河南省六市（南陽市、駐馬店市、信陽市、漯河市、周口市、三門峽市）屆高三第一次模擬調(diào)研數(shù)學(xué)（文）試題含解析

學(xué)必求其心得，業(yè)必貴于專精學(xué)必求其心得，業(yè)必貴于專精學(xué)必求其心得，業(yè)必貴于專精2020年河南省六市高三第一次模擬調(diào)研試題文科數(shù)學(xué)第Ⅰ卷選擇題（共60分）一、選擇題：本大題共12小題，每小題5分，共60分.在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的.1.若復(fù)數(shù)滿足,則（）A。 B。 C. D?！敬鸢浮緾【解析】【分析】化簡得到，,再計算復(fù)數(shù)模得到答案?！驹斀狻?，故，故，。故選:?！军c睛】本題考查了復(fù)數(shù)的化簡，共軛復(fù)數(shù),復(fù)數(shù)模，意在考查學(xué)生的計算能力。2.集合的真子集的個數(shù)為（）A.7 B。8 C。31 D。32【答案】A【解析】【分析】計算，再計算真子集個數(shù)得到答案.【詳解】，故真子集個數(shù)為：。故選:?！军c睛】本題考查了集合的真子集個數(shù)，意在考查學(xué)生的計算能力。3.五行學(xué)說是華夏民族創(chuàng)造的哲學(xué)思想，是華夏文明重要組成部分。古人認(rèn)為，天下萬物皆由金、木、水、火、土五類元素組成,如圖，分別是金、木、水、火、土彼此之間存在的相生相克的關(guān)系。若從5類元素中任選2類元素，則2類元素相生的概率為（)A。 B。 C. D?！敬鸢浮緼【解析】【分析】列舉出金、木、水、火、土任取兩個的所有結(jié)果共10種，其中2類元素相生的結(jié)果有5種，再根據(jù)古典概型概率公式可得結(jié)果.【詳解】金、木、水、火、土任取兩類,共有:金木、金水、金火、金土、木水、木火、木土、水火、水土、火土10種結(jié)果，其中兩類元素相生的有火木、火土、木水、水金、金土共5結(jié)果，所以2類元素相生的概率為，故選A.【點睛】本題主要考查古典概型概率公式的應(yīng)用，屬于基礎(chǔ)題，利用古典概型概率公式求概率時，找準(zhǔn)基本事件個數(shù)是解題的關(guān)鍵,基本亊件的探求方法有(1)枚舉法：適合給定的基本事件個數(shù)較少且易一一列舉出的;(2）樹狀圖法：適合于較為復(fù)雜的問題中的基本亊件的探求。在找基本事件個數(shù)時，一定要按順序逐個寫出:先，…。，再，…。.依次…。…這樣才能避免多寫、漏寫現(xiàn)象的發(fā)生.4。已知，，設(shè)，，，則，,的大小關(guān)系是（）A. B. C. D.【答案】B【解析】【分析】由可知單調(diào)遞減,由對數(shù)的運算性質(zhì)和對數(shù)函數(shù)單調(diào)性可確定自變量的大小關(guān)系,由此可得函數(shù)值的大小關(guān)系.【詳解】當(dāng)時，，在上單調(diào)遞減，，，，，即。故選：.【點睛】本題考查利用函數(shù)的單調(diào)性比較函數(shù)值的大小關(guān)系問題,涉及到對數(shù)運算法則的應(yīng)用,關(guān)鍵是能夠根據(jù)余弦函數(shù)的值域確定函數(shù)的單調(diào)性，進(jìn)而根據(jù)自變量的大小關(guān)系得到函數(shù)值的大小關(guān)系.5.已知且則A。 B. C。 D?！敬鸢浮緽【解析】由=,即,又，所以,則。故選B．6.設(shè)函數(shù)，則函數(shù)的圖像可能為（)A。 B。 C. D.【答案】B【解析】【分析】根據(jù)函數(shù)為偶函數(shù)排除，再計算排除得到答案.【詳解】定義域為：,函數(shù)為偶函數(shù)，排除，排除故選【點睛】本題考查了函數(shù)圖像，通過函數(shù)的單調(diào)性，奇偶性，特殊值排除選項是常用的技巧.7.已知某超市2018年12個月的收入與支出數(shù)據(jù)的折線圖如圖所示:根據(jù)該折線圖可知，下列說法錯誤的是(）A.該超市2018年12個月中的7月份的收益最高B。該超市2018年的12個月中的4月份的收益最低C。該超市2018年1—6月份的總收益低于2018年7-12月份的總收益D.該超市2018年7-12月份的總收益比2018年1-6月份的總收益增長了90萬元【答案】D【解析】【分析】用收入減去支出,求得每月收益，然后對選項逐一分析，由此判斷出說法錯誤的選項.【詳解】用收入減去支出，求得每月收益（萬元），如下表所示:月份123456789101112收益203020103030604030305030所以月收益最高，A選項說法正確；月收益最低，B選項說法正確；月總收益萬元,月總收益萬元，所以前個月收益低于后六個月收益，C選項說法正確,后個月收益比前個月收益增長萬元，所以D選項說法錯誤。故選D?！军c睛】本小題主要考查圖表分析，考查收益的計算方法，屬于基礎(chǔ)題.8。已知向量，滿足,且，，則向量與的夾角為（）A. B。 C。 D?！敬鸢浮緽【解析】【分析】對兩邊平方,求得,所以。畫出圖像,根據(jù)圖像確定與的夾角，并根據(jù)它補角的正切值求得對應(yīng)的角的大小?！驹斀狻恳驗?，所以，即，所以.如圖，設(shè)，，則向量與的夾角為，因為,所以，.故選B.【點睛】本題考查平面向量的模以及夾角問題，考查運算求解能力，考查數(shù)形結(jié)合的數(shù)學(xué)思想方法.屬于中檔題.9.程大位是明代著名數(shù)學(xué)家，他的《新編直指算法統(tǒng)宗》是中國歷史上一部影響巨大的著作。它問世后不久便風(fēng)行宇內(nèi)，成為明清之際研習(xí)數(shù)學(xué)者必讀的教材,而且傳到朝鮮、日本及東南亞地區(qū)，對推動漢字文化圈的數(shù)學(xué)發(fā)展起了重要的作用。卷八中第33問是：“今有三角果一垛，底闊每面七個，問該若干?"如圖是解決該問題的程序框圖。執(zhí)行該程序框圖,求得該垛果子的總數(shù)為（）A。84 B.56 C.35 D。28【答案】A【解析】【分析】按照程序框圖運行程序，直到滿足時輸出結(jié)果即可.【詳解】按照程序框圖運行程序,輸入，,,則，，,不滿足，循環(huán)；，，，不滿足，循環(huán)；，，,不滿足，循環(huán)；，,，不滿足，循環(huán);,，,不滿足，循環(huán)；，,，不滿足,循環(huán);，，，滿足,輸出.故選：?！军c睛】本題考查根據(jù)程序框圖循環(huán)結(jié)構(gòu)計算輸出結(jié)果的問題，屬于基礎(chǔ)題。10。已知點是拋物線上的一動點，為拋物線的焦點，是圓：上一動點，則的最小值為（）A.3 B。4 C.5 D.6【答案】B【解析】【分析】根據(jù)拋物線定義和三角形三邊關(guān)系可知當(dāng)三點共線時，的值最小,根據(jù)圓的性質(zhì)可知最小值為;根據(jù)拋物線方程和圓的方程可求得，從而得到所求的最值.【詳解】如圖所示,利用拋物線的定義知:當(dāng)三點共線時,的值最小，且最小值為拋物線的準(zhǔn)線方程：，本題正確選項：【點睛】本題考查線段距離之和的最值的求解，涉及到拋物線定義、圓的性質(zhì)的應(yīng)用，關(guān)鍵是能夠找到取得最值時的點的位置，從而利用拋物線和圓的性質(zhì)來進(jìn)行求解.11。設(shè)銳角三內(nèi)角，,所對邊的邊長分別為，,，且，，則的取值范圍為(）A. B. C。 D.【答案】A【解析】【分析】根據(jù)銳角三角形的特點和可確定的取值范圍，進(jìn)而求得的取值范圍；利用正弦定理可得到，進(jìn)而求得結(jié)果.【詳解】且為銳角三角形，，,又,，，，,由正弦定理得：,.故選：.【點睛】本題考查三角形邊長的取值范圍的求解問題，涉及到正弦定理的應(yīng)用；關(guān)鍵是能夠通過正弦定理明確所求邊長與角的余弦值有關(guān),進(jìn)而通過求解角的余弦值的范圍來求解邊長的范圍。12.設(shè)，分別為雙曲線（a＞0,b＞0）的左、右焦點，過點作圓的切線與雙曲線的左支交于點P，若，則雙曲線的離心率為（)A. B。 C。 D。【答案】C【解析】【分析】設(shè)過點作圓的切線的切點為，根據(jù)切線的性質(zhì)可得,且,再由和雙曲線的定義可得，得出為中點，則有，得到，即可求解.【詳解】設(shè)過點作圓切線的切點為，，所以是中點，，，.故選：C.【點睛】本題考查雙曲線的性質(zhì)、雙曲線定義、圓的切線性質(zhì),意在考查直觀想象、邏輯推理和數(shù)學(xué)計算能力,屬于中檔題.第Ⅱ卷非選擇題（共90分）二、填空題：本大題共4小題，每小題5分,共20分。13.曲線在點處的切線方程為___________?！敬鸢浮俊窘馕觥俊痉治觥扛鶕?jù)導(dǎo)數(shù)的幾何意義，先求得在點處的切線的斜率.進(jìn)而結(jié)合點斜式即可求得切線方程.【詳解】曲線則所以在點處的切線的斜率為由點斜式可得故答案為：【點睛】本題考查了導(dǎo)數(shù)的幾何意義,直線方程的點斜式應(yīng)用,屬于基礎(chǔ)題。14.已知等比數(shù)列的前n項和為，若，，則＝_______．【答案】1【解析】【分析】由題意可得，公比q≠1，則7，63，相除可得公比q，即得的值．【詳解】由題意可得，公比q≠1，∴7，63，相除可得1+q3＝9，∴q＝2，∴a1＝1．故答案為1?！军c睛】本題考查等比數(shù)列的前n項和公式，求得q值是解題的關(guān)鍵，屬于基礎(chǔ)題．15.已知函數(shù)（）,當(dāng)時，的最小值為，若將函數(shù)的圖象向右平移（）個單位后所得函數(shù)圖象關(guān)于軸對稱，則的最小值為________.【答案】【解析】【分析】利用輔助角公式可整理函數(shù)得到,根據(jù)最值可知，從而求得函數(shù)解析式；根據(jù)三角函數(shù)平移變換原則得到變換后函數(shù)的解析式，根據(jù)對稱性可得到，結(jié)合可求得結(jié)果.【詳解】,，，，，,,,將右移個單位得：，關(guān)于軸對稱，，,又,.故答案為：?！军c睛】本題考查根據(jù)三角函數(shù)的性質(zhì)求解函數(shù)解析式、三角函數(shù)的平移變換等知識，涉及到利用輔助角公式化簡三角函數(shù)的問題；關(guān)鍵是能夠通過函數(shù)的最值確定與函數(shù)最小正周期之間的關(guān)系。16。在直三棱柱中，，底面三邊長分別為3,5,7,是上底面所在平面內(nèi)的動點，若三棱錐的外接球表面積為，則滿足題意的動點的軌跡對應(yīng)圖形的面積為________?！敬鸢浮俊窘馕觥俊痉治觥吭O(shè)為外接圓圓心,作平面,根據(jù)三棱錐外接球的性質(zhì)可知球心為上一點；在中，結(jié)合正余弦定理可求得的外接圓半徑，進(jìn)而勾股定理可求得球心到平面的距離，再利用勾股定理求得，可得點軌跡為圓，進(jìn)而求得結(jié)果?！驹斀狻坎环猎O(shè)，，,設(shè)為外接圓圓心，作平面，交平面于點，由三棱錐外接球的性質(zhì)可知,球心為上一點.設(shè)三棱錐外接球半徑為,三棱錐外接球表面積，.在中,由余弦定理得：，，由正弦定理得:,,即，，，即點的軌跡對應(yīng)的圖形是以為圓心，為半徑的圓，對應(yīng)的圖形面積為。故答案為:?！军c睛】本題考查立體幾何中的動點軌跡問題的求解，重點考查了幾何體的外接球的相關(guān)問題的求解；關(guān)鍵是能夠根據(jù)外接球的性質(zhì)確定球心的位置,結(jié)合勾股定理得到動點所滿足的具體條件。三、解答題：共70分.解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟.第17～21題為必考題,每個試題考生都必須作答.第22、23題為選考題,考生根據(jù)要求作答。（一）必考題：60分。17.黨的十九大明確把精準(zhǔn)脫貧作為決勝全面建成小康社會必須打好的三大攻堅戰(zhàn)之一。為堅決打贏脫貧攻堅戰(zhàn),某幫扶單位為幫助定點扶貧村脫貧，堅持扶貧同扶智相結(jié)合，此幫扶單位考察了甲、乙兩種不同的農(nóng)產(chǎn)品加工生產(chǎn)方式，現(xiàn)對兩種生產(chǎn)方式的產(chǎn)品質(zhì)量進(jìn)行對比,其質(zhì)量按測試指標(biāo)可劃分為:指標(biāo)在區(qū)間的為優(yōu)等品；指標(biāo)在區(qū)間的為合格品,現(xiàn)分別從甲、乙兩種不同加工方式生產(chǎn)的農(nóng)產(chǎn)品中，各自隨機(jī)抽取100件作為樣本進(jìn)行檢測，測試指標(biāo)結(jié)果的頻數(shù)分布表如下：甲種生產(chǎn)方式：指標(biāo)區(qū)間頻數(shù)51520301515乙種生產(chǎn)方式：指標(biāo)區(qū)間頻數(shù)51520302010(1）在用甲種方式生產(chǎn)的產(chǎn)品中，按合格品與優(yōu)等品用分層抽樣方式,隨機(jī)抽出5件產(chǎn)品，①求這5件產(chǎn)品中,優(yōu)等品和合格品各多少件；②再從這5件產(chǎn)品中，隨機(jī)抽出2件，求這2件中恰有1件是優(yōu)等品的概率；（2）所加工生產(chǎn)的農(nóng)產(chǎn)品,若是優(yōu)等品每件可售55元，若是合格品每件可售25元.甲種生產(chǎn)方式每生產(chǎn)一件產(chǎn)品的成本為15元,乙種生產(chǎn)方式每生產(chǎn)一件產(chǎn)品的成本為20元。用樣本估計總體比較在甲、乙兩種不同生產(chǎn)方式下，該扶貧單位要選擇哪種生產(chǎn)方式來幫助該扶貧村來脫貧？【答案】(1）①優(yōu)等品3件，合格品2件；②；（2）選擇乙生產(chǎn)方式.【解析】【分析】（1)①根據(jù)頻數(shù)分布表知：甲的優(yōu)等品率為0.6,合格品率為0.4，即可得到抽去的件數(shù);②記3件優(yōu)等品為，,，2件合格品分別為，,從中隨機(jī)抽2件，列舉出基本事件的總數(shù)，利用古典概型及其概率的計算公式，即可求解；（2)分別計算出甲、乙種生產(chǎn)方式每生產(chǎn)100件所獲得的利潤為元元,比較即可得到結(jié)論．【詳解】（1）①由頻數(shù)分布表知：甲的優(yōu)等品率為0.6，合格品率為0.4，所以抽出的5件產(chǎn)品中,優(yōu)等品3件，合格品2件.②記3件優(yōu)等品為，，，2件合格品分別為，，從中隨機(jī)抽2件，抽取方式有，，,,，，,,，共10種,設(shè)“這2件中恰有1件是優(yōu)等品的事件”為，則事件發(fā)生的情況有6種，所以.（2）根據(jù)樣本知甲種生產(chǎn)方式生產(chǎn)100件農(nóng)產(chǎn)品有60件優(yōu)等品，40件合格品；乙種生產(chǎn)方式生產(chǎn)100件農(nóng)產(chǎn)品有80件優(yōu)等品，20件合格品.設(shè)甲種生產(chǎn)方式每生產(chǎn)100件所獲得的利潤為元，乙種生產(chǎn)方式每生產(chǎn)100件所獲得的利潤為元，可得(元），（元），由于，所以用樣本估計總體知乙種生產(chǎn)方式生產(chǎn)的農(nóng)產(chǎn)品所獲得的利潤較高，該扶貧單位要選擇乙生產(chǎn)方式來幫助該扶貧村來脫貧較好。【點睛】本題主要考查了頻率分布直方表與頻率分布直方圖的應(yīng)用，其中解答中熟記在頻率分布直方圖中，各小長方形的面積表示相應(yīng)各組的頻率，且所有小長方形的面積的和等于1，合理利用古典概型及其概率的計算公式求解概率是解答的關(guān)鍵,著重考查了分析問題和解答問題的能力，屬于基礎(chǔ)題．18.已知等差數(shù)列的公差,其前項和為，且,成等比數(shù)列.(1）求數(shù)列的通項公式；（2）令，求數(shù)列的前項和?！敬鸢浮?1)；（2).【解析】試題分析:（1）由可得化為:．由成等比數(shù)列,可得化為：聯(lián)立解得：即可得出

（2）利用裂項求和方法、等差數(shù)列的求和公式即可得出．試題解析：（1）因為，即即，①因為為等比數(shù)列，即所以，化簡得：②聯(lián)立①和②得：,所以(2)因為所以19。如圖在四棱錐中，底面為正方形,為等邊三角形，平面平面.（1）證明：平面平面;（2）若,為線段的中點，求三棱錐的體積?！敬鸢浮浚?)證明見解析；(2）.【解析】【分析】（1）取中點，連結(jié),由面面垂直和線面垂直的性質(zhì)可知；由正方形特點知，由線面垂直和面面垂直的判定定理可證得結(jié)論；（2)由中點性質(zhì)可知，利用體積橋的方式可求得結(jié)果.【詳解】（1）取的中點，連結(jié)，為等邊三角形，，平面，平面平面,平面平面，平面,又平面，，底面為正方形,。又，平面，平面，平面，平面平面（2）為線段的中點，到平面的距離為到平面的距離的.由(1）知:平面平面,由面面垂直的性質(zhì)可知：在中，邊上的高即為三棱錐的高,，?！军c睛】本題考查立體幾何中面面垂直關(guān)系的證明、三棱錐體積的求解問題，涉及到線面垂直和面面垂直的判定與性質(zhì)定理、三棱錐體積公式的應(yīng)用;求解三棱錐體積的常用方法是采用體積橋的方式，將問題轉(zhuǎn)化為高易求的三棱錐的體積的求解問題。20.設(shè)橢圓的左右焦點分別為，離心率是，動點在橢圓上運動,當(dāng)軸時,。（1)求橢圓的方程；（2）延長分別交橢圓于點（不重合）。設(shè),求的最小值?！敬鸢浮浚?）;(2）【解析】分析】（1）根據(jù)題意直接計算得到,,得到橢圓方程。（2）不妨設(shè)，且，設(shè),代入數(shù)據(jù)化簡得到，故，得到答案.【詳解】（1),所以,,化簡得，所以，,所以方程為；（2）由題意得，不在軸上，不妨設(shè),且，設(shè)，所以由，得，所以，由，得，代入，化簡得：，由于,所以，同理可得，所以，所以當(dāng)時，最小為【點睛】本題考查了橢圓方程，橢圓中的向量運算和最值，意在考查學(xué)生的計算能力和綜合應(yīng)用能力。21.已知函數(shù).(Ⅰ）討論函數(shù)f（x）的單調(diào)性；（Ⅱ）令，若對任意的x＞0,a＞0，恒有f(x)≥g(a）成立，求實數(shù)k的最大整數(shù)?！敬鸢浮浚?）見解析（2）7【解析】【分析】(1）討論和兩種情況;（2）由成立轉(zhuǎn)化為，分離k,構(gòu)造函數(shù)求最值即可.【詳解】(1）此函數(shù)的定義域為，（1）當(dāng)時，在上單調(diào)遞增，(2）當(dāng)時，單調(diào)遞減，單調(diào)增綜上所述：當(dāng)時,在上單調(diào)遞增當(dāng)時，單調(diào)遞減，單調(diào)遞增。（2）由（Ⅰ)知恒成立，則只需恒成立,則，令則只需則單調(diào)遞減,單調(diào)遞增,即的最大整數(shù)為【點睛