湖南省株洲市蓮塘坳中學(xué)高二數(shù)學(xué)理摸底試卷含解析

湖南省株洲市蓮塘坳中學(xué)高二數(shù)學(xué)理摸底試卷含解析一、選擇題：本大題共10小題，每小題5分，共50分。在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有是一個(gè)符合題目要求的1.橢圓短軸的一個(gè)端點(diǎn)與兩個(gè)焦點(diǎn)構(gòu)成一個(gè)等邊三角形，則橢圓離心率為（

）

A、 B、 C、 D、參考答案：A略2.已知等比數(shù)列滿足，且，，成等差數(shù)列，則=

(

)A.33

B.84

C.72

D.189參考答案：B3.已知、之間的數(shù)據(jù)如下表所示，則與之間的線性回歸方程過(guò)點(diǎn)（

）．

．

．

．參考答案：D4.已知P（x,y)是直線上一動(dòng)點(diǎn)，PA，PB是圓C：的兩條切線，A、B是切點(diǎn)，若四邊形PACB的最小面積是2，則的值為（

）

A.3

B.

C.

D.2參考答案：D5.已知向量，若，則實(shí)數(shù)m的值為

（

）A．0

B．2

C．

D．2或

參考答案：C略6.若復(fù)數(shù)，則z=(

)A.i B.1+2i C.2+2i D.－1+2i參考答案：B【分析】根據(jù)復(fù)數(shù)除法和模長(zhǎng)的運(yùn)算法則整理出.【詳解】本題正確選項(xiàng)：B

7.參考答案：D略8.已知，，，（e為自然對(duì)數(shù)的底）則a，b，c的大小關(guān)系為（）A. B.C. D.參考答案：A【分析】根據(jù)條件即可得出，a＝log2e，b＝ln2，c＝log23，容易得出log23＞log2e＞1，ln2＜1，從而得出a，b，c大小關(guān)系．【詳解】∵；∴；∵log23＞log2e＞log22＝1，ln2＜lne＝1；∴c＞a＞b．故選：A．【點(diǎn)睛】本題考查指數(shù)式和對(duì)數(shù)式的互化，對(duì)數(shù)的換底公式，考查了利用對(duì)數(shù)函數(shù)的單調(diào)性比較大小的問(wèn)題，屬于基礎(chǔ)題．9.某單位有老年人27人，中年人54人，青年人81人，為了調(diào)查他們的身體狀況，從中抽取樣本容量為36的樣本，最適合的抽取樣本的方法是（）A．簡(jiǎn)單隨機(jī)抽樣 B．系統(tǒng)抽樣 C．分層抽樣 D．抽簽法參考答案：C【考點(diǎn)】分層抽樣方法．【分析】由題意根據(jù)總體由差異比較明顯的幾部分構(gòu)成可選擇．【解答】解：總體由差異比較明顯的幾部分構(gòu)成，故應(yīng)用分層抽樣．故選C10.由直線，，與曲線所圍成的封閉圖形的面積為（）．A． B．1 C． D．參考答案：A，選．二、填空題:本大題共7小題,每小題4分,共28分11.拋物線x2=y的焦點(diǎn)坐標(biāo)為．參考答案：考點(diǎn)：拋物線的標(biāo)準(zhǔn)方程．專題：圓錐曲線的定義、性質(zhì)與方程．分析：根據(jù)方程得出焦點(diǎn)在y正半軸上，p=即可求出焦點(diǎn)坐標(biāo)．解答：解：∵拋物線x2=y，∴焦點(diǎn)在y正半軸上，p=∴焦點(diǎn)坐標(biāo)為（0，），故答案為；（0，），點(diǎn)評(píng)：本題考查了拋物線的方程與幾何性質(zhì)，求解焦點(diǎn)坐標(biāo)，屬于容易題．12.點(diǎn)在正方體的面對(duì)角線上運(yùn)動(dòng)，則下列四個(gè)命題中正確命題的序號(hào)是____________.①三棱錐的體積不變；②∥平面；③⊥；

④平面⊥平面．參考答案：略13.設(shè)數(shù)列{an},{bn}都是等差數(shù)列，若a1+b1=7，a3+b3=21，則a5+b5=___________。參考答案：3514.P為橢圓上一點(diǎn)，F(xiàn)1、F2為左右焦點(diǎn)，若∠F1PF2=60°，則△F1PF2的面積為

．參考答案：【考點(diǎn)】橢圓的簡(jiǎn)單性質(zhì)．【分析】先利用橢圓定義求出|PF1|+|PF2|和|F1F2|的值，因?yàn)橹澜裹c(diǎn)三角形的頂角，利用余弦定理求出|PF1||PF2|的值，再代入三角形的面積公式即可．【解答】解：由橢圓方程可知，a=5，b=3，∴c=4∵P點(diǎn)在橢圓上，F(xiàn)1、F2為橢圓的左右焦點(diǎn)，∴|PF1|+|PF2|=2a=10，|F1F2|=2c=8在△PF1F2中，cos∠F1PF2=====cos60°=∴72﹣4|PF1||PF2|=2|PF1||PF2|，∴|PF1||PF2|=12又∵在△F1PF2中，=|PF1||PF2|sin∠F1PF2∴=×12sin60°=3故答案為315.圓截直線所得的弦長(zhǎng)為

.參考答案：16.命題“若x＞1，則x＞2”的逆命題為

．參考答案：若x＞2，則x＞1

【考點(diǎn)】四種命題．【分析】根據(jù)已知中的原命題，結(jié)合逆命題的定義，可得答案．【解答】解：命題“若x＞1，則x＞2”的逆命題為命題“若x＞2，則x＞1”，故答案為：若x＞2，則x＞1【點(diǎn)評(píng)】本題考查的知識(shí)點(diǎn)是四種命題，難度不大，屬于基礎(chǔ)題．17.已知直線l：x+3y﹣2b=0過(guò)雙曲線的右焦點(diǎn)F，則雙曲線的漸近線方程為．參考答案：y=±x【考點(diǎn)】雙曲線的簡(jiǎn)單性質(zhì)．【分析】由題意可設(shè)F（c，0），代入直線x+3y﹣2b=0，可得c=2b，再由a，b，c的關(guān)系，可得a，b的關(guān)系，即可得到所求漸近線方程．【解答】解：由題意可設(shè)F（c，0），代入直線l：x+3y﹣2b=0，可得：c﹣2b=0，即c=2b，即有a===b，可得雙曲線的漸近線方程為y=±x，即為y=±x．故答案為：y=±x．【點(diǎn)評(píng)】本題考查雙曲線的漸近線方程的求法，注意運(yùn)用直線經(jīng)過(guò)雙曲線的焦點(diǎn)，考查運(yùn)算能力，屬于基礎(chǔ)題．三、解答題：本大題共5小題，共72分。解答應(yīng)寫出文字說(shuō)明，證明過(guò)程或演算步驟18.直線與圓錐曲線相交時(shí)，與相交弦有關(guān)的幾何圖形常為研究的對(duì)象．直角坐標(biāo)系，圓錐曲線的方程，為原點(diǎn)．（如圖），且，直線過(guò)曲線的上焦點(diǎn)，與橢圓交于點(diǎn)、．（1）下面的三個(gè)問(wèn)題中，直線分別滿足不同的前提條件，選擇其中一個(gè)研究．（三個(gè)問(wèn)題賦分不同，若對(duì)多個(gè)問(wèn)題解答，只對(duì)其中第一個(gè)解答過(guò)程賦分）①直線斜率為，求線段的長(zhǎng)．②，求直線的方程．③當(dāng)面積最大時(shí)，求直線的方程．我選擇問(wèn)題__________，研究過(guò)程如下：（2）梳理總結(jié)你的研究過(guò)程，你使用主要的知識(shí)點(diǎn)、研究方法和工具（公式）有：__________（至少2個(gè)關(guān)鍵詞）．（3）直線與圓錐曲線相交時(shí)，與相交弦有關(guān)的幾何圖形常為研究的對(duì)象．直角坐標(biāo)系，圓錐曲線的方程，為原點(diǎn)．（如圖），且，直線過(guò)曲線的上焦點(diǎn)，與橢圓交于點(diǎn)、．自構(gòu)造一個(gè)幾何圖形，并自定一個(gè)相關(guān)的幾何問(wèn)題（無(wú)需解）．（在圖3-4中繪制出該幾何圖形，用正確的符號(hào)和文字描述圖形的已知條件，并準(zhǔn)確簡(jiǎn)潔敘述待研究的幾何問(wèn)題．無(wú)需解答，描述不清晰和不準(zhǔn)確的不得分，繪制圖像與描述不匹配的不得分）__________．參考答案：見解析．（1）①解：由題意可知直線的方程為，橢圓的方程為，由得，設(shè)，，則由韋達(dá)定理得：，，∴線段．②解：易知直線的斜率一定存在，設(shè)直線，代入橢圓中得：，設(shè)，，則由韋達(dá)定理得：，，∴，∵，∴，解得：，∴直線的方程為：．③解：易知直線斜率一定存在，設(shè)直線，代入橢圓中得：，設(shè)，，則由韋達(dá)定理得：，，∴線段，又原點(diǎn)到直線的距離，∴的面積，∵，∵，當(dāng)且僅當(dāng)，即時(shí)，取等號(hào)，∴的面積最大為，此時(shí)直線的方程為：．（2）函數(shù)與方程思想，不等式性質(zhì)，弦長(zhǎng)公式，根與系數(shù)關(guān)系，設(shè)而不求等．（3）設(shè)直線的斜率為，若橢圓的下頂點(diǎn)為，求證：對(duì)于任意的，直線，的斜率之積為定值．19.如圖：是=的導(dǎo)函數(shù)的簡(jiǎn)圖，它與軸的交點(diǎn)是（1,0）和（3,0）（1）求的極小值點(diǎn)和單調(diào)減區(qū)間

（2）求實(shí)數(shù)的值.參考答案：（1）是極小值點(diǎn)-----3分

是單調(diào)減區(qū)間-----6分（2）由圖知，

-------12分

略20.如下圖，某隧道設(shè)計(jì)為雙向四車道，車道總寬20m，要求通行車輛限高5m，隧道全長(zhǎng)2.5km，隧道的兩側(cè)是與地面垂直的墻，高度為3米，隧道上部拱線近似地看成半個(gè)橢圓．（1）若最大拱高h(yuǎn)為6m，則隧道設(shè)計(jì)的拱寬l是多少？（2）若要使隧道上方半橢圓部分的土方工程量最小，則應(yīng)如何設(shè)計(jì)拱高h(yuǎn)和拱寬l？（已知：橢圓+=1的面積公式為S=，柱體體積為底面積乘以高.）（3）為了使隧道內(nèi)部美觀，要求在拱線上找兩個(gè)點(diǎn)M、N，使它們所在位置的高度恰好是限高5m，現(xiàn)以M、N以及橢圓的左、右頂點(diǎn)為支點(diǎn)，用合金鋼板把隧道拱線部分連接封閉，形成一個(gè)梯形，若

=30m，梯形兩腰所在側(cè)面單位面積的鋼板造價(jià)與梯形頂部單位面積鋼板造價(jià)相同且為定值，試確定M、N的位置以及的值，使總造價(jià)最少.參考答案：解：（1）如下圖建立直角坐標(biāo)系，則點(diǎn)P（10，2）在橢圓上，令橢圓方程為+=1.將b=h-3=3與點(diǎn)P坐標(biāo)代入橢圓方程，得a=，此時(shí)=2a=,因此隧道的拱寬約為

m.（2）要使隧道上方半橢圓部分的土方工程量最小，由柱體的體積公式可知：只需半橢圓的面積最小即可．由橢圓方程+=1，得+=1.因?yàn)?≥，即ab≥40，所以半橢圓面積S=≥.當(dāng)S取最小值時(shí)，有==，得a=10，b=.此時(shí)l=2a=20，

h=b+3=+3故當(dāng)拱高為(+3)m、拱寬為20m時(shí)，隧道上方半橢圓部分的土方工程量最小

（3）根據(jù)題意設(shè)要使總造價(jià)最低，只要梯形的兩腰長(zhǎng)與上底長(zhǎng)之和最短即可，令這個(gè)和為，則，的幾何意義是點(diǎn)（x，0）到點(diǎn)（0,0）和點(diǎn)（15,2）的距離和的兩倍，答：，總造價(jià)最小。21.（本小題滿分10分）在中，已知角所對(duì)的邊分別為、、，直線與直線，互相平行(其中)

⑴求角的值;⑵若

,求的取值范圍.參考答案：22.在長(zhǎng)方體ABCD﹣A1B1C1D1中，AB=AA1=4，BC=3，E、F分別是所在棱AB、BC的中點(diǎn)，點(diǎn)P是棱A1B1上的動(dòng)點(diǎn)，聯(lián)結(jié)EF，AC1．如圖所示．（1）求異面直線EF、AC1所成角的大?。ㄓ梅慈呛瘮?shù)值表示）；（2）（理科）求以E、F、A、P為頂點(diǎn)的三棱錐的體積．（文科）求以E、B、F、P為頂點(diǎn)的三棱錐的體積．參考答案：【考點(diǎn)】棱柱、棱錐、棱臺(tái)的體積；異面直線及其所成的角．【分析】（1）以D為原點(diǎn)，DA為x軸，DC為y軸，DD1為z軸，建立空間直角坐標(biāo)系，利用向量法能求出異面直線EF、AC1所成角．（2）（理科）由=（0，2，0），=（﹣，4，0），求出S△AEF，由此能求出以E、F、A、P為頂點(diǎn)的三棱錐的體積．（2）（文科）由S△BEF===，能求出以E、B、F、P為頂點(diǎn)的三棱錐的體積．【解答】解：（1）以D為原點(diǎn)，DA為x軸，DC為y軸，DD1為z軸，建立空間直角坐標(biāo)系，由題意得E（3，2，0），F(xiàn)