三角函數(shù)·函數(shù)的周期性

三角函數(shù)·函數(shù)的周期性

教學(xué)目標(biāo)1．使學(xué)生理解函數(shù)周期性的概念，并運用它來判斷一些簡單、常見的三角函數(shù)的周期性．2．使學(xué)生掌握簡單三角函數(shù)的周期的求法．3．培養(yǎng)學(xué)生根據(jù)定義進行推理的邏輯思維能力，提高學(xué)生的判斷能力和論證能力．教學(xué)重點與難點函數(shù)周期性的概念．教學(xué)過程設(shè)計師：上節(jié)課我們學(xué)習(xí)了利用單位圓中的正弦線作正弦函數(shù)的圖象．今天我們將利用正弦函數(shù)圖象，研究三角函數(shù)的一個重要性質(zhì)．請同學(xué)們觀察y=sinx，x∈R的圖象：（老師把圖畫在黑板左上方．）師：通過觀察，同學(xué)們有什么發(fā)現(xiàn)？生：正弦函數(shù)的定義域是全體實數(shù)，值域是［-1，1］．圖象有規(guī)律地不斷重復(fù)出現(xiàn)．師：規(guī)律是什么？生：當(dāng)自變量每隔2π時，函數(shù)值都相等．師：正弦函數(shù)的這種性質(zhì)叫周期性．我們將會發(fā)現(xiàn)，不但正弦函數(shù)具有這種性質(zhì)，其它的三角函數(shù)和不少的函數(shù)也都具有這樣的性質(zhì)，因此我們就把它作為今天研究的課題：函數(shù)的周期性．（老師在黑板左上方寫出課題）師：我們先看函數(shù)周期性的定義．（老師板書）定義

對于函數(shù)y=f（x），如果存在一個不為零的常數(shù)T，使得當(dāng)x取定義域內(nèi)的每一個值時，f（x+T）=f（x）都成立，那么就把函數(shù)y=f（x）叫做周期函數(shù)，不為零的常數(shù)T叫做這個函數(shù)的周期．師：請同學(xué)們逐字逐句的閱讀定義，找出定義中的要點．生：首先T是非零常數(shù)，第二是自變量x取定義域內(nèi)的每一個值時都有f（x+T）=f（x）．師：找得準(zhǔn)！那么為什么要這樣規(guī)定呢？師：如果T=0，那么f（x+T）=f（x）恒成立，函數(shù)值當(dāng)然不變，沒有研究價值；如果T為變數(shù)，就失去了“周期”的意義了．“每一個值”的含義是無一例外．師：除這兩條外，定義中還有一個隱含的條件是什么？生：如果x屬于y=f（x）的定義域，則T+x也應(yīng)屬于此定義域．師：對．否則f（x+T）就沒有意義．師：函數(shù)周期性的定義有什么用途？生：它為我們提供判定函數(shù)是否具有周期性的理論依據(jù)．師：下面我們看例題．（老師板書）例1

證明y=sinx是周期函數(shù)．生：因為由誘導(dǎo)公式有sin（x+2π）=sinx．所以2π是y=sinx是一個周期．故它就是周期函數(shù)．例2即cosT=1．這與T∈（0，2π）時，cosT＜1矛盾．這個矛盾證明了y=sinx，x∈R的最小正周期是2π．師：請同學(xué)們在課堂練習(xí)本上證明y=cosx的最小正周期是2π．師：通過上面的例題和練習(xí)我們得出這樣的結(jié)論，正弦函數(shù)y=sinx（x∈R）和余弦函數(shù)y=cosx（x∈R）都是周期函數(shù)，2πk（k∈Z且k≠0）都是它的周期，最小正周期是2π．例5

求y=3cosx的周期．師：以后求周期如果沒有特殊要求，都求的是最小正周期生：因為y=cosx的周期是2π，所以y=3cosx的周期也是2π．師：好．好在他能利用我們總結(jié)出的結(jié)論，也就是新知識歸結(jié)到舊知識上去．你能再具體的證明嗎？生：可以從數(shù)和形兩個角度來證明．解（一）

因為對一切x∈R，3cos（x+2π）=3cosx，所以y=3cosx的周期是2π．解（二）

因為y=3cosx圖象是把y=cosx圖象上的每點的橫坐標(biāo)不變，縱坐標(biāo)擴大3倍得到的，當(dāng)自變量x（x∈R）增加到x+2π且必須增加到x+2π時，函數(shù)cosx的值才重復(fù)出現(xiàn)，因而函數(shù)3cosx的值也才重復(fù)出現(xiàn)，因此y=3cosx的周期是2π．師：數(shù)和形是我們研究數(shù)學(xué)問題的兩個方面，他都想到了，并且能完整的敘述清楚，若把此題推廣，能得到什么結(jié)論？生：y=Asinx，y=Acosx（A≠0，是常數(shù)）的周期都是2π，也就是說函數(shù)周期的變化與系數(shù)A無關(guān)．例6

求y=sin2x的周期．（請不同解法的三位同學(xué)在黑板上板演）生甲：解

因為y=sin（2x＋2π）=sin2x，對于任意x∈R都成立．所以y=sin2x的周期是2π．生乙：解

因為y＝sin（2x＋2π）＝sin2（x＋π）＝sin2x，所以y＝sin2x的周期是π．生?。航?/p>

設(shè)2x＝u，因為y＝sinu的周期是2π，所以y＝sin（u＋2π）=sinu，即sin（2x+2π）＝sin2（x+π）＝sin2x，所以y=sin2x的周期是π．師：我們一起來分析三個同學(xué)的解法．解法一是錯誤的，錯誤在對于周期函數(shù)定義中任意x都有f（x＋T）=f（x）的本質(zhì)沒弄清楚，要證明y=sin2x是周期函數(shù)，應(yīng)證明對于任意x∈R，都有y=sin2x=sin2（x+T），而不是y=sin2x=sin（2x+T）．解法（二），（三）是正確的．區(qū)別在于解法（三）經(jīng)過換元，把要研究的新問題y＝sin2x的周期轉(zhuǎn)化為已有的舊知識y＝sinu的周期．這種轉(zhuǎn)換的意識、換元的思想是很重要的．師：其實這個問題也可以從圖象的變換來考慮．我們先看如何由y＝sinx的圖象得到y(tǒng)＝sin2x的圖象．使y=sinx的圖象上的每點的縱坐標(biāo)當(dāng)自變量每增加2π且必須增加2π時，函數(shù)值重復(fù)出現(xiàn)，現(xiàn)在就是當(dāng)sin2x的周期是π．師：通過這個例題我們看到，誰對函數(shù)的周期有影響？是x的系數(shù)．有怎樣的影響？帶著這個問題同學(xué)們做下面的題目．例7y＝2sin（u＋2π）=2sinu，師：通過這個例題，進一步驗證了我們的猜想，函數(shù)的周期的變化僅與自變量x的系數(shù)有關(guān)．我們把例7寫成一般式．例8

求y=Asin（ωx+）的周期．（其中A，ω，為常數(shù)，且A≠0，ω＞0，x∈R）解

設(shè)u＝ωx＋．因為y＝sinu的周期是2π，所以sin（u＋2π）=sinu，師：這樣就證明了我們的猜想，不但函數(shù)的周期僅與自變量的系數(shù)（老師板書）師：以后再求正弦函數(shù)或余弦函數(shù)的周期，可由上面的結(jié)論直接寫出它的周期．師：（總結(jié)）通過今天的課，同學(xué)們應(yīng)明確以下幾個問題．（一）研究函數(shù)周期的意義是什么？周期函數(shù)是反映現(xiàn)實世界中具有周期現(xiàn)象的數(shù)學(xué)模型．如果能找到函數(shù)的最小正周期T，那么只要在以T為氏度的區(qū)間內(nèi)．就可以研究函數(shù)的圖象與性質(zhì)，然后推斷出函數(shù)在整個定義域的圖象和性質(zhì)．這給我們研究函數(shù)帶來了方便．（二）對于函數(shù)周期的定義應(yīng)注意：1．f（x＋T）=f（x）是反映周期函數(shù)本質(zhì)屬性的條件．對于任意常數(shù)T（T≠0），如果在函數(shù)定義域中至少能找到一個x，使f（x＋T）＝f（x）不成立，我們就斷言y=f（x）不是周期函數(shù)．對于某個確定的常救T≠0．如果在函數(shù)定義域中至少能找到一個x，使f（x＋T）＝f（x）不成立．我們能斷言T不是函數(shù)y=f（x）的周期，但不能說明y＝f（x）不是周期函數(shù)．2．定義中的“每一個值”是關(guān)鍵詞．此函數(shù)對于任意確定的常數(shù)T≠0，盡管f（x＋T）=f（x）對函數(shù)定義域（-∞，+∞）中幾乎所有x都成立．但僅僅由于x的個別值x=0，x=-T時，等式不成立．因此函數(shù)f（x）不是周期函數(shù)．（三）周期函數(shù)的周期與最小正周期的區(qū)別與聯(lián)系．1．周期函數(shù)的周期一定存在，但最小正周期不一定存在，最小正周期如果存在必定唯一．周期函數(shù)的周期有無數(shù)個．如：f（x）=c（常數(shù)），任意非零實數(shù)都是它的周期，但由于不存在不等于零的最小正實數(shù)，所以f（x）=c沒有最小正周期．這個例子也同時說明不是只有三角函數(shù)才具有周期性．2．周期函數(shù)的最小正周期一定是這個函數(shù)的周期，反之不然．例如，2π是y=sinx的最小正周期，也是函數(shù)的周期；4π是函數(shù)的周期，但不是最小正周期．作業(yè)：課本P178第6題，P132第4題．課堂教學(xué)設(shè)計說明此教學(xué)方案是按照“教師為主導(dǎo)，學(xué)生為主體，課本為主線．”的原則而設(shè)計的．教師的主導(dǎo)作用在于激發(fā)學(xué)生的求知欲，為學(xué)生創(chuàng)設(shè)探索的情境，指引探索的途徑，引導(dǎo)學(xué)生不斷地提出新問題，解決新問題．函數(shù)周