2022-2023學(xué)年湖南省郴州市安仁縣第一個中學(xué)高三數(shù)學(xué)理模擬試卷含解析

2022-2023學(xué)年湖南省郴州市安仁縣第一個中學(xué)高三數(shù)學(xué)理模擬試卷含解析一、選擇題：本大題共10小題，每小題5分，共50分。在每小題給出的四個選項(xiàng)中，只有是一個符合題目要求的1.是等腰三角形，，則以為焦點(diǎn)且過點(diǎn)的橢圓的離心率為

A.

B.

C.

D.參考答案：B2.若函數(shù)f（x）=2x3﹣3mx2+6x在區(qū)間（1，+∞）上為增函數(shù)，則實(shí)數(shù)m的取值范圍是（）A．（﹣∞，1] B．（﹣∞，1） C．（﹣∞，2] D．（﹣∞，2）參考答案：C【考點(diǎn)】利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性．【專題】函數(shù)思想；轉(zhuǎn)化法；導(dǎo)數(shù)的概念及應(yīng)用．【分析】求f′（x）=6x2﹣6mx+6，根據(jù)題意可知f′（x）≥0在（1，+∞）上恒成立，可設(shè)g（x）=6x2﹣6mx+6，法一：討論△的取值，從而判斷g（x）≥0是否在（1，+∞）上恒成立：△≤0時，容易求出﹣2≤m≤2，顯然滿足g（x）≥0；△＜0時，得到關(guān)于m的不等式組，這樣求出m的范圍，和前面求出的m范圍求并集即可，法二：分離參數(shù)，此時求出m的范圍即可．【解答】解：f′（x）=6x2﹣6mx+6；由已知條件知x∈（1，+∞）時，f′（x）≥0恒成立；設(shè)g（x）=6x2﹣6mx+6，則g（x）≥0在（1，+∞）上恒成立；法一：（1）若△=36（m2﹣4）≤0，即﹣2≤m≤2，滿足g（x）≥0在（1，+∞）上恒成立；（2）若△=36（m2﹣4）＞0，即m＜﹣2，或m＞2，則需：解得m≤2；∴m＜﹣2，∴綜上得m≤2，∴實(shí)數(shù)m的取值范圍是（﹣∞，2]；法二：問題轉(zhuǎn)化為m≤x+在（1，+∞）恒成立，而函數(shù)y=x+≥2，故m≤2；故選：C．【點(diǎn)評】考查函數(shù)單調(diào)性和函數(shù)導(dǎo)數(shù)符號的關(guān)系，熟練掌握二次函數(shù)的圖象，以及判別式△的取值情況和二次函數(shù)取值的關(guān)系．3.下列函數(shù)中既是偶函數(shù)又在上單調(diào)遞減的函數(shù)是（

）A．

B．

C.

D．參考答案：B4.若定義在R上的函數(shù)滿足且時，，則方程的根的個數(shù)是A.4 B.5C.6 D.7參考答案：A【分析】由題意作出函數(shù)與的圖象，兩圖象的交點(diǎn)個數(shù)即為方程的根的個數(shù).【詳解】因?yàn)楹瘮?shù)滿足，所以函數(shù)是周期為的周期函數(shù).又時，，所以函數(shù)的圖象如圖所示.再作出的圖象，易得兩圖象有個交點(diǎn)，所以方程有個零點(diǎn)．故應(yīng)選A．【點(diǎn)睛】本題考查函數(shù)與方程.函數(shù)的零點(diǎn)、方程的根、函數(shù)圖象與軸交點(diǎn)的橫坐標(biāo)之間是可以等價轉(zhuǎn)化的.5.一個棱柱的底面是正六邊形，側(cè)面都是正方形，用至少過該棱柱三個頂點(diǎn)（不在同一側(cè)面或同一底面內(nèi)）的平面去截這個棱柱，所得截面的形狀不可以是

（

）(A)等腰三角形

(B)等腰梯形（C)五邊形

(D)正六邊形參考答案：D6.已知函數(shù)的導(dǎo)函數(shù)的圖象如圖所示，若為銳角三角形，則一定成立的是

（

） A． B． C． D．參考答案：A略7.已知函數(shù)，將的圖象上各點(diǎn)的橫坐標(biāo)縮短為原來的，縱坐標(biāo)不變，再將所得圖象向右平移個單位，得到函數(shù)的圖象，則函數(shù)的解析式為

(A)

(B)(C)

(D)參考答案：C略8.已知直線,平面,且,給出下列命題:①若∥,則m⊥;

②若⊥,則m∥;③若m⊥,則∥;

④若m∥,則⊥其中正確命題的個數(shù)是（） A．4 B．3 C．2 D．1參考答案：D略9.若，則等于（

）A．－1

B．－2

C．－

D．參考答案：C10.已知,則A． B． C． D．參考答案：A略二、填空題:本大題共7小題,每小題4分,共28分11.A、B是半徑為R的球面上的兩點(diǎn)，A、B是球面距離是，則過A、B兩點(diǎn)的平面到球心的距離的最大值為

．參考答案：R【考點(diǎn)】球的體積和表面積．【專題】計算題；空間位置關(guān)系與距離．【分析】由球截面圓的性質(zhì)，當(dāng)截面是以AB為直徑的圓時，球心到過A、B兩點(diǎn)的平面的距離最大．設(shè)D為AB中點(diǎn)，OD即為所求．【解答】解：兩點(diǎn)A、B間的球面距離為，∴∠AOB=．[來源:學(xué)_科_網(wǎng)]設(shè)過A、B兩點(diǎn)的球截面為圓C，由球截面圓的性質(zhì)OC為球心到過A、B兩點(diǎn)的平面的距離．D為AB中點(diǎn)，則OC≤OD，當(dāng)且僅當(dāng)C，D重合時取等號．在邊三角形AOB中，OD=R．故答案為：R．【點(diǎn)評】本題考查球面距離的概念，點(diǎn)面距的計算．分析出何時區(qū)最大值是關(guān)鍵，考查了空間想象能力、推理論證、計算能力．12.設(shè)集合A＝{x│x2－2x≤0，x∈R}，則集合A∩Z中有_____________個元素．參考答案：13.已知函數(shù)，若，則關(guān)于的方程的所有不同實(shí)數(shù)根的積為

．參考答案：略14.若雙曲線x2﹣=1的離心率為，則實(shí)數(shù)m=

．參考答案：2【考點(diǎn)】KC：雙曲線的簡單性質(zhì)．【分析】利用雙曲線的離心率，列出方程求和求解m即可．【解答】解：雙曲線x2﹣=1（m＞0）的離心率為，可得：，解得m=2．故答案為：2．15.的展開式的常數(shù)項(xiàng)為

參考答案：15略16.在△ABC中，AB=，∠A=75°，∠B=45°，則AC=

．參考答案：2【考點(diǎn)】HP：正弦定理．【分析】由三角形的內(nèi)角和定理可得角C，再由正弦定理，計算即可得到AC．【解答】解：∠A=75°，∠B=45°，則∠C=180°﹣75°﹣45°=60°，由正弦定理可得，=，即有AC==2．故答案為：2．17.若(為虛數(shù)單位)為純虛數(shù)，則實(shí)數(shù)的值為

．參考答案：2因?yàn)闉榧兲摂?shù)，所以，解得。三、解答題：本大題共5小題，共72分。解答應(yīng)寫出文字說明，證明過程或演算步驟18.(本小題滿分12分)某中學(xué)對高二甲、乙兩個同類班級進(jìn)行“加強(qiáng)‘語文閱讀理解’訓(xùn)練對提高‘?dāng)?shù)學(xué)應(yīng)用題’得分率作用”的試驗(yàn)，其中甲班為試驗(yàn)班(加強(qiáng)語文閱讀理解訓(xùn)練)，乙班為對比班(常規(guī)教學(xué)，無額外訓(xùn)練)，在試驗(yàn)前的測試中，甲、乙兩班學(xué)生在數(shù)學(xué)應(yīng)用題上的得分率基本一致，試驗(yàn)結(jié)束后，統(tǒng)計幾次數(shù)學(xué)應(yīng)用題測試的平均成績(均取整數(shù))如下表所示：

60分以下61～70分71～80分81～90分91～100分甲班(人數(shù))36111812乙班(人數(shù))48131510現(xiàn)規(guī)定平均成績在80分以上(不含80分)的為優(yōu)秀．(1)試分析估計兩個班級的優(yōu)秀率；(2)由以上統(tǒng)計數(shù)據(jù)填寫下面2×2列聯(lián)表，并問是否有75%的把握認(rèn)為“加強(qiáng)‘語文閱讀理解’訓(xùn)練對提高‘?dāng)?shù)學(xué)應(yīng)用題’得分率”有幫助.

優(yōu)秀人數(shù)非優(yōu)秀人數(shù)合計甲班

乙班

合計

參考數(shù)據(jù)：P(K2≥k0)0.500.400.250.150.10k00.4550.7081.3232.0722.706P(K2≥k0)0.050.0250.0100.0050.001k03.8415.0246.6357.87910.828參考答案：(1)由題意知，甲、乙兩班均有學(xué)生50人，甲班優(yōu)秀人數(shù)為30人，優(yōu)秀率為＝60%，乙班優(yōu)秀人數(shù)為25人，優(yōu)秀率為＝50%，所以甲、乙兩班的優(yōu)秀率分別為60%和50%.(2)

優(yōu)秀人數(shù)非優(yōu)秀人數(shù)合計甲班302050乙班252550合計5545100因?yàn)樗杂蓞⒖紨?shù)據(jù)知，沒有75%的把握認(rèn)為“加強(qiáng)‘語文閱讀理解’訓(xùn)練對提高‘?dāng)?shù)學(xué)應(yīng)用題’得分率”有幫助．19.（本小題滿分14分）．已知函數(shù)

（Ⅰ）若函數(shù)的圖象在點(diǎn)P（1，）處的切線的傾斜角為，求a；

（Ⅱ）設(shè)的導(dǎo)函數(shù)是在（I）的條件下，若，求的最小值；

（Ⅲ）若存在的取值范圍.參考答案：解：（I）

……………1分

據(jù)題意，

……3分

（II）由（I）知x－1（－1，0）0（0，1）1－7－0+1f(x)－1－4－3

………5分

……6分

………7分

的最小值值為－11.

………8分

（III）

①

又

…11分

②若a>0時，則當(dāng)

從而

據(jù)題意，

綜上，a的取值范圍是（3，+∞）.…14分20.在平面直角坐標(biāo)系xOy中，已知橢圓的離心率為，且過點(diǎn)，點(diǎn)P在第四象限，A為左頂點(diǎn)，B為上頂點(diǎn)，PA交軸于點(diǎn)C，PB交軸于點(diǎn)D．（1）求橢圓C的標(biāo)準(zhǔn)方程；（2）求面積的最大值．參考答案：（1）；（2）.【分析】（1）由條件可得，，從而可解得橢圓方程；（2）設(shè)P（m，n），m＞0，n<0，PA：，PB：，可得C（0，），D（），得，可設(shè)，可得，令,1，從而可得最值.【詳解】（1）由已知得，?，點(diǎn)（，）代入1可得．代入點(diǎn)（，）解得b2＝1，a=2∴橢圓C的標(biāo)準(zhǔn)方程：．（2）可得A（﹣2，0），B（0，1）．設(shè)P（m，n），m＞0，n<0，且.PA：，PB：，可得C（0，），D（）．.由，可設(shè).則.令,則，.則.又，當(dāng)時，.取得最大值，最大值為1．【點(diǎn)睛】本題主要考查橢圓標(biāo)準(zhǔn)方程的求法，考查橢圓和直線相交所形成的三角形的面積計算及面積最大值的求法，考查利用三角換元求最大值，綜合性較強(qiáng)，屬于較難的題目.求解橢圓中三角形的面積問題，一方面要利用幾何關(guān)系表示面積，另一方面求出面積的表達(dá)后，要選擇合適的方法來求最值.

21.已知平面向量a＝(，－1)，b＝(,).(1)證明：a⊥b；(2)若存在不同時為零的實(shí)數(shù)k和t，使c＝a＋(t2－3)b，d＝－ka＋tb，且c⊥d，試求函數(shù)關(guān)系式k＝f(t).參考答案：(1)證明∵a·b＝＝0，∴a⊥b.(2)解∵c＝a＋(t2－3)b，d＝－ka＋tb，且c⊥d，∴c·d＝[a＋(t2－3)b]·(－ka＋tb)＝－ka2＋t(t2－3)b2＋[t－k(t2－3)]a·b＝0.又a2＝|a|2＝4，b2＝|b|2＝1，a·b＝0，∴c·d＝－4k＋t3－3t＝0，∴k＝f(t)＝

(t≠0).22.近年來，某市為了促進(jìn)生活垃圾的分類處理，將生活垃圾分為廚余垃圾、可回收物和其他垃圾三類，并分別設(shè)置了相應(yīng)的垃圾箱，為調(diào)查居民生活垃圾分類投放情況，現(xiàn)隨機(jī)抽取了該市三類垃圾箱中總計1000噸生活垃圾，數(shù)據(jù)統(tǒng)計如下（單位：噸）：

“廚余垃圾”箱“可回收物”箱“其他垃圾”箱廚余垃圾400100100可回收物3024030其他垃圾202060

（1）試估計廚余垃圾投放正確的概率；（2）試估計生活垃圾投放錯誤的概率；（3）假設(shè)廚余垃圾在“廚余垃圾”箱、“