高等數(shù)學第六版第一章第二節(jié)數(shù)列的極限課件

1作業(yè)P301,2,3

(2)(4),4,5,6P564

(1),(3)提示:4(3)

可用數(shù)學歸納法證第三節(jié)預習：第三節(jié)函數(shù)的極限2

第一章三、收斂數(shù)列的性質四*極限存在準則一、數(shù)列（復習）二、數(shù)列極限的定義第二節(jié)數(shù)列的極限3這個概念貫穿著整個高等數(shù)學，并在數(shù)學的其它領域中起重要作用.高等數(shù)學的許多基本概念都是用極限概念來表示的,如微分、積分等都可用極限來描述,因此掌握極限的概念和運算很重要。極限概念是由求某些實際問題的精確解答而產生的。變量的變化有各種各樣的情況，有一類變量是經常遇到，這就是它在變化的過程中逐步趨向于相對也就是說它在變化的過程中無限的接近于某一確定的常數(shù)。穩(wěn)定的狀態(tài),

極限概念是高等數(shù)學中最基本的概念,4“割之彌細，所失彌少，割之又割，以至于不可割，則與圓周合體而無所失矣”播放——劉徽正六邊形的面積A1正十二邊形的面積A21、割圓術：一、數(shù)列52、數(shù)列的定義依次排列的無窮多個數(shù)：稱為數(shù)列，其中每一個數(shù)稱為數(shù)列的項，第n項xn稱為數(shù)列的一般項（或通項），下標表示數(shù)列的項數(shù)?；虬凑找欢ǖ姆▌t，定義1數(shù)列簡記為6可看作一動點在數(shù)軸上依次取數(shù)列對應著數(shù)軸上一個點列,說明：數(shù)列是整標函數(shù)73、數(shù)列的性質（1）有界性設已知數(shù)列若存在M>0,對于一切n都有則稱數(shù)列是有界的；否則，稱數(shù)列是無界的。例如：數(shù)列都是有界的，而數(shù)列是無界的。8(2）單調性則稱此數(shù)列是單調減少的。單調增加或單調減少的數(shù)列，統(tǒng)稱為單調數(shù)列,例如:是單調增加數(shù)列;是單調減少數(shù)列其特點是數(shù)列的點作定向移動：單增向右，單減向左。反之若則稱此數(shù)列是單調增加的；若的項xn

隨著項數(shù)n的增大而增大，即滿足9

數(shù)列的子列

——

關于子列的腳標有三點規(guī)定:(2)子列的序號不是,而是

k

,表示是子列的第k

項,是原數(shù)列的第項;(1)子列序號形成的數(shù)列是嚴格單調上升的,在數(shù)列中依次任意抽出無窮多項:所構成的新數(shù)列叫做數(shù)列子數(shù)列.4.數(shù)列的子數(shù)列10二、數(shù)列極限的定義引例1.設有半徑為

r

的圓,逼近圓面積S.如圖所示,可知當

n無限增大時,無限逼近S

(劉徽割圓術).用其內接正

n

邊形的面積11之半，如此分割下去問：共去棒長多少？解：把所去之半排列起來：此是公比為的等比數(shù)列引例2第一次去其一半,第二次再去所余“一尺之棰，日截其半，萬世不竭”一尺之棒，共去棰長12注：等比數(shù)列的前n

項和的公式設等比數(shù)列前n項的和為S

n,即根據等比數(shù)列的通項公式，上式可以寫成：上式兩邊同時乘以q

有：上（1）式兩邊分別減去（2）式的兩邊得：當時13引例3在－1與1之間跳動觀察可見：的變化趨勢只有兩種：不是無限地接近某個確定的常數(shù)，就是不接近于任何確定的常數(shù)。由此，得到數(shù)列極限的定義如下：觀察下列數(shù)列的變化趨勢:14定義2若當時，一般項無限地接近于某個則稱A為數(shù)列的極限，記作或(讀作n無限變大時,無限接近于常數(shù)A）.若當時，不接近于任何確定常數(shù)A,確定的常數(shù)A,則稱數(shù)列沒有極限。15而無極限我們稱有極限的數(shù)列為收斂數(shù)列，無極限的數(shù)列為發(fā)散數(shù)列。例如16為了精確的反映接近a的程度與n之間的關系,171819202122232425262728直觀上表明：當n

無限增大時，數(shù)列無限接近“1”，但它永遠達不到1。

無限增大

無限接近越來越大,即29如要使只要項號n

滿足要使只要項號n

滿足而要使故只要項號n

滿足30只要項號n

滿足

一般地，當取任意小的正數(shù)，都能說明可以找到這樣的項號N,

只要位于N項以后的一切項即事實上就

用量化方式說清了

無限接近a

.都滿足,31及常數(shù)a有下列關系:當n>

N

時,總有記作此時也稱數(shù)列收斂

,否則稱數(shù)列發(fā)散

.即或則稱該數(shù)列的極限為a,若數(shù)列為精確的反映接近a的程度與n之間的關系，有定義332若不存在這樣的定數(shù)a,則說數(shù)列

沒有極限,或說數(shù)列

發(fā)散，也說

不存在.說明：刻畫與a可以無限接近的程度,1)正數(shù)

—是“任意給定”的，“可以任意小”；被滿足的時刻，指明對給定的正數(shù)，2)正整數(shù)N=N()—“N不唯一”、“N依而定”、“N可大不可小”.但是一旦給出之后,它就是確定了;333)絕對值不等式

則表明與a可以無限接近.當n>N所有的點都將落在內，而此區(qū)間外至多只有有限個點即的幾何意義:4)即{xn}有沒有極限,

主要看“后面”的無窮多項.345）數(shù)列極限的定義通常是用來進行推理和證明極限,而不是用來求極限,因為這里需要預先知道極限值是多少.35例1.已知證明數(shù)列的極限為1.

證:欲使即只要因此,取則當時,就有故36例2.設證明等比數(shù)列證:欲使只要即亦即因此,取,則當n>N

時,就有故的極限為

0.37例3.已知證明證:欲使只要即取則當時,就有故故也可取也可由N

與有關,但不唯一.不一定取最小的N.說明:

取38證：例4求證39說明：用定義證明數(shù)列極限的步驟1)化簡（必要時適當?shù)胤糯螅?)用倒推法得到與n有關的一系列不等式40三、收斂數(shù)列的性質1.極限的唯一性2.收斂數(shù)列的有界性3.收斂數(shù)列的保號性4.收斂數(shù)列與其子序列間的關系41證:

用反證法.及且取因故存在N1,從而同理,因故存在N2,使當n>N2時,有1.收斂數(shù)列的極限惟一.使當n>N1時,假設從而42矛盾.因此收斂數(shù)列的極限必唯一.則當n>N

時,故假設不真!滿足的不等式43例5.

證明數(shù)列是發(fā)散的.

證:

用反證法.假設數(shù)列收斂,則有唯一極限a

存在.取則存在N,但因交替取值1與－1,內,而此二數(shù)不可能同時落在長度為1的開區(qū)間使當n>N

時,有因此該數(shù)列發(fā)散.442.

收斂數(shù)列一定有界.證:

設取則當時,從而有取則有由此證明收斂數(shù)列必有界.說明:

此性質反過來不一定成立.例如,雖有界但不收斂.有數(shù)列453.收斂數(shù)列的局部保號性若且時,有證:對a>0,取推論:若數(shù)列從某項起(用反證法證明)46*********************4.

收斂數(shù)列的任一子數(shù)列收斂于同一極限.證:設數(shù)列是數(shù)列的任一子數(shù)列.若則當時,有現(xiàn)取正整數(shù)K,使于是當時,有從而有由此證明*********************471）若數(shù)列有兩個子數(shù)列收斂于不同的極限,例如，

發(fā)散!則原數(shù)列一定發(fā)散.（即原數(shù)列不收斂,但可以有收斂的子列）說明:由此性質可知

483)定理中的結論仍成立.

則原數(shù)列一定發(fā)散.2）若有一個子列發(fā)散,

49四、極限存在準則(P50)1.夾逼準則;2.單調有界準則;3.柯西準則*

501.夾逼準則

(準則1)證:

由條件(2),當時,當時,令則當時,有由條件(1)即故51例6.證明證:利用夾逼準則.且由522.單調有界數(shù)列必有極限

(準則2

)

(P52)

(證明略)只給出幾何解釋：53例7.設證明數(shù)列極限存在.(P53)證:利用二項式公式,有54大大正又比較可知55根據準則2可知數(shù)列記此極限為e,e為無理數(shù),其值為即有極限.又56故極限存在，例8

設,且求解：設則由遞推公式有∴數(shù)列單調遞減有下界，故利用極限存在準則57例9.

設證:顯然證明數(shù)列有極限.即單調增,又存在“拆項相消”法58內容小結1.數(shù)列極限的“–N

”

定義及應用2.收斂數(shù)列的性質:唯一性;有界性;保號性;任一子數(shù)列收斂于同一極限3.極限存在準則:夾逼準則;單調有界準則;柯西準則*59思考與練習1.如何判斷數(shù)列極限不存在?方法1.

找一個趨于∞的子數(shù)列;方法2.

找兩個收斂于不同極限的子數(shù)列.2.已知,求時,下述作法是否正確?說明理由.設由遞推式兩邊取極限得不對!此處60劉徽(約225–295年)我國古代魏末晉初的杰出數(shù)學家.他撰寫的《重差》對《九章算術》中的方法和公式作了全面的評注,指出并糾正了其中的錯誤,在數(shù)學方法和數(shù)學理論上作出了杰出的貢獻.他的“割圓術”求圓周率“割之彌細,所失彌小,割之又割,以至于不可割,則與圓合體而無所失矣”它包含了“用已知逼近未知,用近似逼近精確”的重要極限思想.

的方法