新教材人教A版5.4.2正弦函數(shù)余弦函數(shù)的性質(zhì)(一)課件（35張）

5.4.2正弦函數(shù)、余弦函數(shù)的性質(zhì)(一)【情境探究】如果現(xiàn)在是早上9點(diǎn)鐘,問(wèn)你:24小時(shí)以后是幾點(diǎn)鐘?你會(huì)毫不猶豫地回答:還是早上9點(diǎn)鐘.因?yàn)槟愫芮宄?0點(diǎn)、1點(diǎn)、2點(diǎn)、3點(diǎn)……23點(diǎn),每隔24小時(shí)就重復(fù)出現(xiàn)一次,如果今天是星期一,問(wèn)你:7天以后是星期幾?你也會(huì)回答:還是星期一.因?yàn)槟愫芮宄?星期一、星期二……星期天,每隔7天就重復(fù)出現(xiàn)一次.相同的間隔重復(fù)出現(xiàn)的現(xiàn)象稱為周期現(xiàn)象,如“24小時(shí)1天”“7天1星期”“365天1年”就是我們所熟悉的周期現(xiàn)象.自然界中有很多周期現(xiàn)象,如日出日落、月圓月缺、四季交替等.正弦函數(shù)、余弦函數(shù)是否有這樣的周期性呢?必備知識(shí)生成繼續(xù)探究:問(wèn)題1.觀察f(x)的部分圖象,思考下列問(wèn)題:

(1)觀察圖形,函數(shù)圖象每相隔多少個(gè)單位重復(fù)出現(xiàn)?提示:每相隔1個(gè)單位重復(fù)出現(xiàn).(2)由誘導(dǎo)公式一:結(jié)合正(余)弦曲線,可以看出正(余)弦函數(shù)怎樣的特征?圖象變化趨勢(shì)是怎樣的?提示:自變量x增加2π的整數(shù)倍時(shí),函數(shù)值重復(fù)出現(xiàn),圖象發(fā)生“周而復(fù)始”的變化.問(wèn)題2.觀察正弦曲線和余弦曲線,回答下面的問(wèn)題.正弦曲線余弦曲線(1)觀察正弦曲線和余弦曲線具有怎樣的對(duì)稱性?提示:y=sinx,x∈R的圖象關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱,y=cosx,x∈R的圖象關(guān)于y軸對(duì)稱.(2)上述特征反映出正、余弦函數(shù)的什么性質(zhì)?提示:上述特征反映出正弦函數(shù)y=sinx是奇函數(shù),余弦函數(shù)y=cosx是偶函數(shù).【知識(shí)生成】對(duì)于函數(shù)f(x),如果存在一個(gè)_____常數(shù)T,使得當(dāng)x取定義域內(nèi)的每一個(gè)值時(shí),都有____________,那么函數(shù)f(x)就叫做周期函數(shù),非零常數(shù)T叫做這個(gè)函數(shù)的周期.如果在周期函數(shù)f(x)的所有周期中存在一個(gè)_____的正數(shù),那么這個(gè)_____正數(shù)稱為函數(shù)f(x)的最小正周期,簡(jiǎn)稱周期.非零f(x+T)=f(x)最小最小3.正弦、余弦函數(shù)的周期性正弦函數(shù)y=sinx(x∈R)和余弦函數(shù)y=cosx(x∈R)都是周期函數(shù),_____(k∈Z,且k≠0)都是它們的周期.最小正周期為_(kāi)___.正弦函數(shù)是___函數(shù);余弦函數(shù)是___函數(shù).2kπ2π奇偶關(guān)鍵能力探究探究點(diǎn)一三角函數(shù)的周期性【典例1】求下列函數(shù)的最小正周期.f(x)=sin(x∈R).【思維導(dǎo)引】根據(jù)誘導(dǎo)公式一,因?yàn)閟in(2π+z)=sinz,所以f(2π+z)=f(z),推導(dǎo)函數(shù)的周期.【解析】方法一:令z=2x+,因?yàn)閤∈R,所以z∈R.函數(shù)f(x)=sinz的最小正周期是2π,即變量z只要且至少要增加到z+2π,函數(shù)f(x)=sinz(z∈R)的值才能重復(fù)取得.而z+2π=2x++2π=2(x+π)+,所以自變量x只要且至少要增加到x+π,函數(shù)值才能重復(fù)取得,所以函數(shù)f(x)=sin(x∈R)的最小正周期是π.方法二:f(x)=sin的最小正周期為=π.【類(lèi)題通法】求函數(shù)周期的方法(1)公式法:對(duì)形如y=Asin(ωx+φ)和y=Acos(ωx+φ)(其中A,ω,φ是常數(shù),且A≠0,ω>0),可利用T=來(lái)求.(2)定義法:利用周期函數(shù)的定義求函數(shù)的周期.【定向訓(xùn)練】求下列函數(shù)的最小正周期:

【解析】(1)函數(shù)y=1-2sin(4x),所以函數(shù)的最小正周期

(2)函數(shù)y=2sin中ω=-,由T=,得最小正周期T==5π.(3)最小正周期T==3.【補(bǔ)償訓(xùn)練】函數(shù)f(x)=2sin(ω>0)的最小正周期為π,則ω=________.

【解析】因?yàn)?π(ω>0),所以ω=2.答案:2探究點(diǎn)二三角函數(shù)奇偶性的判斷【典例2】判斷下列函數(shù)的奇偶性:(1)f(x)=|sinx|+cosx.(2)f(x)=sin.(3)f(x)=.【思維導(dǎo)引】先求函數(shù)的定義域,判斷函數(shù)定義域是否關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱,再判斷f(-x)與f(x)的關(guān)系,最終確定奇偶性.【解析】(1)函數(shù)的定義域?yàn)镽.因?yàn)閒(-x)=|sin(-x)|+cos(-x)=|sinx|+cosx=f(x),所以函數(shù)f(x)是偶函數(shù).(2)f(x)=sin=-cos,x∈R.因?yàn)閒(-x)=-cos=-cos=f(x),所以函數(shù)f(x)=sin是偶函數(shù).(3)函數(shù)應(yīng)滿足1+sinx≠0,則函數(shù)f(x)=的定義域?yàn)?顯然定義域不關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱,故函數(shù)f(x)=為非奇非偶函數(shù).注:此題極易通過(guò)化簡(jiǎn)整理為f(x)=sinx,而疏忽sinx≠-1判定為奇函數(shù).【類(lèi)題通法】判斷函數(shù)奇偶性的思路【定向訓(xùn)練】判斷下列函數(shù)的奇偶性.(1)f(x)=cos+x2sinx.(2)f(x)=【解析】(1)f(x)=sin2x+x2sinx,因?yàn)閤∈R,f(-x)=sin(-2x)+(-x)2sin(-x)=-sin2x-x2sinx=-f(x),所以f(x)是奇函數(shù).(2)由得cosx=.所以f(x)=0,x=2kπ±,k∈Z.所以f(x)既是奇函數(shù)又是偶函數(shù).【補(bǔ)償訓(xùn)練】判斷下列函數(shù)的奇偶性:(1)f(x)=xcos(π+x).(2)f(x)=sin(cosx).【解析】(1)函數(shù)f(x)的定義域?yàn)镽.因?yàn)閒(x)=xcos(π+x)=-xcosx,所以f(-x)=-(-x)·cos(-x)=xcosx=-f(x),所以f(x)為奇函數(shù).(2)函數(shù)f(x)的定義域?yàn)镽,所以f(-x)=sin[cos(-x)]=sin(cosx)=f(x),所以f(x)為偶函數(shù).探究點(diǎn)三三角函數(shù)的奇偶性與周期性的綜合應(yīng)用【典例3】1.下列函數(shù)中是奇函數(shù),且最小正周期是π的函數(shù)是()A.y=cos|2x| B.y=|sin2x|C.y=sin D.y=cos2.定義在R上的函數(shù)f(x)既是偶函數(shù),又是周期函數(shù),若f(x)的最小正周期為π,且當(dāng)x∈時(shí),f(x)=sinx,則等于 ()

【思維導(dǎo)引】1.先判斷選項(xiàng)A,B中的函數(shù)的奇偶性,化簡(jiǎn)選項(xiàng)C,D中函數(shù)的解析式,再判斷奇偶性、周期性.2.先依據(jù)f(x+π)=f(x)化簡(jiǎn);再依據(jù)f(x)是偶函數(shù)和x∈時(shí),f(x)=sinx求值.【解析】1.選D.y=cos|2x|是偶函數(shù),y=|sin2x|是偶函數(shù),y==cos2x是偶函數(shù),y=cos=-sin2x是奇函數(shù),根據(jù)公式得其最小正周期T=π.2.選D.【類(lèi)題通法】(1)利用周期性和奇偶性解決求值問(wèn)題的方法利用函數(shù)的周期性,可以把x+nT(n∈Z)的函數(shù)值轉(zhuǎn)化為x的函數(shù)值.利用奇偶性,可以找到-x與x的函數(shù)值的關(guān)系,從而可解決求值問(wèn)題.(2)判斷y=Asin(ωx+φ)或y=Acos(ωx+φ)是否具有奇偶性的關(guān)鍵判斷函數(shù)y=Asin(ωx+φ)或y=Acos(ωx+φ)是否具備奇偶性,關(guān)鍵是看它能否通過(guò)誘導(dǎo)公式轉(zhuǎn)化為y=Asinωx(Aω≠0)或y=Acosωx(Aω≠0)其中一個(gè).【定向訓(xùn)練】若函數(shù)f(x)是奇函數(shù),當(dāng)x>0時(shí),f(x)=x-sinx,求當(dāng)x<0時(shí)f(x)的解析式.【解析】設(shè)x<0,則-x>0,所以f(-x)=-x-sin(-x)=-x+sinx.又f(x)是奇函數(shù),所以f(-x)=-f(x),所以f(x)=x-sinx(x<0).【課堂小結(jié)】課堂素養(yǎng)達(dá)標(biāo)1.函數(shù)f(x)=2cos2x的最小正周期是 ()【解析】選C.函數(shù)f(x)=2cos2x的最小正周期是T==π.2.函數(shù)f(x)=xsinx ()【解析】選B.函數(shù)的定義域?yàn)镽,且滿足f(-x)=(-x)sin(-x)=x·sinx=f(x),所以f(x)=xsinx是偶函數(shù).3.已知定義在R上的函數(shù)f(x)是周期函數(shù),且滿足f(x-a)=-f(x)(a>0),則函數(shù)f(x)的最小正周期為_(kāi)_______.

【解析】因?yàn)閒(x-a)=-f(x),所以f(x+a-a)=-f(x+a)?f(x)=-f(x+a