上海華東政法大學(xué)附屬中學(xué)2021-2022學(xué)年高三數(shù)學(xué)理聯(lián)考試題含解析

上海華東政法大學(xué)附屬中學(xué)2021-2022學(xué)年高三數(shù)學(xué)理聯(lián)考試題含解析一、選擇題：本大題共10小題，每小題5分，共50分。在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有是一個(gè)符合題目要求的1.復(fù)數(shù)（，為虛數(shù)單位）是純虛數(shù)，則實(shí)數(shù)的值為A．或

B．

C．

D．參考答案：D略2.要得到函數(shù)y=sin(x+)的圖像，只需要將函數(shù)y=cosx的圖像（

）

A、向左平移個(gè)單位

B、向左平移個(gè)單位C、向右平移個(gè)單位

D、向右平移個(gè)單位參考答案：C試題分析：將函數(shù)向右平移個(gè)單位后得到的函數(shù)為,由得，故選C.考點(diǎn)：函數(shù)圖象的平移變換.3.已知函數(shù)的部分圖像如圖所示，若圖中在點(diǎn)處取得極大值，在點(diǎn)處取得極小值，且四邊形的面積為32，則的值是（

）A．

B．

C.

D．參考答案：D4.將函數(shù)的圖象向左平移個(gè)單位，得到函數(shù)的圖象，則是（

） A． B． C． D．

參考答案：B略5.用秦九韶算法計(jì)算多項(xiàng)式在時(shí)的值時(shí)，v3的值為(

)

A.3

B.5

C.－3

D.2參考答案：B略6.設(shè)集合,,則集合（

）A. B. C. D.參考答案：C【分析】對集合進(jìn)行化簡，然后求出.【詳解】因?yàn)?，所以，故本題選C.【點(diǎn)睛】本題考查了集合的交集運(yùn)算、補(bǔ)集運(yùn)算，正確求出函數(shù)的定義域，函數(shù)的值域是關(guān)鍵.7.已知函數(shù),則函數(shù)的圖像是

()參考答案：D8.集合，則實(shí)數(shù)a的范圍為A.(－∞,1]

B.[1,+∞)

C.(0,1)

D.(－1,0)參考答案：B9.已知命題p:x1,x2R,(f(x2)f(x1))(x2x1)≥0,則p是 （）A．x1,x2R,(f(x2)f(x1))(x2x1)≤0

B．x1,x2R,(f(x2)f(x1))(x2x1)≤0C．x1,x2R,(f(x2)f(x1))(x2x1)<0D．x1,x2R,(f(x2)f(x1))(x2x1)<0參考答案：C略10.直線的傾斜角是(

)A.30°

B.120°

C.60°

D.150°參考答案：D略二、填空題:本大題共7小題,每小題4分,共28分11.函數(shù)的最小值為________．參考答案：【分析】結(jié)合換元法以及利用導(dǎo)數(shù)求得的最小值.【詳解】令，函數(shù)變?yōu)?，，所以在上遞減，在上遞增，所以，也即函數(shù)的最小值為.故答案為：【點(diǎn)睛】本小題主要考查利用導(dǎo)數(shù)求函數(shù)的最值，屬于中檔題.12.設(shè)△ABC中，角A，B，C所對的邊分別為a，b，c，若a=4，A=，B=，則△ABC的面積S=．參考答案：6+2【考點(diǎn)】正弦定理．【分析】先求角C，然后由正弦定理可求得b的值，從而可求△ABC的面積．【解答】解：∵A=，B=，∴C=π﹣﹣=，又∵由正弦定理知：b===2，∴S△ABC=absinC==4sin=4cos（）=6+2．故答案為：6+2．13.實(shí)數(shù)x，y，k滿足，z=x2+y2，若z的最大值為13，則k的值為

．參考答案：2考點(diǎn)：簡單線性規(guī)劃．專題：不等式的解法及應(yīng)用．分析：作出不等式組對應(yīng)的平面區(qū)域，利用z的幾何意義進(jìn)行求解即可．解答： 解：作出不等式組對應(yīng)的平面區(qū)域如圖；則k＞1，則z的幾何意義是區(qū)域內(nèi)的點(diǎn)到原點(diǎn)的距離的平方，由圖象知，O到A的距離最大，∵z=x2+y2的最大值為13，∴O到A的距離最大為d=，由，即，即A（k，k+1），則OA==，即2k2+2k+1=13，即k2+k﹣6=0，解得k=2或k=﹣3（舍），故k=2，故答案為：2點(diǎn)評：本題主要考查線性規(guī)劃以及點(diǎn)到直線的距離的應(yīng)用，利用數(shù)形結(jié)合是解決本題的關(guān)鍵．14.已知中心是坐標(biāo)原點(diǎn)的橢圓C過點(diǎn)，且C的一個(gè)焦點(diǎn)為(2,0)，則C的標(biāo)準(zhǔn)方程為

．參考答案：橢圓的焦點(diǎn)位于軸，則設(shè)橢圓的方程為，橢圓過點(diǎn)，則：,①它的一個(gè)焦點(diǎn)為，則，②①②聯(lián)立可得：，則的標(biāo)準(zhǔn)方程為.

15.已知參考答案：略16.（5分）（2015?淄博一模）對于函數(shù)f（x），若存在區(qū)間A=[m，n]，使得{y|y=f（x），x∈A}=A，則稱函數(shù)f（x）為“同域函數(shù)”，區(qū)間A為函數(shù)f（x）的一個(gè)“同城區(qū)間”．給出下列四個(gè)函數(shù)：①f（x）=cosx；②f（x）=x2﹣1；③f（x）=|x2﹣1|；④f（x）=log2（x﹣1）．存在“同域區(qū)間”的“同域函數(shù)”的序號是（請寫出所有正確的序號）參考答案：①②③【考點(diǎn)】：函數(shù)的值域．【專題】：函數(shù)的性質(zhì)及應(yīng)用．【分析】：根據(jù)同域函數(shù)及同域區(qū)間的定義，再根據(jù)函數(shù)值域的求解即可找到①②③三個(gè)函數(shù)的一個(gè)同域區(qū)間，而通過判斷f（x）和函數(shù)y=x交點(diǎn)的情況，容易判斷函數(shù)④不存在同域區(qū)間．解：①f（x）=，x∈[0，1]時(shí)，f（x）∈[0，1]，所以①存在同域區(qū)間；②f（x）=x2﹣1，x∈[﹣1，0]時(shí)，f（x）∈[﹣1，0]，所以②存在同域區(qū)間；③f（x）=|x2﹣1|，x∈[0，1]時(shí)，f（x）∈[0，1]，所以③存在同域區(qū)間；④f（x）=log2（x﹣1），判斷該函數(shù)是否有同域區(qū)間，即判斷該函數(shù)和函數(shù)y=x是否有兩個(gè)交點(diǎn)；而根據(jù)這兩個(gè)函數(shù)圖象可以看出不存在交點(diǎn)，所以該函數(shù)不存在同域區(qū)間．故答案為：①②③．【點(diǎn)評】：考查對同域函數(shù)及同域區(qū)間的理解，二次函數(shù)、余弦函數(shù)的值域的求解，知道通過判斷函數(shù)f（x）和函數(shù)y=x圖象交點(diǎn)的情況來判斷函數(shù)是否存在同域區(qū)間的方法．17.正方體的內(nèi)切球與外接球的半徑之比為

參考答案：試題分析：正方體的內(nèi)切球的直徑為，正方體的棱長，外接球的直徑為，正方體的對角線長，設(shè)出正方體的棱長，即可求出兩個(gè)半徑，求出半徑之比．解：正方體的內(nèi)切球的直徑為，正方體的棱長，外接球的直徑為，正方體的對角線長，設(shè)正方體的棱長為：2a，所以內(nèi)切球的半徑為：a；外接球的直徑為2a，半徑為：a，所以，正方體的內(nèi)切球與外接球的半徑之比為：：3，故填寫考點(diǎn)：點(diǎn)評：本題是基礎(chǔ)題，考查正方體的外接球與內(nèi)切球的半徑之比，正方體的內(nèi)切球的直徑為，正方體的棱長，外接球的直徑為，正方體的對角線長，是解決本題的關(guān)鍵三、解答題：本大題共5小題，共72分。解答應(yīng)寫出文字說明，證明過程或演算步驟18.某公司的研發(fā)團(tuán)隊(duì)，可以進(jìn)行A、B、C三種新產(chǎn)品的研發(fā)，研發(fā)成功的概率分別為P（A）=，P（B）=，P（C）=，三個(gè)產(chǎn)品的研發(fā)相互獨(dú)立．（1）求該公司恰有兩個(gè)產(chǎn)品研發(fā)成功的概率；（2）已知A、B、C三種產(chǎn)品研發(fā)成功后帶來的產(chǎn)品收益（單位：萬元）分別為1000、2000、1100，為了收益最大化，公司從中選擇兩個(gè)產(chǎn)品研發(fā)，請你從數(shù)學(xué)期望的角度來考慮應(yīng)該研發(fā)哪兩個(gè)產(chǎn)品？參考答案：【分析】（1）設(shè)A，B，C研發(fā)成功分別記為事件A，B，C，且相互獨(dú)立；計(jì)算恰有兩個(gè)產(chǎn)品研發(fā)成功的概率即可；（2）選擇A、B和A、C，B、C對應(yīng)的兩種產(chǎn)品研發(fā)的分布列與數(shù)學(xué)期望，比較得出結(jié)論．【解答】解：（1）設(shè)A，B，C研發(fā)成功分別記為事件A，B，C，且相互獨(dú)立；記事件恰有兩個(gè)產(chǎn)品研發(fā)成功為D，則P（D）=P（A）?P（B）?P（）+P（A）?P（C）?+P（B）?P（C）?P（）=××+××+××=；（II）選擇A、B兩種產(chǎn)品研發(fā)時(shí)為隨機(jī)事件X，則X的可能取值為0，1000，2000，3000，則P（X=0）=P（）?P（）=×=，P（X=1000）=P（A）?P（）=×=，P（X=2000）=P（）?P（B）=×=，P（X=3000）=P（A）?P（B）=×=，則X的分布列為；X0100020003000PX的數(shù)學(xué)期望為E（X）=0×+1000×+2000×+3000×=；選擇A、C兩種產(chǎn)品研發(fā)時(shí)為隨機(jī)事件Y，則Y的可能取值為0，1000，1100，2100，則P（Y=0）=P（）?P（）=×=，P（Y=1000）=P（A）?P（）=×=，P（X=1100）=P（）?P（C）=×=，P（X=2100）=P（A）?P（C）=×=，則Y的分布列為；Y0100011002100PY的數(shù)學(xué)期望為E（Y）=0×+1000×+1100×+2100×=1330（萬元）；選擇A、B兩種產(chǎn)品研發(fā)時(shí)為隨機(jī)事件Z，則Z的可能取值為0，2000，1100，3100，則P（Z=0）=P（）?P（）=×=，P（Z=2000）=P（B）?P（）=×=，P（X=1100）=P（）?P（C）=×=，P（X=3100）=P（B）?P（C）=×=，則Z的分布列為；Z0200011003100PZ的數(shù)學(xué)期望為E（Z）=0×+2000×+1100×+3100×=（萬元）；比較知E（Z）最大，即研發(fā)B、C兩種產(chǎn)品帶來的產(chǎn)品收益最大．19.如圖，已知正四棱柱ABCD﹣A1B1C1D1中，底面邊長AB=2，側(cè)棱BB1的長為4，過點(diǎn)B作B1C的垂線交側(cè)棱CC1于點(diǎn)E，交B1C于點(diǎn)F．（1）求證：A1C⊥平面BDE；（2）求三棱錐C﹣BDE的體積．參考答案：【考點(diǎn)】棱柱、棱錐、棱臺的體積；直線與平面垂直的判定．【專題】綜合題；空間位置關(guān)系與距離．【分析】（1）先證明：BD⊥A1C，BE⊥A1C，再證明A1C⊥平面BDE；（2）利用VC﹣BDE=VE﹣BDC，求三棱錐C﹣BDE的體積．【解答】（1）證明：因?yàn)锽D⊥AC，BD⊥AA1，AC∩AA1=A，所以BD⊥平面A1AC，所以BD⊥A1C；又因?yàn)锽E⊥B1C，BE⊥A1B1，B1C∩A1B1=B1，所以BE⊥平面A1B1C，所以BE⊥A1C；因?yàn)锽D∩BE=B所以A1C⊥平面BDE．（2）解：由題意CE=1，所以VC﹣BDE=VE﹣BDC==（14分）【點(diǎn)評】本題考查線面垂直，考查三棱錐C﹣BDE的體積，考查學(xué)生分析解決問題的能力，屬于中檔題．20.（本小題滿分12分）如圖3，中，點(diǎn)在線段上，且（Ⅰ）求的長；（Ⅱ）求的面積.

參考答案：（本小題滿分12分）解：（Ⅰ）因?yàn)?，所?

2分在中，設(shè)，則由余弦定理可得

①

5分在和中，由余弦定理可得，．

7分因?yàn)?，所以有，所?/p>

②由①②可得，即．

9分（Ⅱ）由（Ⅰ）得的面積為，所以的面積為．

12分（注：也可以設(shè)，所以，用向量法解決；或者以為原點(diǎn)，為軸建立平面直角坐標(biāo)系，用坐標(biāo)法解答；或者過作平行線交延長線于，用正余弦定理解答．具體過程略）略21.已知函數(shù)f(x)＝(a>0)．(1)若函數(shù)f(x)在[1，＋∞)上是增函數(shù)，求正實(shí)數(shù)a的取值范圍；(2)若a＝1，k∈R且，設(shè)F(x)＝f(x)＋(k－1)lnx，求函數(shù)F(x)在[，e]上的最大值和最小值；（3）若a＝1，試比較與的大小。參考答案：略22.某工廠有25周歲以上（含25周歲）工人300名，25周歲以下工人200名．為研究工人的日平均生產(chǎn)量是否與年齡有關(guān)．現(xiàn)采用分層抽樣的方法，從中抽取了100名工人，先統(tǒng)計(jì)了他們某月的日平均生產(chǎn)件數(shù)，然后按工人年齡在“25周歲以上（含25周歲）”和“25周歲以下”分為兩組，在將兩組工人的日平均生產(chǎn)件數(shù)分成5組：[50，60），[60，70），[70，80），[80，90），[90，100）分別加以統(tǒng)計(jì)，得到如圖所示的頻率分布直方圖．（1）從樣本中日平均生產(chǎn)件數(shù)不足60件的工人中隨機(jī)抽取2人，求至少抽到一名“25周歲以下組”工人的概率．（2）規(guī)定日平均生產(chǎn)件數(shù)不少于80件者為“生產(chǎn)能手”，請你根據(jù)已知條件完成2×2的列聯(lián)表，并判斷是否有90%的把握認(rèn)為“生產(chǎn)能手與工人所在的年齡組有關(guān)”？附：x2=P（x2≥k）0.1000.0500.0100.001k2.7063.8416.63510.828參考答案：【考點(diǎn)】BO：獨(dú)立性檢驗(yàn)的應(yīng)用．【分析】（1）根據(jù)分層抽樣，求得樣本中有25周歲以上組工人60名，25周歲以下組工人40人，由頻率分布直方圖日平均生產(chǎn)件數(shù)不足60件的工人中25周歲以上組有3人，25周歲以下組有2人，隨機(jī)抽取2人，求得所有可能的結(jié)果，根據(jù)古典概型公式求得至少抽到一名“25周歲以下組”工人的概率；（2）據(jù)2×2列聯(lián)表，代入求臨界值的公式，求出觀測值，利用觀測值同臨界值表進(jìn)行比較，K2≈1.786＜2.706，沒有90%的把握認(rèn)為“生產(chǎn)能手與工人所在的年齡組有關(guān)”．【解答】解：（1）由已知得：樣本中有25周歲以上組工人60名，25周歲以下組工人40人，所以樣本中日平均生產(chǎn)件數(shù)不足60件的工人中25周歲以上組有60×0.05=3人，分別記為：A1，A2，A3，25周歲以下組有工人40×0.05=2人，分別記為B1，B2，從中隨機(jī)抽取2人，所有可能的結(jié)果共10種，他們分別是（A1，A2），（A1，A3），（A2，A3），（A1，B1），（A1，B2），（A2，B1），（A2，B2），（A3，B2），（A3，B2），（B1