立體幾何中二面角的求法

W7醉商明I廣州卓越教育機(jī)構(gòu)專題五立體幾何中二面角的求法★★★高考在考什么成緬好酷"Itiri*i1i*i1二面角的求法是立體幾何中的重點(diǎn)，也是立體幾何的難點(diǎn)，從近幾年的高考試題來看，幾乎每年都涉及到二面角的求法。二面角的常見求法：（1）定義法（2）垂線法（3）垂面法（4）延伸法（5）射影法一、定義法:例1:如圖1，設(shè)正方形ABCD-A1B1C1D，中，E為CC】中點(diǎn)，求截面A】BD和EBD所成二面角的度數(shù)。 111! 1 1二、垂線法例2如圖3，設(shè)三棱錐V-ABC中，VAL底面ABC，AB±BC，DE垂直平分VC，且分別交AC、VC于D、E，又VA二AB，VB=BC，求二面角E-BD-C的度數(shù)。三、垂面法:例3如圖6，設(shè)正方體ABCD-ABCD中，E、F分別是AB、CD的中點(diǎn)。1111 11（1） 求證：A「E、C、F四點(diǎn)共面；（2） 求二面角A-EC-D的大小。1

四、延伸法例4.如圖10,設(shè)正三棱柱ABC-A,B,C'各棱長(zhǎng)均為a,D為CC1中點(diǎn)，求平面A,BD與平面ABC所成二面角的度數(shù)。圖m五、射影法例5如圖12，設(shè)正萬體ABCD-A1B1C1D］中，M為AA1上點(diǎn)，A1M:MA=3:1,求截面B1D1M與底面ABCD所成二面角。圖12參考答案例1、分析與解：本題可用定義法直接作出兩截面*BD、EBD所成二面角的平面角，設(shè)AC、BD交于O,連EO,AO，由EB=ED，AB=AD即知EO±±BD,A1O±BD，故NEO*%所求二面角的平面角。 11設(shè)棱長(zhǎng)為任,則在艮MAO,RiAECO,RtMYCYE中分別求出3I 十 勺&。=蘭7攜再0=七^,&區(qū)=了,則得刃1。+占。=歸渣,即匕41。占=9。口,所以兩截面4^和EEZ）所成二面角為90°例2、分析與解本題應(yīng)用垂線法作出二面角的平面角，因△VBC為等腰三角形,E%VC中點(diǎn)，故BEXVC，又因DEXVC,故VC1平面BED，所以BDXVC，又VA1平面ABC，故VA^BD，從而BD±平面VAC。所以匕EDC為二面角E-BD-C的平面角.設(shè)日=叫則如=叫四=配=、"因故又在整逐AC中jtgAVCA=^=—屈3故/礦CA=3（J。,而DEl^C，故匕SDC二頁七所以二面角E-BD-C±小為6"例3分析與證明（1）要證A「E、C、F四點(diǎn)共面，可證：A、F//EC，取DC中點(diǎn)H，連AH、FH，則AH^=EC，又FH』=AA。1故A1F//AH，即A1F//EC，從而A、E、C、F四點(diǎn)共面。(2)要求二面角A1-EC-D的大小，先要作出二面角的平面角，本題可用三垂線法，因FH±底面ABCD于H，過H作HMXEC于M，連FM，則由三垂線定理知FM±ECO所以ZHMF為所求二面角A-EC-D的平面角。1^AA=a^\\FH=a,HE=^HC=~,從而2HM二岑皿即嫗YFMH=必,所以二面角A^-EC-D為彌tgE例4分析與解由圖，平面A,BD與平面ABC只出現(xiàn)一個(gè)交點(diǎn)，故延長(zhǎng)A,D交AC延長(zhǎng)線于F點(diǎn)，連BF，則BF為所求二面角的棱。因CD=C'D，則A'C'=CF二BC二AC，所以ZABF=90°，取BF中點(diǎn)E，連DE，則CEXBF，又DC±平面ABF，即DEXBF，從而ZDEC為所求二面角的平面角。f/-AB=-a,DC=-a,故NDSC=4T.2 2 2所以平面且與平面姬。所成二面角度數(shù)為45。說明本題也可用射影法求二面角的度數(shù)。例5分析與解：本題應(yīng)用“射影法”求截面BDM與底面ABCD所成二面角容易。它可以不作出所求二面角的平面角。因是正方體，所以B、D、M在底面射影分別為B、D、A，設(shè)棱長(zhǎng)為a. 11因AB】風(fēng)跛在底面的射影AABD的面積為A?,而AB】L\M25為等腰三角形月I皿耳叫二氣反口貝I1MB］二―日4設(shè)0◎中點(diǎn)為Q所則血