清華大學(xué)微積分高等數(shù)學(xué)第講常微分方程三課件

作業(yè)18.20.復(fù)習(xí)P220—245P236習(xí)題8.2P241習(xí)題8.33.5.6.7.12.16.7/21/20231第二十三講常微分方程（三）二、常微分方程應(yīng)用舉例一、可降階微分方程7/21/20232逐次積分一、

高階可降階微分方程積分一次再積分一次7/21/20233變量替換原方程變形成為一階7/21/20234特點(diǎn)是：不顯含y[解]積分,得通解7/21/20235[解2]注意到方程的特殊性積分,得通解7/21/20236一階變量替換原方程變形成為7/21/20237特點(diǎn)是：不顯含x[解]方程化為分離變量積分7/21/20238分離變量解得7/21/20239列方程的常用方法(1)利用物理定律列方程(2)利用導(dǎo)數(shù)的幾何意義列方程(3)利用微元分析法列方程二、常微分方程應(yīng)用舉例7/21/202310[解]取時間t為自變量，物體的溫度T(t)為未知函數(shù).由牛頓冷卻定律知初始條件7/21/202311另外還有一個條件:可用來確定比例常數(shù)k分離變量，得兩邊積分，得代入上式，得代入，得7/21/202312將T=30代入，解出即，還需再經(jīng)過物體的溫度即可降為7/21/202313[例2]已知曲線上任一點(diǎn)P(x,y)處的切線在x軸上的截距等于點(diǎn)P的橫坐標(biāo)的一半,且過定點(diǎn)(2,1),求此曲線的方程.[解]7/21/202314由題意得又已知曲線過點(diǎn)(2,1),于是得到定解問題分離變量求得通解7/21/202315[例3]試設(shè)計(jì)一反光鏡,使它能將點(diǎn)光源發(fā)出的光反射成為平行光[解]點(diǎn)光原位于坐標(biāo)原點(diǎn)O,由點(diǎn)O發(fā)出的光線經(jīng)反射都成為平行于x軸的平行光由光的反射定律7/21/202316于是有根據(jù)導(dǎo)數(shù)的幾何意義得到微分方程一階齊次變形為7/21/202317分離變量代入(1)式，得7/21/202318積分，得取指數(shù)7/21/2023197/21/202320[解]列方程，確定初始條件已知，在任何一段時間內(nèi)容器內(nèi)含鹽改變量=流進(jìn)鹽量–流出鹽量若溶液的濃度不變，則流出鹽量=濃度流出的溶液量問題中，溶液的濃度始終在變，如何解決?考慮微小時間間隔dt內(nèi)的變化情況設(shè)時刻t時溶液的含鹽量為7/21/202321當(dāng)時間從t變到t+dt時，容器內(nèi)的含鹽量由Q變到Q+dQ，因而容器內(nèi)含鹽改變量為dQ從容器內(nèi)流出的溶液量為2dt在時間dt內(nèi)鹽水的濃度近似看作不變，看作是t時刻的鹽水濃度所以流出的鹽量為7/21/202322于是有初始條件分離變量通解特解287/21/202323[解]此問題涉及水面高度隨時間的變化規(guī)律根據(jù)水利學(xué)定律，流出速度7/21/202324考慮任意時刻t，任取時間區(qū)間[t,t+dt]在dt時間內(nèi)，水面高度的改變?yōu)閐h取時間t為自變量，水面高度h(t)為未知函數(shù)，并取坐標(biāo)系如圖漏斗內(nèi)水的體積改變量為7/21/202325下落水的體積=流出水的體積于是列出微分方程初始條件另方面,時間dt內(nèi)從小孔流出水的體積等于以S為底，以(vdt)為高的小圓柱體積7/21/202326經(jīng)整理得解得當(dāng)水流完時，h=07/21/202327正交軌線問題7/21/202328思路：7/21/2023297/21/202330這就是正交曲線族！通解7/21/202331397/21/202332[解]7/21/2023337/21/202334寫在最后成功的基礎(chǔ)在于好的學(xué)習(xí)習(xí)慣Thefoundationofsuccessliesingoodhabi