常微分方程初值問題的數值解法課件

常微分方程初值問題的數值解法§9.2

Euler方法

§9.3

Runge–Kutta公式§9.4

單步法的進一步討論§9.5線性多步法§9.1引言數值算例8/1/20231常微分方程初值問題的數值解法§9.2Euler方法§9.定義：初值問題的單步顯式方法，若對于任意固定的有近似解yn

滿足極限

，則稱該單步法收斂。

1收斂性定義：Remark：從定義可知，若格式收斂，整體截斷誤差en=y(xn)-yn必然趨于零?！?.4單步法的進一步討論8/1/20232定義：初值問題的單步顯式方法，若對于任意固定的2整體截斷誤差與局部截斷誤差的關系定理：若初值問題的單步方法之局部截斷誤差為且單步法中函數關于y滿足lipschitz條件，則有8/1/202332整體截斷誤差與局部截斷誤差的關系定理：若初值問題的單步方二.

3相容性單步法局部截斷誤差：8/1/20234二.

3相容性單步法局部截斷誤差：7/28/20234由于假設為連續(xù)函數，因而上式可以表示為定義：如果當時，近似方程能逼近微分方程，則稱數值公式與原微分方程相容。相容性定義8/1/20235由于假設為連續(xù)函數，因而上定義：如結論：若顯式單步法的階大于或等于1，則該單步法與微分方程相容；反之，如果單步法與微分方程相容，且關于h滿足Lipschitz條件，則單步法至少為一階方法。相容性與收斂階的關系8/1/20236結論：若顯式單步法的階大于或等于1，則該單步法與微分方程相容定理：設增量函數在區(qū)域

中連續(xù)，并對變量y滿足利普希茨條件，則單步法收斂的充要條件為相容性條件成立。Remark：在滿足定理的條件下，Euler方法，Euler預估-校正格式，Runge-Kutta方法等都與原微分方程相容。4單步法收斂的條件8/1/20237定理：設增量函數在區(qū)域Remark：在滿足定定義1用一個數值方法求解微分方程初值問題時，對給定步長h>0，若在計算時引入誤差（也稱擾動），由此引起計算后面的時誤差絕對值均不增加，則稱這個數值方法是絕對穩(wěn)定的。

單步法收斂性概念以及定理都是在計算過程中無舍入誤差的前提條件下建立的。5穩(wěn)定性注：由穩(wěn)定性定義可以看出方法是否穩(wěn)定依賴于方程的右端函數，即方法是否穩(wěn)定是指對于某個問題該方法是否穩(wěn)定。8/1/20238定義1用一個數值方法求解微分方程初值問題時，對給定步長h針對模型方程研究穩(wěn)定性設f(x,y)關于y滿足Lipschitz條件，這樣就可以針對如下模型方程研究方法的穩(wěn)定性：其中λ為復常數，為使微分方程自身穩(wěn)定，假定

定義1

設步長h>0的單步法用于求解模型方程時，中由引起的誤差滿足，則稱單步法對于所用步長h和復數是絕對穩(wěn)定的。若在計算時有誤差,但在計算后面的8/1/20239針對模型方程研究穩(wěn)定性設f(x,y)關于y滿足LipschiRemark1：在上面的定義中，可以取小于或等于關系符。取小于號是為了和線性多步法相一致。Remark2：單步法是否穩(wěn)定，與模型方程中的復數以及所用步長h有關。若對復平面上的某個區(qū)域G，當時，單步法絕對穩(wěn)定，則稱G為單步法的絕對穩(wěn)定區(qū)域，G與實軸的交集為絕對穩(wěn)定區(qū)間。關于模型穩(wěn)定的說明8/1/202310Remark1：在上面的定義中，可以取小于或等于關系符。取小①Euler顯式公式是保證絕對穩(wěn)定性對步長h所加限制當為實數時，得到用h表示的絕對穩(wěn)定的區(qū)間(-2,0)6常用公式的穩(wěn)定性8/1/202311①Euler顯式公式是保證絕對穩(wěn)定性對步長h所加限制當為得絕對穩(wěn)定區(qū)域②隱式Euler公式8/1/202312得絕對穩(wěn)定區(qū)域②隱式Euler公式7/28/202312③梯形公式Back8/1/202313③梯形公式Back7/28/202313線性多步法的基本思想：如果充分利用前面多步的信息預測yn+k，則可期望獲得較高精度。1線性多步法有關概念K步線性多步法一般形式為

其中為常數，不全為零?！?.5線性多步法8/1/202314線性多步法的基本思想：如果充分利用前面多步的信息預測yn+k若則為隱式方法，若則為顯式方法Remark：R－K方法是增加一些非節(jié)點處的函數值提高單步法的精度，這樣使計算量增加了許多。線性多步法每步只需要計算一個函數值。1線性多步法有關概念8/1/202315若則為隱式方法，若則為顯式方法Re

對于隱式公式（），f(x,y)一般是非線性函數，故難以求解到y(tǒng)n+k的顯示表達式，故常用迭代法求解：其中任意給出，s＝0,1,2,…,迭代到滿足給定精度要求?？梢宰C明，當f(x,y)滿足Lipschitz條件或時，只要，迭代關系式就是收斂的。線性多步法有關概念（續(xù)）8/1/202316對于隱式公式（），f(x,y)一般是定義處的局部截斷誤差為

線性多步法2線性多步法局部截斷誤差若,則稱線性多步法為p階方法。8/1/202317定義處的局部截斷誤差為線性多步法2線性多步法局若線性多步法為p階方法，則稱為主局部截斷誤差系數。即主局部截斷誤差為8/1/202318若線性多步法為p階方法，則關于局部截斷誤差定義的說明8/1/202319關于局部截斷誤差定義的說明7/28/202319利用微分中值定理

其中介于與之間。說明2故在的假定下，若

（顯示公式），則：8/1/202320利用微分中值定理其中介于與之間。說若,且即為p階方法，

則當y(x)充分可微時，說明38/1/202321若,且即為p階方法，則當y即的首項與的首項相同，因此兩種局部截斷誤差的定義相同。

Remark2：可以證明，顯示線性多步法的整體截斷誤差比局部截斷誤差低一階。Remark1：可以利用此處的截斷誤差定義分析前面的單步隱式方法。對于Euler方法，其主局部截斷誤差為，而對于梯形方法，其主局部截斷誤差為。說明48/1/202322即的首項與的首項相同，因此兩種局部將方程兩端從積分得

構造p次Lagrange插值多項式：3用數值積分法構造8/1/202323將方程兩端從積分得構造其中

公式建立8/1/202324其中公式建立7/28/202324系數計算8/1/202325系數計算7/28/202325取可得到Adams顯式公式

具體公式1：Adams顯式公式

8/1/202326取可得到Adams顯式公式具體公式1具體公式2：Adams隱式公式取k=0,j=1可得到Adams隱式公式再用n＋1代替n，得到8/1/202327具體公式2：Adams隱式公式取k=0,j=1可得到Adam取k＝1，j=1，得到Nystr?m

顯式公式：具體公式3：Nystr?m顯式公式8/1/202328取k＝1，j=1，得到Nystr?m顯式公式：具體公式3：線性多步法

的局部截斷誤差為

局部截斷誤差8/1/202329線性的局部截斷誤差為局部截斷誤差7/28/202329局部截斷誤差8/1/202330局部截斷誤差7/28/202330對于Adams顯式公式與隱式公式，由于顯式(j=0,k=1)在[0,1]恒正,隱式(j=1，k=0):在[-1,0]恒負為某中間點，E(Explicit），I（Implicit）。Adams公式局部截斷誤差8/1/202331對于Adams顯式公式與隱式公式，由于顯式(j=0,k=1)當p=3時,

局部截斷誤差表明，在y(x)具有p+2階連續(xù)導數的條件下，p+1步Adams顯式方法與p步Adams隱式方法的局部截斷誤差是O(hp+2)，即它們是p＋1階方法。特別地，當p＝3時，Adams顯、隱方法都是四階的。8/1/202332當p=3時,局部截斷誤差表明，在y(x)具有p+2階連續(xù)導Taylor展開法更具一般性。例：用Taylor展開法構造下述公式，使其為四階方法，并求其局部截斷誤差的主項。4用Taylor展開構造8/1/202333Taylor