第三講層次分析法課件

2013數(shù)學建模培訓8/7/202312013數(shù)學建模培訓7/31/20231第三講層次分析法8/7/20232第三講層次分析法7/31/20232一、引言8/7/20233一、引言7/31/20233層次分析法是數(shù)學建模競賽中的常用方法。在數(shù)學建模競賽論文中，時常能看到層次分析法。需要提醒大家注意的是，有些學生沒有搞清楚層次分析法的特點、原理、優(yōu)缺點及局限性，在建模中隨意亂用層次分析法。在本講中，大家首先要搞清楚層8/7/20234層次分析法是數(shù)學建模競賽中的常用方法。在數(shù)學次分析法主要用于解決何種問題，知曉層次分析法的基本原理和步驟，然后還要能熟練使用層次分析法軟件。大家一定要完整地完成2～3個不同類型的實例，體驗層次分析法的過程與結果。下面給出本講學習大綱，以方便大家學習。8/7/20235次分析法主要用于解決何種問題，知曉層次分析法的基本原理和步驟1.層次分析法能解決何種問題？2.層次分析法的大致步驟。3.層次分析法通常將決策問題分為哪幾個層次，各層次間關系如何？4.如何構造判斷矩陣？5.判斷矩陣的一致性問題。6.何謂單準則下的排序？7.如何理解求相對權重的特征根法，8/7/202361.層次分析法能解決何種問題？7/31/20236其理論依據(jù)是什么？8.如何進行一致性檢驗，如何理解一致性指標CI、平均隨機一致性指標RI、一致性比例CR？9.何謂層次總排序？10.層次總排序的步驟和原理。11.如何進行層次總排序的一致性檢驗？8/7/20237其理論依據(jù)是什么？7/31/2023712.當一致性檢驗未通過時，如何對判斷矩陣進行調(diào)整？13.層次分析法的缺陷及解決辦法。14.層次分析法軟件的使用。15.層次分析法建模實例。8/7/2023812.當一致性檢驗未通過時，如何對判斷矩陣進行調(diào)整？7/3人們在日?；顒又?，常常會面對一些決策問題。例如，大學生選擇職業(yè)時，往往會從專業(yè)對口、發(fā)展?jié)摿Α⒋鍪杖氲榷喾矫婵紤]和決策。許多決策問題是一個由相互關聯(lián)、相互制約的眾多因素構成的復雜系統(tǒng)，很難用通常的數(shù)學模型解決。例如，在一群人中挑個子最高的8/7/20239人們在日?；顒又?，常常會面對一些決策問題。例很容易辦到，選最胖者也不難，但要挑選一個最高、最胖且最帥的人就不容易了。此類決策問題的困難主要在于:(1)有的指標不易量化;(2)有些指標相互關聯(lián)，甚至相互矛盾，導致決策復雜化。8/7/202310很容易辦到，選最胖者也不難，但要挑選一個最高、最胖且最帥的人層次分析法(AHP)是美國運籌學家Lsaaty在20世紀70年代初提出的一種定性分析與定量分析相結合的多準則決策方法，簡單、實用，特別適用于人的定性判斷起重要作用，對決策結果難于直接準確計量的問題。8/7/202311層次分析法(AHP)是美國運籌學家Lsaat二、層次分析法的原理與步驟8/7/202312二、層次分析法的原理與步驟7/31/202312層次分析法的基本思路與人們對復雜問題的決策過程大體一致。當決策者在對問題進行分析時，首先要對分析對象的因素建立起彼此相關的層次遞階結構，這種層次遞階結構可以清晰地反映出諸相關因素(目標、準則、對象)的彼此關系，使得決策者能夠把復雜的問題理順，然后用一定8/7/202313層次分析法的基本思路與人們對復雜問題的決策過標度將人的主觀判斷進行客觀量化，在此基礎上進行定性和定量分析。層次分析法大致可分為下面四個步驟：(1)建立遞階層次結構；(2)構造比較判斷矩陣；(3)單準則排序和一致性檢驗；(4)層次總排序和一致性檢驗。8/7/202314標度將人的主觀判斷進行客觀量化，在此基礎上進行定性和定量分析三、遞階結構層次的建立8/7/202315三、遞階結構層次的建立7/31/202315層次分析法首先要把決策問題層次化。所謂層次化就是根據(jù)問題的性質以及要達到的目標，將問題分解為不同的因素，并按各因素間的隸屬關系和關聯(lián)程度分組，形成一個不相交的層次。下面通過一個實例來說明構造層次以及層次分析法的決策過程。8/7/202316層次分析法首先要把決策問題層次化。所謂層次化

例1假設某企業(yè)領導要決定一筆資金如何使用。經(jīng)過調(diào)研，現(xiàn)有下列方案可供選擇：(1)作為獎金發(fā)給職工；(2)擴建宿舍和食堂等福利設施;(3)舉辦職工進修班；(4)建圖書館、俱樂部等；(5)引進新設備進行技術改造。8/7/202317例1假設某企業(yè)領導要決定一筆資金如何使用。從調(diào)動職工工作積極性，提高職工文化技術水平和改善職工物質文化生活條件來看，這些方案都有其合理因素。如何使得這筆資金更合理地使用，就是企業(yè)領導面臨的決策問題。

注意在建模實際問題中,如需用層次分析法，則首先要根據(jù)問題的特點建立適當?shù)膶哟巍?/7/202318從調(diào)動職工工作積極性，提高職工文化技術水平和請大家揣摩本題中構造層次結構的思路與過程。通過分析，上述方案都是為了更好地調(diào)動職工工作積極性，提高企業(yè)技術水平和改善職工物質文化條件，而最終目的是為了企業(yè)進一步發(fā)展，增強企業(yè)的競爭力。據(jù)此，可以建立下列層次結構：8/7/202319請大家揣摩本題中構造層次結構的思路與過程。7資金使用問題的層次分析結構圖8/7/2023207/31/202320也就是說，對于資金使用這個問題來說，模型結構分為三層。最高為目標層，即合理使用資金；中間為準則層，即合理使用資金的三個準則：調(diào)動職工積極性，提高企業(yè)技術水平和改善職工生活；最下一層為方案層,即可供選擇的方案。8/7/202321也就是說，對于資金使用這個問題來說，模型結構建立問題的層次結構是層次分析法中最重要的一步。通常，層次結構分為三層，最高層只有一個元素，即決策者要達到的目標；中間層為衡量目標是否達到的若干判斷準則；最低層為備選的具體方案。上一層次的元素對相鄰的下一層次的全部或部分元素起支配作用。除8/7/202322建立問題的層次結構是層次分析法中最重要的一步目標層外，每個元素至少受上一層一個元素支配；除方案層外，每個元素至少支配下一層一個元素；同一層次元素不存在支配關系。建立層次結構的關鍵是能否構造出合理的滿足一定支配關系的準則。8/7/202323目標層外，每個元素至少受上一層一個元素支配；除方案層外，每個四、比較判斷矩陣的構造8/7/202324四、比較判斷矩陣的構造7/31/202324由于在決策者心目中，各準則對目標的影響程度不同，各方案對每個準則的影響程度也不同，所以建立層次結構后的首要任務是確定各準則對目標以及各方案對每個準則的權重。層次分析法確定上述權重的方法是構造準則層和方案層的比較判斷矩陣。8/7/202325由于在決策者心目中，各準則對目標的影響程度不1.準則層比較判斷矩陣的構造下面介紹準則C1,C2,…,Cn對目標Z的權重的確定方法。在復雜問題中，準則的權重很難直接獲得且不易定量化。Saaty提出可用對準則兩兩比較的方法來確定權重，即每次取兩個準則Ci和Cj，用aij表示Ci和Cj對Z的影響之比,全部比較8/7/2023261.準則層比較判斷矩陣的構造7/31/202326結果用矩陣A=(aij)表示，稱為準則層的比較判斷矩陣。顯然，aij=1/aij，稱A為正互反矩陣。對于如何確定aij的值，Saaty提出用數(shù)字1～9及其倒數(shù)作為標度。下表中列出了1～9標度的含義：8/7/202327結果用矩陣A=(aij)表示，稱為準則層的比較判斷矩陣。7/標度含義1表示兩個元素相比，具有同樣的重要性。3表示兩個元素相比，前者比后者稍重要。5表示兩個元素相比，前者比后者明顯重要。7表示兩個元素相比，前者比后者極其重要。9表示兩個元素相比，前者比后者強烈重要。2,4,6,8表示上述相鄰判斷的中間值。若元素i和元素j的重要性之比為aij，那么元素j與元素i的重要性之比為aji=1/aij。8/7/202328標度含義1表示兩個元素相比，具有同樣的重要性。3表示兩個元素判斷矩陣的確定具有很強的主觀性。比如，在例1中，假定企業(yè)領導對于資金使用的態(tài)度是：首先是提高企業(yè)的技術水平，其次是改善職工生活條件，最后是調(diào)動職工積極性，則準則層對目標層的比較判斷矩陣可以設定為8/7/202329判斷矩陣的確定具有很強的主觀性。比如，在例1顯然，若Ci和Cj對Z的影響之比為aij，Cj和Ck對Z的影響之比為ajk,則Ci和Ck對Z的影響之比為aik，即正互反矩陣A中元素應滿足：aijajk=aik，此8/7/2023307/31/202330時稱A為一致矩陣。單憑經(jīng)驗構造出的比較判斷矩陣不一定滿足一致性，如例1中的判斷矩陣。比較判斷矩陣嚴格滿足一致性是極為困難的，層次分析法要求比較判斷矩陣按一定程度滿足一致性。8/7/202331時稱A為一致矩陣。7/31/2023312.方案層比較判斷矩陣的構造類似地可以構造出各方案對每個準則的比較判斷矩陣。例如，例1中的各方案對每個準則的比較判斷矩陣可以設為8/7/2023322.方案層比較判斷矩陣的構造7/31/2023328/7/2023337/31/202333構造出判斷矩陣后，即可對判斷矩陣進行單排序計算。在各層次排序后還要進行各層次總排序，其中還存在著判斷矩陣的一致性檢驗問題。8/7/2023347/31/202334五、單準則排序與一致性檢驗8/7/202335五、單準則排序與一致性檢驗7/31/2023351.單準則下的排序根據(jù)比較判斷矩陣確定某層各元素對上層某元素相對權重排序的過程稱為單準則下的排序。通常有各方案對某準則的權重排序和各準則對目標的權重排序。計算權重的方法有多種，比較成熟的是特征根方法。8/7/2023361.單準則下的排序7/31/202336特征根方法的理論依據(jù)是Perron定理，它保證了所得到的排序向量的正值性和唯一性。Perron定理設n階方陣A>0，為A的模最大特征值，則(1)為正特征值，且對應的特征向量為正向量；(2)對于A的任何其它特征值,8/7/202337特征根方法的理論依據(jù)是Perron定理，它保恒有；(3)為A的單特征值，因而它所對應的特征向量除相差一個常數(shù)因子外是唯一的。下面再給出兩個定理，這兩個定理分別是權重排序原理和一致性檢驗原理的理論基礎。

定理1若A為一致矩陣，則8/7/202338恒有；7/31/202338(1)A必為正互反矩陣；(2)A的任意兩行(列)成比例；(3)A的最大特征值，n為A的階，從而A的其余特征值均為零;(4)若A的最大特征值對應的特征向量為，則，即8/7/202339(1)A必為正互反矩陣；7/31/2023

定理2若A為n階正互反矩陣，則8/7/2023407/31/202340(1)；(2)A為一致矩陣。盡管上述結論的證明并不復雜，有些內(nèi)容還是考研中的常見內(nèi)容，如定理1的(2)和(3)，但絕大部分學生理解起來還是比較困難。不過這并沒有關系，因為我們只要利用這兩個定理得出排序和一致性8/7/202341(1)；7/3檢驗的方法即可。根據(jù)定理1中的結論(4)，可以得出確定排序向量的下列方法：求出比較判斷矩陣A最大特征值的特征向量W，經(jīng)歸一化后即為各準則對目標或各方案對某準則的排序權重向量?？山柚浖筇卣髦堤卣飨蛄?。8/7/202342檢驗的方法即可。7/31/2023422.比較判斷矩陣的一致性檢驗雖然構造比較判斷矩陣時，不要求具有嚴格的一致性，但一個混亂、不一致的比較判斷矩陣有可能導致決策的失誤，所以我們希望在判斷時應大體一致，從而對每一層在做單準則排序時，均需要做一致性檢驗。根據(jù)定理2，且A為一致矩8/7/2023432.比較判斷矩陣的一致性檢驗7/31/202343陣，就這意味著比n大得越多，A的不一致程度就越嚴重。因此，可以用作為衡量不一致程度的數(shù)量指標，CI稱為一致性指標。

CI其實即為除最大特征值以外的其余特征值的負平均值。8/7/202344陣，就這意味著究竟CI小到什么程度才算達到我們接受的“滿意的一致性”呢？Lsaaty按照下列方法給出了衡量是否達到“滿意的一致性”的一種數(shù)量指標：隨機構造500個n階正互反矩陣，求出其最大特征值的平均值，并計算8/7/202345究竟CI小到什么程度才算達到我們接受的“滿意

則RI可理解為n階比較判斷矩陣的平均一致性指標，稱為平均隨機一致性指標。

RI的具體數(shù)值見下表：n1234567891011RI000.580.901.121.241.321.411.451.491.518/7/202346n12顯然，當CI與RI之比較小時，可以認為A的不一致性程度很小，達到了所謂的“滿意的一致性”。稱為一致性比例。通常認為,當CR<0.1時，判斷矩陣的一致性可以接受，否則應對其適當調(diào)整。8/7/202347顯然，當CI與RI之比較小時，可以認為A的不六、層次總排序及一致性檢驗8/7/202348六、層次總排序及一致性檢驗7/31/2023481.層次總排序根據(jù)計算同一層次中所有元素對總目標的排序權重向量的過程稱為層次總排序。下面通過一個簡單的例子來說明這一過程：先將一塊石頭A分成兩大塊B1和B2，然后再分別將B1和B2各分為兩組:8/7/2023491.層次總排序7/31/202349C1,C2；C3,C4,C5。8/7/202350C1,C2；C3,C4,C5。7/31/202350顯然，第2層對最高層的排序向量為而第3層對第2層單準則下的排序為8/7/202351顯然，第2層對最高層的排序向量為7/31/2從而第3層對最高層的排序向量為8/7/202352從而第3層對最高層的排序向量為7/31/202352一般地，若k個層次中第i個層次的排序矩陣為W(i)=(Wj(i))，其中Wj(i)為第i層各元素對上一層第j個元素的排序向量，則第k層的排序向量為。8/7/202353一般地，若k個層次中第i個層次的排序矩陣為W2.層次總排序的一致性檢驗在對各層元素進行比較時，盡管每一層中所用的比較尺度基本一致，但各層之間仍可能有所差異，這種差異將隨著層次總排序的逐漸計算而累加起來。因此，需要從模型的總體上來檢驗這種差異尺度的累積是否顯著。這個檢驗過程稱為層次總排序的8/7/2023542.層次總排序的一致性檢驗7/31/202354一致性檢驗。設第k層的一致性指標為，n為第k–1層因素的個數(shù)，相應的隨機一致性指標為，為第k–1層對目標層的排序向量,定義8/7/202355一致性檢驗。7/31/202355則第k層的組合一致性比率為最下層對最高層的一致性比率為

當時，認為整個層次的比較判斷通過了一致性檢驗。8/7/202356則第k層的組合一致性比率為7/31/202356七、判斷矩陣的調(diào)整及AHP缺陷8/7/202357七、判斷矩陣的調(diào)整及AHP缺陷7/31/202357當比較判斷矩陣過于偏離一致性時，就必須對其調(diào)整。調(diào)整比較判斷矩陣的方法大致分為三類。第一類是由專家憑經(jīng)驗進行調(diào)整；第二類是構造一個完全一致的判斷矩陣，提取原始判斷矩陣與此矩陣的信息，以達到調(diào)整的目的；第三類是利用矩陣元素的變化與一致性的關系，確定影響一8/7/202358當比較判斷矩陣過于偏離一致性時，就必須對其調(diào)致性的關鍵元素并進行調(diào)整。層次分析法把決策過程中的定量和定性因素有機地結合起來，用統(tǒng)一的方法進行處理，簡單、直觀、易掌握，是一種很好的決策方法。但層次分析法也存在著應用上的局限性：(1)層次分析法主要針對方案大體確定的決策問題，即只能從原方案8/7/202359致性的關鍵元素并進行調(diào)整。7/31/202359中選優(yōu)，不能生成新的方案；(2)層次分析法的比較判斷過程較為粗糙，不太適用于精度要求較高的決策問題;(3)層次分析法在很大程度上依賴于人們的經(jīng)驗，受主觀因素的影響很大。它至多只能排除思維過程中的嚴重非一致性，卻無法排除決策者個8/7/202360中選優(yōu)，不能生成新的方案；7/31/202360人可能存在的嚴重片面性。克服上述缺陷的常用方法有：利用群組決策；將層次分析法與其它決策方法相結合，如模糊層次分析法。8/7/202361人可能存在的嚴重片面性。7/31/202361八、層次分析法軟件與練習8/7/202362八、層次分析法軟件與練習7/31/2023621.層次分析法軟件YAAHP張建華教授編制了層次分析法專用軟件YAAHP，該軟件不僅可以極為方便地構建層次、輸入比較判斷矩陣、進行一致性檢驗、計算各類排序向量、輸出所有數(shù)據(jù)，而且在一致性檢驗未通過時，還可以應用PSO算法自動調(diào)整比較判斷矩陣。8/7/2023631.層次分析法軟件YAAHP7/31/202363下面請看利用YAAHP軟件對資金使用問題進行決策的過程和詳細結果報告。8/7/202364下面請看利用YAAHP軟件對資金使用問題進行決策的過程和

例2校園火災危險性分析高校校園建筑物和人口都十分密集，群死群傷的火災事件時有發(fā)生。由于校園火災發(fā)生具有隨機性、發(fā)展過程的復雜性及資料的不完備性，在進行校園火災危險性分析時，很多因素都無法直接量化，因此采用層次分析法可將問題定量化。8/7/202365例2校園火災危險性分析7/31/20236為了確定準則層和方案層，首先按場所功能不同將校園劃分為如下區(qū)域：宿舍區(qū)、教學辦公區(qū)、實驗區(qū)、公共活動區(qū)(體育場，食堂，禮堂)、圖書館；其次可以從發(fā)生火災的可能性和火災造成后果的嚴重程度這兩方面來考慮火災的危險性，從而可按以下5個評價因子：人口密度、財產(chǎn)密8/7/202366為了確定準則層和方案層，首先按場所功能不同將度、易燃易爆物、火源情況、疏散救援，對不同場所的火災危險性進行分析。由此建立如下的層次結構：8/7/202367度、易燃易爆物、火源情況、疏散救援，對不同場所的火災危險性進8/7/2023687/31/202368通過統(tǒng)計分析，準則層對目標層的成對比較判斷矩陣為容易求得排序權重向量8/7/202369通過統(tǒng)計分析，準則層對目標層的成對比較判斷矩類似地可求出方案層對準則層各元素的成對比較判斷矩陣及相應權重向量見后表。從而可得方案層對目標層的組合權向量為8/7/2023707/31/2023708/7/2023717/31/202371層次總排序的一致性檢驗通過。由組合權重可知火災危險性排序由高到低為：實驗區(qū)、宿舍區(qū)、公共活動區(qū)、教學辦公區(qū)、圖書館。8/7/2023727/31/202372

8/7/2023737/31/202373

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8/7/2023777/31/202377練習1高考志愿選擇填報高考志愿要考慮學校聲譽、教學、科研和生活條件，又要結合本人興趣、考試成績和就業(yè)等因素。每一因素內(nèi)還含有若干子因素，如教學因素中要考慮到教師水平、教學條件等?？忌商預BCD四個志愿。試用層次分析法作出決策。8/7/202378練習1高考志愿選擇7/31/202378

練習2城市跨江交通方案選擇填報渡江跨海的方法主要有建橋梁、修隧道、輪渡三種，進行抉擇時不外乎要從效益和代價兩方面考慮，這兩方面又各有若干準則加以度量。請你試用層次分析法對沿江某個城市橫渡長江方案作出決策。8/7/202379練習2城市跨江交通方案選擇7/31/202

練習3競賽隊員的選拔在一年一度的美國MCM和全國大學生數(shù)學建模競賽活動中，任何一個參賽院校都會遇到如何選拔最優(yōu)秀的隊員和科學合理地組隊問題。這是一個最實際的，而且是首先需要解決的數(shù)學模型問題。假設有20名隊員準備參加競賽，8/7/202380練習3競賽隊員的選拔7/31/202380根據(jù)隊員的能力和水平要選出18名優(yōu)秀隊員分別組成6