2021年湖南省邵陽市東方中學高三數(shù)學理期末試卷含解析

2021年湖南省邵陽市東方中學高三數(shù)學理期末試卷含解析一、選擇題：本大題共10小題，每小題5分，共50分。在每小題給出的四個選項中，只有是一個符合題目要求的1.已知定義在R上的偶函數(shù)f（x）在[0，+∞）上遞減，若不等式2f（﹣ax+lnx+1）+f（ax﹣lnx﹣1）≥3f（l）對x∈[1，3]恒成立，則實數(shù)a的取值范圍是（）A．[2，e] B．[，+∞） C．[，e] D．[，]參考答案：D【考點】奇偶性與單調(diào)性的綜合．【分析】由條件利用函數(shù)的奇偶性和單調(diào)性，可得0≤ax﹣lnx≤2對x∈[1，3]恒成立．即a≥且a≤對x∈[1，3]恒成立．求得相應的最大值和最小值，從而求得a的范圍．【解答】解：∵定義在R上的偶函數(shù)f（x）在[0，+∞）上遞減，∴f（x）在（﹣∞，0）上單調(diào)遞增，若不等式2f（﹣ax+lnx+1）+f（ax﹣lnx﹣1）≥3f（l）對x∈[1，3]恒成立，即f（ax﹣lnx﹣1）≥f（1）對x∈[1，3]恒成立．∴﹣1≤ax﹣lnx﹣1≤1對x∈[1，3]恒成立，即0≤ax﹣lnx≤2對x∈[1，3]恒成立，即a≥且a≤對x∈[1，3]恒成立．令g（x）=，則g′（x）=，在[1，e）上遞增，（e，3]上遞減，∴g（x）max=．令h（x）=，h′（x）=＜0，在[1，3]上遞減，∴h（x）min=．綜上所述，a∈[，]．故選D．【點評】本題主要考查函數(shù)的奇偶性和單調(diào)性的綜合應用，函數(shù)的恒成立問題，體現(xiàn)了轉(zhuǎn)化的數(shù)學思想，屬于中檔題．2.已知集合，則（

）A、

B、

C、

D、參考答案：C略3.已知集合A＝{1，a}，B＝{1,2,3}，則“a＝3”是“AB”的(

)A．充分而不必要條件

B．必要而不充分條件C．充分必要條件

D．既不充分也不必要條件參考答案：A略4.對具有線性相關(guān)關(guān)系的變量x，y，有一組觀測數(shù)據(jù)(，)(i=1，2，…，8)，其回歸直線方程是：，且，則實數(shù)a的值是A．

B．

C．

D．

參考答案：B5.給定方程：，下列命題中：(1)該方程沒有小于0的實數(shù)解；(2)該方程有無數(shù)個實數(shù)解；(3)該方程在(–∞，0)內(nèi)有且只有一個實數(shù)解；(4)若x0是該方程的實數(shù)解，則x0>–1．則正確命題的個數(shù)是

（

）(A)1

(B)2

(C)3

(D)4參考答案：C解：ó，令，，在同一坐標系中畫出兩函數(shù)的圖像如右，由圖像知：(1)錯，(3)、(4)對，而由于遞增，小于1，且以直線為漸近線，在－1到1之間振蕩，故在區(qū)間(0,+￥)上，兩者圖像有無窮個交點，∴(2)對，故選C.6.（07年全國卷Ⅰ理）函數(shù)的一個單調(diào)增區(qū)間是A．

B．

C．

D．參考答案：答案：A解析：函數(shù)=，從復合函數(shù)的角度看，原函數(shù)看作，，對于，當時，為減函數(shù)，當時，為增函數(shù)，當時，減函數(shù)，且，∴原函數(shù)此時是單調(diào)增，選A。7.在△ABC中，，BC=1，AC=5，則AB=A． B． C．

D．參考答案：A因為所以，選A.點睛：解三角形問題，多為邊和角的求值問題，這就需要根據(jù)正、余弦定理結(jié)合已知條件靈活轉(zhuǎn)化邊和角之間的關(guān)系，從而達到解決問題的目的.

8.某幾何體是由直三棱柱與圓錐的組合體，其直觀圖和三視圖如圖所示，正視圖為正方形，其中俯視圖中橢圓的離心率為

（

）A．

B．

C．

D．參考答案：D9.由直線和曲線圍成的圖形的面積為

A．

B．

C．

D．參考答案：D10.已知集合,,則（

）

A．

B．

C．

D．參考答案：B略二、填空題:本大題共7小題,每小題4分,共28分11.函數(shù)的所有零點之和為

參考答案：412.設函數(shù)，記，若函數(shù)至少存在一個零點，則實數(shù)的取值范圍是

▲

．參考答案：13.已知數(shù)列{an}滿足a1=2，an+an+1+n2=0．則a31=

．參考答案：﹣463【考點】數(shù)列遞推式．【分析】由已知數(shù)列遞推式可得（n≥2），兩式作差可得an+1﹣an﹣1=﹣2n+1（n≥2）．然后分別取n=2，4，…，30，得到15個等式，累加即可求得a31．【解答】解：在數(shù)列{an}中，由an+an+1+n2=0，得，∴（n≥2），兩式作差得：an+1﹣an﹣1=﹣2n+1（n≥2）．∴a3﹣a1=﹣3，a5﹣a3=﹣7，a7﹣a5=﹣11，…，a31﹣a29=﹣59．累加得：，∴a31=﹣463．故答案為：﹣463．14.將邊長為的正方形ABCD沿對角線AC折起，使BD=，則三棱錐D-ABC的體積為____.參考答案：略15.（5分）（2015?萬州區(qū)模擬）已知向量，若⊥，則16x+4y的最小值為．參考答案：8【考點】：基本不等式；數(shù)量積判斷兩個平面向量的垂直關(guān)系．【專題】：計算題．【分析】：利用向量垂直的充要條件：數(shù)量積為0，得到x，y滿足的等式；利用冪的運算法則將待求的式子變形；利用基本不等式求出式子的最小值，注意檢驗等號何時取得．【解答】：∵∴4（x﹣1）+2y=0即4x+2y=4∵=當且僅當24x=22y即4x=2y=2取等號故答案為8【點評】：本題考查向量垂直的充要條件：數(shù)量積為0；考查利用基本不等式求函數(shù)的最值需注意滿足的條件：一正、二定、三相等．16.若直線與直線互相垂直，則實數(shù)

參考答案：117.已知橢圓與圓，若橢圓上存在點，由點向圓所作的兩條切線，且，則橢圓的離心率的取值范圍是

．參考答案：三、解答題：本大題共5小題，共72分。解答應寫出文字說明，證明過程或演算步驟18.（本小題共12分）如圖，在四棱錐P－ABCD中，底面是直角梯形ABCD，其中AD⊥AB，CD∥AB，AB＝4，CD＝2，側(cè)面PAD是邊長為2的等邊三角形，且與底面ABCD垂直，E為PA的中點．(1)求證：DE∥平面PBC；(2)求三棱錐A－PBC的體積．參考答案：(1)證明：如圖，取AB的中點F，連接DF，EF.在直角梯形ABCD中，CD∥AB，且AB＝4，CD＝2，所以BF∥CD且BF=CD.所以四邊形BCDF為平行四邊形．所以DF∥BC.……………2分在△PAB中，PE＝EA，AF＝FB，所以EF∥PB.………………3分又因為DF∩EF＝F，PB∩BC＝B，所以平面DEF∥平面PBC.因為DE?平面DEF，所以DE∥平面PBC.……………6分(2)取AD的中點O，連接PO.在△PAD中，PA＝PD＝AD＝2，所以PO⊥AD，PO＝.……………7分又因為平面PAD⊥平面ABCD，平面PAD∩平面ABCD＝AD，所以PO⊥平面ABCD.……………8分在直角梯形ABCD中，CD∥AB，且AB＝4，AD＝2，AB⊥AD，……………9分所以S△ABC＝×AB×AD＝×4×2＝4.…………10分故三棱錐A－PBC的體積VA－PBC＝VP－ABC＝×S△ABC×PO＝×4×＝.…………12分19.在平面直角坐標系中，橢圓：的離心率為，點在橢圓上．（1）求橢圓的方程；（2）已知與為平面內(nèi)的兩個定點，過點的直線與橢圓交于，兩點，求四邊形面積的最大值．參考答案：（1）∵，∴，橢圓的方程為，將代入得，∴，∴橢圓的方程為．（2）設的方程為，聯(lián)立消去，得，設點，，有，，有，點到直線的距離為，點到直線的距離為，從而四邊形的面積（或）令，，有，設函數(shù)，，所以在上單調(diào)遞增，有，故，所以當，即時，四邊形面積的最大值為6．20.（1）

若時有極值，求實數(shù)的值和的單調(diào)區(qū)間；（2）

若在定義域上是增函數(shù)，求實數(shù)的取值范圍參考答案：（本小題滿分12分）解：（I）

依題意….3分所以…..6分（II）由（I）知則由…………………….9分……………………12分………….14分略21.(本小題滿分10分)選修4-1:幾何證明選講如圖所示，⊙O的直徑為AB,AD平分∠BAC,AD交⊙O于點D,BC∥DE，且DE交AC的延長線于點E,OE交AD于點F.(Ⅰ)求證：DE是⊙O的切線；(Ⅱ)若AB=10，AC=6求DF的長.參考答案：22.設橢圓的離心率，左焦點為，右頂點為，過點的直線交橢圓于兩點，若直線垂直于軸時，有（1）求橢圓的方程；（2）設直線：上兩點，關(guān)于軸對稱，直線與橢圓相交于點（異于點），直線與軸相交于點.若的面積為，求直線的方程.參考答案：（1）設，因為所以有，又由得，且