42-邊緣分布-教學(xué)課件

第二節(jié)邊緣分布

邊緣分布隨機(jī)變量獨(dú)立性1．邊緣分布

設(shè)(X,Y)為二維隨機(jī)向量其分布函數(shù)為F(x,y)，X和Y的分布函數(shù)分別記為Fx(x)和FY(y),依次稱Fx(x),FY(y)為(X,Y)關(guān)于X和關(guān)于Y的邊緣分布函數(shù).一、邊緣分布的定義2.公式.

由于Fx(x)=P{X≤x,Y<+∞}==F(x,+∞)

同理有FY(y)=P{X<+∞,Y≤y}==

F(+∞,y).例已知(X,Y)的聯(lián)合分布函數(shù)為求FX(x)與FY(y)。解：1．邊緣分布律

設(shè)(X,Y)的聯(lián)合分布律為P{X=xi,Y=yj}=pij,i，j=1,2,…,

二、離散型二維隨機(jī)向量的邊緣分布律關(guān)于X的邊緣分布律為：關(guān)于Y的邊緣分布律為：XYx1x2…xi…y1p11p21…pi1…

y2p12p22…pi2…

………………

yjp1jp2j…pij…

………………YX-10410.170.050.21

30.040.280.25求(X,Y)關(guān)于X和Y的邊緣分布律。XY

-104P{Y=yj}=Pj

10.170.050.210.43

30.040.280.250.57

P{X=xi}=Pi

0.210.330.461Y13

p0.430.57X-104

p0.210.330.46解：例1設(shè)X與Y的聯(lián)合分布律為：關(guān)于X的邊緣分布律：關(guān)于Y的邊緣分布律：X-101p0.250.50.25Y01

p0.50.5例2：設(shè)隨機(jī)變量X及Y的分布律為：且。試求二維隨機(jī)變量（X,Y)的聯(lián)合分布律。XY-101P{y=yj}=Pj

0P11P21P310.5

10

P22

00.5

P{X=xi}=Pi0.250.50.251解：P11=P31=0.25,P22=0.5P21=0關(guān)于Y的邊緣概率密度三、連續(xù)型隨機(jī)向量(X,Y)的邊緣概率密度1.邊緣概率密度

設(shè)(X,Y)為連續(xù)型隨機(jī)向量,具有概率密度f(x,y)

關(guān)于X的邊緣概率密度例3:設(shè)(X,Y)的分布函數(shù)為F(x,y)=A(B+arctanx)(C+arctany)，

-∞<x<+∞

,-∞<y<+∞

求(1)常數(shù)A,B,C(2)邊緣分布函數(shù)Fx(x),FY(y)。解:由分布函數(shù)的性質(zhì)知

聯(lián)立這三個(gè)方程可得

A=1/π2,B=π/2,C=π/2.從而

例4:設(shè)(X,Y)在單位圓D{(x,y)|x2+y2<1}上服從均勻分布,求邊緣概率密度fx(x),fY(y)。解(X,Y)的聯(lián)合概率密度為：

先求fx(x):當(dāng)-1<x<1時(shí)-10x1xy

例5:設(shè)(X,Y)N(μ1,μ2,σ12,σ22,ρ)，即(X,Y)具有概率密度求邊緣概率密度fx(x),fY(y)。

即XN(μ1,σ12)，YN(μ2,σ22).且不依賴參數(shù)ρ。

四、課堂練習(xí)

設(shè)(X,Y)的概率密度是求(X,Y)關(guān)于X和Y的邊緣概率密度.解暫時(shí)固定當(dāng)時(shí),當(dāng)時(shí),故暫時(shí)固定暫時(shí)固定暫時(shí)固定當(dāng)時(shí),當(dāng)時(shí),故1.在這一講中，我們與一維情形相對照，介紹了二維隨機(jī)變量的邊緣分布.由聯(lián)合分布可以確定邊緣分布;但由邊緣分布一般不能確定聯(lián)合分布.2.請注意聯(lián)合分布和邊緣分布的關(guān)系:五、小結(jié)第三節(jié)隨機(jī)變量獨(dú)立性

一、隨機(jī)變量獨(dú)立性的定義

定義：設(shè)F(x，y)及Fx(x)，F(xiàn)Y(y)分別是二維隨機(jī)變量(X，Y)的分布函數(shù)及邊緣分布函數(shù)。若對于所有x，y有

F(x，y)=Fx(x)FY(y)

則稱隨機(jī)變量X和Y是相互獨(dú)立的。

例1:在§2例1中討論X與Y的獨(dú)立性。解:(X，Y)的分布函數(shù)為邊緣分布函數(shù)分別為

容易看出，對于任意實(shí)數(shù)x，y都有

F(x，y)=Fx(x)FY(y),

所以X與Y是相互獨(dú)立的注釋由聯(lián)合分布可以確定邊緣分布，但反之，由邊緣分布不能確定聯(lián)合分布。如果X與Y相互獨(dú)立，則X，Y的邊緣分布就能確定聯(lián)合分布。

定理設(shè)(X，Y)為離散型隨機(jī)變量，其分布律為

P{X=xi,Y=yj}=pij(i，j=1，2，…)其邊緣分布分別律為P{X=xi}=pi·(i=1，2，…)

P{Y=yj}=p·j(j=1，2，…)則X與Y相互獨(dú)立的充要條件是對于任意i，j

有:pij=pi··p·j

二、離散型隨機(jī)變量獨(dú)立的等價(jià)條件XYx1x2…xi…y1p11p21…pi1…

y2p12p22…pi2…

………………

yjp1jp2j…pij…

………………P{X=xi}=PiP{y=yj}=Pj例袋中有兩只紅球，三只白球，令現(xiàn)分別不放回與放回摸兩次,分別求(X,Y)的分布律。XY0101放回摸球二次:不放回摸球二次XY0101P{y=yj}=PjP{y=yj}=PjP{X=xi}=PiP{X=xi}=Pi6/104/10

例2:已知二維隨機(jī)變量（X，Y）的聯(lián)合分布律為：XY12311/3a

b

21/61/91/18

XY123P{y=yj}=Pj11/3a

b1/3+a+b

21/61/91/181/3

P{X=xi}=Pi1/2a+1/9b+1/18試確定a,b，使得X與Y相互獨(dú)立。解：三、連續(xù)型隨機(jī)變量獨(dú)立的等價(jià)條件定理.設(shè)(X，Y)是連續(xù)型隨機(jī)變量，f(x，y)，fx(x)，fY(y)分別為(X，Y)的聯(lián)合概率密度和邊緣概率密度，則X和Y相互獨(dú)立的充要條件是：f(x，y)

=fx(x)fY(y)例1：設(shè)二維隨機(jī)變量（X,Y）在區(qū)域G：內(nèi)服從均勻分布（1）求（X,Y)的聯(lián)合密度函數(shù)(2)求邊緣密度函數(shù)，并問X與Y是否相互獨(dú)立？（3）求解（1）G的面積A為：10(2)所以X與Y不獨(dú)立10(3)例2:設(shè)(X，Y)N(μ1，μ2，σ12，σ22，ρ)，證明X與Y相互獨(dú)立的充要條件為ρ=0。證明:(X，Y)的概率密度為關(guān)于X和Y的邊緣密度分別為

(1)充分性。如果ρ=0,則對所有x，y有

f(x，y)

=

fx(x)fY(y)，即X與Y相互獨(dú)立。(2)必要性。如果X與Y相互獨(dú)立，由于f(x，y),

fx(x),fY(y)都是連續(xù)函數(shù)，故對所有X，Y有f(x，y)

=

fx(x)fY(y)，特別地，取x=μ1，y=μ2可得從而ρ=o.

四、獨(dú)立性推廣的一些定義

獨(dú)立性的概念推廣至高維隨機(jī)向量的情形1．定義:

設(shè)(X1，X2，…，Xn)為n維隨機(jī)向量，其分布函數(shù)為F(x1，x2，…，xn)，關(guān)于xi的邊緣分布函數(shù)Fxi(xi)，若對于任意實(shí)數(shù)x1，x2，…，xn有

則稱X1，X2，…，Xn是相互獨(dú)立的。

定義:設(shè)(X1,X2,…,Xm)和(Y1,Y2,…,Yn)為兩個(gè)隨機(jī)向量，其分布函數(shù)分別為

F1(x1,x2,…,xm)，F(xiàn)2(y1,y2,…,yn)，

又設(shè)m+n維隨機(jī)向量(X1,X2,…,Xm,Y1,Y2,…,Yn)的分布函數(shù)為F(x1,x2,…,xm,y1,y2,…,yn)，若為對任意實(shí)數(shù)x1,x2,…,xm,y1,y2,…,yn有

F(x1,x2,…,xm,y1,y2,…,yn)=F1(x1,x2,…,xm)

F2(y1,y2,…,yn)

則稱向量(X1,X2,…,Xm)與(Y1,Y2,…,Yn)是相互獨(dú)立