第四章·幾何圖形初步·第1課時·幾何圖形、幾何體

初中數(shù)學(xué)第四章《幾何圖形初步》“幾何圖形、幾何體”培訓(xùn)教程知識點精講第一節(jié)：幾何圖形在我們的學(xué)習(xí)和生活中，可以見到各種各樣的平面圖形和立體圖形。其中，比較常見的平面圖形有：三角形、四邊形、圓形、扇形，其中的四邊形又包括正方形、長方形、平行四邊形、梯形。比較常見的立體圖形有：正方體、長方體、圓柱體、圓錐體、球體。這些圖形都屬于幾何圖形。問(1)：什么是幾何圖形？幾何圖形包括哪幾種類型？答：幾何圖形就是點、線、面、體等各種圖形的統(tǒng)稱。答：幾何圖形包括平面圖形和立體圖形兩中類型。平面圖形就是組成圖形的各部分都在同一平面內(nèi)的圖形。立體圖形就是組成圖形的各個面不都在同一平面內(nèi)的圖形。中學(xué)數(shù)學(xué)對圖形的認(rèn)識繼續(xù)深化。在認(rèn)識平面圖形的基礎(chǔ)上，中學(xué)數(shù)學(xué)強化了對立體圖形的認(rèn)識。問(2)：什么是立體圖形？立體圖形的展開圖都是平面圖形嗎？答：立體圖形就是組成圖形的各個面不都在同一平面內(nèi)的圖形。立體圖形從正面、側(cè)面、上面各個方向看，都可以看到組成圖形的各個平面。答：立體圖形剪開之后，得到的圖形叫做立體圖形的展開圖。有些立體圖形的表面剪開之后，可以完全展開為平面圖形。有些立體圖形的表面剪開之后，展開圖不一定都是平面，還有曲面。比如：球體表面剪開之后，依然是曲面，不能展開為平面圖形。組成立體圖形的各個面，包括平面或曲面，若是封閉的，就圍成了一個幾何體。問(3)：什么是幾何體？如何判斷一個立體圖形是否是幾何體？答：由平面或曲面圍成的封閉的立體圖形稱之為幾何體，簡稱體。答：看這個立體圖形是否封閉，只有封閉的立體圖形才是幾何體。若不封閉，則不是幾何體?！纠恳韵聢D形中能圍成幾何體的是哪個圖形？并說明理由。ABCD解：幾何體就是由平面或曲面圍成的封閉的立體圖形。觀察圖示，即可判斷。A圖中的兩圓一大一小，不能封閉，不是幾何體。B圖折疊后有一個面不能封閉，不是幾何體。C圖中的兩圓只有一大一小，才能封閉。大小相同，不能封閉，不是幾何體。D圖折疊后能封閉，是幾何體。所以，只有D圖能圍成幾何體。典型題型精編解析選擇題：1.下列圖形，屬于平面圖形的是（），屬于立體圖形的是（），屬于幾何體的是（）A.B.C.D.【答案】A、C；B、D；D【解析】平面圖形就是組成圖形的各部分都在同一個平面內(nèi)。故屬于平面圖形的是A、C。立體圖形就是組成圖形的各部分不都在同一個平面內(nèi)。立體圖形可以是封閉的，也可以是不封閉的。故屬于立體圖形的是B、D。封閉的立體圖形叫做幾何體。故屬于幾何體的是D。2.如圖放置的是一個由九個相同的長方體組成的立體圖形，長、寬、高分別為3cm、2cm、1cm，在立體圖形上能看到的平面圖形的面積是（）cmA.88B.100C.92D.108【答案】B【解析】分正面和后面、左側(cè)面和右側(cè)面和上面分別計算能看到的平面圖形。因為圖中是九個相同的長方體，所以每個方位看到的平面圖形都是形狀大小相同的長方形，面積都相等。正面和后面能看到12個面積相等的長方形，面積之和=3·1·12=36。左側(cè)面和右側(cè)面能看到8個面積相等的長方形，面積之和=2·1·8=16。上面能看到8個面積相等的長方形，面積之和=3·2·8=48?？偯娣e=36＋16＋48=100。故選B。3.已知一個立體圖形的展開圖，3個面是形狀相同的長方形，2個面是形狀相同的正方形，要使它能夠圍成一個幾何體，需要添加的形狀可能是（）A.正方形B.長方形C.正方形或長方形D.不能確定【答案】C【解析】封閉的立體圖形叫做幾何體。由展開圖可知，已知立體圖形不能封閉。要使展開圖能夠圍成一個幾何體，這個立體圖形必須是一個封閉的立體圖形。如圖，添加一個長方形，已知立體圖形即可封閉。若2個正方形能夠組成1個長方形，則可以添加2個正方形，也可封閉。故選C。4.下列平面圖形經(jīng)折疊不能圍成正方體的是（）A.B.C.D.【答案】B【解析】B項中的平面圖形折疊后有兩個面重疊，不能圍成封閉的正方體。其他各項中的平面圖形經(jīng)折疊，都能圍成封閉的正方體。故選C。填空題：1.一個由多個相同的小長方體組成的立體圖形，從正面和上面看，其平面圖形如圖所示。問：(1)組成這個立體圖形的小長方體最少有______個。(2)若每個小長方體的長都為m，寬和高相等，都為n，則這個立體圖形的最小體積為_______。正面上面【答案】13；13mn【解析】(1)從正面看到的是一個面上小長方體的個數(shù)，左邊3個，中間4個，右邊2個。從上面看到的是組成這個立體圖形的結(jié)構(gòu)，左邊兩組、中間三組、右邊兩組。相同的小長方體的個數(shù)最少，組成的立體圖形的體積也最小。左邊兩組中，至少有一組3個，另一個組1個，共4個；中間三組中，至少有一組4個，另兩組各1個，共6個；右邊兩組中，至少有一組2個，另一個組1個，共3個。所以，組成這個立體圖形的小長方體的個數(shù)最少有4＋6＋3=13個。注意：統(tǒng)計個數(shù)的題目，能分組統(tǒng)計的，最好分組統(tǒng)計。(2)相同的小長方體的體積都相等。所以，這個立體圖形的最小體積=13·每個小長方體的體積=13·(長·寬·高)=13·m·n·n=13mn。2.如圖，把邊長都為a的正方體擺成如圖所示的形狀。問：(1)這個幾何體共有______個正方體；(2)能看到的幾何體的表面積是________。【答案】10；30【解析】(1)計算個數(shù)時，可以把圖中的幾何體分成左、中、右三層，也可以分成上、中、下三層。①分成左、中、右三層時：如圖，左層從高到低，正方體的個數(shù)分別為3、2、1，共6個。中層從高到低，正方體的個數(shù)分別為2、1，共3個。右層只有1個正方體。三個層面的正方體個數(shù)相加為10，即這個幾何體共有10個正方體。②分成上、中、下三層時：如圖，上層有1個，中層有3個，下層有6個。共10個。(2)從正面和后面、左側(cè)面和右側(cè)面、上面分別統(tǒng)計能看到的正方體的面，這些面的面積之和就是能看到的幾何體的表面積。從正面和后面看，各有6個面，共12個面；從左側(cè)面和右側(cè)面看，各有6個面，共12個面；從上面看，共有6個面。每個面都是邊長為a的正方形，面積為a。所以，能看到的這個幾何體的表面積=(12＋12＋6)·a=30a。注意：統(tǒng)計個數(shù)的題目，能分組統(tǒng)計的，最好分組統(tǒng)計。3.圖中是一個由兩個相同的長方形組成的立體圖形，展開后是一個______形，在里面減一個最大的三角形，有____種減法，減去后剩余的圖形面積是_______。【答案】正方形，6種，50【解析】如圖所示，展開后的平面圖是一個長寬均為10的正方形。沿正方形兩條對角線減有兩種減法；沿正方形每條邊的兩端點和對邊中點的連線減，四條邊有四種減法。減去后剩余的圖形面積=S正方形－S最大三角形=100－·10·10=50。4.設(shè)圖中四面體的頂點數(shù)、面數(shù)、邊長數(shù)的和為U，同理，設(shè)八面體的和為V，十二面體的和為W，U、V、W存在數(shù)量關(guān)系，用等式表示為______________。以此類推，4n(n是正整數(shù))面體的頂點數(shù)、面數(shù)、邊長數(shù)之和S等于________?！敬鸢浮縑=，S=14＋(n－1)12【解析】如圖，四面體、八面體、十二面體的頂點數(shù)、面數(shù)、邊長數(shù)分別為4、4、6，6、8、12，8、12、18，則U=14，V=26，W=38。由此得出：26=，即V=。發(fā)現(xiàn)變化規(guī)律：14=14＋(1－1)12，26=14＋(2－1)12，38=14＋(3－1)12，…。∴S=14＋(n－1)12。解答題：1.如圖，拿一張正方形的紙片（圖①），將其沿虛線對折一次得圖②，再沿圖②中的虛線對折得圖③，然后用剪刀沿圖③中的虛線剪去一個角再打開。畫出打開后剪去的幾何圖形，寫出作法，并說明理由。圖①圖②圖③畫圖：圖④作法：(1)如圖④，用虛線分別連接正方形相對的兩個頂點，兩虛線交于點O。(2)由已知圖示可知，線段AB就是圖③中剪去的線段痕跡。如圖④，在點A所在的虛線上取點A，使OA=OA。在點B所在的虛線上取點B，使OB=OB。(3)用實線連接四點A、A、B、B，得到的四邊形就是打開后剪去的幾何圖形。理由：如圖④，兩虛線把正方形分成4個大三角形，又把四邊形ABAB分成4個小三角形。由作法可知OA=OAOB=OB。由折疊可知，這4個大三角形沿虛線折疊兩兩都能互相重合，大小相等。同時，這4個小三角形沿虛線折疊兩兩也都能互相重合，大小相等。則：四邊形ABAB的四條邊重合相等。所以，四條邊就是剪去的線段痕跡。四邊形ABAB就是打開后剪去的幾何圖形。2.下圖是一個底面為正方形的不透明的無蓋包裝禮盒的展開圖。由展開圖畫出這個包裝禮盒的立體圖形，再畫出其從正面、左面和上面看到的形狀，并解析說明?！敬鸢浮慨媹D：從正面看從左面看從上面看解析：(1)如圖，由展開圖可知：禮盒的下底面是一個正方形，無上底面。四個側(cè)面分上下兩部分，上、下兩個梯形，都是底邊重合、大小相同的等腰梯形。上、下兩梯形同時和左右兩側(cè)梯形的腰一一重合。因為無蓋禮盒不是透明的，被遮擋的不可見的邊線可不畫出，或用虛線畫出。由此可以畫出無蓋禮盒的立體圖形。(2)如圖，觀察無蓋禮盒的立體圖形。從正面和左面看，都是兩個底邊重合、大小相同的等腰梯形。從上面看，因為禮盒無蓋，可以看到上、下兩底面的正方形。近大遠(yuǎn)小，下底