傅里葉變換與系統(tǒng)的頻域分析

傅里葉變換與系統(tǒng)的頻域分析第1頁，課件共138頁，創(chuàng)作于2023年2月第四章傅里葉變換和系統(tǒng)的頻域分析4.7周期信號的傅里葉變換一、正、余弦函數(shù)的傅里葉變換二、一般周期函數(shù)的傅里葉變換三、傅里葉系數(shù)與傅里葉變換4.8LTI系統(tǒng)的頻域分析一、頻率響應(yīng)二、無失真?zhèn)鬏斎?、理想低通濾波器的響應(yīng)4.9取樣定理一、信號的取樣二、時(shí)域取樣定理三、頻域取樣定理點(diǎn)擊目錄，進(jìn)入相關(guān)章節(jié)4.10序列的傅里葉分析

一、周期序列的離散傅里葉級數(shù)(DFS)

二、非周期序列的離散時(shí)間傅里葉變換(DTFT)4.11離散傅里葉變換及其性質(zhì)一、離散傅里葉變換(DFT)

二、離散傅里葉變換的性質(zhì)第四章傅里葉變換和系統(tǒng)的頻域分析第2頁，課件共138頁，創(chuàng)作于2023年2月第四章傅里葉變換和系統(tǒng)的頻域分析法國數(shù)學(xué)家、物理學(xué)家。1768年3月21日生于歐塞爾，1830年5月16日卒于巴黎。

1807年向巴黎科學(xué)院呈交《熱的傳播》論文，推導(dǎo)出著名的熱傳導(dǎo)方程，并在求解該方程時(shí)發(fā)現(xiàn)解函數(shù)可以由三角函數(shù)構(gòu)成的級數(shù)形式表示，從而提出任一函數(shù)都可以展成三角函數(shù)的無窮級數(shù)。

1822年在代表作《熱的分析理論》中解決了熱在非均勻加熱的固體中分布傳播問題，成為分析學(xué)在物理中應(yīng)用的最早例證之一，對19世紀(jì)數(shù)學(xué)和理論物理學(xué)的發(fā)展產(chǎn)生深遠(yuǎn)影響。傅里葉分析等理論均由此創(chuàng)始。（傅里葉級數(shù)（即三角級數(shù)）、傅里葉積分、傅里葉變換，這些統(tǒng)稱為傅里葉分析。）其他貢獻(xiàn)有：最早使用定積分符號，改進(jìn)了代數(shù)方程符號法則的證法和實(shí)根個(gè)數(shù)的判別法等。

傅里葉簡介第3頁，課件共138頁，創(chuàng)作于2023年2月4.1信號分解為正交函數(shù)4.1信號分解為正交函數(shù)一、矢量正交與正交分解

時(shí)域分析的要點(diǎn)是，以沖激函數(shù)為基本信號，任意輸入信號可分解為一系列沖激函數(shù)；而yf(t)=h(t)*f(t)。本章將以正弦信號和虛指數(shù)信號ejωt為基本信號，任意輸入信號可分解為一系列不同頻率的正弦信號或虛指數(shù)信號之和。這里用于系統(tǒng)分析的獨(dú)立變量是頻率。故稱為頻域分析。

矢量Vx=(vx1,vx2,vx3)與Vy=(vy1,vy2,vy3)正交的定義：其內(nèi)積為0。即第4頁，課件共138頁，創(chuàng)作于2023年2月4.1信號分解為正交函數(shù)由兩兩正交的矢量組成的矢量集合---稱為正交矢量集。如三維空間中，以矢量vx=（2，0，0）、vy=（0，2，0）、vz=（0，0，2)所組成的集合就是一個(gè)正交矢量集。

例如對于一個(gè)三維空間的矢量A=(2，5，8)，可以用一個(gè)三維正交矢量集{vx，vy，vz}分量的線性組合表示。即

A=vx+2.5vy+4vz

矢量空間正交分解的概念可推廣到信號空間：在信號空間找到若干個(gè)相互正交的信號作為基本信號，使得信號空間中任意信號均可表示成它們的線性組合。第5頁，課件共138頁，創(chuàng)作于2023年2月4.1信號分解為正交函數(shù)第6頁，課件共138頁，創(chuàng)作于2023年2月4.1信號分解為正交函數(shù)二、信號正交與正交函數(shù)集1.定義：

定義在(t1，t2)區(qū)間的兩個(gè)函數(shù)

1(t)和

2(t),若滿足(兩函數(shù)的內(nèi)積為0)則稱

1(t)和

2(t)在區(qū)間(t1，t2)內(nèi)正交。2.正交函數(shù)集：

若n個(gè)函數(shù)

1(t)，

2(t)，…，

n(t)構(gòu)成一個(gè)函數(shù)集，當(dāng)這些函數(shù)在區(qū)間(t1，t2)內(nèi)滿足則稱此函數(shù)集為在區(qū)間(t1，t2)上的正交函數(shù)集。第7頁，課件共138頁，創(chuàng)作于2023年2月4.1信號分解為正交函數(shù)3.完備正交函數(shù)集：

如果在正交函數(shù)集{1(t)，

2(t)，…，

n(t)}之外，不存在任何函數(shù)(t)(≠0）滿足則稱此函數(shù)集為完備正交函數(shù)集。例如：三角函數(shù)集{1，cos(nΩt)，sin(nΩt)，n=1,2,…}和虛指數(shù)函數(shù)集{ejnΩt，n=0，±1，±2，…}是兩組典型的在區(qū)間(t0，t0+T)(T=2π/Ω)上的完備正交函數(shù)集。(i=1，2，…，n)第8頁，課件共138頁，創(chuàng)作于2023年2月4.1信號分解為正交函數(shù)三、信號的正交分解設(shè)有n個(gè)函數(shù)

1(t)，

2(t)，…，

n(t)在區(qū)間(t1，t2)構(gòu)成一個(gè)正交函數(shù)空間。將任一函數(shù)f(t)用這n個(gè)正交函數(shù)的線性組合來近似，可表示為

f(t)≈C11+C22+…+Cnn

問題：如何選擇各系數(shù)Cj使f(t)與近似函數(shù)之間誤差在區(qū)間(t1，t2)內(nèi)為最小。通常使誤差的方均值(稱為均方誤差)最小。均方誤差為：第9頁，課件共138頁，創(chuàng)作于2023年2月4.1信號分解為正交函數(shù)為使上式最?。ㄏ禂?shù)Cj變化時(shí)），有展開上式中的被積函數(shù)，并求導(dǎo)。上式中只有兩項(xiàng)不為0，寫為：即：所以系數(shù)第10頁，課件共138頁，創(chuàng)作于2023年2月4.1信號分解為正交函數(shù)代入，得最小均方誤差在用正交函數(shù)去近似f(t)時(shí)，所取得項(xiàng)數(shù)越多，即n越大，則均方誤差越小。當(dāng)n→∞時(shí)（為完備正交函數(shù)集），均方誤差為零。此時(shí)有上式稱為(Parseval)帕斯瓦爾方程（公式），表明：在區(qū)間(t1,t2)，f(t)所含能量恒等于f(t)在完備正交函數(shù)集中分解的各正交分量能量的總和。函數(shù)f(t)可分解為無窮多項(xiàng)正交函數(shù)之和第11頁，課件共138頁，創(chuàng)作于2023年2月4.2傅里葉級數(shù)4.2周期信號的傅里葉級數(shù)一、傅里葉級數(shù)的三角形式設(shè)周期信號f(t)，其周期為T，角頻率=2/T，當(dāng)滿足狄里赫利(Dirichlet)條件時(shí)，它可分解為如下三角級數(shù)——稱為f(t)的傅里葉級數(shù)。

系數(shù)an,bn稱為傅里葉系數(shù)。

可見，

an

是n的偶函數(shù)，bn是n的奇函數(shù)。第12頁，課件共138頁，創(chuàng)作于2023年2月4.2傅里葉級數(shù)式中，A0=a0上式表明：周期信號可分解為直流和許多余弦分量。其中，A0/2為直流分量；

A1cos(t+1)稱為基波或一次諧波，它的角頻率與原周期信號相同；

A2cos(2t+2)稱為二次諧波，它的頻率是基波的2倍；一般而言，Ancos(nt+n)稱為n次諧波?？梢夾n是n的偶函數(shù)，n是n的奇函數(shù)。

an

=Ancosn，bn

=–Ansinn，n=1,2,…將上式同頻率項(xiàng)合并，可寫為第13頁，課件共138頁，創(chuàng)作于2023年2月4.2傅里葉級數(shù)例1：將圖示方波信號f(t)展開為傅里葉級數(shù)。解：考慮到Ω=2π/T，可得：第14頁，課件共138頁，創(chuàng)作于2023年2月4.2傅里葉級數(shù)信號的傅里葉級數(shù)展開式為：第15頁，課件共138頁，創(chuàng)作于2023年2月4.2傅里葉級數(shù)第16頁，課件共138頁，創(chuàng)作于2023年2月4.2傅里葉級數(shù)第17頁，課件共138頁，創(chuàng)作于2023年2月4.2傅里葉級數(shù)第18頁，課件共138頁，創(chuàng)作于2023年2月4.2傅里葉級數(shù)第19頁，課件共138頁，創(chuàng)作于2023年2月4.2傅里葉級數(shù)二、波形的對稱性與諧波特性1.f(t)為偶函數(shù)——對稱縱坐標(biāo)bn

=0，展開為余弦級數(shù)。2.f(t)為奇函數(shù)——對稱于原點(diǎn)an

=0，展開為正弦級數(shù)。實(shí)際上，任意函數(shù)f(t)都可分解為奇函數(shù)和偶函數(shù)兩部分，即f(t)=fod(t)+fev(t)

由于f(-t)=fod(-t)+fev(-t)=-fod(t)+fev(t)所以第20頁，課件共138頁，創(chuàng)作于2023年2月4.2傅里葉級數(shù)3.f(t)為奇諧函數(shù)——f(t)=–f(t±T/2)此時(shí)，其傅里葉級數(shù)中只含奇次諧波分量，而不含偶次諧波分量即：a0=a2=…=b2=b4=…=04.f(t)為偶諧函數(shù)——f(t)=f(t±T/2)此時(shí)，其傅里葉級數(shù)中只含偶次諧波分量，而不含奇次諧波分量即a1=a3=…=b1=b3=…=0第21頁，課件共138頁，創(chuàng)作于2023年2月4.2傅里葉級數(shù)三、傅里葉級數(shù)的指數(shù)形式三角形式的傅里葉級數(shù)，含義比較明確，但運(yùn)算常感不便，因而經(jīng)常采用指數(shù)形式的傅里葉級數(shù)。可從三角形式推出：利用cosx=(ejx

+e–jx)/2上式中第三項(xiàng)的n用–n代換，A–n=An，–n=–n，則上式寫為第22頁，課件共138頁，創(chuàng)作于2023年2月4.2傅里葉級數(shù)令A(yù)0=A0ej0ej0t

，0=0所以令復(fù)數(shù)稱其為復(fù)傅里葉系數(shù)，簡稱傅里葉系數(shù)。第23頁，課件共138頁，創(chuàng)作于2023年2月4.2傅里葉級數(shù)

n=0,±1,±2，…表明：任意周期信號f(t)可分解為許多不同頻率的虛指數(shù)信號之和。Fn

是頻率為n的分量的系數(shù)，F(xiàn)0=A0/2為直流分量。第24頁，課件共138頁，創(chuàng)作于2023年2月4.2傅里葉級數(shù)例2：求如圖所示周期信號的指數(shù)型傅里葉級數(shù)。解：第25頁，課件共138頁，創(chuàng)作于2023年2月4.2傅里葉級數(shù)指數(shù)型傅里葉級數(shù)為：第26頁，課件共138頁，創(chuàng)作于2023年2月4.3周期信號的頻譜4.3周期信號的頻譜及特點(diǎn)一、信號頻譜的概念從廣義上說，信號的某種特征量隨信號頻率變化的關(guān)系，稱為信號的頻譜，所畫出的圖形稱為信號的頻譜圖。周期信號的頻譜是指周期信號中各次諧波幅值、相位隨頻率的變化關(guān)系，即將An~ω和n~ω的關(guān)系分別畫在以ω為橫軸的平面上得到的兩個(gè)圖，分別稱為振幅頻譜圖和相位頻譜圖。因?yàn)閚≥0，所以稱這種頻譜為單邊譜。也可畫|Fn|~ω和n~ω的關(guān)系，稱為雙邊譜。若Fn為實(shí)數(shù)，也可直接畫Fn

。第27頁，課件共138頁，創(chuàng)作于2023年2月4.3周期信號的頻譜例：周期信號f(t)=試求該周期信號的基波周期T，基波角頻率Ω，畫出它的單邊頻譜圖，并求f(t)的平均功率。解首先應(yīng)用三角公式改寫f(t)的表達(dá)式，即顯然1是該信號的直流分量。的周期T1=8的周期T2=6所以f(t)的周期T=24，基波角頻率Ω=2π/T=π/12根據(jù)帕斯瓦爾等式，其功率為P=第28頁，課件共138頁，創(chuàng)作于2023年2月4.3周期信號的頻譜是f(t)的[π/4]/[π/12]=3次諧波分量；是f(t)的[π/3]/[π/12]=4次諧波分量；畫出f(t)的單邊振幅頻譜圖、相位頻譜圖如下圖：第29頁，課件共138頁，創(chuàng)作于2023年2月4.3周期信號的頻譜二、周期信號頻譜的特點(diǎn)舉例：有一幅度為1，脈沖寬度為的周期矩形脈沖，其周期為T，如圖所示。求頻譜。令Sa(x)=sin(x)/x(取樣函數(shù)）第30頁，課件共138頁，創(chuàng)作于2023年2月4.3周期信號的頻譜,n=0,±1，±2，…Fn為實(shí)數(shù)，可直接畫成一個(gè)頻譜圖。設(shè)T=4τ畫圖。零點(diǎn)為所以，m為整數(shù)。特點(diǎn)：(1)周期信號的頻譜具有諧波(離散)性。譜線位置是基頻Ω的整數(shù)倍；(2)一般具有收斂性?？傏厔轀p小。第31頁，課件共138頁，創(chuàng)作于2023年2月4.3周期信號的頻譜譜線的結(jié)構(gòu)與波形參數(shù)的關(guān)系：(a)T一定，變小，此時(shí)（譜線間隔）不變。兩零點(diǎn)之間的譜線數(shù)目：1/=（2/）/(2/T)=T/

增多。(b)一定，T增大，間隔減小，頻譜變密。幅度減小。如果周期T無限增長（這時(shí)就成為非周期信號），那么，譜線間隔將趨近于零，周期信號的離散頻譜就過渡到非周期信號的連續(xù)頻譜。各頻率分量的幅度也趨近于無窮小。第32頁，課件共138頁，創(chuàng)作于2023年2月4.2傅里葉級數(shù)三、周期信號的功率——Parseval等式含義：直流和n次諧波分量在1電阻上消耗的平均功率之和。周期信號一般是功率信號，其平均功率為表明：對于周期信號，在時(shí)域中求得的信號功率與在頻域中求得的信號功率相等。第33頁，課件共138頁，創(chuàng)作于2023年2月4.4傅里葉變換4.4非周期信號的頻譜—傅里葉變換一、傅里葉變換非周期信號f(t)可看成是周期T→∞時(shí)的周期信號。前已指出當(dāng)周期T趨近于無窮大時(shí)，譜線間隔趨近于無窮小，從而信號的頻譜變?yōu)檫B續(xù)頻譜。各頻率分量的幅度也趨近于無窮小，不過，這些無窮小量之間仍有差別。為了描述非周期信號的頻譜特性，引入頻譜密度的概念。令(單位頻率上的頻譜）稱F(jω)為頻譜密度函數(shù)。第34頁，課件共138頁，創(chuàng)作于2023年2月4.4傅里葉變換考慮到：T→∞，Ω→無窮小，記為dω；

nΩ→ω（由離散量變?yōu)檫B續(xù)量），而同時(shí)，∑→∫于是，傅里葉變換式“-”傅里葉反變換式“+”F(jω)稱為f(t)的傅里葉變換或頻譜密度函數(shù)，簡稱頻譜。f(t)稱為F(jω)的傅里葉反變換或原函數(shù)。根據(jù)傅里葉級數(shù)第35頁，課件共138頁，創(chuàng)作于2023年2月4.4傅里葉變換也可簡記為

F(jω)=F[f(t)]f(t)=F

–1[F(jω)]或f(t)←→F(jω)F(jω)一般是復(fù)函數(shù)，寫為

F(jω)=|F(jω)|ej(ω)=R(ω)+jX(ω)說明：

(1)前面推導(dǎo)并未遵循嚴(yán)格的數(shù)學(xué)步驟?？勺C明，函數(shù)

f(t)的傅里葉變換存在的充分條件:(2)用下列關(guān)系還可方便計(jì)算一些積分第36頁，課件共138頁，創(chuàng)作于2023年2月4.4傅里葉變換二、常用函數(shù)的傅里葉變換單邊指數(shù)函數(shù)f(t)=e–tε(t)，

>02.雙邊指數(shù)函數(shù)f(t)=e–t,

>0第37頁，課件共138頁，創(chuàng)作于2023年2月4.4傅里葉變換3.門函數(shù)(矩形脈沖)4.沖激函數(shù)(t)、′(t)第38頁，課件共138頁，創(chuàng)作于2023年2月4.4傅里葉變換5.常數(shù)1有一些函數(shù)不滿足絕對可積這一充分條件，如1，(t)等，但傅里葉變換卻存在。直接用定義式不好求解。

可構(gòu)造一函數(shù)序列{fn(t)}逼近f

(t)

，即而fn(t)滿足絕對可積條件，并且{fn(t)}的傅里葉變換所形成的序列{Fn(j)}是極限收斂的。則可定義f(t)的傅里葉變換F

(j)為這樣定義的傅里葉變換也稱為廣義傅里葉變換。第39頁，課件共138頁，創(chuàng)作于2023年2月4.4傅里葉變換構(gòu)造f(t)=e-t

，>0←→所以又因此，1←→2()

另一種求法：(t)←→1代入反變換定義式，有將→t，t→-再根據(jù)傅里葉變換定義式，得第40頁，課件共138頁，創(chuàng)作于2023年2月6.符號函數(shù)4.4傅里葉變換7.階躍函數(shù)(t)構(gòu)造第41頁，課件共138頁，創(chuàng)作于2023年2月4.4傅里葉變換歸納記憶：1.F變換對2.常用函數(shù)F變換對：δ(t)ε(t)e-t

ε(t)gτ(t)sgn

(t)e–|t|

1

12πδ(ω)第42頁，課件共138頁，創(chuàng)作于2023年2月4.5傅里葉變換的性質(zhì)4.5傅里葉變換的性質(zhì)一、線性(LinearProperty)Proof:thenIf第43頁，課件共138頁，創(chuàng)作于2023年2月4.5傅里葉變換的性質(zhì)Forexample

F(jω)=?Ans:f

(t)=f1(t)–g2(t)f1(t)=1←→2πδ(ω)g2(t)←→2Sa(ω)∴

F(jω)=2πδ(ω)-2Sa(ω)‖-第44頁，課件共138頁，創(chuàng)作于2023年2月4.5傅里葉變換的性質(zhì)二、奇偶性(Parity)Iff(t)isreal,thenSothat(1)R(ω)=R(–ω),X(ω)=–

X(–ω)|F(jω)|=|F(–

jω)|,

(ω)=–

(–ω)(2)Iff(t)=f(-t),thenX(ω)=0,F(jω)=R(ω)Iff(t)=-f(-t),thenR(ω)=0,F(jω)=jX(ω)第45頁，課件共138頁，創(chuàng)作于2023年2月4.5傅里葉變換的性質(zhì)三、對稱性(SymmetricalProperty)Iff(t)←→F(jω)thenProof:（1）in(1)t→ω，ω→tthen（2）in(2)ω→-ωthen∴F(jt)←→2πf(–ω)endF(jt)←→2πf(–ω)第46頁，課件共138頁，創(chuàng)作于2023年2月4.5傅里葉變換的性質(zhì)四、尺度變換性質(zhì)(ScalingTransformProperty)Iff(t)←→F(jω)thenwhere“a”isanonzerorealconstant.Proof:F[f(at)]=Fora>0,F[f(at)]fora<0,F[f(at)]Thatis,f(a

t)←→Also,lettinga=-1,f(-t)←→F(-jω)第47頁，課件共138頁，創(chuàng)作于2023年2月4.5傅里葉變換的性質(zhì)Forexample1Giventhatf(t)←→F(jω),findf(at–b)←→?Ans:

f(t–b)←→e-jωb

F(jω)f(at–b)←→orf(at)←→f(at–b)=第48頁，課件共138頁，創(chuàng)作于2023年2月4.5傅里葉變換的性質(zhì)Forexample2f(t)=←→F(jω)=?Ans:Usingsymmetry,usingscalingpropertywitha=-1,sothat,第49頁，課件共138頁，創(chuàng)作于2023年2月4.5傅里葉變換的性質(zhì)Forexample←→F(jω)=?Ans:ifα=1,∴*ifF(jω)=?第50頁，課件共138頁，創(chuàng)作于2023年2月4.5傅里葉變換的性質(zhì)五、時(shí)移性質(zhì)(TimeshiftingProperty)Iff(t)←→F(jω)thenwhere“t0”isrealconstant.Proof:F[f(t–t0)]第51頁，課件共138頁，創(chuàng)作于2023年2月4.5傅里葉變換的性質(zhì)ForexampleF(jω)=?

f1(t)=g6(t-5),

f2(t)=g2(t-5)g6(t-5)←→g2(t-5)←→∴

F(jω)=‖+Ans:f

(t)=f1(t)+f2(t)第52頁，課件共138頁，創(chuàng)作于2023年2月4.5傅里葉變換的性質(zhì)六、頻移性質(zhì)(FrequencyShiftingProperty)Iff(t)←→F(jω)thenProof:where“ω0”isrealconstant.F[ejω0t

f(t)]=F[j(ω-ω0)]endForexample1f(t)=ej3t←→F(jω)=?Ans:1←→2πδ(ω)ej3t×1←→2πδ(ω-3)第53頁，課件共138頁，創(chuàng)作于2023年2月4.5傅里葉變換的性質(zhì)Forexample2f(t)=cosω0t

←→F(jω)=?Ans:F(jω)=π[δ(ω+ω0)+δ(ω-ω0)]Forexample3Giventhatf(t)←→F(jω)Themodulatedsignalf(t)cosω0t←→?

第54頁，課件共138頁，創(chuàng)作于2023年2月4.5傅里葉變換的性質(zhì)七、卷積定理(ConvolutionProperty)1、Convolutionintimedomain：Iff1(t)←→F1(jω)，f2(t)←→F2(jω)Thenf1(t)*f2(t)←→F1(jω)F2(jω)2、Convolutioninfrequencydomain：Iff1(t)←→F1(jω)，f2(t)←→F2(jω)Thenf1(t)f2(t)←→F1(jω)*F2(jω)第55頁，課件共138頁，創(chuàng)作于2023年2月4.5傅里葉變換的性質(zhì)Proof:UsingtimeshiftingSothat,第56頁，課件共138頁，創(chuàng)作于2023年2月4.5傅里葉變換的性質(zhì)ForexampleAns:Usingsymmetry,第57頁，課件共138頁，創(chuàng)作于2023年2月4.5傅里葉變換的性質(zhì)八、時(shí)域的微分和積分(DifferentiationandIntegrationintimedomain)Iff(t)←→F(jω)thenProof:f(n)(t)=(n)(t)*f(t)←→(jω)nF(jω)f(-1)(t)=(t)*f(t)←→第58頁，課件共138頁，創(chuàng)作于2023年2月4.5傅里葉變換的性質(zhì)f(t)=1/t2←→?Forexample1Ans:第59頁，課件共138頁，創(chuàng)作于2023年2月4.5傅里葉變換的性質(zhì)Forexample2Giventhatf(t)←→F1(jω)Prooff(t)←→F1(jω)+[f(-∞)+f(∞)]()ProofSoSummary:if

f(n)(t)←→Fn(jω)，andf(-∞)+f(∞)=0Thenf(t)←→F

(jω)=Fn(jω)/(jω)n第60頁，課件共138頁，創(chuàng)作于2023年2月4.5傅里葉變換的性質(zhì)Forexample3Determinef(t)←→F

(jω)Ans:f”(t)=(t+2)–2(t)+(t–2)F2(jω)=F[f”(t)]=ej2ω–2+e–

j2ω=2cos(2ω)–2F

(jω)=Notice:dε(t)/dt=(t)←→1ε(t)←╳→1/(jω)第61頁，課件共138頁，創(chuàng)作于2023年2月4.5傅里葉變換的性質(zhì)九、頻域的微分和積分(DifferentiationandIntegrationinfrequencydomain)Iff(t)←→F(jω)then(–jt)n

f(t)←→F(n)(jω)whereForexample1Determinef(t)=tε(t)←→F

(jω)=?Ans:第62頁，課件共138頁，創(chuàng)作于2023年2月4.5傅里葉變換的性質(zhì)Notice:tε(t)=ε(t)*ε(t)←→It’swrong.Because()()and(1/j)()isnotdefined.Forexample2DetermineAns:第63頁，課件共138頁，創(chuàng)作于2023年2月4.5傅里葉變換的性質(zhì)十、相關(guān)定理(CorrelationTheorem)IfthenProof:兩個(gè)信號相關(guān)函數(shù)的傅里葉變換等于其中一個(gè)信號的傅里葉變換與另一信號傅里葉變換的共軛之乘積，這就是相關(guān)定理。對自相關(guān)函數(shù)：第64頁，課件共138頁，創(chuàng)作于2023年2月4.6能量譜和功率譜4.6能量譜和功率譜一、能量譜1.信號能量的定義：時(shí)間（-∞,∞）區(qū)間上信號的能量。信號(電壓或電流)f(t)在1Ω電阻上的瞬時(shí)功率為|f(t)|2,在區(qū)間（-T,T）的能量為如果信號能量有限，即0<E<∞，信號稱為能量有限信號，簡稱能量信號。例如門函數(shù)，三角形脈沖，單邊或雙邊指數(shù)衰減信號等。第65頁，課件共138頁，創(chuàng)作于2023年2月證明:4.6能量譜和功率譜2.帕斯瓦爾方程（能量方程）：第66頁，課件共138頁，創(chuàng)作于2023年2月4.6能量譜和功率譜在頻帶df內(nèi)信號的能量為E(ω)df，因而信號在整個(gè)頻率區(qū)間（-∞,∞）的總能量為：上式與帕斯瓦爾公式進(jìn)行比較可知，能量密度譜E(ω)為：3.能量密度譜E(ω)：(Energy-densitySpectrum)

為了表征能量在頻域中的分布情況，可以借助于密度的概念，定義一個(gè)能量密度函數(shù)，簡稱為能量頻譜或能量譜。能量頻譜E(ω)定義為單位頻率的信號能量。第67頁，課件共138頁，創(chuàng)作于2023年2月例1：計(jì)算信號的能量解:4.6能量譜和功率譜由相關(guān)定理：信號的能量譜E(ω)與自相關(guān)函數(shù)R(τ)是一對傅里葉變換信號的能量譜E(ω)是ω的偶函數(shù)，它只取決于頻譜函數(shù)的模量，而與相位無關(guān)。單位：J·s。第68頁，課件共138頁，創(chuàng)作于2023年2月4.6能量譜和功率譜二、功率譜由信號能量和功率的定義可知，若信號能量E有限，則P=0；若信號功率P有限，則E=∞。1.信號功率：定義為時(shí)間（-∞,∞）區(qū)間上信號f(t)的平均功率，用P表示。如果信號功率有限，即0<P<∞，信號稱為功率有限信號，簡稱功率信號。如階躍信號，周期信號等。如果f(t)為實(shí)函數(shù)，則第69頁，課件共138頁，創(chuàng)作于2023年2月4.6能量譜和功率譜功率有限信號的能量趨于無窮大，即從f(t)中截取|t|≤T/2的一段，得到一個(gè)截尾函數(shù)fT(t)，它可以表示為：如果T是有限值，則fT(t)的能量也是有限的。令fT(t)的能量ET可表示為：由于第70頁，課件共138頁，創(chuàng)作于2023年2月4.6能量譜和功率譜f(t)的平均功率為：當(dāng)T增加時(shí)，fT(t)的能量增加，|FT(jω)|2也增加。當(dāng)T→∞時(shí)，fT(t)→f(t)，此時(shí)|FT(jω)|2/T可能趨于一極限。比較得：2.功率密度譜：類似于能量密度譜，定義功率密度譜函數(shù)P

(ω)為單位頻率的信號功率。從而平均功率：第71頁，課件共138頁，創(chuàng)作于2023年2月4.6能量譜和功率譜信號的功率譜P(ω)是ω的偶函數(shù)，它只取決于頻譜函數(shù)的模量，而與相位無關(guān)。單位：W·s。自相關(guān)函數(shù)：3.功率密度譜與自相關(guān)函數(shù)的關(guān)系：若f1(t)和f2(t)是功率有限信號，此時(shí)相關(guān)函數(shù)的定義為：第72頁，課件共138頁，創(chuàng)作于2023年2月4.6能量譜和功率譜兩邊取傅里葉變換，得：比較前面推導(dǎo)：功率有限信號的功率譜函數(shù)P(ω)與自相關(guān)函數(shù)R(τ)是一對傅里葉變換。第73頁，課件共138頁，創(chuàng)作于2023年2月4.7周期信號的傅里葉變換4.7周期信號傅里葉變換一、正、余弦的傅里葉變換

1←→2πδ(ω)由頻移特性得

ejω0t←→2πδ(ω–ω0)e–jω0t←→2πδ(ω+ω0)cos(ω0t)=

(ejω0t+e–jω0t)/2←→π[δ(ω–ω0)+δ(ω+ω0)]sin(ω0t)=

(ejω0t-e–jω0t)/(2j)←→jπ[δ(ω+ω0)–δ(ω–ω0)]第74頁，課件共138頁，創(chuàng)作于2023年2月4.7周期信號傅里葉變換二、一般周期信號的傅里葉變換例1：周期為T的單位沖激周期函數(shù)T(t)=解：(1)第75頁，課件共138頁，創(chuàng)作于2023年2月4.7周期信號傅里葉變換例2：周期信號如圖，求其傅里葉變換。解：周期信號f(t)也可看作一時(shí)限非周期信號f0(t)的周期拓展。即f(t)=T(t)*f0(t)F(jω)=ΩΩ(ω)F0(jω)F(jω)=本題f0(t)=g2(t)←→(2)(2)式與上頁(1)式比較，得這也給出求周期信號傅里葉級數(shù)的另一種方法。第76頁，課件共138頁，創(chuàng)作于2023年2月4.7復(fù)習(xí)：傅里葉變換歸納記憶：1.F變換對2.常用函數(shù)F變換對：δ(t)ε(t)e-t

ε(t)gτ(t)sgn

(t)e–|t|

1

12πδ(ω)第77頁，課件共138頁，創(chuàng)作于2023年2月4.8LTI系統(tǒng)的頻域分析4.8LTI系統(tǒng)的頻域分析傅里葉分析是將任意信號分解為無窮多項(xiàng)不同頻率的虛指數(shù)函數(shù)之和。對周期信號：對非周期信號：其基本信號為ejt一、基本信號ejt作用于LTI系統(tǒng)的響應(yīng)說明：頻域分析中，信號的定義域?yàn)?–∞，∞)，而t=–∞總可認(rèn)為系統(tǒng)的狀態(tài)為0，因此本章的響應(yīng)指零狀態(tài)響應(yīng)，常寫為y(t)。第78頁，課件共138頁，創(chuàng)作于2023年2月4.8LTI系統(tǒng)的頻域分析設(shè)LTI系統(tǒng)的沖激響應(yīng)為h(t)，當(dāng)激勵是角頻率ω的基本信號ejt時(shí)，其響應(yīng)而上式積分正好是h(t)的傅里葉變換，記為H(j)，常稱為系統(tǒng)的頻率響應(yīng)函數(shù)。所以：y(t)=H(j)ejtH(j)反映了響應(yīng)y(t)的幅度和相位。y(t)=h(t)*ejt第79頁，課件共138頁，創(chuàng)作于2023年2月4.8LTI系統(tǒng)的頻域分析二、一般信號f(t)作用于LTI系統(tǒng)的響應(yīng)ejtH(j)ejtF(j)d

ejtF(j)H(j)d

ejt齊次性可加性‖f(t)‖y(t)=F

–1[F(j)H(j)]Y(j)=F(j)?H(j)第80頁，課件共138頁，創(chuàng)作于2023年2月4.8LTI系統(tǒng)的頻域分析頻率響應(yīng)H(j)可定義為系統(tǒng)零狀態(tài)響應(yīng)的傅里葉變換Y(j)與激勵f(t)的傅里葉變換F(j)之比，即H(j)稱為幅頻特性（或幅頻響應(yīng)）；θ()稱為相頻特性（或相頻響應(yīng)）。H(j)是的偶函數(shù)，θ()是的奇函數(shù)。頻域分析法步驟：傅里葉變換法第81頁，課件共138頁，創(chuàng)作于2023年2月4.8LTI系統(tǒng)的頻域分析對周期信號還可用傅里葉級數(shù)分析法：周期信號若則可推導(dǎo)出第82頁，課件共138頁，創(chuàng)作于2023年2月4.8LTI系統(tǒng)的頻域分析例：某LTI系統(tǒng)的H(j)和θ()如圖，若f(t)=2+4cos(5t)+4cos(10t)，求系統(tǒng)的響應(yīng)。解法一：用傅里葉變換F(j)=4πδ(ω)+4π[δ(ω–5)+δ(ω+5)]+4π[δ(ω–10)+δ(ω+10)]Y(j)=F(j)H(j)=4πδ(ω)H(0)+4π[δ(ω–5)H(j5)+δ(ω+5)H(-j5)]+4π[δ(ω–10)H(j10)+δ(ω+10)H(-j10)]H(j)=H(j)ejθ()=4πδ(ω)+4π[-j0.5δ(ω–5)+j0.5δ(ω+5)]y(t)=F-1[Y(j)]=2+2sin(5t)第83頁，課件共138頁，創(chuàng)作于2023年2月4.8LTI系統(tǒng)的頻域分析解法二：用三角傅里葉級數(shù)分析法求解f(t)的基波角頻率Ω=5rad/sf(t)=2+4cos(Ωt)+4cos(2Ωt)H(0)=1，H(jΩ)=0.5e-j0.5π，H(j2Ω)=0y(t)=2+4×0.5cos(Ωt–0.5π)=2+2sin(5t)第84頁，課件共138頁，創(chuàng)作于2023年2月4.8LTI系統(tǒng)的頻域分析三、頻率響應(yīng)H(j)的求法1.H(j)=F[h(t)]

2.H(j)=Y(j)/F(j)由微分方程求，對微分方程兩邊取傅里葉變換。由電路直接求出。例1：某系統(tǒng)的微分方程為

y′(t)+2y(t)=f(t)求f(t)=e-tε(t)時(shí)的響應(yīng)y(t)。解：微分方程兩邊取傅里葉變換jY(j)+2Y(j)=F(j)第85頁，課件共138頁，創(chuàng)作于2023年2月4.8LTI系統(tǒng)的頻域分析f(t)=e-tε(t)←→Y(j)=H(j)F(j)y(t)=(e-t–e-2t)ε(t)例2：如圖電路，R=1Ω，C=1F，以uC(t)為輸出，求其h(t)。解：畫電路頻域模型h(t)=e-tε(t)

第86頁，課件共138頁，創(chuàng)作于2023年2月4.8LTI系統(tǒng)的頻域分析四、無失真?zhèn)鬏斉c濾波系統(tǒng)對于信號的作用大體可分為兩類：一類是信號的傳輸，一類是濾波。傳輸要求信號盡量不失真，而濾波則要求濾去或削弱不需要的成分，必然伴隨著失真。1、無失真?zhèn)鬏?/p>

（1）定義：信號無失真?zhèn)鬏斒侵赶到y(tǒng)的輸出信號與輸入信號相比，只有幅度的大小和出現(xiàn)時(shí)間的先后不同，而沒有波形上的變化。即輸入信號為f(t)，經(jīng)過無失真?zhèn)鬏敽螅敵鲂盘枒?yīng)為

y(t)=Kf(t–td)

其頻譜關(guān)系為Y(j)=Ke–jtdF(j)

第87頁，課件共138頁，創(chuàng)作于2023年2月4.8LTI系統(tǒng)的頻域分析系統(tǒng)要實(shí)現(xiàn)無失真?zhèn)鬏敚瑢ο到y(tǒng)h(t)，H(j)的要求是：

(a)對h(t)的要求：

h(t)=K(t–td)(b)對H(j)的要求：

H(j)=Y(j)/F(j)=Ke-jtd即

H(j)=K,θ()=–td

上述是信號無失真?zhèn)鬏數(shù)睦硐霔l件。當(dāng)傳輸有限帶寬的信號是，只要在信號占有頻帶范圍內(nèi)，系統(tǒng)的幅頻、相頻特性滿足以上條件即可。(2)無失真?zhèn)鬏敆l件：第88頁，課件共138頁，創(chuàng)作于2023年2月4.8LTI系統(tǒng)的頻域分析例：系統(tǒng)的幅頻特性|H(jω)|和相頻特性如圖(a)(b)所示，則下列信號通過該系統(tǒng)時(shí)，不產(chǎn)生失真的是(A)f(t)=cos(t)+cos(8t)(B)f(t)=sin(2t)+sin(4t)(C)f(t)=sin(2t)sin(4t)(D)f(t)=cos2(4t)第89頁，課件共138頁，創(chuàng)作于2023年2月4.8LTI系統(tǒng)的頻域分析2、理想低通濾波器

具有如圖所示幅頻、相頻特性的系統(tǒng)稱為理想低通濾波器。c稱為截止角頻率。理想低通濾波器的頻率響應(yīng)可寫為：(1)沖激響應(yīng)

h(t)=?-1[g2c()e-jtd]=可見，它實(shí)際上是不可實(shí)現(xiàn)的非因果系統(tǒng)(why?)。第90頁，課件共138頁，創(chuàng)作于2023年2月4.8LTI系統(tǒng)的頻域分析(2)階躍響應(yīng)

g(t)=h(t)*(t)=經(jīng)推導(dǎo)，可得稱為正弦積分特點(diǎn)：有明顯失真，只要c<∞，則必有振蕩，其過沖比穩(wěn)態(tài)值高約9%。這一由頻率截?cái)嘈?yīng)引起的振蕩現(xiàn)象稱為吉布斯現(xiàn)象。gmax=0.5+Si(π)/π=1.0895第91頁，課件共138頁，創(chuàng)作于2023年2月4.8LTI系統(tǒng)的頻域分析3、物理可實(shí)現(xiàn)系統(tǒng)的條件

就時(shí)域特性而言，一個(gè)物理可實(shí)現(xiàn)的系統(tǒng)，其沖激響應(yīng)在t<0時(shí)必須為0，即h(t)=0,t<0即響應(yīng)不應(yīng)在激勵作用之前出現(xiàn)。就頻域特性來說，佩利（Paley)和維納（Wiener)證明了物理可實(shí)現(xiàn)的幅頻特性必須滿足并且稱為佩利-維納準(zhǔn)則。（必要條件）從該準(zhǔn)則可看出，對于物理可實(shí)現(xiàn)系統(tǒng)，其幅頻特性可在某些孤立頻率點(diǎn)上為0，但不能在某個(gè)有限頻帶內(nèi)為0。第92頁，課件共138頁，創(chuàng)作于2023年2月4.9取樣定理4.9取樣定理取樣定理論述了在一定條件下，一個(gè)連續(xù)信號完全可以用離散樣本值表示。這些樣本值包含了該連續(xù)信號的全部信息，利用這些樣本值可以恢復(fù)原信號?？梢哉f，取樣定理在連續(xù)信號與離散信號之間架起了一座橋梁。為其互為轉(zhuǎn)換提供了理論依據(jù)。一、信號的取樣所謂“取樣”就是利用取樣脈沖序列s(t)從連續(xù)信號f(t)中“抽取”一系列離散樣本值的過程。這樣得到的離散信號稱為取樣信號。第93頁，課件共138頁，創(chuàng)作于2023年2月4.9取樣定理如圖一連續(xù)信號f(t)用取樣脈沖序列s(t)(開關(guān)函數(shù)）進(jìn)行取樣，取樣間隔為TS，fS=1/TS稱為取樣頻率。得取樣信號

fS(t)=f(t)s(t)取樣信號fS(t)的頻譜函數(shù)為

FS(j)=(1/2)F(j)*S(j)第94頁，課件共138頁，創(chuàng)作于2023年2月4.9取樣定理沖激取樣

若s(t)是周期為Ts的沖激函數(shù)序列Ts(t),則稱為沖激取樣。如果f(t)是帶限信號[即f(t)的頻譜只在區(qū)間（-m，m)為有限值，而其余區(qū)間為0。設(shè)f(t)←→F(j)，取樣信號fS(t)的頻譜函數(shù)FS(j)=(1/2)F(j)*ωSωs(ω)ωS=2π/TSs(t)=Ts(t)←→ωSωs(ω)第95頁，課件共138頁，創(chuàng)作于2023年2月4.9取樣定理×=*=上面在畫取樣信號fS(t)的頻譜時(shí)，設(shè)定ωS≥2ωm

,這時(shí)其頻譜不發(fā)生混疊，因此能設(shè)法(如利用低通濾波器)，從FS(j)中取出F(j)，即從fS(t)中恢復(fù)原信號f(t)。否則將發(fā)生混疊，而無法恢復(fù)原信號。第96頁，課件共138頁，創(chuàng)作于2023年2月4.9取樣定理二、時(shí)域取樣定理當(dāng)ωS≥2ωm

時(shí)，將取樣信號通過下面的低通濾波器其截止角頻率ωC取ωm

<ωC<ωS-ωm

。即可恢復(fù)原信號。由于fs(t)=f(t)s(t)=f(t)H(j)←→h(t)=為方便，選ωC=0.5ωS,則TsωC/π=1第97頁，課件共138頁，創(chuàng)作于2023年2月4.9取樣定理所以根據(jù)f(t)=fS(t)*h(t)，有只要已知各取樣值f(nTs),就出唯一地確定出原信號f(t)。時(shí)域取樣定理：一個(gè)頻譜在區(qū)間（-m，m)以外為0的帶限信號f(t),可唯一地由其在均勻間隔Ts[Ts<1/(2fm)]上的樣值點(diǎn)f(nTs)確定。注意：為恢復(fù)原信號，必須滿足兩個(gè)條件：（1）f(t)必須是帶限信號；（2）取樣頻率不能太低，必須fs>2fm，或者說，取樣間隔不能太大，必須Ts<1/(2fm);否則將發(fā)生混疊。第98頁，課件共138頁，創(chuàng)作于2023年2月通常把最低允許的取樣頻率fs=2fm稱為奈奎斯特（Nyquist)頻率，把最大允許的取樣間隔Ts=1/(2fm)稱為奈奎斯特間隔。頻域取樣定理：根據(jù)時(shí)域與頻域的對偶性，可推出頻域取樣定理。一個(gè)在時(shí)域區(qū)間（-tm,tm)以外為0的時(shí)限信號f(t)的頻譜函數(shù)F(j)，可唯一地由其在均勻頻率間隔fs[fs<1/(2tm)]上的樣值點(diǎn)F(jns)確定。4.9取樣定理第99頁，課件共138頁，創(chuàng)作于2023年2月例1有限頻帶信號f1(t)的最高頻率為ωm1(fm1)，f2(t)的最高頻率為ωm2(fm2)，對下列信號進(jìn)行時(shí)域抽樣，試求使頻譜不發(fā)生混疊的奈奎斯特頻率fs與奈奎斯特間隔Ts。4.9取樣定理第100頁，課件共138頁，創(chuàng)作于2023年2月4.9取樣定理解：所以，奈奎斯特頻率為：奈奎斯特周期為：第101頁，課件共138頁，創(chuàng)作于2023年2月4.9取樣定理所以，奈奎斯特頻率為：奈奎斯特周期為：第102頁，課件共138頁，創(chuàng)作于2023年2月4.9取樣定理所以，奈奎斯特頻率為：奈奎斯特周期為：第103頁，課件共138頁，創(chuàng)作于2023年2月4.9取樣定理所以，奈奎斯特頻率為：奈奎斯特周期為：第104頁，課件共138頁，創(chuàng)作于2023年2月4.9取樣定理所以，奈奎斯特頻率為：奈奎斯特周期為：第105頁，課件共138頁，創(chuàng)作于2023年2月例24.9取樣定理解：第106頁，課件共138頁，創(chuàng)作于2023年2月4.9取樣定理由對稱性可知：所以：此外：第107頁，課件共138頁，創(chuàng)作于2023年2月4.9取樣定理所以：第108頁，課件共138頁，創(chuàng)作于2023年2月4.10序列的傅里葉分析4.10序列的傅里葉分析一、周期序列的離散傅里葉級數(shù)（DFS）具有周期性的離散時(shí)間信號可以表示為fN(k),其下標(biāo)N表示其周期為N，即有對于連續(xù)時(shí)間信號，周期信號fT(t)可以分解為一系列角頻率為nΩ(n=1,±1,±2,·

·

·)的虛指數(shù)ejnΩt(其中Ω=2π/T為基波角頻率)之和。類似地，周期為N的序列fN(k)也可展開為許多虛指數(shù)ejnΩk=ejn（2π/N）k（其中Ω=2π/N

為基波數(shù)字角頻率）之和。第109頁，課件共138頁，創(chuàng)作于2023年2月4.10序列的傅里葉分析需要注意的是，這些虛指數(shù)序列滿足即它們也是周期為N的周期序列。因此，周期序列fN(k)的傅里葉級數(shù)展開式僅為有限項(xiàng)（N項(xiàng)），若取其第一個(gè)周期n=0,1,2,…,N-1，則fN(k)的展開式可寫為第110頁，課件共138頁，創(chuàng)作于2023年2月4.10序列的傅里葉分析稱為離散傅里葉系數(shù)。稱為周期序列的離散傅里葉級數(shù)。為書寫方便，令并用DFS[·]表示離散傅里葉系數(shù)（正變換），以IDFS[·]表示離散傅里葉級數(shù)展開式（逆變換），則有第111頁，課件共138頁，創(chuàng)作于2023年2月4.10序列的傅里葉分析例1：求圖示周期脈沖序列的離散傅里葉級數(shù)展開式。解：取求和范圍為[0,3]第112頁，課件共138頁，創(chuàng)作于2023年2月4.10序列的傅里葉分析所以，離散傅里葉級數(shù)展開式為第113頁，課件共138頁，創(chuàng)作于2023年2月4.10序列的傅里葉分析二、非周期序列的離散時(shí)間傅里葉變換(DTFT)與連續(xù)時(shí)間信號類似，周期序列fN(k)在周期N→∞時(shí)，將變成非周期序列f(k),同時(shí)FN(n)的譜線間隔(Ω＝2π/N)趨于無窮小，成為連續(xù)譜。

當(dāng)N→∞時(shí)，nΩ＝n(2π/N)趨于連續(xù)變量θ(數(shù)字角頻率,單位為rad)。定義非周期序列f(k)的離散時(shí)間傅里葉變換(DiscreteTimeFourierTransform,DTFT)為:

可見，非周期序列的離散時(shí)間傅里葉變換F(ejθ)是θ的連續(xù)周期函數(shù)，周期為2π。通常它是復(fù)函數(shù)，可表示為：第114頁，課件共138頁，創(chuàng)作于2023年2月4.10序列的傅里葉分析定義非周期序列f(k)的離散時(shí)間傅里葉逆變換為:(InverseDiscreteTimeFourierTransform,IDTFT)通常用以下符號表示對序列f(k)求離散時(shí)間傅里葉正變換和逆變換:離散時(shí)間傅里葉變換存在的充分條件是f(k)要滿足絕對可和，即第115頁，課件共138頁，創(chuàng)作于2023年2月4.10序列的傅里葉分析例2：求下列序列的離散時(shí)間傅里葉變換。解：第116頁，課件共138頁，創(chuàng)作于2023年2月4.10序列的傅里葉分析幅頻特性和相頻特性分別為第117頁，課件共138頁，創(chuàng)作于2023年2月4.10序列的傅里葉分析f2(k)的頻率特性為:第118頁，課件共138頁，創(chuàng)作于2023年2月4.11離散傅里葉變換及其性質(zhì)4.11離散傅里葉變換及其性質(zhì)離散信號分析和處理的主要手段是利用計(jì)算機(jī)去實(shí)現(xiàn)，然而序列f(k)的離散時(shí)間傅里葉變換(DTFT)是連續(xù)函數(shù)，而其逆運(yùn)算為積分運(yùn)算，因此，無法直接用計(jì)算機(jī)實(shí)現(xiàn)。顯然，要在數(shù)字計(jì)算機(jī)上實(shí)現(xiàn)這些變換，必須把連續(xù)函數(shù)改換為離散數(shù)據(jù)，同時(shí)，把求和范圍從無限寬收縮到一個(gè)有限區(qū)間。

離散傅里葉級數(shù)變換(DFS)無論在時(shí)域還是在頻域，只對N項(xiàng)求和，故可以用數(shù)字計(jì)算機(jī)進(jìn)行計(jì)算?？梢越柚x散傅里葉級數(shù)的概念，把有限長序列作為周期性離散信號的一個(gè)周期來處理，從而定義了離散傅里葉變換(DiscreteFourierTransform，DFT)。第119頁，課件共138頁，創(chuàng)作于2023年2月4.11離散傅里葉變換及其性質(zhì)一、離散傅里葉變換（DFT）設(shè)長度為N的有限長序列f(k)的區(qū)間為[0,N-1]，其余各處皆為零。即為了引用周期序列的有關(guān)概念，我們將有限長序列f(k)延拓成