廣東省陽江市陽春第五高級中學2022-2023學年高三數(shù)學理期末試卷含解析

廣東省陽江市陽春第五高級中學2022-2023學年高三數(shù)學理期末試卷含解析一、選擇題：本大題共10小題，每小題5分，共50分。在每小題給出的四個選項中，只有是一個符合題目要求的1.設(shè)f(x)是周期為2的奇函數(shù)，當0≤x≤1時，f(x)＝2x(1－x)，則參考答案：A略2.已知R是實數(shù)集，A. B. C. D.參考答案：C3.集合P={x|（x﹣1）2＜4，x∈R}，Q={﹣1，0，1，2，3}，則P∩Q=（）A．{0，1，2} B．{﹣1，0，1，2} C．{﹣1，0，2，3} D．{0，1，2，3}參考答案：A【考點】交集及其運算．【分析】求出P中不等式的解集確定出P，找出P與Q的交集即可．【解答】解：由P中不等式變形得：（x﹣1+2）（x﹣1﹣2）＜0，解得：﹣1＜x＜4，即P=（﹣1，3），∵Q={﹣1，0，1，2，3}，∴P∩Q={0，1，2}，故選：A．4.若是純虛數(shù)，則=（

）A.

B.

C.

D.參考答案：B略5.已知的三邊長成公差為的等差數(shù)列，且最大角的正弦值為，則這個三角形的周長是（

）A．

B．

C．

D．參考答案：D6.定義在R上的函數(shù)滿足，當時，，則（）

A．B．

C．D．參考答案：D由題意可知，函數(shù)的圖象關(guān)于y軸對稱，且周期為2，故可畫出它的大致圖象，如圖所示：∵且,而函數(shù)在是減函數(shù)，∴，選D.

7.已知函數(shù)f（x）=，函數(shù)g（x）=ax2﹣x+1，若函數(shù)y=f（x）﹣g（x）恰好有2個不同零點，則實數(shù)a的取值范圍是(

)A．（0，+∞） B．（﹣∞，0）∪（2，+∞） C．（﹣∞，﹣）∪（1，+∞） D．（﹣∞，0）∪（0，1）參考答案：D【考點】根的存在性及根的個數(shù)判斷．【專題】計算題；作圖題；函數(shù)的性質(zhì)及應(yīng)用．【分析】化函數(shù)y=f（x）﹣g（x）恰好有2個不同零點為函數(shù)f（x）+x﹣1與函數(shù)y=ax2的圖象有兩個不同的交點，從而解得．【解答】解：∵f（x）﹣（ax2﹣x+1）=0，∴f（x）+x﹣1=ax2，而f（x）+x﹣1=，作函數(shù)y=f（x）+x﹣1與函數(shù)y=ax2的圖象如下，，結(jié)合選項可知，實數(shù)a的取值范圍是（﹣∞，0）∪（0，1），故選：D．【點評】本題考查了數(shù)形結(jié)合的思想應(yīng)用及函數(shù)的零點與函數(shù)的圖象的關(guān)系應(yīng)用．8.函數(shù)為定義在上的減函數(shù)，函數(shù)的圖像關(guān)于點（1,0）對稱，滿足不等式，，為坐標原點，則當時，的取值范圍為（

）A．

B．

C．

D．

參考答案：D略9.已知向量與不共線，且，若，則向量與的夾角為A． B．C． D．0參考答案：A10.（5分）已知x，y滿足（x﹣1）2+y2=16，則x2+y2的最小值為（）A．3B．5C．9D．25參考答案：C考點：圓的標準方程．專題：直線與圓．分析：由圓的方程可得其參數(shù)方程，從而可表示x2+y2，即可求得最小值．解答：解：∵（x﹣1）2+y2=16，∴可令x=1+4cosα，y=4sinα，∴x2+y2=（1+4cosα）2+（4sinα）2=17+8cosα，∴cosα=﹣1時，x2+y2的最小值為9．故選C．點評：本題考查圓的方程，考查圓的參數(shù)方程，考查學生的計算能力，屬于基礎(chǔ)題．二、填空題:本大題共7小題,每小題4分,共28分11.不等式的解集是___________參考答案：12.設(shè)a=0.32，b=20.3，c=log25，d=log20.3，則a，b，c，d的大小關(guān)系是（從小到大排列）參考答案：d＜a＜b＜c考點： 對數(shù)值大小的比較；指數(shù)函數(shù)的單調(diào)性與特殊點．專題： 計算題．分析： 由0＜a=0.32＜0.30=1，20=1＜b=20.3＜2，c=log25＞log24=2，d=log20.3＜log21=0，能比較a，b，c，d的大小關(guān)系．解答： 解：∵0＜a=0.32＜0.30=1，20=1＜b=20.3＜2，c=log25＞log24=2，d=log20.3＜log21=0，∴d＜a＜b＜c．故答案為：d＜a＜b＜c．點評： 本題考查對數(shù)值大小關(guān)系的比較，是基礎(chǔ)題．解題時要認真審題，仔細解答，注意對數(shù)函數(shù)和指數(shù)函數(shù)性質(zhì)的靈活運用．13.=．參考答案：3【考點】極限及其運算．【專題】計算題．【分析】借助指數(shù)函數(shù)的運算法則，先把原式等價轉(zhuǎn)化為，由此能夠得到它的極限值．【解答】解：==3．故答案為：3．【點評】本題考查極限的性質(zhì)和運算，解題時要注意指數(shù)運算法則的合理運用．14.已知函數(shù)f（x）是（﹣∞，+∞）上的奇函數(shù)，且f（x）的圖象關(guān)于直線x=1對稱，當x∈[﹣1，0]時，f（x）=﹣x，則f（2017）+f（2018）=．參考答案：﹣1【考點】函數(shù)奇偶性的性質(zhì)．【分析】根據(jù)函數(shù)奇偶性和對稱性的性質(zhì)進行轉(zhuǎn)化求出函數(shù)的周期，進行轉(zhuǎn)化求解即可．【解答】解：∵函數(shù)f（x）是（﹣∞，+∞）上的奇函數(shù)，且f（x）的圖象關(guān)于直線x=1對稱，∴f（1+x）=f（1﹣x）=﹣f（x﹣1），則f（x+2）=﹣f（x），即f（x+4）=﹣f（x+2）=f（x），則函數(shù)f（x）是周期為4的周期函數(shù)，且f（0）=0，則f（2017）=f（4×504+1）=f（1）=﹣f（﹣1）=﹣1，f（2018）=f（4×504+2）=f（2）=﹣f（0）=0，則f（2017）+f（2018）=﹣1+0=﹣1，故答案為：﹣1【點評】本題主要考查函數(shù)值的計算，根據(jù)函數(shù)奇偶性和對稱性的關(guān)系推出函數(shù)的周期性是解決本題的關(guān)鍵．15.已知函數(shù)的圖象與直線交于點P，若圖象在點P處的切線與x軸交點的橫坐標為，則＋＋…＋的值為

．參考答案：16.設(shè)a為常數(shù)，函數(shù)f（x）=x2﹣4x+3，若f（x+a）在[0，+∞）上是增函數(shù)，則a的取值范圍是[2，+∞）．參考答案：考點：函數(shù)單調(diào)性的性質(zhì)．專題：函數(shù)的性質(zhì)及應(yīng)用．分析：寫出f（x+a）的表達式，根據(jù)二次函數(shù)圖象可得其增區(qū)間，由題意知[0，+∞）為f（x+a）的增區(qū)間的子集，由此得不等式，解出即可．解答：解：因為f（x）=x2﹣4x+3，所以f（x+a）=（x+a）2﹣4（x+a）+3=x2+（2a﹣4）x+a2﹣4a+3，則f（x+a）的增區(qū)間為[2﹣a，+∞），又f（x+a）在[0，+∞）上是增函數(shù)，所以2﹣a≤0，解得a≥2，故答案為：[2，+∞）．點評：本題考查二次函數(shù)的單調(diào)性，屬中檔題，若函數(shù)f（x）在區(qū)間（a，b）上單調(diào)，則（a，b）為f（x）單調(diào)區(qū)間的子集．17.函數(shù)y＝a1－x(a>0，a≠1)的圖像恒過定點A，若點A在直線mx＋ny－1＝0上，則＋的最小值為________．參考答案：4函數(shù)y＝a1－x的圖像過點(1,1)，故m＋n＝1，所以＋＝(m＋n)＝2＋＋≥4，故＋的最小值是4.三、解答題：本大題共5小題，共72分。解答應(yīng)寫出文字說明，證明過程或演算步驟18.(本小題滿分14分)設(shè)函數(shù).（I）求函數(shù)的最小值；（Ⅱ）若，且，求證：；（Ⅲ）若，且，求證：.參考答案：解：（I），令，得，所以在遞減，在遞增.所以.（Ⅱ）由（I）知當時，，又，，∴∴.（Ⅲ）用數(shù)學歸納法證明如下：1°當時，由（Ⅱ）可知，不等式成立；2°假設(shè)()時不等式成立，即若，且時，不等式成立現(xiàn)需證當()時不等式也成立，即證：若，且時，不等式成立.證明如下：設(shè)，則......①同理

.....②由①+②得：又由（Ⅱ）令，則，其中，則有∴∴

∴當時，原不等式也成立.綜上，由1°和2°可知，對任意的原不等式均成立.19.如圖，在四棱錐E﹣ABCD中，底面ABCD為正方形，AE⊥平面CDE，已知AE=DE=3，F(xiàn)為線段DE上的動點．（Ⅰ）若F為DE的中點，求證：BE∥平面ACF；（Ⅱ）若二面角E﹣BC﹣F與二面角F﹣BC﹣D的大小相等，求DF長．參考答案：【考點】用空間向量求平面間的夾角；向量語言表述線面的垂直、平行關(guān)系；二面角的平面角及求法．【分析】（I）連接AC，BD交于O，連OF，利用三角形的中位線平行于底邊得到OF∥BE，利用直線與平面平行的判定定理得證．（II）法一：利用二面角的平面角的定義，通過作輔助線，利用線面垂直的判定定理及線面垂直的性質(zhì)找出二面角E﹣BC﹣D的平面角與二面角F﹣BC﹣D的平面角，利用已知條件得到線段的長度關(guān)系．法二：通過建立空間直角坐標系，求出兩個面的法向量，利用向量的數(shù)量積公式求出二面角E﹣BC﹣F的余弦值，同理求出二面角D﹣BC﹣F的余弦值，根據(jù)已知它們的絕對值相等，列出方程求出DF的長度．【解答】證明：（Ⅰ）連接AC，BD交于O，連OF，如圖1∵F為DE中點，O為BD中點，∴OF∥BE，OF?平面ACF，BE?平面ACF，∴BE∥平面ACF．…（Ⅱ）如圖2，過E作EH⊥AD于H，過H作MH⊥BC于M，連接ME，同理過F作FG⊥AD于G，過G作NG⊥BC于N，連接NF，∵AE⊥平面CDE，CD?平面CDE，∴AE⊥CD，∵CD⊥AD，AE∩AD=A，AD，AE?平面DAE，∴CD⊥平面DAE，EH?平面DAE，∴CD⊥EH，CD∩AD=D，CD，AD?平面ABCD，EH⊥平面ABCD，∴HE⊥BC，∴BC⊥平面MHE，∴∠HME為二面角E﹣BC﹣D的平面角，同理，∠GNF為二面角F﹣BC﹣D的平面角，∵MH∥AB，∴，又，∴，而∠HME=2∠GNF，∴，∴，，又GF∥HE，∴，∴．…解法二：（Ⅱ）∵AE⊥平面CDE，CD?平面CDE，∴AE⊥CD，∵CD⊥AD，AE∩AD=A，AD，AE?平面DAE，∴CD⊥平面DAE，如圖建立坐標系，則E（3，0，0），F(xiàn)（a，0，0），，A（3，0，3），D（0，0，0）由得，設(shè)平面ABCD，且，由設(shè)平面BCF，且，由設(shè)平面BCE，且，由設(shè)二面角E﹣BC﹣F的大小為α，二面角D﹣BC﹣F的大小為β，α=β，，∴，∵0＜a＜3，∴．…20.已知函數(shù)(1)若函數(shù)f(x)有兩個零點，求實數(shù)a的取值范圍；(2)證明：。參考答案：

21.“莫以宜春遠，江山多勝游”，近年來，宜春市旅游事業(yè)蓬勃發(fā)展，某單位為研究本市旅游現(xiàn)狀，以便對未來旅游發(fā)展作出新的規(guī)劃，決定對全市A，B，C，D四個景區(qū)進行問卷調(diào)查活動，然后按分層抽樣的方式從所有參加問卷調(diào)查的人抽取10名“幸運之星”，若已知C景區(qū)選取出“幸運之星”的人數(shù)為3人．景區(qū)ABCD問卷人數(shù)X604515（1）求X的值；（2）已知B景區(qū)幸運之星中男女人數(shù)一樣多，C景區(qū)幸運之星中男性是女性的2倍，現(xiàn)從B、C景區(qū)的幸運之星中隨機選出兩人接受電視臺采訪，求選出的兩人來自不同景區(qū)且性別不同的概率．參考答案：【考點】CC：列舉法計算基本事件數(shù)及事件發(fā)生的概率．【分析】（1）先求出抽樣比，從而得到B景區(qū)需選取4人，D景區(qū)需選取1人，需要從A景區(qū)選取2人，列出方程能求出X．（2）已知B景區(qū)幸運之星有4人，2男2女，可記兩男為A，B；兩女為a，b．C景區(qū)幸運之星有3人，2男1女，可記兩男為1，2；兩女為③，利用列舉法能求出兩人來自不同景區(qū)且性別不同的概率．【解答】解：（1）抽樣比為，可知B景區(qū)需選取4人，D景區(qū)需選取1人，故需要從A景區(qū)選取2人，得到，解得X=30．…（6分）（2）已知B景區(qū)幸運之星有4人，2男2女，可記兩男為A，B；兩女為a，b．C景區(qū)幸運之星有3人，2男1女，可記兩男為1，2；兩女為③總的選法有：AB，Aa，Ab，A1，A2，A③Ba，Bb，B1，B2，B③ab，a1，a2，a③b1，b2，b③12，1③2③共計21種選法，符合題意的選法有A③，B③，a1，a2，b1，b2，共6種，且等