線性代數(shù)二次型和對稱矩陣的有定性

線性代數(shù)二次型和對稱矩陣的有定性第1頁，課件共21頁，創(chuàng)作于2023年2月一、正定二次型正定矩陣定義由定義，可得以下結(jié)論：

充分性是顯然的；下面用反證法證必要性：

代入二次型，得

2第2頁，課件共21頁，創(chuàng)作于2023年2月由上述兩個結(jié)論可知，研究二次型的正定性，只要通過非退化線性變換，將其化為標準形，就容易由以下定理判別其正定性。

3第3頁，課件共21頁，創(chuàng)作于2023年2月定理推論實對稱矩陣A正定的充分必要條件是A的特征值全為正。?正定矩陣。這是因為：4第4頁，課件共21頁，創(chuàng)作于2023年2月解例1判別二次型是否正定。二次型對應的矩陣為

5第5頁，課件共21頁，創(chuàng)作于2023年2月全為正，

因此二次型正定。

6第6頁，課件共21頁，創(chuàng)作于2023年2月定理設矩陣A正定，則

（1）A的主對角元全為正；

證明7第7頁，課件共21頁，創(chuàng)作于2023年2月上述定理是A正定的必要條件，但不是充分條件。

定理8第8頁，課件共21頁，創(chuàng)作于2023年2月解例2判別二次型是否正定。二次型對應的矩陣為

它的順序主子式為：

因此

A是正定的，

即二次型

f正定。

9第9頁，課件共21頁，創(chuàng)作于2023年2月解例3設有實二次型

問

t

取何值時，該二次型為正定二次型？

f的矩陣為順序主子式為：

解得10第10頁，課件共21頁，創(chuàng)作于2023年2月?實對稱矩陣A為正定矩陣的充分必要條件是存在可逆矩陣C，使得

實際上，正定二次型的規(guī)范形為即A正定的充分必要條件是A合同于單位矩陣E，即存在可逆矩陣C，使11第11頁，課件共21頁，創(chuàng)作于2023年2月?證因為于是12第12頁，課件共21頁，創(chuàng)作于2023年2月2、其它有定二次型定義如果二次型不是有定的，就稱為不定二次型。

13第13頁，課件共21頁，創(chuàng)作于2023年2月顯然，A是負定（半負定）的當且僅當-A是正定（半正定）的。由此，容易得出以下結(jié)論：

（2）A負定的充分必要條件是A的特征值全負；

（3）A半負定的充分必要條件是A的特征值非正；

（4）A負定的充分必要條件是A的奇數(shù)階順序主子式全為負而偶數(shù)階順序主子式全為正；

（1）A半正定的充分必要條件是A的特征值非負；

（5）若A負定，則A的對角元全為負。

注意:1.最后一條只是必要條件。2.A的順序主子式全非負，A也未必是半正定的。14第14頁，課件共21頁，創(chuàng)作于2023年2月例如，設矩陣顯然A的順序主子式但對角元有正有負，顯然A是不定的。15第15頁，課件共21頁，創(chuàng)作于2023年2月例5判定下列二次型是否是有定二次型。

解（1）f的矩陣為

順序主子式

所以

f是負定的。16第16頁，課件共21頁，創(chuàng)作于2023年2月例5判定下列二次型是否是有定二次型。

解（2）f的矩陣為

順序主子式

所以

f是不定的。17第17頁，課件共21頁，創(chuàng)作于2023年2月練習：P222習題五18第18頁，課件共21頁，創(chuàng)作于2023年2月ENDEND19第19頁，課件共21頁，創(chuàng)作于2023年2月選用例題1、解C是正定的。且C是實對稱陣，故C是正定矩陣。