山西省太原市第四中學(xué)2022年高三數(shù)學(xué)理聯(lián)考試卷含解析

山西省太原市第四中學(xué)2022年高三數(shù)學(xué)理聯(lián)考試卷含解析一、選擇題：本大題共10小題，每小題5分，共50分。在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有是一個(gè)符合題目要求的1.已知p：0≤x≤1，q：＜1，則p是q的（） A．充分不必要條件 B． 必要不充分條件 C．充要條件 D． 既非充分也非必要條件參考答案：考點(diǎn)： 必要條件、充分條件與充要條件的判斷．專(zhuān)題： 簡(jiǎn)易邏輯．分析： 根據(jù)不等式的性質(zhì)，利用充分條件和必要條件的定義進(jìn)行判斷．解答： 解：當(dāng)x=0時(shí)，不等式＜1不成立，即充分性不成立，當(dāng)x=﹣1時(shí)，滿足＜1但0≤x≤1不成立，即必要性不成立，故p是q的既不充分也不必要條件，故選：D點(diǎn)評(píng)： 本題主要考查充分條件和必要條件的判斷，根據(jù)不等式之間的關(guān)系是解決本題的關(guān)鍵，比較基礎(chǔ)．2.復(fù)數(shù)（i為虛數(shù)單位）在復(fù)平面內(nèi)對(duì)應(yīng)的點(diǎn)位于（）A.第一象限 B.第二象限 C.第三象限 D.第四象限參考答案：D【分析】根據(jù)復(fù)數(shù)的除法運(yùn)算得到結(jié)果.【詳解】復(fù)數(shù)對(duì)應(yīng)的點(diǎn)坐標(biāo)為在第四象限.故答案為：D.【點(diǎn)睛】在復(fù)平面上，點(diǎn)和復(fù)數(shù)一一對(duì)應(yīng)，所以復(fù)數(shù)可以用復(fù)平面上的點(diǎn)來(lái)表示，這就是復(fù)數(shù)的幾何意義．復(fù)數(shù)幾何化后就可以進(jìn)一步把復(fù)數(shù)與向量溝通起來(lái)，從而使復(fù)數(shù)問(wèn)題可通過(guò)畫(huà)圖來(lái)解決，即實(shí)現(xiàn)了數(shù)與形的轉(zhuǎn)化．由此將抽象問(wèn)題變成了直觀的幾何圖形，更直接明了．3.已知△ABC中，內(nèi)角A，B，C的對(duì)邊分別為a，b，c，若a2=b2+c2﹣bc，a=3，則△ABC的周長(zhǎng)的最大值為（）A．2 B．6 C． D．9參考答案：D【考點(diǎn)】余弦定理；正弦定理．【分析】由已知利用余弦定理可求A，利用a=3和sinA的值，根據(jù)正弦定理表示出b和c，代入三角形的周長(zhǎng)a+b+c中，利用兩角和與差的正弦函數(shù)公式及特殊角的三角函數(shù)值化為一個(gè)角的正弦函數(shù)，根據(jù)正弦函數(shù)的值域即可得到周長(zhǎng)的最大值．【解答】解：∵a2=b2+c2﹣bc，可得：bc=b2+c2﹣a2，∴cosA==，∵A∈（0，π），∴A=，∴由a=3，結(jié)合正弦定理得：==2，∴b=2sinB，c=2sinC，則a+b+c=3+2sinB+2sinC=3+2sinB+2sin（﹣B）=3+3sinB+3cosB=3+6sin（B+），可知周長(zhǎng)的最大值為9．故選：D．4.設(shè)m、n是兩條不同的直線，是三個(gè)不同的平面，給出下列四個(gè)命題：

①若，，則

②若，，，則

③若，，則

④若，，則其中正確命題的個(gè)數(shù)是

（A）1

（B）2 （C）3

（D）4參考答案：B5.在等差數(shù)列{an}中，a3+a6+a9=54，設(shè)數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和為Sn，則S11=（）A．18 B．99 C．198 D．297參考答案：B【考點(diǎn)】等差數(shù)列的前n項(xiàng)和．【分析】根據(jù)題意，由等差數(shù)列的性質(zhì)求出a1+a11=a3+a9=2a6，將其代入等差數(shù)列前n項(xiàng)和公式即可得出答案【解答】解：根據(jù)題意，等差數(shù)列{an}中，a3+a6+a9=27，所以a1+a11=a3+a9=2a6=18，則S11===99；故選：B．6.函數(shù)f（x）=（x2﹣2x）ex的圖象大致是（）A． B． C． D．參考答案：B【考點(diǎn)】函數(shù)的圖象．【分析】用函數(shù)圖象的取值，函數(shù)的零點(diǎn)，以及利用導(dǎo)數(shù)判斷函數(shù)的圖象．【解答】解：由f（x）=0，解得x2﹣2x=0，即x=0或x=2，∴函數(shù)f（x）有兩個(gè)零點(diǎn)，∴A，C不正確．∴f'（x）=（x2﹣2）ex，由f'（x）=（x2﹣2）ex＞0，解得x＞或x＜﹣．由f'（x）=（x2﹣2）ex＜0，解得，﹣＜x＜即x=﹣是函數(shù)的一個(gè)極大值點(diǎn)，∴D不成立，排除D．故選：B7.下列函數(shù)是偶函數(shù)的是（）（A）（B）（C）（D）參考答案：B略8.已知向量

，

，若∥，則=

A.

B.4

C.

D.16參考答案：C因?yàn)?，所以，即，選C.9.變量x,y滿足約束條件，則目標(biāo)函數(shù)的取值范圍是（A）

（B）

（C）

（D）參考答案：A10.設(shè)雙曲線的漸近線方程為則的值為（

）A．4

B．3

C．2

D．1參考答案：C本題考查雙曲線的漸近線方程和雙曲線方程，難度較低。由雙曲線方程可得漸近線方程為，由已知得，所以a=2。，選擇C。二、填空題:本大題共7小題,每小題4分,共28分11.已知函數(shù)，若對(duì)任意實(shí)數(shù)x，恒有，則____．參考答案：【分析】對(duì)進(jìn)行化簡(jiǎn)得到，根據(jù)正弦函數(shù)和二次函數(shù)的單調(diào)性得到，進(jìn)而確定，，，利用兩角差的余弦公式得到。【詳解】對(duì)任意實(shí)數(shù)，恒有則即，【點(diǎn)睛】本題的關(guān)鍵在于“變角”將變?yōu)榻Y(jié)合誘導(dǎo)公式，從而變成正弦的二倍角公式。12.在中，內(nèi)角的對(duì)邊分別為，若，，，則的面積__________．參考答案：

13.設(shè)等差數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和為Sn，則，，，成等差數(shù)列.類(lèi)比以上結(jié)論有：設(shè)等比數(shù)列{bn}的前n項(xiàng)積為T(mén)n，則

，____________成等比數(shù)列.參考答案：

由于等差數(shù)列的特征是差，等比數(shù)列的特征是比，因此運(yùn)用類(lèi)比推理的思維方法可得：，，成等比數(shù)列。

14.已知某試驗(yàn)范圍為[10，90]，若用分?jǐn)?shù)法進(jìn)行4次優(yōu)選試驗(yàn)，則第二次試點(diǎn)可以是

．參考答案：40(或60)本題考查分?jǐn)?shù)法的計(jì)算，難度中等。[10,90]第一個(gè)試點(diǎn)為，第二個(gè)試點(diǎn)為，所以第二個(gè)試點(diǎn)為40。15.函數(shù)y=的定義域?yàn)椋畢⒖即鸢福海?，1]【考點(diǎn)】對(duì)數(shù)函數(shù)的定義域．【分析】令被開(kāi)方數(shù)大于等于0，然后利用對(duì)數(shù)函數(shù)的單調(diào)性及真數(shù)大于0求出x的范圍，寫(xiě)出集合區(qū)間形式即為函數(shù)的定義域．【解答】解：由題意可得：log0.5x≥0=log0.51，∴根據(jù)對(duì)數(shù)函數(shù)的單調(diào)性以及對(duì)數(shù)式的意義可得：0＜x≤1，∴函數(shù)的定義域?yàn)椋?，1]，故答案為（0，1]．16.半徑為R的球放在房屋的墻角處，球與圍成墻角的三個(gè)互相垂直的面都相切，若球心到墻角的距離是，則球的表面積是__

_____。參考答案：17.（幾何證明選講選做）如圖，在圓的內(nèi)接四邊形ABCD中，∠ABC＝90°，∠ABD＝30°，∠BDC＝45°，AD＝1，則BC＝_________.參考答案：試題分析：因?yàn)樵趫A的內(nèi)接四邊形ABCD中，∠ABC＝90°，所以又∠ABD＝30°，所以因?yàn)锳D＝1，所以又因?yàn)椤螧DC＝45°，所以在等腰直角三角形中，可求得所以考點(diǎn)：圓的內(nèi)接四邊形性質(zhì)三、解答題：本大題共5小題，共72分。解答應(yīng)寫(xiě)出文字說(shuō)明，證明過(guò)程或演算步驟18.在△ABC中，2sin2AcosA﹣sin3A+cosA=．（1）求角A的大?。唬?）已知a，b，c分別是內(nèi)角A，B，C的對(duì)邊，若a=1且sinA+sin（B﹣C）=2sin2C，求△ABC的面積．參考答案：【考點(diǎn)】正弦定理；三角函數(shù)中的恒等變換應(yīng)用．【分析】（1）已知等式左邊化簡(jiǎn)，利用兩角和與差的正弦函數(shù)公式化為一個(gè)角的正弦函數(shù)，根據(jù)A為三角形內(nèi)角求出這個(gè)角的范圍，確定出A的度數(shù)即可；（2）已知等式兩邊化簡(jiǎn)后，得到cosC=0或sinB=2sinC，①當(dāng)cosC=0時(shí)，求出C與B度數(shù)，根據(jù)a的值利用三角函數(shù)定義求出b的值，求出此時(shí)三角形ABC面積；②當(dāng)sinB=2sinC時(shí)，利用正弦定理得到b=2c，再利用余弦定理求出c2，利用三角形面積公式即可求出三角形ABC面積．【解答】解：（1）已知等式化簡(jiǎn)得：2sin2AcosA﹣sin3A+cosA=2sin2AcosA﹣sin（2A+A）+cosA=sin2AcosA﹣cos2AsinA+cosA=sinA+cosA=2sin（A+）=，∴sin（A+）=，∵A∈（0，π），∴A+∈（，），∴A+=，即A=；（2）∵sinA+sin（B﹣C）=2sin2C，∴sin（B+C）+sin（B﹣C）=4sinCcosC，∴2sinBcosC=4sinCcosC，∴cosC=0或sinB=2sinC，①當(dāng)cosC=0時(shí)，C=，∴B=，∴b=atanB=，則S△ABC=ab=×1×=；②當(dāng)sinB=2sinC時(shí)，由正弦定理可得b=2c，由余弦定理a2=b2+c2﹣2bccosA，即1=4c2+c2﹣2c2，即c2=，則S△ABC=bcsinA=c2sinA=×=，綜上，△ABC的面積為．19.飛機(jī)每飛行1小時(shí)的費(fèi)用由兩部分組成，固定部分為4900元，變動(dòng)部分（元）與飛機(jī)飛行速度（千米∕小時(shí)）的函數(shù)關(guān)系式是，已知甲乙兩地的距離為（千米）．（1）試寫(xiě)出飛機(jī)從甲地飛到乙地的總費(fèi)用（元）關(guān)于速度（千米∕小時(shí)）的函數(shù)關(guān)系式；（2）當(dāng)飛機(jī)飛行速度為多少時(shí)，所需費(fèi)用最少？

參考答案：19．解：(1)每小時(shí)的費(fèi)用為，飛行時(shí)間為小時(shí)所以總費(fèi)用關(guān)于速度的函數(shù)關(guān)系為

(2)當(dāng)且僅當(dāng)即時(shí)上式等號(hào)成立.所以當(dāng)飛機(jī)的飛行速度為700千米/小時(shí)時(shí)費(fèi)用最小.

20.如圖，橢圓C：＋＝1(a＞b＞0)的焦點(diǎn)F1，F(xiàn)2和短軸的一個(gè)端點(diǎn)A構(gòu)成等邊三角形，點(diǎn)(，)在橢圓C上，直線l為橢圓C的左準(zhǔn)線．（1）求橢圓C的方程；（2）點(diǎn)P是橢圓C上的動(dòng)點(diǎn)，PQ⊥l，垂足為Q．是否存在點(diǎn)P，使得△F1PQ為等腰三角形？若存在，求出點(diǎn)P的坐標(biāo)；若不存在，說(shuō)明理由．

參考答案：（1）橢圓C的方程為＋＝1(a＞b＞0)，由已知△AF1F2為正三角形，所以

sin∠AF1O＝＝，所以＝，＝．

設(shè)b2＝3λ，a2＝4λ，橢圓方程為＋＝λ．橢圓經(jīng)過(guò)點(diǎn)(，)，解得λ＝1，所以橢圓C的方程為＋＝1．（2）由＝e＝，得PF1＝PQ．所以PF1≠PQ．①若PF1＝F1Q，則PF1＋F1Q＝PQ，與“三角形兩邊之和大于第三邊”矛盾，所以PF1不可能與PQ相等②若F1Q＝PQ，設(shè)P(x，y)(x≠±2)，則Q(－4，y)．∴＝4＋x，∴9＋y2＝16＋8x＋x2，又由＋＝1，得y2＝3－x2．∴9＋3－x2＝16＋8x＋x2，∴x2＋8x＋4＝0．∴7x2＋32x＋16＝0．∴x＝－或x＝－4．因?yàn)閤∈(－2，2)，所以x＝－．所以P(－，±)．存在點(diǎn)P(－，±)，使△PF1Q為等腰三角形21.已知函數(shù)f（x）=x﹣alnx+b，a，b為實(shí)數(shù)．（Ⅰ）若曲線y=f（x）在點(diǎn)（1，f（1））處的切線方程為y=2x+3，求a，b的值；（Ⅱ）若|f′（x）|＜對(duì)x∈[2，3]恒成立，求a的取值范圍．參考答案：【考點(diǎn)】導(dǎo)數(shù)在最大值、最小值問(wèn)題中的應(yīng)用；利用導(dǎo)數(shù)研究曲線上某點(diǎn)切線方程．【分析】（I）根據(jù)導(dǎo)數(shù)的幾何意義可得f′（1）=2，f（1）=5，列方程組解出a，b即可；（II）分離參數(shù)得出x﹣＜a＜x+，分別求出左側(cè)函數(shù)的最大值和右側(cè)函數(shù)的最小值即可得出a的范圍．【解答】解：（I）f′（x）=1﹣，∵曲線y=f（x）在點(diǎn)（1，f（1））處的切線方程為y=2x+3，∴f′（1）=2，f（1）=5，∴，解得a=﹣1，b=4．（II）∵|f′（x）|＜對(duì)x∈[2，3]恒成立，即|1﹣|＜對(duì)x∈[2，3]恒成立，∴|x﹣a|＜對(duì)x∈[2，3]恒成立，∴x﹣＜a＜x+對(duì)x∈[2，3]恒成立，設(shè)g（x）=x﹣，h（x）=x+，x∈[2，3]，則g′（x）=1+＞0，h′（x）=1﹣＞0，∴g（x）在[2，3]上是增函數(shù)，h（x）在[2，3]上是增函數(shù)，∴gmax（x）=g（3）=2，hmin（x）=h（2）=．∴a的取值范圍是[2，]．22.（16分）（2015?泰州一模）已知函數(shù)f（x）=lnx﹣，g（x）=ax+b．（1）若函數(shù)h（x）=f（x）﹣g（x）在（0，+∞）上單調(diào)遞增，求實(shí)數(shù)a的取值范圍；（2）若直線g（x）=ax+b是函數(shù)f（x）=lnx﹣圖象的切線，求a+b的最小值；（3）當(dāng)b=0時(shí)，若f（x）與g（x）的圖象有兩個(gè)交點(diǎn)A（x1，y1），B（x2，y2），求證：x1x2＞2e2．（取e為2.8，取ln2為0.7，取為1.4）參考答案：【考點(diǎn)】：利用導(dǎo)數(shù)研究曲線上某點(diǎn)切線方程；利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性．【專(zhuān)題】：導(dǎo)數(shù)的綜合應(yīng)用．【分析】：（1）把f（x）和g（x）代入h（x）=f（x）﹣g（x），求其導(dǎo)函數(shù)，結(jié)合h（x）在（0，+∞）上單調(diào)遞增，可得對(duì)?x＞0，都有h′（x）≥0，得到，由得到a的取值范圍；（2）設(shè)切點(diǎn)，寫(xiě)出切線方程，整理得到，令換元，可得a+b=φ（t）=﹣lnt+t2﹣t﹣1，利用導(dǎo)數(shù)求其最小值；（3）由題意知，，把a(bǔ)用含有x1，x2的代數(shù)式表示，得到，不妨令0＜x1＜x2，記，構(gòu)造函數(shù)，由導(dǎo)數(shù)確定其單調(diào)性，從而得到，即，然后利用基本不等式放縮得到，令，再由導(dǎo)數(shù)確定G（x）在（0，+∞）上單調(diào)遞增，然后結(jié)合又得到，即．（1）解：h（x）=f（x）﹣g（x）=，則，∵h(yuǎn)（x）=f（x）﹣g（x）在（0，+∞）上單調(diào)遞增，∴對(duì)?x＞0，都有，即對(duì)?x＞0，都有，∵，∴a≤0，故實(shí)數(shù)a的取值范圍是（﹣∞，0]；（2）解：設(shè)切點(diǎn)，則切線方程為，即，亦即，令，由題意得，令a+b=φ（t）=﹣lnt+t2﹣t﹣1，則，當(dāng)t∈（0，1）時(shí)，φ'（t