山東省青島市城陽第三中學高二數學理上學期摸底試題含解析

山東省青島市城陽第三中學高二數學理上學期摸底試題含解析一、選擇題：本大題共10小題，每小題5分，共50分。在每小題給出的四個選項中，只有是一個符合題目要求的1.“”是“”的（

）A.充分不必要條件 B.必要不充分條件 C.充要條件 D.既不充分也不必要參考答案：B【分析】求出的的范圍，根據集合之間的關系選擇正確答案．【詳解】，因此是的必要不充分條件．故選B．【點睛】本題考查充分必要條件的判斷，充分必要條件隊用定義判定外還可根據集合之間的包含關系確定．如對應集合是，對應集合是，則是的充分條件是的必要條件．2.已知數列的前項和，第項滿足，則A．9B．8

C．7

D．6參考答案：B，由且，∴。3.已知函數，，則等于（

）A．

B．

C．

D．參考答案：B4.已知在上是偶函數，且滿足，當時，，則（

）A.8 B.2 C. D.50參考答案：B【分析】利用函數的周期性以及函數的解析式，轉化求解即可．【詳解】在R上是偶函數，且滿足，故周期為3當時，，則．故選：B．【點睛】本題考查函數的周期性以及函數的奇偶性的應用，利用函數的解析式求解函數值，考查計算能力．5.若函數沒有零點，則實數的取值范圍為(

)

A、

B、

C、

D、參考答案：C略6.設函數，若恒成立，則實數a的取值范國是（）A.[0,e] B.[0,1] C.(－∞,e] D.[e,+∞)參考答案：A【分析】對函數求導，對分類討論，利用導數研究函數的單調性即可得出結論．【詳解】，時，在上單調遞增，時，；，，不合題意時，恒成立，因此滿足條件．時，令，解得．則是函數的極小值點，此時，函數取得最小值，，化為：，解得．綜上可得：．故選：．【點睛】本題考查了利用導數研究函數的單調性極值與最值、方程與不等式的解法、分類討論方法，考查了推理能力與計算能力，屬于難題．7.設，為非零向量，||=2||，兩組向量，，，和，，，，均由2個和2個排列而成，若?+?+?+?所有可能取值中的最小值為4||2，則與的夾角為（） A． B． C． D．0參考答案：B8.已知動點在橢圓上,若點坐標為,,且則的最小值是（

）A．

B．

C．

D．參考答案：B試題分析：由可知點M的軌跡為以點A為圓心，1為半徑的圓，

過點P作該圓的切線PM，則|PA|2=|PM|2+|AM|2，得|PM|2=|PA|2-1，

∴要使得的值最小，則要的值最小，而的最小值為a-c=2，

此時＝，故選B．考點：橢圓的定義．9.已知數列的前項和，而，通過計算，猜想等于()A、

B、

C、

D、參考答案：B10.雙曲線（a＞0，b＞0）的左、右焦點分別為F1、F2，過點F1作傾斜角為30°的直線l，l與雙曲線的右支交于點P，若線段PF1的中點M落在y軸上，則雙曲線的漸近線方程為(

)A．y=±x B．y=±x C．y=±x D．y=±2x參考答案：C【考點】直線與圓錐曲線的關系；雙曲線的簡單性質．【專題】計算題；綜合題．【分析】由于線段PF1的中點M落在y軸上，連接MF2，則|MF1|=|MF2|=|PM|=|PF1|?△PF1F2為直角三角形，△PMF2為等邊三角形，于是|PF1|﹣|PF2|=|MF1|=2a，|F1F2|=2c=|MF1|=2a?c=a，由c2=a2+b2可求得b=a，于是雙曲線的漸近線方程可求．【解答】解：連接MF2，由過點PF1作傾斜角為30°，線段PF1的中點M落在y軸上得：|MF1|=|MF2|═|PM|=|PF1|，∴△PMF2為等邊三角形，△PF1F2為直角三角形，∵是|PF1|﹣|PF2|=|MF1|=2a，|F1F2|=2c=|MF1|=2a∴c=a，又c2=a2+b2，∴3a2=a2+b2，∴b=a，∴雙曲線（a＞0，b＞0）的漸近線方程為：y=±=±x．

故選C．【點評】本題考查直線與圓錐曲線的位置關系，關鍵是對雙曲線定義的靈活應用及對三角形△PMF2為等邊三角形，△PF1F2為直角三角形的分析與應用，屬于難題．二、填空題:本大題共7小題,每小題4分,共28分11.已知，則函數的最大值為_____________

參考答案：略12.若函數，則＝

參考答案：213.

設某幾何體的三視圖如下（尺寸的長度單位為m）。則該幾何體的體積為

參考答案：414.已知橢圓的短半軸長為1，離心率e滿足，則長軸長的取值范圍是______．參考答案：【分析】將用表示出來，然后根據的范圍求解即可得到結論．【詳解】∵b＝1，∴，又，∴，∴，整理得，解得．∴，∴長軸長的取值范圍為．故答案為．【點睛】本題考查橢圓中基本量間的運算，解題時注意靈活運用和間的關系，屬于基礎題．15.兩條直線相交，最多有1個交點;三條直線相交，最多有3個交點;四條直線相交，最多有6個交點；則五條直線相交，最多有___________個交點；推廣到n()條直線相交,最多有____________個交點.

參考答案：10，略16.若奇函數f(x)滿足f(x)=f(2-x)，且f(3/2)=3，則f(-1/2)=_________參考答案：-3略17.參考答案：4三、解答題：本大題共5小題，共72分。解答應寫出文字說明，證明過程或演算步驟18.如圖，在平行六面體中，已知，，，，求的長．

參考答案：解：

所以，故.

19.已知函數.（Ⅰ）若，求f(x)的極值；（Ⅱ）若在區(qū)間(1,+∞)上恒成立，求a的取值范圍；（Ⅲ）判斷函數f(x)的零點個數.（直接寫出結論）參考答案：（Ⅰ）f(x)有極大值，極大值為；沒有極小值；（Ⅱ）；（Ⅲ）詳見解析.【分析】（Ⅰ）根據極值定義求解；（Ⅱ）轉化為求函數的最值；（Ⅲ）根據函數的單調性和極值即可判斷.【詳解】解：（Ⅰ）當時，定義域為.因為，所以.

令，解得，極大值

所以在區(qū)間上單調遞增，在區(qū)間上單調遞減.

所以有極大值，極大值為；沒有極小值.

（Ⅱ）因為，所以在上恒成立，即在恒成立.

設①當時，，不符合題意.

②當時，.

令,即，因為方程的判別式，兩根之積.所以有兩個異號根.設兩根為，且，

i）當時，極大值

所以在區(qū)間上單調遞增，在區(qū)間上單調遞減，所以，不符合題意；

ii）當時，，即時，在單調遞減，所以當時，，符合題意.綜上，.

（Ⅲ）當或時，有個零點；當且時，函數有個零點.【點睛】導數是研究函數的單調性、極值(最值)最有效的工具，而函數是高中數學中重要的知識點，所以在歷屆高考中，對導數的應用的考查都非常突出，本專題在高考中的命題方向及命題角度

從高考來看，對導數的應用的考查主要從以下幾個角度進行：(1)考查導數的幾何意義，往往與解析幾何、微積分相聯(lián)系．(2)利用導數求函數的單調區(qū)間，判斷單調性；已知單調性，求參數．(3)利用導數求函數的最值(極值)，解決生活中的優(yōu)化問題．(4)考查數形結合思想的應用．.20.已知橢圓過點，其焦距為.（Ⅰ）求橢圓的方程；（Ⅱ）已知橢圓具有如下性質：若橢圓的方程為，則橢圓在其上一點處的切線方程為，試運用該性質解決以下問題：（i）如圖（1），點為在第一象限中的任意一點，過作的切線，分別與軸和軸的正半軸交于兩點，求面積的最小值；（ii）如圖（2），過橢圓上任意一點作的兩條切線和，切點分別為.當點在橢圓上運動時，是否存在定圓恒與直線相切？若存在，求出圓的方程；若不存在，請說明理由.圖（1）

圖（2）

參考答案：（I）解：依題意得：橢圓的焦點為，由橢圓定義知：，所以橢圓的方程為.

……………4分（II）（?。┰O，則橢圓在點B處的切線方程為

令，，令，所以

……………5分又點B在橢圓的第一象限上，所以

……………7分，當且僅當所以當時，三角形OCD的面積的最小值為

……………9分（Ⅲ）設，則橢圓在點處的切線為：又過點，所以，同理點也滿足，所以都在直線上，即：直線MN的方程為

……………12分所以原點O到直線MN的距離，…………13分所以直線MN始終與圓相切.

……………14分

略21.（13分）在直角坐標平面內，已知點，是平面內一動點，直線、斜率之積為.(Ⅰ)求動點的軌跡的方程；(Ⅱ)過點作直線與軌跡交于兩點，線段的中點為,求直線的斜率的取值范圍.參考答案：解:(Ⅰ)設點的坐標為，依題意，有

.

化簡并整理，得.∴動點的軌跡的方程是.………………5分

(Ⅱ)解法一：依題意，直線過點且斜率不為零，故可設其方程為,……6分由方程組

消去，并整理得

……8分

設,,則

∴

∴,,

……………10分

(1)當時，；

…………11分(2)當時,

..

且

.

綜合(1)、(2)可知直線的斜率的取值范圍是：.………………13分解法二：依題意，直線過點且斜率不為零.(1)

當直線與軸垂直時，點的坐標為，此時，；

…………6分(2)

當直線的斜率存在且不為零時，設直線方程為,

由方程組

消去，并整理得

8分設,,則

∴,,

……10分

.

.且

.……12分

綜合(1)、(2)可知直線的斜率的取值范圍是：………………13分22.已知函數在處取得極值.（1）求實數的值；（2）若關于的方程在區(qū)間上恰有兩個不同的實數根,求實數的取值范圍；（3）證明:對任意的正整數,不等式…都成立.參考答案：(1)，時,取得極值,故，解得

經檢驗符合題意.

（2）由知

由,得

令則在區(qū)間上恰有兩個不同的實數根等價于在區(qū)間上恰有兩個不同的實數根.

當時,,于是在上單調遞增;

當時