﹣n，即（）n≤ek﹣n，∴（）n+（）n+…+（）n≤e1﹣n+e2﹣n+…+en﹣n==＜．【點(diǎn)評(píng)】本題考查導(dǎo)數(shù)知識(shí)的運(yùn)用，考查函數(shù)的最值，考查不等式的證明，考查分類討論的數(shù)學(xué)思想，屬于難題．19.如圖，在邊長(zhǎng)為3的正方形ABCD中，點(diǎn)E，F(xiàn)分別在邊AB，BC上(如圖1)，且BE=BF，將△AED，△DCF分別沿DE，DF折起，使A，C兩點(diǎn)重合于點(diǎn)A′(如圖2).（1）求證：A′D⊥EF；（2）BFBC時(shí)，求點(diǎn)A′到平面DEF的距離.參考答案：（1）證明見解析.（2）【分析】（1）推導(dǎo)出A′E⊥A′D，A′F⊥A′D，由線面垂直的判定定理得到A′D⊥平面A′EF，由此得證.

（2）設(shè)點(diǎn)A′到平面DEF的距離為d，由VA′﹣DEF=VD﹣A′EF，能求出點(diǎn)A′到平面DEF的距離.【詳解】（1）由ABCD正方形及折疊方式，得：A′E⊥A′D，A′F⊥A′D，∵A′E∩A′F=A′，∴A′D⊥平面A′EF，∵EF?平面A′EF，∴A′D⊥EF.（2）∵，∴，∴，∴DE=DF，∴，設(shè)點(diǎn)A′到平面DEF的距離為d，∵VA′﹣DEF=VD﹣A′EF，∴，解得d.∴點(diǎn)A′到平面DEF的距離為.【點(diǎn)睛】本題主要考查線線垂直，線面垂直的轉(zhuǎn)化以及等體積法球點(diǎn)到面的距離，還考查轉(zhuǎn)化化歸的思想和邏輯推理，運(yùn)算求解的能力，屬于中檔題.20.設(shè)數(shù)列是一等差數(shù)列，數(shù)列的前n項(xiàng)和為，若．⑴求數(shù)列的通項(xiàng)公式；⑵求數(shù)列的前n項(xiàng)和．參考答案：解：⑴

，又，∴，

……………2分∵為一等差數(shù)列，∴公差，

……………4分即．

……………6分⑵∵

①，

②,

①—②得，，

……………9分∴數(shù)列是一等比數(shù)列，公比，即.∴．

……12分略21.交強(qiáng)險(xiǎn)是車主必須為機(jī)動(dòng)車購(gòu)買的險(xiǎn)種，若普通6座以下私家車投保交強(qiáng)險(xiǎn)第一年的費(fèi)用（基準(zhǔn)保費(fèi)）統(tǒng)一為元，在下一年續(xù)保時(shí)，實(shí)行的是費(fèi)率浮動(dòng)機(jī)制，保費(fèi)與上一年度車輛發(fā)生道路交通事故的情況相聯(lián)系，發(fā)生交通事故的次數(shù)越多，費(fèi)率也就越高，具體浮動(dòng)情況如表：交強(qiáng)險(xiǎn)浮動(dòng)因素和浮動(dòng)費(fèi)率比率表

浮動(dòng)因素浮動(dòng)比率上一個(gè)年度未發(fā)生有責(zé)任道路交通事故下浮上兩個(gè)年度未發(fā)生有責(zé)任道路交通事故下浮上三個(gè)及以上年度未發(fā)生有責(zé)任道路交通事故下浮上一個(gè)年度發(fā)生一次有責(zé)任不涉及死亡的道路交通事故上一個(gè)年度發(fā)生兩次及兩次以上有責(zé)任道路交通事故上浮上一個(gè)年度發(fā)生有責(zé)任道路交通死亡事故上浮某機(jī)構(gòu)為了研究某一品牌普通6座以下私家車的投保情況，隨機(jī)抽取了60輛車齡已滿三年的該品牌同型號(hào)私家車的下一年續(xù)保時(shí)的情況，統(tǒng)計(jì)得到了下面的表格：類型數(shù)量105520155以這60輛該品牌車的投保類型的頻率代替一輛車投保類型的概率，完成下列問題:（Ⅰ）求一輛普通6座以下私家車（車險(xiǎn)已滿三年）在下一年續(xù)保時(shí)保費(fèi)高于基本保費(fèi)的頻率；（Ⅱ）某二手車銷售商專門銷售這一品牌的二手車，且將下一年的交強(qiáng)險(xiǎn)保費(fèi)高于基本保費(fèi)的車輛記為事故車．假設(shè)購(gòu)進(jìn)一輛事故車虧損5000元，一輛非事故車盈利10000元．且各種投保類型車的頻率與上述機(jī)構(gòu)調(diào)查的頻率一致，完成下列問題：①若該銷售商購(gòu)進(jìn)6輛（車齡已滿三年）該品牌二手車，某顧客欲在店內(nèi)隨機(jī)挑選兩輛車，求這兩輛車恰好有一輛為事故車的概率；②若該銷售商一次購(gòu)進(jìn)120輛（車齡已滿三年）該品牌二手車，求一輛車盈利的平均值．參考答案：（Ⅰ）一輛普通6座以下私家車（車險(xiǎn)已滿三年）在下一年續(xù)保時(shí)保費(fèi)高于基本保費(fèi)的頻率為．（Ⅱ）①由統(tǒng)計(jì)數(shù)據(jù)可知，該銷售商店內(nèi)的六輛該品牌車齡已滿三年的二手車有兩輛事故車，四輛非事故車設(shè)為，從六輛車中隨機(jī)挑選兩輛車共有，，，，，，，，，，，，，，總共15種情況，其中兩輛車恰好有一輛事故車共有，，，，，，，，總共8種情況．所以該顧客在店內(nèi)隨機(jī)挑選的兩輛車恰好有一輛事故車的概率為．②由統(tǒng)計(jì)數(shù)據(jù)可知，該銷售量一次購(gòu)進(jìn)120輛該品牌車齡已滿三年的二手車有事故車40輛，非事故車80輛，所以一輛車盈利的平均值為元．22.某大學(xué)為調(diào)查來(lái)自南方和北方的同齡大學(xué)生的身高差異，從2011級(jí)的年齡在18～19歲之間的大學(xué)生中隨機(jī)抽取了來(lái)自南方和北方的大學(xué)生各10名，測(cè)量他們的身高，數(shù)據(jù)如下（單位：cm）：南方：158,170,166,169,180,175,171,176,162,163；北方：183,173,169,163,179,171,157,175,178,166.(Ⅰ)根據(jù)抽測(cè)結(jié)果，畫出莖葉圖，并根據(jù)你畫的莖葉圖，對(duì)來(lái)自南方和北方的大學(xué)生的身高作比較，寫出兩個(gè)統(tǒng)計(jì)結(jié)論；(Ⅱ)若將樣本頻率視為總體的概率，現(xiàn)從來(lái)自南方的身高不低于170的大學(xué)生中隨機(jī)抽取3名同學(xué)，求其中恰有兩名同學(xué)的身高低于175的概率.參考答案：(1)莖葉圖如右：

統(tǒng)計(jì)結(jié)論：（給出下列四個(gè)供參考，考生只要答對(duì)其中兩個(gè)即給滿分，給出其他合進(jìn)的