定積分與微積分基本定理及動平衡的配平問題研討和定積分的應(yīng)用畢業(yè)論文

學(xué)士學(xué)位論文BACHELOR’STHESISPAGE1編號學(xué)士學(xué)位論文定積分的應(yīng)用學(xué)生姓名：學(xué)號：系部：數(shù)學(xué)系專業(yè)：數(shù)學(xué)與應(yīng)用數(shù)學(xué)年級：指導(dǎo)教師：HYPERLINK第一章第十三節(jié)定積分與微積分基本定理（理）題組一定積分的計算1.已知f(x)為偶函數(shù)且f(x)dx＝8，則f(x)dx等于()A．0B．4C．8D．解析：原式＝f(x)dx＋f(x)dx，∵原函數(shù)為偶函數(shù)，∴在y軸兩側(cè)的圖象對稱，∴對應(yīng)的面積相等，即8×2＝16.答案：D2．設(shè)f(x)＝eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x2，x∈[0，1]，,2－x，x∈[1，2]，))則f(x)dx等于()A.eq\f(3,4)B.eq\f(4,5)C.eq\f(5,6)D．不存在解析：數(shù)形結(jié)合，f(x)dx=x2dx+(2-x)dx==.答案：C3．計算以下定積分：(1)(2x2－eq\f(1,x))dx；(2)(eq\r(x)＋eq\f(1,\r(x)))2dx；(3)(sinx－sin2x)dx；解：(1)(2x2－eq\f(1,x))dx＝(eq\f(2,3)x3－lnx)＝eq\f(16,3)－ln2－eq\f(2,3)＝eq\f(14,3)－ln2.(2)(eq\r(x)＋eq\f(1,\r(x)))2dx＝(x＋eq\f(1,x)＋2)dx＝(eq\f(1,2)x2＋lnx＋2x)＝(eq\f(9,2)＋ln3＋6)－(2＋ln2＋4)＝lneq\f(3,2)＋eq\f(9,2).(3)(sinx－sin2x)dx＝(－cosx＋eq\f(1,2)cos2x)＝(－eq\f(1,2)－eq\f(1,4))－(－1＋eq\f(1,2))＝－eq\f(1,4).題組二求曲多邊形的面積4．如圖，函數(shù)y＝－x2＋2x＋1與y＝1相交形成一個閉合圖形(圖中的陰影部分)，則該閉合圖形的面積是()A．1B.eq\f(4,3)C.eq\r(3)D．2解析：函數(shù)y＝－x2＋2x＋1與y＝1的兩個交點為(0,1)和(2,1)，所以閉合圖形的面積等于(－x2＋2x＋1－1)dx＝(－x2＋2x)dx＝eq\f(4,3).答案：B5．已知函數(shù)y＝x2與y＝kx(k＞0)的圖象所圍成的陰影部分(如圖所示)的面積為eq\f(4,3)，則k＝________.解析：直線方程與拋物線方程聯(lián)立先求出積分區(qū)間為[0，k]，再由(kx－x2)dx＝(eq\f(kx2,2)－eq\f(x3,3))＝eq\f(k3,6)＝eq\f(4,3)求得k＝2.答案：26．如圖，設(shè)點P從原點沿曲線y＝x2向點A(2,4)移動，記直線OP、曲線y＝x2及直線x＝2所圍成的面積分別記為S1，S2，若S1＝S2，則點P的坐標(biāo)為________．解析：設(shè)直線OP的方程為y＝kx,P點的坐標(biāo)為(x，y)，則(kx－x2)dx＝(x2－kx)dx，即(eq\f(1,2)kx2－eq\f(1,3)x3)＝(eq\f(1,3)x3－eq\f(1,2)kx2)，解得eq\f(1,2)kx2－eq\f(1,3)x3＝eq\f(8,3)－2k－(eq\f(1,3)x3－eq\f(1,2)kx2)，解得k＝eq\f(4,3)，即直線OP的方程為y＝eq\f(4,3)x，所以點P的坐標(biāo)為(eq\f(4,3)，eq\f(16,9))．答案：(eq\f(4,3)，eq\f(16,9))題組三定積分在物理中的應(yīng)用7.一質(zhì)點運動時速度與時間的關(guān)系為v(t)＝t2－t＋2，質(zhì)點作直線運動，則此物體在時間[1,2]內(nèi)的位移為()A.eq\f(17,6)B.eq\f(14,3)C.eq\f(13,6)D.eq\f(11,6)解析：s＝(t2－t＋2)dt＝(eq\f(1,3)t3－eq\f(1,2)t2＋2t)|eq\o\al(2,1)＝eq\f(17,6).答案：A8．若1N的力能使彈簧伸長1cm，現(xiàn)在要使彈簧伸長10cm，則需要花費的功為()A．0.05JB．0.5JC．0.25JD．1J解析：設(shè)力F＝kx(k是比例系數(shù))，當(dāng)F＝1N時，x＝0.01m，可解得k＝100N/m，則F＝100x，所以W＝100xdx＝50x2＝0.5J.答案：B9．一輛汽車的速度—時間曲線如圖所示，則該汽車在這一分鐘內(nèi)行駛的路程為_______米．解析：據(jù)題意，v與t的函數(shù)關(guān)系式如下：v＝v(t)＝eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(\f(3,2)t，0≤t＜20，,50－t，20≤t＜40，,10，40≤t≤60.))所以該汽車在這一分鐘內(nèi)所行駛的路程為s＝＝＋＋＝eq\f(3,4)t2＋(50t－eq\f(1,2)t2)＋10t＝900米答案：900題組四定積分的綜合應(yīng)用10.(2010·煙臺模擬)若y＝(sint＋costsint)dt，則y的最大值是()A．1B．2C．－eq\f(7,2)D．0解析：y＝(sint＋costsint)dt＝(sint＋eq\f(1,2)sin2t)dt＝(－cost－eq\f(1,4)cos2t)＝－cosx－eq\f(1,4)cos2x＋eq\f(5,4)＝－cosx－eq\f(1,4)(2cos2x－1)＋eq\f(5,4)＝－eq\f(1,2)cos2x－cosx＋eq\f(3,2)＝－eq\f(1,2)(cosx＋1)2＋2≤2.答案：B11．(2010·溫州模擬)若f(x)是一次函數(shù)，且f(x)dx＝5，xf(x)dx＝eq\f(17,6)，那么eq\f(f(x),x)dx的值是________．解析：∵f(x)是一次函數(shù)，∴設(shè)f(x)＝ax＋b(a≠0)，由(ax＋b)dx＝5得(eq\f(1,2)ax2＋bx)＝eq\f(1,2)a＋b＝5，①由xf(x)dx＝eq\f(17,6)得(ax2＋bx)dx＝eq\f(17,6)，即(eq\f(1,3)ax3＋eq\f(1,2)bx2)＝eq\f(17,6)，∴eq\f(1,3)a＋eq\f(1,2)b＝eq\f(17,6)，②解①②得a＝4，b＝3，∴f(x)＝4x＋3，于是eq\f(f(x),x)dx＝eq\f(4x＋3,x)dx＝(4＋eq\f(3,x))dx＝(4x＋3lnx)＝8＋3ln2－4＝4＋3ln2.答案：4＋3ln212．設(shè)f(x)＝|x2－a2|dx.(1)當(dāng)0≤a≤1與a＞1時，分別求f(a)；(2)當(dāng)a≥0時，求f(a)的最小值．解：(1)0≤a≤1時，f(a)＝|x2－a2|dx＝(a2－x2)dx＋(x2－a2)dx＝(a2x－eq\f(1,3)x3)＋(eq\f(x3,3)－a2x)＝a3－eq\f(1,3)a3－0＋0＋eq\f(1,3)－a2－eq\f(a3,3)＋a3＝eq\f(4,3)a3－a2＋eq\f(1,3).當(dāng)a＞1時，f(a)＝(a2－x2)dx＝(a2x－eq\f(1,3)x3)＝a2－eq\f(1,3).∴f(a)＝(2)當(dāng)a＞1時，由于a2－eq\f(1,3)在[1，＋∞)上是增函數(shù)，故f(a)在[1，＋∞)上的最小值是f(1)＝1－eq\f(1,3)＝eq\f(2,3).當(dāng)a∈[0,1]時，f′(a)＝4a2－2a＝2a(2由f′(a)＞0知：a＞eq\f(1,2)或a＜0，故在[0，eq\f(1,2)]上遞減，在[eq\f(1,2)，1]上遞增．因此在[0,1]上，f(a)的最小值為f(eq\f(1,2))＝eq\f(1,4).綜上可知，f(x)在[0，＋∞)上的最小值為eq\f(1,4).

動平衡單位g怎么轉(zhuǎn)化成g*mm？有何依據(jù)？懸賞分：10|解決時間：2010-2-112:36|提問者：wind01000我在水泵廠工作，動平衡報告向外提交一向是g為單位，動平衡機上顯示的也是g。但現(xiàn)在客戶要求我們把g轉(zhuǎn)化成g*mm，并附頁說明怎么轉(zhuǎn)化、依據(jù)是什么。大家誰能幫助我們嗎？EMBEDForms.HTML:Hidden.1EMBEDForms.HTML:Hidden.1EMBEDForms.HTML:Hidden.1最佳答案這個應(yīng)該在動平衡機的說明書上，說明讀數(shù)是什么單位，或者說明讀數(shù)對應(yīng)著的軸徑mm和轉(zhuǎn)速。g*mm是靜態(tài)不平衡力矩單位。而g是動態(tài)不平衡力的單位，力的大小與轉(zhuǎn)速有關(guān)：F=m*r*ω^2。當(dāng)一根軸靜態(tài)平衡時，力矩是0g*mm，但它轉(zhuǎn)動時，仍可能不平衡。就是說，g與g*mm是兩碼事。只有因一個點的靜不平衡造成動不平衡時，才可能有換算關(guān)系。這個對應(yīng)關(guān)系可以自行找一下：用一個已知的不平衡塊a加在動平衡（讀數(shù)為0）的軸的已知半徑r處，此時會產(chǎn)生一個不平衡讀數(shù)d。這樣就能找到g*mm與g的一個對應(yīng)關(guān)系：當(dāng)讀數(shù)是d個g時，對應(yīng)a*r個g*mm。由于動不平衡與轉(zhuǎn)速有關(guān)，這個規(guī)律僅適用于這臺動平衡機。多試幾次哦，看有沒有規(guī)律。g/mm是動平衡的什么標(biāo)準(zhǔn)單位？懸賞分：10|提問時間：2008-11-1513:49|提問者：henry1689|問題為何被關(guān)閉g/mm是動平衡的什么標(biāo)準(zhǔn)單位？它的含義是是什么？怎樣理解？EMBEDForms.HTML:Hidden.1EMBEDForms.HTML:Hidden.1EMBEDForms.HTML:Hidden.1其他回答共1條力矩單位，即在每mm長的直徑尺寸上，最大允許的殘余不平衡量是多少。請問各種旋轉(zhuǎn)機械的動平衡等級標(biāo)準(zhǔn),謝謝!懸賞分：0|解決時間：2008-3-3022:01|提問者：zxd7224如:各種電機,風(fēng)機,手表擺輪等等的平衡等級EMBEDForms.HTML:Hidden.1EMBEDForms.HTML:Hidden.1最佳答案平衡精度等級的合理選用與不平衡量的簡化計算公式平衡精度等級的合理選用：精度等級Gg.mm/kg轉(zhuǎn)子類型舉例G630630剛性安裝的船用柴油機的曲軸驅(qū)動件；剛性安裝的大型四沖程發(fā)動機曲軸驅(qū)動件G250250剛性安裝的高速四缸柴油機的曲軸驅(qū)動件G100100六缸和多缸柴油機的曲軸驅(qū)動件。汽車、貨車和機車用的（汽油、柴油）發(fā)動機整機。G4040汽車車輪、箍輪、車輪整體；汽車、貨車和機車用的發(fā)動機的驅(qū)動件。G1616粉碎機、農(nóng)業(yè)機械的零件；汽車、貨車和機車用的（汽油、柴油）發(fā)動機個別零件。G6.36.3燃?xì)夂驼魵鉁u輪、包括海輪（商船）主渦輪剛性渦輪發(fā)動機轉(zhuǎn)子；透平增壓器；機床驅(qū)動件；特殊要求的中型和大型電機轉(zhuǎn)子；小電機轉(zhuǎn)子；渦輪泵。G2.52.5海輪（商船）主渦輪機的齒輪；離心分離機、泵的葉輪；風(fēng)扇；航空燃?xì)鉁u輪機的轉(zhuǎn)子部件；飛輪；機床的一般零件；普通電機轉(zhuǎn)子；特殊要求的發(fā)動機的個別零件。G11磁帶錄音機及電唱機驅(qū)動件；磨床驅(qū)動件；特殊要求的小型電樞。G0.40.4精密磨床的主軸、磨輪及電樞、回轉(zhuǎn)儀。不平衡量的簡化計算公式：M轉(zhuǎn)子質(zhì)量單位kgG精度等級選用單位g.mm/kgr校正半徑單位mmn工件的工作轉(zhuǎn)速單位rpmm不平衡合格量單位gm=9549.M.G/r.n完成日期：中文摘要定積分是一元函數(shù)積分學(xué)中的另一個基本概念，它是從大量的實際問題中抽象出來的在自然科學(xué)與工程技術(shù)中有著廣泛的應(yīng)用，該論文主要討論從幾何問題物理問題出發(fā)敘述應(yīng)用定積分解決各種問題的優(yōu)越性。關(guān)鍵詞：微元；體積；面積；參數(shù)方程；重心；旋轉(zhuǎn)體；變化率為；22736中文摘要 120910引言 140521.定積分的應(yīng)用 173101.1定積分在幾何方面的應(yīng)用 1304521.1.1微元法 1127391.1.2用定積分求平面圖形的面積 2224641.2極坐標(biāo)下平面圖形的面積 713432.應(yīng)用定積分求旋轉(zhuǎn)體的體積 8302882.1平行截面積已知的立體體積. 8125712.1.1旋轉(zhuǎn)體體積 9153653.定積分在物理上的應(yīng)用 1356183.1重心 1377683.2變力做功 15286903.3電學(xué)上的應(yīng)用 15291424.定積分在經(jīng)濟中的應(yīng)用 168356總結(jié) 1727926參考文獻(xiàn) 1823961致謝 19PAGE23引言定積分在數(shù)學(xué)，物理上有好多個應(yīng)用比如：求曲邊梯形的面積，旋轉(zhuǎn)體的體積，物體的重心，變力做功，轉(zhuǎn)動慣量等等，為什么把這些問題應(yīng)用定積分來計算？答案是很簡單這些問題都與求和有關(guān)系，但是求和沒那么容易事所以必須用定積分這工具來解決。1.定積分的應(yīng)用定積分在幾何，物理及經(jīng)濟上有廣泛的應(yīng)用。首先我們介紹以下定積分這個概念。定義：設(shè)是定義在上的一個函數(shù)，是一個確定的實數(shù)。若>0，>0，使得對的任何分割，以及在其上任意選取的點集，只要<，就有<，則稱函數(shù)在區(qū)間上可積或數(shù)稱為在上的定積分，記作下面我們介紹以下定積分若干方面的應(yīng)用。1.1定積分在幾何方面的應(yīng)用我們用什么樣的方法把定積分應(yīng)用在幾何方面的問題？我們引入微元法這一概念。1.1.1微元法以曲邊梯形面積為列，如圖曲邊梯形選取一個變量為積分變量，并確定其變化區(qū)間在區(qū)間上任取一個小區(qū)間并記為。圖1-1以點處的函數(shù)值為高，以為底的矩形面積作為其中稱為面積微元，記為于是面積為1.1.2用定積分求平面圖形的面積直角坐標(biāo)系下平面圖形的面積。設(shè)函數(shù)在上連續(xù)求由曲線及直線（<)所圍成圖形的面積。分析：在上任取小區(qū)間設(shè)此小區(qū)間上的面積為，它近似于高為底為的小矩形面積，如圖1-2所示，從而的面積微元為以為被積表達(dá)式，在區(qū)間作定積分圖1-2就是所求圖形的面積在這個公式中無論曲線在軸的上方與下方都成立，只要在下方即可。例求由曲線所圍成平面圖形的面積。分析：先對曲線進行分析，顯然曲線有無窮多個零點。且。時，我們可以畫出草圖如圖1-3.進一步分析可知：時，，時，. 圖1-3所求面積解：由于可得求由曲線及直線所圍成圖形面積在區(qū)間上任取小區(qū)間，設(shè)此小區(qū)間上的面積為，則近似于高為，低為的小矩形面積，從而得面積微元于是所求面積為。例2．求由叁數(shù)方程所圍成圖形的面積，分析：對參數(shù)方程所圍圖形，與直角坐標(biāo)圖形相似，必須討論其所給曲線的幾何特征，爾后確定積分變量被積函數(shù)及積分區(qū)間。解：函數(shù)為周期（針對變量t而言）函數(shù)，因而在直角坐標(biāo)系中只須考慮0≤t≤2范圍內(nèi)的叁數(shù)方程即可，原方程可變形為，0≤t≤2.時，，↗，↗此時，曲線單升，至最右點為。時，↘，↗，曲線至最左點為，↘，↘，曲線至最左點為.，↗，↘，曲線至最低點為，↗，↗，曲線至點，，↘，↗，曲線至點圖象如圖1-4所示 圖1-41.2極坐標(biāo)下平面圖形的面積設(shè)曲線的極坐標(biāo)方程在上連續(xù)，且，求此曲線與射線所圍成的曲邊扇形的面積如圖1-3所示，在區(qū)間上任取一個小區(qū)間設(shè)此小區(qū)間上曲邊扇形的面積，則近似于半徑為中心角為的扇形面積，從而得到面積微元為可得面積為例1..利用定積分求曲線圍成面積。解：如圖4-18，陰影部分即為所求面積曲線，故所求面積為例2.計算阿基米德螺線上對應(yīng)于從0變到的一段曲線與極軸所圍成圖形的面積。面積微元為于是所求面積為 圖1-5圖1-52.應(yīng)用定積分求旋轉(zhuǎn)體的體積2.1平行截面積已知的立體體積.設(shè)有一立體價于過點圓垂直于軸的兩平面之間如圖所示，求此立體的體積.如圖價于與之間的薄片的體積近似等于地面面積為高為的扁柱體的體積，即體積微元為圖2-1圖2-1于是所求的體積為即對截面積從到求積分。zzbx0aybx0ayxx圖2-2圖2-22.1.1旋轉(zhuǎn)體體積設(shè)及所圍圖形繞軸旋轉(zhuǎn)，如圖2-2所示。求所得旋轉(zhuǎn)體的體積，選取為積分變量其變化區(qū)間為過點做垂直于軸的平面，截的旋轉(zhuǎn)體截面是半徑為的圓，其截面積為從而所求旋轉(zhuǎn)體的體積例1.求繞極軸把面積≤≤旋轉(zhuǎn)而成的旋轉(zhuǎn)體的體積。分析：分析所給面積(≤)確定被積函數(shù)及積分上下限，是圓，觀察曲線：圖2-3,,圖2-3則≤,即曲線在以為半徑的圓內(nèi)，定義域為0≤≤或≤≤0≤≤,≤≤在第一第三象限內(nèi)有定義，由對稱性只求第一象限情況下的體積。，時，取最大值。這樣，我們基本上掌握了極坐標(biāo)系下的曲線的基本形狀。曲線，與的交點在第一象限內(nèi)為所求體積，便是如圖2-3中陰影部分繞極軸旋轉(zhuǎn)而得的立體體積。根據(jù)結(jié)論，我們便有為此，需求不定積分令，則即而令，則上述積分可得可得于是，可得例2設(shè)函數(shù)在上有連續(xù)導(dǎo)數(shù)，那么曲線及直線所圍曲邊梯形繞直線旋轉(zhuǎn)所成立體體積等于什么？設(shè)為曲線上任意點，曲線在點處的切線為過點作直線的垂線為，即應(yīng)用定積分的元素法，考慮子區(qū)間，設(shè)相應(yīng)于的曲線弧段在直線上的投影長為則當(dāng)子區(qū)圖10-15圖10-15間的長度充分小時，如圖10-15所示，取切線上對應(yīng)于右端點的點到垂線的距離（在此不妨假設(shè)）而點到直線的距離為從而得取積分3.定積分在物理上的應(yīng)用定積分在物理上有好多個應(yīng)用比如：求物體的重心，變力做功，轉(zhuǎn)動慣量等等。3.1重心如果平面上有n個質(zhì)點，它們的質(zhì)量分別為位置分別為那未這一組點的重心的坐標(biāo)，可用下列公式求出：﹙1﹚﹙2﹚我們已經(jīng)知道了求平面薄板的重心坐標(biāo)公式但是用這個公式求出重心沒那么容易，我們解決的是求和問題，可能腦子里出現(xiàn)是否用定積分來計算，我們進一步討論以下：設(shè)具有質(zhì)量的平面薄板是由曲線，直線和軸所圍成的曲邊梯形，又設(shè)此平面薄板的面密度為常數(shù)設(shè)把區(qū)間分成n個小區(qū)間，則整個平面被分成n個小窄條取其中處寬為的小狹條,這個窄條的質(zhì)量可近似地看作均勻分布在線段上而在該線段均勻分布的質(zhì)量又可以看作集中于的中點處,于是這個窄條可以用質(zhì)量為的質(zhì)點來近似地代替,而整個圖形就用個質(zhì)因小條的質(zhì)量稱質(zhì)量微元,而點的橫坐標(biāo)是,縱坐標(biāo)是圖3-1圖3-1故質(zhì)點對軸及軸的靜力矩是則平面薄板對軸及軸的靜力矩為又這整個平面薄板的總質(zhì)量等于密度與面積的乘積，而面積，故得整個平面薄板的中心為如平面圖形是及直線所謂成，假設(shè)在區(qū)間內(nèi)則同理可得此平面圖形的中心為3.2變力做功下面我們討論一下變力做功設(shè)某物體在力的作用下沿著軸運動力平行于軸并在軸上不同的點處取不同的值，即力是的函數(shù).我們要求物體在這個變力的作用下，由軸上的一點移動到另一點時變力所做的功圖3-2（圖3-2）由力學(xué)知，物體受恒力產(chǎn)生位移，所做的功為功=力距離（等速）故當(dāng)物體由移動到時，所做的功近似地為（為功微元）在上所做的功就是圖3-23.3電學(xué)上的應(yīng)用我們學(xué)過電流在單位時間所做的功稱為電流的功率，即，由于交流電流隨時間在不斷變化，因而所求的功是一