高考中的零點(diǎn)問題

例析2013年高考中的零點(diǎn)問題縱觀2013年全國各個省市的高考題，有9個省市的數(shù)學(xué)高考題涉及了函數(shù)零點(diǎn)問題，且這部分知識往往滲透于綜合題中，對思維能力有很高的要求，如何準(zhǔn)確、快速地解決這類問題呢？本文試作簡單的分析.題型一：函數(shù)零點(diǎn)所在區(qū)間的判斷

例1、(2013年重慶高考題)若則函數(shù)的兩個零點(diǎn)分別位于區(qū)間解:因?yàn)椋?，，且是二次函?shù).所以的兩個零點(diǎn)分別位于區(qū)間.點(diǎn)評：運(yùn)用零點(diǎn)存在性定理判斷零點(diǎn)所在區(qū)間，必須結(jié)合端點(diǎn)函數(shù)值的符號和單調(diào)性.題型二：函數(shù)零點(diǎn)個數(shù)的判斷例2、(2013年天津高考題）函數(shù)的零點(diǎn)個數(shù)為解：令，即，設(shè)，，在同一個直角坐標(biāo)中分別作出它們的圖像，的圖像與的圖像的交點(diǎn)個數(shù)有兩個，故函數(shù)的零點(diǎn)個數(shù)為2個.點(diǎn)評：對于很難用導(dǎo)數(shù)分析函數(shù)性質(zhì)的問題，處理時往往轉(zhuǎn)化為兩個簡單函數(shù)，借助他們圖象的交點(diǎn)判定原函數(shù)零點(diǎn)個數(shù).例3、（2013年江蘇高考試題）設(shè)函數(shù)其中為實(shí)數(shù).若上是單調(diào)增函數(shù)，試求的零點(diǎn)個數(shù)，并證明你的結(jié)論.解：當(dāng)時，必是單調(diào)增函數(shù)；當(dāng)時，令解得，則，因?yàn)樯鲜菃握{(diào)增函數(shù)，所以有，即，結(jié)合上述兩種情況有，(1)、當(dāng)，由以及，得存在唯一的零點(diǎn).(2)、當(dāng)時，由于的定義域?yàn)?所以，故在同理若在上恒成立，則。所以在上有解等價于所以在上有解即令，所以故上單調(diào)遞增所以點(diǎn)評：本題與三角適當(dāng)綜合.要解決此題首先要把其轉(zhuǎn)化為函數(shù)零點(diǎn)問題，再分離參數(shù)求解.分離參數(shù)后，一般采取通過導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)性質(zhì)，有時借助相應(yīng)函數(shù)圖像來解決問題.題型五：復(fù)合函數(shù)的零點(diǎn)個數(shù)例6、(2013年安徽高考題）若函數(shù)有極值點(diǎn)，且，則關(guān)于的方程的不同實(shí)數(shù)根的個數(shù)是解：由已知函數(shù)有極值點(diǎn)，所以方程的兩根分別是，故要的方程成立，只要或，又，因此當(dāng)是極大值點(diǎn)時，，有兩個根，僅有一個根；當(dāng)是極小值點(diǎn)時，，有兩個根，僅有一個根.如下圖：綜上所述：關(guān)于的方程的不同實(shí)數(shù)根的個數(shù)是3個.點(diǎn)評：本題是以三次函數(shù)極值點(diǎn)為載體，與復(fù)合函數(shù)的零點(diǎn)問題結(jié)合.解決此類問題，首先分清復(fù)合函數(shù)的內(nèi)外層次，可以由外向里的一層一層研究下去，分步求解層疊的零點(diǎn)，必要時作出圖像，幫助理解.總之，函數(shù)零點(diǎn)問題越來越受高考出題者的青睞.要想解決這類問題，我們不僅