版權(quán)說明:本文檔由用戶提供并上傳,收益歸屬內(nèi)容提供方,若內(nèi)容存在侵權(quán),請進(jìn)行舉報(bào)或認(rèn)領(lǐng)
文檔簡介
第二節(jié)邊緣分布
邊緣分布隨機(jī)變量獨(dú)立性1.邊緣分布
設(shè)(X,Y)為二維隨機(jī)向量其分布函數(shù)為F(x,y),X和Y的分布函數(shù)分別記為Fx(x)和FY(y),依次稱Fx(x),FY(y)為(X,Y)關(guān)于X和關(guān)于Y的邊緣分布函數(shù).一、邊緣分布的定義2.公式.
由于Fx(x)=P{X≤x,Y<+∞}==F(x,+∞)
同理有FY(y)=P{X<+∞,Y≤y}==
F(+∞,y).例已知(X,Y)的聯(lián)合分布函數(shù)為求FX(x)與FY(y)。解:1.邊緣分布律
設(shè)(X,Y)的聯(lián)合分布律為P{X=xi,Y=yj}=pij,i,j=1,2,…,
二、離散型二維隨機(jī)向量的邊緣分布律關(guān)于X的邊緣分布律為:關(guān)于Y的邊緣分布律為:XYx1x2…xi…y1p11p21…pi1…
y2p12p22…pi2…
………………
yjp1jp2j…pij…
………………YX-10410.170.050.21
30.040.280.25求(X,Y)關(guān)于X和Y的邊緣分布律。XY
-104P{Y=yj}=Pj
10.170.050.210.43
30.040.280.250.57
P{X=xi}=Pi
0.210.330.461Y13
p0.430.57X-104
p0.210.330.46解:例1設(shè)X與Y的聯(lián)合分布律為:關(guān)于X的邊緣分布律:關(guān)于Y的邊緣分布律:X-101p0.250.50.25Y01
p0.50.5例2:設(shè)隨機(jī)變量X及Y的分布律為:且。試求二維隨機(jī)變量(X,Y)的聯(lián)合分布律。XY-101P{y=yj}=Pj
0P11P21P310.5
10
P22
00.5
P{X=xi}=Pi0.250.50.251解:P11=P31=0.25,P22=0.5P21=0關(guān)于Y的邊緣概率密度三、連續(xù)型隨機(jī)向量(X,Y)的邊緣概率密度1.邊緣概率密度
設(shè)(X,Y)為連續(xù)型隨機(jī)向量,具有概率密度f(x,y)
關(guān)于X的邊緣概率密度例3:設(shè)(X,Y)的分布函數(shù)為F(x,y)=A(B+arctanx)(C+arctany),
-∞<x<+∞
,-∞<y<+∞
求(1)常數(shù)A,B,C(2)邊緣分布函數(shù)Fx(x),FY(y)。解:由分布函數(shù)的性質(zhì)知
聯(lián)立這三個(gè)方程可得
A=1/π2,B=π/2,C=π/2.從而
例4:設(shè)(X,Y)在單位圓D{(x,y)|x2+y2<1}上服從均勻分布,求邊緣概率密度fx(x),fY(y)。解(X,Y)的聯(lián)合概率密度為:
先求fx(x):當(dāng)-1<x<1時(shí)-10x1xy
例5:設(shè)(X,Y)N(μ1,μ2,σ12,σ22,ρ),即(X,Y)具有概率密度求邊緣概率密度fx(x),fY(y)。
即XN(μ1,σ12),YN(μ2,σ22).且不依賴參數(shù)ρ。
四、課堂練習(xí)
設(shè)(X,Y)的概率密度是求(X,Y)關(guān)于X和Y的邊緣概率密度.解暫時(shí)固定當(dāng)時(shí),當(dāng)時(shí),故暫時(shí)固定暫時(shí)固定暫時(shí)固定當(dāng)時(shí),當(dāng)時(shí),故1.在這一講中,我們與一維情形相對照,介紹了二維隨機(jī)變量的邊緣分布.由聯(lián)合分布可以確定邊緣分布;但由邊緣分布一般不能確定聯(lián)合分布.2.請注意聯(lián)合分布和邊緣分布的關(guān)系:五、小結(jié)第三節(jié)隨機(jī)變量獨(dú)立性
一、隨機(jī)變量獨(dú)立性的定義
定義:設(shè)F(x,y)及Fx(x),F(xiàn)Y(y)分別是二維隨機(jī)變量(X,Y)的分布函數(shù)及邊緣分布函數(shù)。若對于所有x,y有
F(x,y)=Fx(x)FY(y)
則稱隨機(jī)變量X和Y是相互獨(dú)立的。
例1:在§2例1中討論X與Y的獨(dú)立性。解:(X,Y)的分布函數(shù)為邊緣分布函數(shù)分別為
容易看出,對于任意實(shí)數(shù)x,y都有
F(x,y)=Fx(x)FY(y),
所以X與Y是相互獨(dú)立的注釋由聯(lián)合分布可以確定邊緣分布,但反之,由邊緣分布不能確定聯(lián)合分布。如果X與Y相互獨(dú)立,則X,Y的邊緣分布就能確定聯(lián)合分布。
定理設(shè)(X,Y)為離散型隨機(jī)變量,其分布律為
P{X=xi,Y=yj}=pij(i,j=1,2,…)其邊緣分布分別律為P{X=xi}=pi·(i=1,2,…)
P{Y=yj}=p·j(j=1,2,…)則X與Y相互獨(dú)立的充要條件是對于任意i,j
有:pij=pi··p·j
二、離散型隨機(jī)變量獨(dú)立的等價(jià)條件XYx1x2…xi…y1p11p21…pi1…
y2p12p22…pi2…
………………
yjp1jp2j…pij…
………………P{X=xi}=PiP{y=yj}=Pj例袋中有兩只紅球,三只白球,令現(xiàn)分別不放回與放回摸兩次,分別求(X,Y)的分布律。XY0101放回摸球二次:不放回摸球二次XY0101P{y=yj}=PjP{y=yj}=PjP{X=xi}=PiP{X=xi}=Pi6/104/10
例2:已知二維隨機(jī)變量(X,Y)的聯(lián)合分布律為:XY12311/3a
b
21/61/91/18
XY123P{y=yj}=Pj11/3a
b1/3+a+b
21/61/91/181/3
P{X=xi}=Pi1/2a+1/9b+1/18試確定a,b,使得X與Y相互獨(dú)立。解:三、連續(xù)型隨機(jī)變量獨(dú)立的等價(jià)條件定理.設(shè)(X,Y)是連續(xù)型隨機(jī)變量,f(x,y),fx(x),fY(y)分別為(X,Y)的聯(lián)合概率密度和邊緣概率密度,則X和Y相互獨(dú)立的充要條件是:f(x,y)
=fx(x)fY(y)例1:設(shè)二維隨機(jī)變量(X,Y)在區(qū)域G:內(nèi)服從均勻分布(1)求(X,Y)的聯(lián)合密度函數(shù)(2)求邊緣密度函數(shù),并問X與Y是否相互獨(dú)立?(3)求解(1)G的面積A為:10(2)所以X與Y不獨(dú)立10(3)例2:設(shè)(X,Y)N(μ1,μ2,σ12,σ22,ρ),證明X與Y相互獨(dú)立的充要條件為ρ=0。證明:(X,Y)的概率密度為關(guān)于X和Y的邊緣密度分別為
(1)充分性。如果ρ=0,則對所有x,y有
f(x,y)
=
fx(x)fY(y),即X與Y相互獨(dú)立。(2)必要性。如果X與Y相互獨(dú)立,由于f(x,y),
fx(x),fY(y)都是連續(xù)函數(shù),故對所有X,Y有f(x,y)
=
fx(x)fY(y),特別地,取x=μ1,y=μ2可得從而ρ=o.
四、獨(dú)立性推廣的一些定義
獨(dú)立性的概念推廣至高維隨機(jī)向量的情形1.定義:
設(shè)(X1,X2,…,Xn)為n維隨機(jī)向量,其分布函數(shù)為F(x1,x2,…,xn),關(guān)于xi的邊緣分布函數(shù)Fxi(xi),若對于任意實(shí)數(shù)x1,x2,…,xn有
則稱X1,X2,…,Xn是相互獨(dú)立的。
定義:設(shè)(X1,X2,…,Xm)和(Y1,Y2,…,Yn)為兩個(gè)隨機(jī)向量,其分布函數(shù)分別為
F1(x1,x2,…,xm),F(xiàn)2(y1,y2,…,yn),
又設(shè)m+n維隨機(jī)向量(X1,X2,…,Xm,Y1,Y2,…,Yn)的分布函數(shù)為F(x1,x2,…,xm,y1,y2,…,yn),若為對任意實(shí)數(shù)x1,x2,…,xm,y1,y2,…,yn有
F(x1,x2,…,xm,y1,y2,…,yn)=F1(x1,x2,…,xm)
F2(y1,y2,…,yn)
則稱向量(X1,X2,…,Xm)與(Y1,Y2,…,Yn)是相互獨(dú)立
溫馨提示
- 1. 本站所有資源如無特殊說明,都需要本地電腦安裝OFFICE2007和PDF閱讀器。圖紙軟件為CAD,CAXA,PROE,UG,SolidWorks等.壓縮文件請下載最新的WinRAR軟件解壓。
- 2. 本站的文檔不包含任何第三方提供的附件圖紙等,如果需要附件,請聯(lián)系上傳者。文件的所有權(quán)益歸上傳用戶所有。
- 3. 本站RAR壓縮包中若帶圖紙,網(wǎng)頁內(nèi)容里面會有圖紙預(yù)覽,若沒有圖紙預(yù)覽就沒有圖紙。
- 4. 未經(jīng)權(quán)益所有人同意不得將文件中的內(nèi)容挪作商業(yè)或盈利用途。
- 5. 人人文庫網(wǎng)僅提供信息存儲空間,僅對用戶上傳內(nèi)容的表現(xiàn)方式做保護(hù)處理,對用戶上傳分享的文檔內(nèi)容本身不做任何修改或編輯,并不能對任何下載內(nèi)容負(fù)責(zé)。
- 6. 下載文件中如有侵權(quán)或不適當(dāng)內(nèi)容,請與我們聯(lián)系,我們立即糾正。
- 7. 本站不保證下載資源的準(zhǔn)確性、安全性和完整性, 同時(shí)也不承擔(dān)用戶因使用這些下載資源對自己和他人造成任何形式的傷害或損失。
最新文檔
- 人教版四年級信息技術(shù)上冊教案
- ab貸的抵押合同
- 2024北京市學(xué)前教研工作計(jì)劃
- 2024-2025學(xué)年中職中職專業(yè)課辦公軟件應(yīng)用71 電子與信息大類教學(xué)設(shè)計(jì)合集
- 2024-2025學(xué)年高中地理選修一 宇宙與地球魯教版教學(xué)設(shè)計(jì)合集
- 2024年3月上半年四川達(dá)州事業(yè)單位招考聘用874人筆試歷年典型考點(diǎn)解題思路附帶答案詳解
- 習(xí)作:我的家人課件
- 2024智能光伏清掃機(jī)器人
- 小學(xué)語文綜合模擬練習(xí)試卷
- 智能醫(yī)療設(shè)備行業(yè)技術(shù)創(chuàng)新與應(yīng)用拓展
- 初中體育人教七年級體育(劉東)室內(nèi)課教學(xué)設(shè)計(jì)《體育保健按摩》
- 紡織面料基礎(chǔ)知識
- 新版GMP驗(yàn)證總計(jì)劃
- 核心素養(yǎng)背景下小學(xué)道德與法治課堂教學(xué)策略研究【獲獎(jiǎng)?wù)n題論文】
- DB37∕T 5164-2020 建筑施工現(xiàn)場管理標(biāo)準(zhǔn)
- 6.1線段、射線、直線(1) 蘇科版七年級數(shù)學(xué)上冊
- 醫(yī)院物業(yè)前期介入服務(wù)與接管驗(yàn)收及入住管理方案
- 中藥制劑鑒別技術(shù)(2)
- 企業(yè)環(huán)保環(huán)境保護(hù)管理培訓(xùn)PPT課件(92頁P(yáng)PT)
- 傳感器技術(shù)習(xí)題答案
- 2022年聚合工藝最新題庫
評論
0/150
提交評論