第六章-能帶理論-課件

第六章能帶理論§6.1引言§6.2能帶理論的基本假設(shè)§6.3布洛赫(Bloch)定理§6.4克朗尼格-朋奈模型能帶中的能級數(shù)目§6.5一維周期場中電子運(yùn)動(dòng)的近自由電子近似§6.6一維晶格中電子的布拉格反射§6.7導(dǎo)體、絕緣體和半導(dǎo)體的能帶論解釋

固體中電子的運(yùn)動(dòng)狀態(tài)對其力學(xué)、熱學(xué)、電磁學(xué)、光學(xué)等物理性質(zhì)具有非常重要的影響，因此，研究固體電子運(yùn)動(dòng)規(guī)律的理論（固體電子理論）是固體物理學(xué)的一個(gè)重要內(nèi)容?！?.1引言

固體電子理論包括經(jīng)典自由電子理論、量子自由電子理論和能帶理論。特魯?shù)?P.Drude)在1900年提出的經(jīng)典自由電子氣體模型。它將在當(dāng)時(shí)已非常成功的氣體分子運(yùn)動(dòng)理論運(yùn)用于金屬，用以解釋金屬電導(dǎo)和熱導(dǎo)的行為。1928年索末菲(A.Sommerfeld)又進(jìn)一步將費(fèi)米-狄拉克統(tǒng)計(jì)理論用于自由電子氣體，在經(jīng)典自由電子氣體模型的基礎(chǔ)上建立了量子的自由電子氣模型，解決了經(jīng)典自由電子氣模型在金屬電子熱容、磁化率等問題上遇到的困難。

回顧自由電子模型的假設(shè)，再對照上述與自由電子模型不相符合的試驗(yàn)現(xiàn)象，自由電子模型的主要問題出在對于固定離子與電子的相互作用的處理上。特魯?shù)碌哪Ｐ图僭O(shè)電子除碰撞瞬間外，與離子晶格無關(guān)，也即假定晶體中的勢能為零，因而在其中運(yùn)動(dòng)的電子不受束縛而是自由的(自由電子假設(shè))；碰撞后的狀態(tài)與碰撞前無關(guān)(碰撞自由時(shí)間假設(shè))。這是一個(gè)大的簡化，進(jìn)一步固體理論的發(fā)展就從這里入手。實(shí)際上，晶體中的離子是有規(guī)律地排列的，電子也并不完全自由，它們的運(yùn)動(dòng)要受到組成晶體的離子和電子共同產(chǎn)生的晶格周期性勢場的影響。因此，1928年，跟索末菲提出他的自由電子氣模型的同一年，布洛赫(FBloch)首先運(yùn)用量子力學(xué)原理來分析晶體中外層電子的運(yùn)動(dòng)，闡明了周期場中運(yùn)動(dòng)的電子所具有的基本特征，為固體能帶理論奠定了基礎(chǔ)。但是：索末菲的量子自由電子氣理論仍有對不少物理性質(zhì)無法解釋。如：有些金屬霍爾系數(shù)為正；固體分為導(dǎo)體、半導(dǎo)體和絕緣體的物理本質(zhì)等。索末菲自由電子理論忽略了電子與原子實(shí)和其它電子的相互作用，V等于零，有局限性。能帶理論認(rèn)為電子要受到一個(gè)周期性勢場的作用。能帶論是單電子近似的理論。用這種方法求出的電子能量狀態(tài)將不再是分立的能級，而是由能量的允帶和禁帶相間組成的能帶，故稱為能帶論。能帶論是用量子力學(xué)研究固體中電子的運(yùn)動(dòng)規(guī)律。能帶理論——

研究固體中電子運(yùn)動(dòng)的主要理論基礎(chǔ)能帶理論——

定性闡明了晶體中電子運(yùn)動(dòng)的普遍性的特點(diǎn)——

晶體中電子的平均自由程為什么遠(yuǎn)大于原子的間距為什麼——

說明了導(dǎo)體、非導(dǎo)體的區(qū)別物理學(xué)前沿之一材料的性質(zhì)大規(guī)模集成電路半導(dǎo)體激光器超導(dǎo)人工微結(jié)構(gòu)

能帶理論是固體物理學(xué)的核心部分之一，具有極重要的意義。

能帶理論促進(jìn)了半導(dǎo)體科學(xué)的發(fā)展，并對當(dāng)代高度發(fā)展的微電子工業(yè)作出了奠基性的貢獻(xiàn)。

電子在運(yùn)動(dòng)過程中并不像自由電子那樣完全不受任

何力的作用，電子在運(yùn)動(dòng)過程中受到晶格中原子周期勢場的作用。能帶理論的基本出發(fā)點(diǎn):

固體中的電子不是完全被束縛在某個(gè)原子周圍，

而是可以在整個(gè)固體中運(yùn)動(dòng)，稱為共有化電子?！?.2

能帶理論的基本假設(shè)利用上式可以得到多粒子體系的能量本征值及其相應(yīng)的電子本征態(tài)，但是嚴(yán)格求解這樣一個(gè)多粒子體系的薛定諤方程顯然是不可能的，必須對方程式進(jìn)行簡化。實(shí)際晶體是由大量電子和原子核組成的多粒子體系。由于電子與電子、電子與原子核、原子核與原子核之間存在著相互作用，因此，一個(gè)嚴(yán)格的固體電子理論必須求解多粒子體系的薛定諤方程，即i——電子系統(tǒng)；a——原子系統(tǒng)（1）波恩-奧本海默(Born－Oppenheimer)絕熱近似：所有原子核(或離子)都周期性地靜止排列在其格點(diǎn)位置上，因而忽略了電子與聲子的碰撞。

電子質(zhì)量m遠(yuǎn)遠(yuǎn)小于原子質(zhì)量M

→電子速度vi遠(yuǎn)遠(yuǎn)大于原子核速度va

→原子核(離子)不動(dòng)電子可看作是在由原子核產(chǎn)生的、固定不動(dòng)的勢場中運(yùn)動(dòng)。能帶理論的三個(gè)基本假設(shè)（近似）：

因?yàn)閮r(jià)電子對晶體性能的影響最大，并且在結(jié)合成晶體時(shí)原子中的價(jià)電子狀態(tài)變化也最大，而原子內(nèi)層電子狀態(tài)變化較小，所以，可以把內(nèi)層電子和原子核看成是一個(gè)離子實(shí)。一般溫度下，離子實(shí)總是圍繞其平衡位置做微小振動(dòng)(晶格振動(dòng))。但在零級近似下，晶格振動(dòng)的影響可以忽略，價(jià)電子可以看作是在固定不變的離子實(shí)勢場中運(yùn)動(dòng)。

→一個(gè)多種粒子的多體問題就簡化成多電子問題。于是，多電子系統(tǒng)的薛定諤方程可簡化為（2）哈特里-?？?Hatree－Fock)平均場近似：多電子系統(tǒng)的薛定諤方程仍不能精確求解。這是因?yàn)槿魏我粋€(gè)電子的運(yùn)動(dòng)不僅與它自己的位置有關(guān)，而且還與所有其他電子的位置有關(guān)；同時(shí)，這個(gè)電子自身也影響其他電子的運(yùn)動(dòng)，即所有電子的運(yùn)動(dòng)都是關(guān)聯(lián)的。為了進(jìn)一步簡化，可以利用一種平均場來代替價(jià)電子之間的相互作用：——假定每一個(gè)電子所處的勢能均相同，從而使每個(gè)電子與其他電子之間的相互作用勢能僅與該電子所處的位置有關(guān)，而與其他電子的位置無關(guān)。這樣，就把一個(gè)多電子問題簡化為單電子問題。電子i與所有其他電子的相互作用勢能電子i與原子核之間的相互作用勢能（3）周期勢場近似：假定是理想完整晶體，每一個(gè)電子都處在除其自身外其他電子的平均勢場和離子實(shí)產(chǎn)生的周期勢場中運(yùn)動(dòng)，其周期為晶格所具有的周期。

U(r)+u(r)=V(r)U(r)——平均勢場，是一衡量u(r)——離子實(shí)產(chǎn)生的周期勢場。因此，V(r)具有晶格周期性：Rl

——晶格平移矢量?！芷趧輬黾僭O(shè)近自由電子模型

近自由電子模型認(rèn)為：電子在晶體中要受周圍勢場的作用，但這個(gè)勢場的平均勢場是一個(gè)很微弱的勢場，平均勢場是周期勢,由于很弱，可以用量子力學(xué)中的微擾論來處理，這時(shí)Shodinger方程中的哈密頓量既有動(dòng)能又有勢能。

這里，這樣可用自由電子的波函數(shù)代替電子的零級波函數(shù)，用微擾論求解Shodinger方程，這樣一種物理模型稱之為近自由電子模型或準(zhǔn)自由電子模型，這也就是Sommuefeld的自由電子模型再加上弱周期勢的修正。一、能帶理論假設(shè)的最簡單總結(jié)

考慮一理想完整晶體，所有的原子實(shí)都周期性地靜止排列在其平衡位置上，每一個(gè)電子都處在除其自身外其他電子的平均勢場和原子實(shí)的周期場中運(yùn)動(dòng)。二、Bloch定理（1928年）

布洛赫指出：處于周期勢場作用下的電子，其波函數(shù)被晶格周期勢場所調(diào)制，將變成由一個(gè)周期函數(shù)所調(diào)制的平面波，這一結(jié)論可由下述布洛赫定理來表述?！?.3

布洛赫(Bloch)定理下面，僅從V(r)的周期性出發(fā)，討論在晶格周期勢場中運(yùn)動(dòng)的單電子波函數(shù)和能量的一般性質(zhì)。為周期性勢場，

為格矢這里，uk(r)=uk(r+Rl)是以格矢Rl為周期的周期函數(shù)?！?/p>

（1）方程的解為：通常將具有(1)式形式的被周期函數(shù)所調(diào)幅的平面波，稱為布洛赫波函數(shù)，或布洛赫波。而將遵從周期勢單電子薛定諤方程的電子，或用布洛赫波函數(shù)描述的電子稱為布洛赫電子。在周期場中，描述單電子運(yùn)動(dòng)的Schr?dinger方程為這是布洛赫定理的又一形式。它表明在不同原胞的對應(yīng)點(diǎn)上，波函數(shù)相差一個(gè)位相因子，但由下式可知，位相因子不影響波函數(shù)模的大?。骸?/p>

（3）由(1)、(2)式可知，布洛赫定理也可以表示為：這說明：晶格周期勢場中的電子在各原胞的對應(yīng)點(diǎn)上出現(xiàn)的幾率均相同，電子可以看作是在整個(gè)晶體中自由運(yùn)動(dòng)的，這種運(yùn)動(dòng)稱為電子的共有化運(yùn)動(dòng)?！?/p>

（1）——

（2）——

（4）

布洛赫定理的證明——

引入平移算符，證明平移算符與哈密頓算符對易，兩者具有相同的本征函數(shù)——

利用周期性邊界條件確定平移算符的本征值，最后給出電子波函數(shù)的形式

因?yàn)閒(r)是任意函數(shù)，所以，TT－TT=0，即T和T可對易定義一個(gè)平移算符T，使得對于任意函數(shù)f(r)有證明：（

＝1,2,3）

：晶格的三個(gè)基矢因?yàn)閒(r)是任意函數(shù)，所以，T與H也可對易。{＝1,2,3設(shè)N是晶體沿基矢a（＝1，2，3）方向的原胞數(shù)，（設(shè)為非簡并）T和H有共同本征態(tài)設(shè)(r)為T和H的共同本征態(tài)：平移算符T的本征值。引入周期性邊界條件：晶體的總原胞數(shù)：N＝N1N2N3周期性邊界條件：引入矢量h＝整數(shù)，＝1,2,3定義一個(gè)新函數(shù)：這表明uk(r)是以格矢Rl為周期的周期函數(shù)。證畢二、幾點(diǎn)討論1.關(guān)于波矢k的取值與物理意義

波矢量k是對應(yīng)于平移算符本征值的量子數(shù)，其物理意義表示不同原胞間電子波函數(shù)的位相變化。

不同的波矢量k表示原胞間的位相差不同，即描述晶體中電子不同的運(yùn)動(dòng)狀態(tài)。

如果兩個(gè)波矢量k和k’相差一個(gè)倒格矢Gn，這兩個(gè)波矢所對應(yīng)的平移算符本征值相同。＝1,2,3

為使k的取值范圍同平移算符的本征值一一對應(yīng)，與討論晶格振動(dòng)的情況相似，通常將k取在由各個(gè)倒格矢的垂直平分面所圍成的包含原點(diǎn)在內(nèi)的最小封閉體積，即第一布里淵區(qū)中。對于

：

對于

：

波矢量

和

所描述的電子在晶體中的運(yùn)動(dòng)狀態(tài)相同。這也就是說，平移算符Ta對這兩個(gè)波矢相差一個(gè)倒格矢Gn的波函數(shù)有相同的本征值。我們以為三個(gè)直角坐標(biāo)軸，建立一個(gè)假想的空間。這個(gè)空間稱為波矢空間、空間，或動(dòng)量空間*。kx、ky、

kz由于德布洛意關(guān)系，即，所以空間也稱為動(dòng)量空間。注：在空間中，電子的每個(gè)狀態(tài)可以用一個(gè)狀態(tài)點(diǎn)來表示，這個(gè)點(diǎn)的坐標(biāo)是2.空間kykx0-112-23-31-12-2-33上式告訴我們，沿空間的每個(gè)坐標(biāo)軸方向，電子的相鄰兩個(gè)狀態(tài)點(diǎn)之間的距離都是。下圖表示二維空間每個(gè)點(diǎn)所占的面積是。因此，空間中每個(gè)狀態(tài)點(diǎn)所占的體積為。

二維空間示意圖

簡約波矢：k限制在第一布里淵區(qū)中取值在k空間中，波矢k的分布密度：每一個(gè)量子態(tài)k在k空間中所占的空間大小:

廣延波矢：k在整個(gè)k空間中取值在簡約布里淵區(qū)中，波矢k的取值總數(shù)為N=N1N2N3§6.6一維晶格中電子的布拉格反射

波數(shù)為k的行進(jìn)平面波：

該平面波受周期場的影響而產(chǎn)生的散射波：因子是波數(shù)為k’＝k+2n/a的散射波的振幅。當(dāng)時(shí)，散射波振幅最大（理論上，無限大）＝2/k2a＝n此時(shí)由于所以

若行進(jìn)平面波的波長＝2/k正好滿足條件2a＝n，

相鄰兩原子所產(chǎn)生的反射波就會有相同的位相，它們

將相互加強(qiáng)，從而使行進(jìn)的平面波受到很大干涉。當(dāng)時(shí)即散射波中，這種成分的振幅變得無限大，微擾不再適用。

在一般情況下，由各原子產(chǎn)生的散射波的位相各不

相同，因而彼此相互抵消，散射波中各成分的振幅

均較小，可以用微擾法處理?；蜻@實(shí)際上是Bragg反射條件2asin＝n在正入射情況（即sin＝1）。由得在布里淵區(qū)邊界上:和零級近似的波函數(shù)是這兩個(gè)簡并態(tài)的線性組合。K態(tài)和k’態(tài)為簡并態(tài)（能量相同），必須用簡并微擾來處理。設(shè)在k和k’接近布里淵區(qū)邊界時(shí){零級近似的波函數(shù)也必須寫成代入Schr?dinger方程利用和得{由于{上式分別左乘k(0)*或k’(0)*

，并積分得解得這里久期方程:（5.33）(1)

對應(yīng)于k態(tài)和k’態(tài)距離布里淵區(qū)邊界較遠(yuǎn)的情況{（設(shè)>0）

此結(jié)果與非簡并微擾計(jì)算的結(jié)果相似，上式中只考慮相互作用強(qiáng)的k和k’在微擾中的相互影響，而將其他影響小的散射波忽略不計(jì)了。影響的結(jié)果是使原來能量較高的k’態(tài)能量升高，而能量較低的k態(tài)的能量降低，即微擾的結(jié)果使k態(tài)和k’態(tài)的能量差進(jìn)一步加大。(2)對應(yīng)于k和k’很接近布里淵區(qū)邊界的情況得——

布里淵區(qū)邊界處自由電子的動(dòng)能令{

兩個(gè)相互影響的態(tài)k和k’，微擾后的能量分別為E＋和E－，當(dāng)>0時(shí)，k’態(tài)的能量比k態(tài)高，微擾后使k’態(tài)的能量升高，而k態(tài)的能量降低。當(dāng)0時(shí)，E分別以拋物線的方式趨于TnUn。對于<0，k態(tài)的能量比k’態(tài)高，微擾的結(jié)果使k態(tài)的能量升高，而k’態(tài)的能量降低。Ek’(0)Ek(0)E－E＋TnTn由于周期場的微擾，E(k)函數(shù)在布里淵區(qū)邊界k=n/a處出現(xiàn)不連續(xù)，能量的突變?yōu)椋悍Q為能隙，即禁帶寬度，這是周期場作用的結(jié)果。1）在處出現(xiàn)禁帶，寬度為。2）在附近，電子能量隨波矢呈拋物線變化。3）在遠(yuǎn)離處，電子能量與自由電子能量相近。k=n/ak=n/ak=n/a

對于一維點(diǎn)陣（點(diǎn)陣常數(shù)為a），電子的波函數(shù)若k遠(yuǎn)離BZ邊界時(shí)（即時(shí)），電子波不受Bragg反射，從各原子散射的波沒有確定的位相關(guān)系，對入射波的傳播無什么影響，與x-ray在晶體中的傳播是相同的。能隙的起因(另一種講法）但當(dāng)時(shí)，如，此時(shí)平面波滿足Bragg條件，波程差為2a，相位差為2π，從相鄰的原子反射的波有相同的位相，發(fā)生相長干涉，產(chǎn)生向反方向傳播的波，這個(gè)波同樣受到其近鄰原子的Bragg反射，再一次反向，這樣就形成了向相反方向傳播的兩列行進(jìn)波，平衡時(shí)兩波疊加形成駐波。有兩種形態(tài)的駐波：

這是由自由電子的行波在Bz邊界上的Bragg反射而形成的，兩個(gè)駐波使電子聚積在不同的區(qū)域內(nèi)。

下面我們分別計(jì)算一下這兩種情況下電子的平均能量。

∵ρ（+）這種分布時(shí)的能量低，ρ（-）分布時(shí)能量高，電子的平均能量是不同的，沒有周期勢場的Ｅ-k曲線是一條拋物線，在有周期勢場存在時(shí)，在Bz邊界上分裂成兩個(gè)波函數(shù)，相應(yīng)的能量也分成兩個(gè)，一個(gè)E+、一個(gè)E-，可以證明，對的電子的能量與的電子的能量是不同的，這個(gè)能量差就是能隙，這個(gè)能隙就是所謂的禁帶。

為簡單起見，我們考慮勢場是諧和勢（簡諧勢）

對于L=1的單位晶體：

==

為歸一化因子，對ρ（+）.ρ（-）計(jì)算平均能量

ρ（+）:ρ（+）

ρ（-）:ρ（-）

ρ（+）-ρ（-）

=(-)

=

實(shí)際的勢場并非是上面的簡單形式，而是一個(gè)復(fù)雜函數(shù)，但可用倒易點(diǎn)陣矢量展成付氏級數(shù)，展成余弦勢的疊加，在一級近似下，在Bz邊界都有能量間隙。

=

能隙的大小等于相應(yīng)的傅立葉分量，Un是收斂的，能隙的寬度越來越小。

§6.4克朗尼格-朋奈模型能帶中的能級數(shù)目一.克朗尼格-朋奈模型

能帶理論是單電子近似理論。

布洛赫定理指出，一個(gè)在周期場中運(yùn)動(dòng)的電子，其波函數(shù)一定是布洛赫函數(shù)。

下面我們通過一個(gè)最簡單的一維周期場-------克朗尼格-朋奈（Kroning-Penney）模型來說明晶體中電子的能量特點(diǎn)。

周期性邊界條件的引入,說明了電子的狀態(tài)是分立的。

它把每個(gè)電子的運(yùn)動(dòng)看成是獨(dú)立地在一個(gè)等效勢場中的運(yùn)動(dòng)?，F(xiàn)在再來說明電子的能量有什么特點(diǎn)？回顧：

克朗尼格-朋奈模型是把前面圖的周期場簡化為圖1所示的周期性方勢阱。假設(shè)電子是在這樣的周期勢場中運(yùn)動(dòng)。在0<x<a一個(gè)周期的區(qū)域中，電子的勢能為0caU0U(x)xb圖1克朗尼格-朋奈模型按照布洛赫定理，波函數(shù)應(yīng)有以下形式式中即可得到滿足的方程將波函數(shù)代入定態(tài)薛定諤方程利用波函數(shù)應(yīng)滿足的有限、單值、連續(xù)等物理（自然）條件，進(jìn)行一些必要的推導(dǎo)和簡化，最后可以得出下式式中而是電子波的波矢*。（4）式就是電子的能量E應(yīng)滿足的方程,也是電子能量E與波矢k

之間的關(guān)系式。(4)式的左邊是能量E的一個(gè)較復(fù)雜的函數(shù)，記作

f(E)；由于，所以使的E值都不滿足方程。下圖2為給出了一定的a、b、U0數(shù)值后的發(fā)f(E)：右邊是波矢k的函數(shù)。由圖看出，在允許取的E值（暫且稱為能級）之間，有一些不允許取的E值（暫且稱為能隙）。下面的圖3為E~k

曲線的某種表達(dá)圖式。

圖2f(E)函數(shù)圖式f(E)EE2E3E5E4E6E7E10E圖3E~k

曲線的表達(dá)圖式兩個(gè)相鄰能帶之間的能量區(qū)域稱為禁帶。晶體中電子的能量只能取能帶中的數(shù)值，而不能取禁帶中的數(shù)值。圖中為“許可的能量”，稱為能帶*。E2E3E5E4E6E7E10E圖4E~k

曲線的表達(dá)圖式E~k

曲線與a有關(guān)、與U0b乘積有關(guān)。乘積U0b反映了勢壘的強(qiáng)弱。

由于原子的內(nèi)層電子受到原子核的束縛較大，與外層電子相比，它們的勢壘強(qiáng)度較大。計(jì)算表明：

U0b的數(shù)值越大所得到的能帶越窄。所以，內(nèi)層電子的能帶較窄。外層電子的能帶較寬。從E~k

曲線還可以看出：

k值越大，相應(yīng)的能帶越寬。

由于晶體點(diǎn)陣常數(shù)a越小，相應(yīng)于k值越大。因此，晶體點(diǎn)陣常數(shù)a越小，能帶的寬度就越大。有的能帶甚至可能出現(xiàn)重疊的現(xiàn)象。E2E3E5E4E6E7E10E圖5E~k

曲線的表達(dá)圖式§6.5一維周期場中電子運(yùn)動(dòng)的近自由電子近似近自由電子模型：

在周期場中，若電子的勢能隨位置的變化（起伏）比較小，而電子的平均動(dòng)能比其勢能的絕對值大得多，這樣，電子的運(yùn)動(dòng)幾乎是自由的。因此，我們可以把自由電子看成是它的零級近似，而將周期場的影響看成小的微擾。運(yùn)動(dòng)方程與微擾計(jì)算Schr?dinger方程：周期性勢場：a：晶格常數(shù)Fourier展開：——

勢能平均值根據(jù)近自由電子模型，Un為微小量。電子勢能為實(shí)數(shù)，U*(x)=U(x)Un*=U-n

——

零級近似——

微擾項(xiàng)分別對電子能量E(k)和波函數(shù)(k)展開將以上各展開式代入Schr?dinger方程中，得零級近似方程：能量本征值：零級一級二級相應(yīng)歸一化波函數(shù)：正交歸一性：一級微擾方程：令：兩邊同左乘并積分得

k’=k

k’k

由于一級微擾能量Ek(1)＝0，所以還需用二級微擾方程來求出二級微擾能量，方法同上。令代入二級微擾方程一級微擾能量=0二級微擾能量：（布里淵區(qū)邊界）電子的能量：（一級微擾=0）電子波函數(shù)：其中波函數(shù)由兩部分組成：

波數(shù)為k的行進(jìn)平面波：

該平面波受周期場的影響而產(chǎn)生的散射波：因子是波數(shù)為k’＝k+2n/a的散射波的振幅。與布洛赫波函數(shù)相比較可得：當(dāng)電子波矢k遠(yuǎn)離時(shí)，散射波很?。簙自由電子§6.6一維晶格中電子的布拉格反射

波數(shù)為k的行進(jìn)平面波：

該平面波受周期場的影響而產(chǎn)生的散射波：因子是波數(shù)為k’＝k+2n/a的散射波的振幅。當(dāng)時(shí)，散射波振幅最大（理論上，無限大）＝2/k2a＝n此時(shí)由于所以

若行進(jìn)平面波的波長＝2/k正好滿足條件2a＝n，

相鄰兩原子所產(chǎn)生的反射波就會有相同的位相，它們

將相互加強(qiáng)，從而使行進(jìn)的平面波受到很大干涉。當(dāng)時(shí)即散射波中，這種成分的振幅變得無限大，微擾不再適用。

在一般情況下，由各原子產(chǎn)生的散射波的位相各不

相同，因而彼此相互抵消，散射波中各成分的振幅

均較小，可以用微擾法處理。或這實(shí)際上是Bragg反射條件2asin＝n在正入射情況（即sin＝1）。由得在布里淵區(qū)邊界上:和零級近似的波函數(shù)是這兩個(gè)簡并態(tài)的線性組合。K態(tài)和k’態(tài)為簡并態(tài)（能量相同），必須用簡并微擾來處理。設(shè)在k和k’接近布里淵區(qū)邊界時(shí){零級近似的波函數(shù)也必須寫成代入Schr?dinger方程利用和得{由于{上式分別左乘k(0)*或k’(0)*

，并積分得解得這里久期方程:（5.33）(1)

對應(yīng)于k態(tài)和k’態(tài)距離布里淵區(qū)邊界較遠(yuǎn)的情況{（設(shè)>0）

此結(jié)果與非簡并微擾計(jì)算的結(jié)果相似，上式中只考慮相互作用強(qiáng)的k和k’在微擾中的相互影響，而將其他影響小的散射波忽略不計(jì)了。影響的結(jié)果是使原來能量較高的k’態(tài)能量升高，而能量較低的k態(tài)的能量降低，即微擾的結(jié)果使k態(tài)和k’態(tài)的能量差進(jìn)一步加大。(2)對應(yīng)于k和k’很接近布里淵區(qū)邊界的情況得——

布里淵區(qū)邊界處自由電子的動(dòng)能令{

兩個(gè)相互影響的態(tài)k和k’，微擾后的能量分別為E＋和E－，當(dāng)>0時(shí)，k’態(tài)的能量比k態(tài)高，微擾后使k’態(tài)的能量升高，而k態(tài)的能量降低。當(dāng)0時(shí)，E分別以拋物線的方式趨于TnUn。對于<0，k態(tài)的能量比k’態(tài)高，微擾的結(jié)果使k態(tài)的能量升高，而k’態(tài)的能量降低。Ek’(0)Ek(0)E－E＋TnTn由于周期場的微擾，E(k)函數(shù)在布里淵區(qū)邊界k=n/a處出現(xiàn)不連續(xù)，能量的突變?yōu)椋悍Q為能隙，即禁帶寬度，這是周期場作用的結(jié)果。1）在處出現(xiàn)禁帶，寬度為。2）在附近，電子能量隨波矢呈拋物線變化。3）在遠(yuǎn)離處，電子能量與自由電子能量相近。k=n/ak=n/ak=n/a

在BZ邊界面上或其附近[k2(k+Gn)2]時(shí)，相應(yīng)的散射

波成分的振幅變得很大。

近自由電子近似，把周期勢場當(dāng)作微擾。當(dāng)k離布里淵區(qū)邊界較遠(yuǎn)時(shí)，由周期場的影響而產(chǎn)生的各散射波成分的振幅都很小。

當(dāng)[k2=(k+Gn)2]時(shí)，對應(yīng)于垂直入射的布拉格反射。電子的波函數(shù)是前進(jìn)波和反射波的線性組合。簡并分裂后的能量：（復(fù)習(xí)）

周期布里淵區(qū)圖象：在每一個(gè)布里淵區(qū)中給出所有能帶。由于認(rèn)為k與k+Gl

等價(jià)，因此可以認(rèn)為En(k)是以倒格矢Gl

為周期的周期函數(shù)，即對于同一能帶n，有n=1n=2n=3En(k)函數(shù)的三種圖象

簡約布里淵區(qū)圖象：所有能帶都在簡約布里淵區(qū)中給出。ⅠⅡⅡⅢⅢ電子能量：k:簡約波矢；n：能帶標(biāo)記ⅠⅡⅡⅢⅢ

擴(kuò)展布里淵區(qū)圖象：不同的能帶在k空間中不同的布里淵區(qū)中給出。每一個(gè)布里淵區(qū)有中一個(gè)能帶，第n個(gè)能帶在第n個(gè)布里淵區(qū)中。（拋物線型表示）各能帶對應(yīng)的波矢區(qū)間等于一個(gè)倒格原胞區(qū)間，。一個(gè)波矢占據(jù)的區(qū)間為各能帶包含N個(gè)波矢，若計(jì)入電子自旋，每個(gè)能帶包含2N個(gè)量子態(tài)，最多容納2N個(gè)電子每能帶有2N個(gè)量子態(tài)第1），2）表示法第3）表示法能態(tài)密度：單位能量區(qū)間內(nèi)的量子態(tài)數(shù)能帶序號越小----〉對應(yīng)的能帶寬度越小----〉能態(tài)密度越大能帶中的能級數(shù)

晶體中電子的能量不能取禁帶中的數(shù)值，只能取能帶中的數(shù)值。而且：第一能帶

k的取值范圍為

第二能帶k

的取值范圍為

第三能帶k

的取值范圍為

每個(gè)能帶所對應(yīng)的k的取值范圍都是*

。注*

：我們把以原點(diǎn)為中心的第一能帶所處的k值范圍稱為第一布里淵區(qū);第二、第三能帶所處的

k值范圍稱為第二、第三布里淵區(qū)，并以此類推。能帶中電子的排布

晶體中的一個(gè)電子只能處在某個(gè)能帶中的某一能級上。

排布原則：

1.服從泡里不相容原理（費(fèi)米子）

2.服從能量最小原理設(shè)孤立原子的一個(gè)能級Enl，它最多能容納2(2+1)個(gè)電子。這一能級分裂成由N條能級組成的能帶后，能帶最多能容納2N(2l+1)個(gè)電子?！?/p>

晶體中的電子

滿帶——

電子占據(jù)了一個(gè)能帶中所有的狀態(tài)空帶——

沒有任何電子占據(jù)（填充）的能帶導(dǎo)帶——

一個(gè)能帶中所有的狀態(tài)并沒有都被電子占滿即不滿帶，或說最下面的一個(gè)空帶價(jià)帶——

導(dǎo)帶以下的第一個(gè)滿帶，或最上面的一個(gè)滿帶禁帶——

兩個(gè)能帶之間，不允許存在的能級寬度，也稱為帶隙

不滿帶，導(dǎo)帶滿帶，價(jià)帶滿帶空帶禁帶孤立原子的最外層電子能級可能填滿了電子也可能未填滿電子。若原來填滿電子的，在形成固體時(shí)，其相應(yīng)的能帶也填滿電子。若孤立原子中較高的電子能級上沒有電子，在形成固體時(shí)，其相應(yīng)的能帶上也沒有電子。若原來未填滿電子的，在形成固體時(shí)，其相應(yīng)的能帶也未填滿電子。孤立原子的內(nèi)層電子能級一般都是填滿的，在形成固體時(shí)，其相應(yīng)的能帶也填滿了電子。一般填充規(guī)律：能帶的寬度記作E

，數(shù)量級為E～eV。

若N~1023,則能帶中兩能級的間距約10-23eV。一般規(guī)律：

1.越是外層電子，能帶越寬，E越大。

2.點(diǎn)陣間距越小，能帶越寬，E越大。3.兩個(gè)能帶有可能重疊。離子間距a2P2S1SE0能帶重疊示意圖同一個(gè)ｋ方向，能量不同原子殼層能級形成的能帶之間的重疊同一原子能級，沿不同k方向其能帶寬度不同引起的重疊

在一維情況下，布里淵區(qū)邊界上能量的突變?yōu)椋?/p>

E＝E＋－E－＝2Un——

禁帶寬度（能隙）

在三維情況下，在布里淵區(qū)邊界上沿不同的k方向

上，電子能量的不連續(xù)可能出現(xiàn)在不同的能量范圍。ECⅠ>EBⅡ

能帶重疊ECⅠ<EBⅡ

有能隙問題的提出導(dǎo)體的電阻率半導(dǎo)體的電阻率絕緣體的電阻率——

所有固體都包含大量的電子，但電子的導(dǎo)電性卻相差非常大

§6.7導(dǎo)體、半導(dǎo)體和絕緣體的能帶理論解釋——

導(dǎo)體、半導(dǎo)體和絕緣體的區(qū)別在哪里？——

電子的能帶理論解釋了導(dǎo)體與絕緣體——

晶體中的電子

滿帶——

電子占據(jù)了一個(gè)能帶中所有的狀態(tài)空帶——

沒有任何電子占據(jù)（填充）的能帶導(dǎo)帶——

一個(gè)能帶中所有的狀態(tài)并沒有都被電子占滿即不滿帶，或說最下面的一個(gè)空帶價(jià)帶——

導(dǎo)帶以下的第一個(gè)滿帶，或最上面的一個(gè)滿帶禁帶——

兩個(gè)能帶之間，不允許存在的能級寬度，也稱為帶隙

不滿帶，導(dǎo)帶滿帶，價(jià)帶滿帶空帶禁帶采用能帶理論可以解釋固體的導(dǎo)電本質(zhì)基本觀點(diǎn)：滿帶中的電子不導(dǎo)電；不滿帶中的電子才參與導(dǎo)電一、滿帶——

狀態(tài)和狀態(tài)中電子的速度大小相等、方向相反

kvkv-1)在無外場時(shí)——晶體中的滿帶在無外場時(shí)，不產(chǎn)生電流每個(gè)電子產(chǎn)生的電流——

對電流的貢獻(xiàn)相互抵消vqv-——

狀態(tài)和狀態(tài)中電子的速度大小相等、方向相反

kvkv-熱平衡狀態(tài)下，電子占據(jù)波矢為的狀態(tài)和占據(jù)波矢為的狀態(tài)的幾率相等kvkv-2)在有外場作用時(shí)

電子受到的作用力電子動(dòng)量的變化——

所有電子狀態(tài)以相同的速度沿著電場的反方向運(yùn)動(dòng)——滿帶的情形中，電子的運(yùn)動(dòng)不改變布里淵區(qū)中電子的分布,滿帶中的電子不產(chǎn)生宏觀的電流EqFvv-=Ev因?yàn)椋篈’與A是兩個(gè)相同的狀態(tài)二、不滿能帶1)無外場存在時(shí)——

熱平衡狀態(tài)下，電子占據(jù)兩個(gè)狀態(tài)的幾率相等——不滿能帶在無外場作用時(shí)，不產(chǎn)生電流——

雖然只有部分狀態(tài)被電子填充，但波矢為的狀態(tài)和波矢為的狀態(tài)中電子的速度大小相等、方向相反，對電流的貢獻(xiàn)相互抵消kvkv-2)在有外場作用時(shí)——

由于能帶中只有部分狀態(tài)被電子填充，外場的作用會使布里淵區(qū)的狀態(tài)分布發(fā)生變化——

所有的電子狀態(tài)以相同的速度沿著電場的反方向運(yùn)動(dòng)，但由于能帶是不滿帶，逆電場方向上運(yùn)動(dòng)的電子較多——在外場作用下，導(dǎo)帶中的電子產(chǎn)生電流Eqdtkdvhv1-=26-f三、導(dǎo)體，絕緣體和半導(dǎo)體能帶理論解釋固體的導(dǎo)電本質(zhì)：滿帶不導(dǎo)電，不滿帶才導(dǎo)電導(dǎo)體

——

在一系列能帶中除了電子填充滿的能帶以外，還有部分被電子填充的能帶（不滿帶），后者起著導(dǎo)電作用---------起導(dǎo)電作用的不滿帶稱為導(dǎo)帶絕緣體

——

原子中的電子是滿殼層分布的，價(jià)電子剛好填滿了許可的能帶，形成滿帶，滿帶和空帶之間之間存在一個(gè)很寬的禁帶，在一般情況下，空帶中沒有電子半導(dǎo)體

——

能帶結(jié)構(gòu)與絕緣體類似，但是禁帶寬度比較?。?eV以下）。滿帶中的部分電子會被熱激發(fā)到空帶。電子和近滿帶中留下的空狀態(tài)都參與導(dǎo)電——N個(gè)原胞構(gòu)成的晶體，每一條能帶能容納的電子數(shù)為

2N個(gè)——

為原胞數(shù)目的二倍導(dǎo)體絕緣體一價(jià)堿金屬——

具有體心立方格子，每個(gè)原胞內(nèi)有一個(gè)原子，由N個(gè)原子構(gòu)成的晶體，各滿層電子的能級相應(yīng)地分成2N個(gè)量子態(tài)的能帶，內(nèi)層電子剛好填滿了相應(yīng)的能帶對于價(jià)電子能級對應(yīng)的能帶，N個(gè)原子只有N個(gè)自由電子(一價(jià))，只填充了半個(gè)能帶而形成導(dǎo)帶——

堿金屬中的N個(gè)電子只填充了半個(gè)布里淵區(qū)，費(fèi)密球與布里淵區(qū)邊界不相交，費(fèi)米面接近球面

二價(jià)堿土金屬——

最外層2個(gè)s態(tài)電子，似乎剛好填充滿和s相應(yīng)的能帶。由于與s