二次函數(shù)與冪函數(shù) 一等獎(jiǎng)

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課堂考點(diǎn)探究

教師備用例題第二單元

函數(shù)第8講二次函數(shù)與冪函數(shù)

解析式y(tǒng)=ax2+bx+c(a>0)y=ax2+bx+c(a<0)圖像定義域RR1.二次函數(shù)的圖像和性質(zhì)

知識(shí)聚焦值域

單調(diào)性（續(xù)表）

頂點(diǎn)坐標(biāo)

奇偶性當(dāng)

時(shí)為偶函數(shù)

對稱軸方程（續(xù)表）

2.冪函數(shù)(1)定義:形如y=xα(α∈R)的函數(shù)稱為冪函數(shù),其中x是自變量,α是常數(shù).(2)常見的五種冪函數(shù)的圖像和性質(zhì)比較函數(shù)y=xy=x2y=x3y=x-1圖像性質(zhì)定義域RRR

值域R

R

（續(xù)表）函數(shù)y=xy=x2y=x3y=x-1圖像性質(zhì)奇偶性

函數(shù)

函數(shù)

函數(shù)

函數(shù)

函數(shù)

（續(xù)表）函數(shù)y=xy=x2y=x3y=x-1圖像性質(zhì)單調(diào)性在R上單調(diào)遞增在

上

單調(diào)遞減;在

上

單調(diào)遞增在R上單調(diào)遞增在

上單調(diào)遞增在

和

上

單調(diào)遞減

（續(xù)表）函數(shù)y=xy=x2y=x3y=x-1圖像性質(zhì)公共點(diǎn)

1.二次函數(shù)解析式的三種形式:(1)一般式:f(x)=ax2+bx+c(a≠0);(2)頂點(diǎn)式:f(x)=a(x-m)2+n(a≠0);(3)零點(diǎn)式:f(x)=a(x-x1)(x-x2)(a≠0).2.一元二次不等式恒成立的條件:(1)“ax2+bx+c>0(a≠0)恒成立”的充要條件是“a>0且Δ<0”;(2)“ax2+bx+c<0(a≠0)恒成立”的充要條件是“a<0且Δ<0”.

對點(diǎn)演練題組一常識(shí)題1.[教材改編]若函數(shù)f(x)=4x2-kx-8在[5,20]上是單調(diào)函數(shù),則實(shí)數(shù)k的取值范圍是

.

(-∞,40]∪[160,+∞)

3.[教材改編]函數(shù)f(x)=x2-2x+3在閉區(qū)間[0,3]上的最大值為

,最小值為

.

[解析]f(x)=x2-2x+3=(x-1)2+2,x∈[0,3].當(dāng)x=1時(shí),函數(shù)f(x)取得最小值2;當(dāng)x=3時(shí),函數(shù)f(x)取得最大值6.

4.[教材改編]若函數(shù)y=x2+(a+2)x+3,x∈[a,b]的圖像關(guān)于直線x=1對稱,則b=

.

5.如圖2-8-1,若a<0,b>0,則函數(shù)y=ax2+bx的大致圖像是

(填序號(hào)).

③

題組二

常錯(cuò)題◆索引:圖像特征把握不準(zhǔn)出錯(cuò);不會(huì)利用二次函數(shù)圖像解決問題出錯(cuò);二次函數(shù)的單調(diào)性理解不到位出錯(cuò);忽略冪函數(shù)的定義域出錯(cuò);冪函數(shù)的圖像掌握不到位出錯(cuò).

①

②

③

④圖2-8-16.設(shè)二次函數(shù)f(x)=x2-x+a(a>0),若f(m)<0,則f(m-1)

0.(填“>”“<”或“=”)

7.若函數(shù)y=mx2+x+2在[3,+∞)上是減函數(shù),則m的取值范圍是

.

9.當(dāng)x∈(0,1)時(shí),函數(shù)y=xm的圖像在直線y=x的上方,則m的取值范圍是

.

[解析]當(dāng)m>0時(shí),根據(jù)題意知m<1,所以0<m<1;當(dāng)m=0時(shí),函數(shù)為y=1(x≠0),符合題意;當(dāng)m<0時(shí),函數(shù)y=xm的圖像過點(diǎn)(1,1),且在(0,+∞)上單調(diào)遞減,符合題意.綜上所述,m的取值范圍是(-∞,1).

探究點(diǎn)一冪函數(shù)的圖像和性質(zhì)[解析]根據(jù)冪函數(shù)的性質(zhì)可得,在(1,+∞)上指數(shù)大的冪函數(shù)其圖像在上面,結(jié)合所給函數(shù)圖像可得n>p>m,故選C.1.已知冪函數(shù)y=xn,y=xm,y=xp的圖像如圖2-8-2所示,則(

)A.m>n>p

B.m>p>nC.n>p>m

D.p>n>mC圖2-8-2

[解析]由題可知,a2-10a+23為偶數(shù)且a2-10a+23<0(a∈Z),得a=5.故選C.C

A[總結(jié)反思]冪函數(shù)的性質(zhì)因冪指數(shù)大于零、等于零或小于零而不同,解題中要善于根據(jù)冪指數(shù)的符號(hào)和其他性質(zhì)確定冪函數(shù)的解析式、參數(shù)取值等.探究點(diǎn)二二次函數(shù)的解析式

f(x)=-4x2-12x+40(2)已知二次函數(shù)f(x)的圖像經(jīng)過點(diǎn)(4,3),f(x)的圖像截x軸所得的線段長為2,且對任意x∈R,都有f(2-x)=f(2+x),則函數(shù)f(x)的解析式為f(x)=

.

[思路點(diǎn)撥]根據(jù)題意可知f(x)圖像的對稱軸為直線x=2,f(x)的兩個(gè)零點(diǎn)為1和3,設(shè)出f(x)的解析式,再把點(diǎn)(4,3)代入求解即可.(2)已知二次函數(shù)f(x)的圖像經(jīng)過點(diǎn)(4,3),f(x)的圖像截x軸所得的線段長為2,且對任意x∈R,都有f(2-x)=f(2+x),則函數(shù)f(x)的解析式為f(x)=

.

[解析]∵f(2-x)=f(2+x)對任意x∈R恒成立,∴f(x)圖像的對稱軸為直線x=2.又∵f(x)的圖像截x軸所得的線段長為2,∴f(x)的兩個(gè)零點(diǎn)為1和3.設(shè)f(x)的解析式為f(x)=a(x-1)(x-3)(a≠0).又∵f(x)的圖像經(jīng)過點(diǎn)(4,3),∴3a=3,a=1,∴f(x)的解析式為f(x)=(x-1)(x-3),即f(x)=x2-4x+3.x2-4x+3[總結(jié)反思]求二次函數(shù)解析式的三個(gè)策略:(1)已知三個(gè)點(diǎn)的坐標(biāo),宜選用一般式;(2)已知頂點(diǎn)坐標(biāo)、對稱軸、最大(小)值等,宜選用頂點(diǎn)式;(3)已知圖像與x軸的兩交點(diǎn)的坐標(biāo),宜選用零點(diǎn)式.變式題

已知二次函數(shù)f(x)滿足f(2)=-1,f(-1)=-1,且f(x)的最大值是8,則此二次函數(shù)的解析式為

.

f(x)=-4x2+4x+7變式題

已知二次函數(shù)f(x)滿足f(2)=-1,f(-1)=-1,且f(x)的最大值是8,則此二次函數(shù)的解析式為

.

f(x)=-4x2+4x+7變式題

已知二次函數(shù)f(x)滿足f(2)=-1,f(-1)=-1,且f(x)的最大值是8,則此二次函數(shù)的解析式為

.

f(x)=-4x2+4x+7例2二次函數(shù)y=ax2+bx+c的圖像如圖2-8-3所示.給出下列結(jié)論:①a+b+c<0;②a-b+c>0;③abc>0;④b=2a.其中正確的是

.(填序號(hào))

探究點(diǎn)三二次函數(shù)的圖像與性質(zhì)問題微點(diǎn)1通過圖像識(shí)別二次函數(shù)[思路點(diǎn)撥]根據(jù)圖像,利用當(dāng)x=1時(shí),y<0,當(dāng)x=-1時(shí),y>0以及圖像與y軸交點(diǎn)的縱坐標(biāo)為正,圖像的對稱軸在y軸左側(cè)等信息即可得到結(jié)果.圖2-8-3例2二次函數(shù)y=ax2+bx+c的圖像如圖2-8-3所示.給出下列結(jié)論:①a+b+c<0;②a-b+c>0;③abc>0;④b=2a.其中正確的是

.(填序號(hào))

①②③④圖2-8-3[總結(jié)反思]

一般地,給出了二次函數(shù)的圖像,我們可以從圖像中得到下列信息:(1)開口方向;(2)判別式的正負(fù);(3)對稱軸方程;(4)特殊點(diǎn)的函數(shù)值的大小(正負(fù)).

微點(diǎn)2二次函數(shù)的單調(diào)性問題[思路點(diǎn)撥]結(jié)合絕對值的含義與二次函數(shù)的性質(zhì),可作出函數(shù)f(x)的圖像,即可求出函數(shù)的單調(diào)遞增區(qū)間.

B(2)已知函數(shù)f(x)=ax2-2x-2在區(qū)間[1,+∞)上不單調(diào),則實(shí)數(shù)a的取值范圍是

.

(2)已知函數(shù)f(x)=ax2-2x-2在區(qū)間[1,+∞)上不單調(diào),則實(shí)數(shù)a的取值范圍是

.

(0,1)[總結(jié)反思]對于二次函數(shù)的單調(diào)性,關(guān)鍵是確定其圖像的開口方向與對稱軸的位置,若開口方向或?qū)ΨQ軸的位置不確定,則需要分類討論求解.例4已知函數(shù)f(x)=-x2+2ax+1-a在[0,1]上的最大值為2,則a的值為

.

微點(diǎn)3二次函數(shù)的最值問題[思路點(diǎn)撥]分對稱軸位于區(qū)間[0,1]左側(cè)、之間、右側(cè)三種情況進(jìn)行討論.例4已知函數(shù)f(x)=-x2+2ax+1-a在[0,1]上的最大值為2,則a的值為

.

-1或2[總結(jié)反思]二次函數(shù)在閉區(qū)間上的最值主要有三種類型:軸定區(qū)間定、軸動(dòng)區(qū)間定、軸定區(qū)間動(dòng).不論哪種類型,解題的關(guān)鍵都是對稱軸與區(qū)間的位置關(guān)系,當(dāng)含有參數(shù)時(shí),要依據(jù)對稱軸與區(qū)間的位置關(guān)系進(jìn)行分類討論.

微點(diǎn)4二次函數(shù)的恒成立問題[思路點(diǎn)撥]令t=f(x),則t≥a,所以f(t)≥0對任意t≥a恒成立,求出f(t)的最小值后,解不等式即可.

B[總結(jié)反思]由不等式恒成立求參數(shù)取值范圍一般有兩個(gè)解題思路:一是分離參數(shù),二是不分離參數(shù).兩種思路都是將問題歸結(jié)為求函數(shù)的最值,若不分離參數(shù),則一般需要對參數(shù)進(jìn)行分類討論求解;若分離參數(shù),則a≥f(x)恒成立?a≥f(x)max,a≤f(x)恒成立?a≤f(x)min.應(yīng)用演練1.【微點(diǎn)1】已知二次函數(shù)y=ax2+bx+c(a≠0)的圖像如圖2-8-4所示,則下列結(jié)論中正確的是(

)A.a>0B.當(dāng)x>1時(shí),y隨x的增大而增大C.c<0D.3是方程ax2+bx+c=0的一個(gè)根[解析]由二次函數(shù)y=ax2+bx+c(a≠0)的圖像開口向下,得a<0,所以A錯(cuò);當(dāng)x>1時(shí),y隨x的增大而減小,所以B錯(cuò);當(dāng)x=0時(shí),y=c>0,所以C錯(cuò);圖像的對稱軸方程是x=1,且當(dāng)x=-1時(shí),y=0,所以當(dāng)x=3時(shí),y=0,所以D正確.故選D.D圖2-8-42.【微點(diǎn)3】已知函數(shù)f(x)=x2-6x+8,且函數(shù)f(x)在[1,a]上的最小值為f(a),則實(shí)數(shù)a的取值范圍是(

)A.(1,2] B.(1,3] C.(1,4] D.(1,5][解析]由題易知,f(x)圖像的開口向上,對稱軸為直線x=3,∵f(x)在[1,a]上的最小值為f(a),∴1<a≤3,∴a的取值范圍是(1,3].B3.【微點(diǎn)4】已知函數(shù)f(x)=x2+x+6,若存在x0∈[0,2],使得f(x0)≥a2-a成立,則實(shí)數(shù)a的取值范圍是(

)A.[-3,4] B.[-2,3]C.(-∞,-2]∪[3,+∞) D.(-∞,-3]∪[4,+∞)

A4.【微點(diǎn)2】已知函數(shù)f(x)=(a-1)x2+2x+3在(-∞,4]上是增函數(shù),則實(shí)數(shù)a的取值范圍是

.

5.【微點(diǎn)4】[2019·天津和平區(qū)質(zhì)檢]

已知函數(shù)f(x)=-x2+2x+3,若f(x)≤21-3a對任意實(shí)數(shù)x都成立,則實(shí)數(shù)a的最大值為

.

【備選理由】例1主要考查了函數(shù)解析式的求解,等差、等比數(shù)列及函數(shù)與方程的應(yīng)用,著重考查了推理與運(yùn)算能力;例2主要考查二次函數(shù)與一次函數(shù)的關(guān)系,求出直線AB是解決本題的關(guān)鍵,意在考查學(xué)生的轉(zhuǎn)化能力、邏輯推理能力及計(jì)算能力;例3考查二次函數(shù)單調(diào)性與對稱性結(jié)合的問題;例4考查不等式恒成立問題,轉(zhuǎn)化思想是關(guān)鍵,即“總有|f(x1)-f(x2)|≤2”轉(zhuǎn)化為“f(0)-f(t)≤2成立”.例1[配合例1使用]已知函數(shù)f(x)=x2+ax+b(a<0,b>0)有兩個(gè)不同的零點(diǎn)x1,x2,-2和x1,x2三個(gè)數(shù)適當(dāng)排序后既可構(gòu)成等差數(shù)列,也可構(gòu)成等比數(shù)列,則函數(shù)f(x)的解析式為(

)A.f(x)=x2-5x-4 B.f(x)=x2+5x+4C.f(x)=x2-5x+4 D.f(x)=x2+5x-4C[解析]由題意,函數(shù)f(x)=x2+ax+b(a<0,b>0)有兩個(gè)不同的零點(diǎn)x1,x2,可得x1+x2=-a,x1x2=b,則x1>0,x2>0.-2和x1,x2三個(gè)數(shù)適當(dāng)排序后既可構(gòu)成等差數(shù)列,也可構(gòu)成等比數(shù)列,不妨設(shè)x2>x1,則2x1=x2+(-2),x1x2=4,解得x1=1,x2=4,所以-a=x1+x2