自然邊界條件

1.2.2自然邊界條件上節(jié)中待求函數(shù)的邊界值是已知的，本節(jié)放松邊界值為可隨意變動的情況。這里的問題是：在a<x<b的區(qū)間內(nèi)，決定一個(gè)函數(shù)列力使泛函V=jbF（x,y,y，）dx取駐值a由上節(jié)的變分過程可知：跛=jb[竺-d(竺府d井竺街|bady dxdy' dy' ai/Euler方程仍必須成立，否則便能找到一個(gè)為使5V大于（或等于）零。在邊界值中,8y也可任意，故必須有（道理同前）:在x=a在x=a及x=b處：c,=。

cy(*)ii/邊界條件（*）是根據(jù)取駐點(diǎn)的要求推導(dǎo)出來的，不是事先指定的。所以，這類條件為自然邊界條件。（或）：在泛函的駐值尋找中，自變函數(shù)必須滿足的條件（即在滿足這些條件的函數(shù)中尋找泛函極值）稱為基本/本質(zhì)（Essential）邊界條件；而事先不必考慮，變分的結(jié)果自然滿足的邊界條件稱自然邊界條件（Natural）。iii/推廣至更廣泛的一些問題在a<x<b的區(qū)間內(nèi)，決定一個(gè)函數(shù)y⑴使泛函V=jbF(x,y,y')dx+Py(a)+Qy(b)a取駐值，其中P,Q為已知數(shù)值。求V的變分設(shè)：5V=5”F(x,y,y)dx+P5y(a)+Q5y(b)aCF d CF _CF _ CF=Jb[----(-5)]5ydx+[P--^I]5y(a)+[Q+^~I]5y(b)acy dx cy cyx=a cy x=b道理同前，還可得如下自然邊界條件：xx=a,cF=Px=b，cyf1.2.3.泛函的二階變分如函數(shù)的二階微分用于判定函數(shù)駐值性質(zhì)一樣，泛函的二階變分可用來判定泛函的駐值性質(zhì)，AV的一階小量部分稱為的V一階變分，記5VAV的二階小量部分稱為的V二階變分，記52V5V=j[壬咬]dx

鼻=*（x，y，y，），另書（x，y，y，）oy oy oy oyNote:80y）=。8?。?。（近似?。?2V=jb{［箜8"堂8/］枷+［旦枷+ 枷f］8y}dxa8y8y 8y8y' 8y'8y 8y'8y'=j^［以=j^［以aoy2（8y）2+2=8y'8y+耳呵）2］dx

oyoy oy2極值性質(zhì)結(jié)論:8V=08V=8V=08V=08V=0V取極大值V取極小值V取非極大的駐值（當(dāng)為多元函數(shù)時(shí)）8V=082V<0V取非極小的駐值8V=082V8V=01.2.4.涉及高階導(dǎo)數(shù)的駐值問題先考慮下列泛函的駐值問題：V=jbF（x，y，y'，y"）dxa作法：i/求V的一階變分，設(shè)：of ofof8V=j［竺8y+也8y+oF8yff］dx

dy dy!"dy!>7ii/利用分步積分把上式第二項(xiàng)化成:jb性8y'dx=-\b±（當(dāng)）8ydx+當(dāng)8ylbaoy' adxdy' dy'aiii/連續(xù)用兩次分步積分，把上式第三項(xiàng)化為:jb生8y，，dx=-jb±（生）8y，dx+迎8y，|bady!>yadxdyffJ7 oy'a=jb^L（生）8ydx-d（竺）8ylb+竺8ylb

adx2oy〃 dxdy〃 ady〃ya

代入5V式整理得:b「6F dQF、 d2,6F dF d,dF dF^f.5V=\b[——-—(——)+——(——)]Oydx+[——-——(——)]5y|b+——5y'|ba oy dx oy dx2 oy oy dx oy a oy aiv/由第一項(xiàng)可推出:dFdQF、d2,of、八Euler:否一d誓7）+杰（胡）=0否則可找到一個(gè)g,使5V的第一次大于（或小于）零。分析中的第二項(xiàng)，若在邊界上已知y，那么,5y=0于是第二項(xiàng)便恒等于0，反之，若5y可取任意值，那么應(yīng)使:史-d(生)=0dy'dxdy"否則，可找一個(gè)Oy使5V的第二項(xiàng)大于（或小于）零。分析°V中的第三項(xiàng)，如果在邊界上不是已知y'，則應(yīng)有:歸納本問題的邊界條件:在x=a及x=b處：y=已知（基本條件）oFd,6F、八八…’或—d（寥）=y=已知（基本條件）y'=已知（基本條件）（自然條件）homework:求下列泛函的極值問題:w2-qw]dxV=jl[D(d2W)2+N(w2-qw]dx。2dx2 2dx2再考慮包含更高階導(dǎo)數(shù)的泛函駐值問題，取:V=jbF(x,y',y"，…，y(n))dxa作法雷同c…ofofc ofc ofc5V=jb +~^5y/+ + dy(k)+ +— Oy(n)]dx接連利用k次分步積分公式，上式中的代表項(xiàng)化為:\b^Fby(k)dx=(—1)k\b-f^L()8y(k)dx+'「6y

ady(k) adxk四(k) 四(k)dWF、c(k1)|b— G一網(wǎng)(k-2)lbadxdy(k) a+...+(—1)k—1 (-^)5ylbdxk—1dy(k) a..?5V可以化為：b dF d dF d dF db dF5V—J[———(—)+—( )—?—+(—1)n ( )]5ydxa dy dx dy dx dy dxn dy(n)rdF d/dF、 /1、+[ — ( )+?…+(—1)dy' dxdy〃dn-1 dF 、|n-1 ( )]5y|bdxn—1dy(n) ardF d.dF、 ...dn-2 dF、、,.+[ ——( )+ +(—1)n ( )]5ylbdy" dxdy(3) dxn—2dy(n) a+…dF e ,+ 5y(n—1)|b由于5y的任意性，可得:dFddFd2dFEuler:布—d方)+不(亍)—-+(—1)n—1^LW)—0

dxndy(n)在x=a及x=