遼寧省丹東市2022-2023學(xué)年高一下學(xué)期期末數(shù)學(xué)試題（含解析）

第第頁遼寧省丹東市2022-2023學(xué)年高一下學(xué)期期末數(shù)學(xué)試題（含解析）2022-2023學(xué)年遼寧省丹東市高一（下）期末數(shù)學(xué)試卷

一、選擇題：本題共8小題，每小題5分，共40分.在每小題給出的四個選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的.

1．（5分）在復(fù)平面內(nèi)，復(fù)數(shù)z＝i（1+2i）對應(yīng)的點(diǎn)位于（）

A．第一象限B．第二象限C．第三象限D(zhuǎn)．第四象限

2．（5分）cos52°cos68°﹣cos38°sin68°＝（）

A．B．C．D．

3．（5分）已知圓臺的上、下底面面積分別為36π和49π，其母線長為，則圓臺的體積為（）

A．B．C．254πD．

4．（5分）要得到的圖像，只要將的圖像（）

A．向左平移個單位長度B．向右平移個單位長度

C．向左平移π個單位長度D．向右平移π個單位長度

5．（5分）已知cos（）＝，則sin2α＝（）

A．﹣B．C．D．

6．（5分）已知直線l⊥平面α，直線m平面β，給出下列四個命題：

①α∥βl⊥m

②α⊥βl∥m；

③l∥mα⊥β；

④l⊥mα∥β．

其中正確的命題有（）個．

A．1個B．2個C．3個D．4個

7．（5分）已知函數(shù)f（x）＝cos（2x+φ），且，則（）

A．f（x）在區(qū)間上單調(diào)遞減

B．f（x）在區(qū)間上單調(diào)遞增

C．f（x）在區(qū)間上單調(diào)遞減

D．f（x）在區(qū)間上單調(diào)遞增

8．（5分）在長方體ABCD﹣A1B1C1D1中，M為AB的中點(diǎn)，AB＝4，BC＝BB1＝2，則三棱錐A1﹣BCM外接球的表面積為（）

A．56πB．52πC．48πD．44π

二、多選題：本題共4小題，每小題5分，共20分.在每小題給出的選項(xiàng)中，有多項(xiàng)符合題目要求.全部選對的得5分，部分選對的得2分，有選錯的得0分.

（多選）9．（5分）在復(fù)平面內(nèi)，z＝1﹣i，則（）

A．z的虛部為﹣iB．

C．（i2+i3）z＝﹣2D．

（多選）10．（5分）在△ABC中，角A，B，C的對邊分別為，則下列說法正確的是（）

A．當(dāng)sinB＞sinC時，B＞C

B．當(dāng)△ABC是銳角三角形時，角B的取值范圍為

C．△ABC外接圓的半徑為2

D．△ABC周長的取值范圍為

（多選）11．（5分）在菱形ABCD中，E是DC的中點(diǎn)，，則（）

A．B．C．D．

（多選）12．（5分）在正四棱柱ABCD﹣A1B1C1D1中，點(diǎn)E是A1B1的中點(diǎn)，AB＝2AA1＝2，則（）

A．△AC1E是等腰三角形

B．三棱錐A﹣B1C1E的體積為

C．B1C∥平面AC1E

D．平面AC1E截該長方體所得截面面積為3

三、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分.

13．（5分）如圖所示的圖像是的一部分，則f（x）＝．

14．（5分）已知△ABC中，角A，B，C的對邊分別為a，b，c，，則角C＝．

15．（5分）已知，且α是第三象限的角，則＝．

16．（5分）“阿基米德多面體”稱為半正多面體，是由邊數(shù)不全相同的正多邊形為面圍成的多面體，它體現(xiàn)了數(shù)學(xué)的對稱美．如圖所示，將正方體沿交于一頂點(diǎn)的三條棱的中點(diǎn)截去一個三棱錐，共可截去八個三棱錐，得到八個面為正三角形、六個面為正方形的一種半正多面體．則異面直線AB與CD所成角的余弦值為，直線AB與平面BCD所成角的正弦值為．

四、解答題：本題共6小題，共70分.解答應(yīng)寫出文字說明，證明過程或演算步驟.

17．（10分）已知向量．

（1）若，求；

（2）若與的夾角為銳角，求m的取值范圍．

18．（12分）如圖，一條河的對岸有A，B兩點(diǎn)，在這條河的一側(cè)有C，D兩個觀測點(diǎn)，分別測得∠ACB＝45°，∠BCD＝30°，∠CDA＝45°，∠BDA＝15°，CD＝48m，已知A，B，C，D在同一個水平面上，求AB的長．

19．（12分）如圖所示的多面體ABCDE中，△ABC，△ACD，△BCE是等邊三角形，平面ACD⊥平面ABC，平面BCE⊥平面ABC．

（1）求證：DE∥平面ABC；

（2）若AB＝2，求多面體ABCDE的體積．

20．（12分）在△ABC中，角A，B，C的對邊分別為a，b，c，A＝2B．

（1）求證：a＝2bcosB；

（2）若D是BC上一點(diǎn)，BD＝2DC，AD平分∠BAC，求cosB．

21．（12分）如圖（1）所示，∠ABC＝∠ACD＝90°，AB＝BC＝°，如圖（2）所示，把△ABC沿AC折起，使平面ABC⊥平面ACD，E為AD的中點(diǎn)，連接BD，BE，EC．

（1）求證：平面ABD⊥平面BCD；

（2）求二面角E﹣BC﹣D的正弦值．

22．（12分）已知函數(shù)．

（1）當(dāng)ω＝2時，求f（x）的值域；

（2）若f（x）滿足，且在區(qū)間上單調(diào)遞減，求：

（i）f（x）的最小正周期；

（ii）方程的所有根之和．

2022-2023學(xué)年遼寧省丹東市高一（下）期末數(shù)學(xué)試卷

參考答案與試題解析

一、選擇題：本題共8小題，每小題5分，共40分.在每小題給出的四個選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的.

1．（5分）在復(fù)平面內(nèi)，復(fù)數(shù)z＝i（1+2i）對應(yīng)的點(diǎn)位于（）

A．第一象限B．第二象限C．第三象限D(zhuǎn)．第四象限

【分析】按多項(xiàng)式乘法運(yùn)算法則展開，化簡為a+bi（a，b∈R）的形式，即可確定復(fù)數(shù)z所在象限．

【解答】解：∵z＝i（1+2i）＝i+2i＝﹣2+i，

∴復(fù)數(shù)z所對應(yīng)的點(diǎn)為（﹣2，1），

故選：B．

【點(diǎn)評】本題主要考查復(fù)數(shù)在坐標(biāo)系數(shù)內(nèi)復(fù)數(shù)與點(diǎn)的對應(yīng)關(guān)系．屬于基礎(chǔ)知識的考查．

2．（5分）cos52°cos68°﹣cos38°sin68°＝（）

A．B．C．D．

【分析】根據(jù)已知條件，結(jié)合三角函數(shù)的誘導(dǎo)公式，以及正弦的兩角差公式，即可求解．

【解答】解：cos52°cos68°﹣cos38°sin68°＝sin38°cos68°﹣cos38°sin68°＝．

故選：A．

【點(diǎn)評】本題主要考查正弦的兩角差公式，屬于基礎(chǔ)題．

3．（5分）已知圓臺的上、下底面面積分別為36π和49π，其母線長為，則圓臺的體積為（）

A．B．C．254πD．

【分析】求出圓臺的上、下底面半徑，結(jié)合圓臺的母線長，求得圓臺的高h(yuǎn)，代入臺體的體積公式計算即可．

【解答】解；∵圓臺的上、下底面面積分別為36π和49π，

∴圓臺的上、下底面半徑分別為6和7，圓臺的母線長為，∴圓臺的高h(yuǎn)＝＝2，

∴圓臺的體積V＝（S′+S+）h＝π×（62+72+6×7）×2＝π．

故選：A．

【點(diǎn)評】本題考查了圓臺的體積公式，臺體的體積公式是V＝（S′+S+）h的應(yīng)用，求解圓臺的高是解題的關(guān)鍵，是中檔題．

4．（5分）要得到的圖像，只要將的圖像（）

A．向左平移個單位長度B．向右平移個單位長度

C．向左平移π個單位長度D．向右平移π個單位長度

【分析】由已知選項(xiàng)結(jié)合函數(shù)圖象的平移即可判斷．

【解答】解：把y＝cos的圖象向右平移π個單位可得y＝cos（﹣）＝sin，

故選：D．

【點(diǎn)評】本題主要考查了三角函數(shù)圖象的平移，屬于基礎(chǔ)題．

5．（5分）已知cos（）＝，則sin2α＝（）

A．﹣B．C．D．

【分析】利用兩角差的余弦公式化簡已知等式可得cosα+sinα＝，兩邊平方，利用同角三角函數(shù)基本關(guān)系式，二倍角的正弦公式即可求解所求．

【解答】解：因?yàn)閏os（）＝（cosα+sinα）＝，

所以cosα+sinα＝，

兩邊平方，可得1+sin2α＝，

則sin2α＝﹣．

故選：A．

【點(diǎn)評】本題主要考查了兩角差的余弦公式，同角三角函數(shù)基本關(guān)系式，二倍角的正弦公式在三角函數(shù)求值中的應(yīng)用，考查了轉(zhuǎn)化思想，屬于基礎(chǔ)題．

6．（5分）已知直線l⊥平面α，直線m平面β，給出下列四個命題：

①α∥βl⊥m

②α⊥βl∥m；

③l∥mα⊥β；

④l⊥mα∥β．

其中正確的命題有（）個．

A．1個B．2個C．3個D．4個

【分析】由直線l⊥平面α，直線m平面β，知：α∥βl⊥βl⊥m；α⊥βl∥m或l與m異面；l∥mm⊥αα⊥β；l⊥mα，β相交或平行．

【解答】解：∵直線l⊥平面α，直線m平面β，

∴①α∥βl⊥βl⊥m，故①成立；

α⊥βl∥m或l與m異面，故②不成立；

l∥mm⊥αα⊥β，故③成立；

l⊥mα，β相交或平等，故④不成立．

故選：B．

【點(diǎn)評】本題考查平面的基本性質(zhì)及其推論，是基礎(chǔ)題．解題時要認(rèn)真審題，仔細(xì)解答．

7．（5分）已知函數(shù)f（x）＝cos（2x+φ），且，則（）

A．f（x）在區(qū)間上單調(diào)遞減

B．f（x）在區(qū)間上單調(diào)遞增

C．f（x）在區(qū)間上單調(diào)遞減

D．f（x）在區(qū)間上單調(diào)遞增

【分析】由，可得φ＝2kπ﹣，k∈Z，從而得f（x）＝cos（2x﹣），再根據(jù)選項(xiàng)逐一判斷即可．

【解答】解：因?yàn)椋?/p>

即cos（+φ）﹣cos（+φ）＝cos（+φ）﹣cos[π+（+φ）]＝2cos（+φ）＝2，

所以cos（+φ）＝1，

所以+φ＝2kπ，k∈Z，

φ＝2kπ﹣，k∈Z，

所以f（x）＝cos（2x+2kπ﹣）＝cos（2x﹣），k∈Z，

對于A，當(dāng)x∈時，2x﹣∈[﹣，0]，

又因?yàn)閥＝cosx在[﹣，0]上不單調(diào)，所以A錯誤；

對于B，當(dāng)x∈時，2x﹣∈[0，]，

又因?yàn)閥＝cosx在[0，]上單調(diào)遞減，

所以f（x）在區(qū)間上單調(diào)遞減，故B錯誤；

對于C，當(dāng)x∈時，2x﹣∈[﹣，]，

又因?yàn)閥＝cosx在[﹣，]上不單調(diào)，所以C錯誤；

對于D，當(dāng)x∈時，2x﹣∈[﹣，0]，

又因?yàn)閥＝cosx在[﹣，0]上單調(diào)遞增，

所以f（x）在區(qū)間上單調(diào)遞增，故D正確．

故選：D．

【點(diǎn)評】本題考查了誘導(dǎo)公式的應(yīng)用及余弦函數(shù)的性質(zhì)，得出f（x）的解析式是關(guān)鍵，屬于中檔題．

8．（5分）在長方體ABCD﹣A1B1C1D1中，M為AB的中點(diǎn)，AB＝4，BC＝BB1＝2，則三棱錐A1﹣BCM外接球的表面積為（）

A．56πB．52πC．48πD．44π

【分析】把三棱錐A1﹣BCM補(bǔ)成直三棱柱A1MB﹣D1KC外接球的表面積，即三棱錐A1﹣BCM外接球就是直三棱柱A1MB﹣D1KC外接球，根據(jù)直棱柱的外接球的體征即可求解．

【解答】解：如圖，把三棱錐A1﹣BCM補(bǔ)成直三棱柱A1MB﹣D1KC外接球的表面積，

即三棱錐A1﹣BCM外接球就是直三棱柱A1MB﹣D1KC外接球，

在△A1MB中，A1M＝2，sin∠A1MB＝＝，

所以三角形A1MB的外接圓半徑r＝＝，

直三棱柱A1MB﹣D1KC的上下底面的外心連線的中點(diǎn)為外接球的球心，所以外接球的半徑R＝＝，

則三棱錐A1﹣BCM外接球的表面積為S＝4πR2＝44π．

故選：D．

【點(diǎn)評】本題考查多面體外接球的表面積的求法，考查數(shù)形結(jié)合的解題思想方法，是中檔題．

二、多選題：本題共4小題，每小題5分，共20分.在每小題給出的選項(xiàng)中，有多項(xiàng)符合題目要求.全部選對的得5分，部分選對的得2分，有選錯的得0分.

（多選）9．（5分）在復(fù)平面內(nèi)，z＝1﹣i，則（）

A．z的虛部為﹣iB．

C．（i2+i3）z＝﹣2D．

【分析】根據(jù)已知條件，結(jié)合虛部的定義，復(fù)數(shù)的四則運(yùn)算，復(fù)數(shù)模公式，共軛復(fù)數(shù)的定義，即可依次求解．

【解答】解：z＝1﹣i，

z的虛部為﹣1，故A錯誤；

，故B正確；

（i2+i3）z＝（﹣1﹣i）（1﹣i）＝﹣（1+i）（1﹣i）＝﹣2，故C正確；

，

|z6|＝|z|6＝，D錯誤．

故選：BC．

【點(diǎn)評】本題主要考查虛部的定義，復(fù)數(shù)的四則運(yùn)算，復(fù)數(shù)模公式，共軛復(fù)數(shù)的定義，屬于基礎(chǔ)題．

（多選）10．（5分）在△ABC中，角A，B，C的對邊分別為，則下列說法正確的是（）

A．當(dāng)sinB＞sinC時，B＞C

B．當(dāng)△ABC是銳角三角形時，角B的取值范圍為

C．△ABC外接圓的半徑為2

D．△ABC周長的取值范圍為

【分析】A中，由正弦定理可判斷出A命題的真假；B中，由銳角三角形可知B，C角的范圍，再由三角形中角的關(guān)系，可得B角的范圍；C中，由正弦定理可得外接圓的半徑的大小，判斷出C的大?。籇中，由余弦定理及均值不等式的性質(zhì)可得b+c的范圍，進(jìn)而求出三角形的周長的范圍，判斷出D的真假．

【解答】解：A中，因?yàn)閟inB＞sinC，由正弦定理可得b＞c，再由大邊對大角可知A正確；

B中，因?yàn)椤鰽BC是銳角三角形，則，解得＜B＜，即B∈（，），所以B正確；

C中，設(shè)外接圓的半徑為R，則2R＝＝＝2，所以R＝1，則C不正確；

D中，a＝，A＝60°，由余弦定理可得cosA＝，即3＝b2+c2﹣bc＝（b+c）2﹣3bc，所以（b+c）2＝3+3bc≤3+3（）2，

可得b+c≤2，三角形中，b+c＞a＝，

所以b+c∈（，2]，

所以三角形的周長∈（2，3]，故D正確．

故選：ABD．

【點(diǎn)評】本題考查正弦定理，余弦定理的應(yīng)用，屬于中檔題．

（多選）11．（5分）在菱形ABCD中，E是DC的中點(diǎn)，，則（）

A．B．C．D．

【分析】由向量的線性運(yùn)算和數(shù)量積運(yùn)算，即可對選項(xiàng)進(jìn)行判定．

【解答】解：選項(xiàng)A，，在菱形ABCD中，對角線互相垂直，

則，則A正確；

選項(xiàng)B，E是DC的中點(diǎn)，則＝，故B正確；

選項(xiàng)C，由＝＝及AC＝2可得：

||＝2||＝4，故C錯誤；

選項(xiàng)D，過E作EF⊥AC交AC于F，因?yàn)锳C⊥BD，所以EF⊥AC，

又E為CD中點(diǎn)，所以F為AC的四等分點(diǎn)，

由數(shù)量積的幾何意義知：＝＝＝9，故D正確．

故選：ABD．

【點(diǎn)評】本題考查向量的線性運(yùn)算和數(shù)量積運(yùn)算，屬基礎(chǔ)題．

（多選）12．（5分）在正四棱柱ABCD﹣A1B1C1D1中，點(diǎn)E是A1B1的中點(diǎn)，AB＝2AA1＝2，則（）

A．△AC1E是等腰三角形

B．三棱錐A﹣B1C1E的體積為

C．B1C∥平面AC1E

D．平面AC1E截該長方體所得截面面積為3

【分析】取AB的中點(diǎn)M，取CD中點(diǎn)N，連接CM，AN，C1N，BM，可得CM∥AN∥C1E，且AN＝CM＝C1E＝，AE∥C1N，AE＝C1N＝，在逐一判定即可．

【解答】解：如圖，取AB的中點(diǎn)M，取CD中點(diǎn)N，連接CM，AN，C1N，BM，可得CM∥AN∥C1E，且AN＝CM＝C1E＝，AE∥C1N，AE＝C1N＝，

對于A，因?yàn)锳C1＝＝3，故△AC1E不是等腰三角形，故A錯；

對于B，三棱錐A﹣B1C1E的體積為V＝AA1＝＝，故B正確；

對于C，因?yàn)槠矫鍭C1E就是平面ANC1E，易得平面CMB1∥平面ANC1E，所以B1C∥平面AC1E，故C正確；

對于D，平面AC1E截該長方體所得截面就是平行四邊形ANC1E，在三角形AEN中，AN＝EN＝，AE＝，所以AE邊上的高h(yuǎn)＝＝＝，

所以平行四邊形ANC1E的面積S＝2S△ANE＝2×＝3，故D正確．

故選：BCD．

【點(diǎn)評】本題考查了空間線面位置關(guān)系，考查了空間想象能力，屬于中檔題．

三、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分.

13．（5分）如圖所示的圖像是的一部分，則f（x）＝tan（x+）．

【分析】根據(jù)函數(shù)f（x）＝Atan（ωx+φ）的部分圖象求出T、ω和φ、A的值即可．

【解答】解：根據(jù)函數(shù)f（x）＝Atan（ωx+φ）的部分圖象知，

f（x）的最小正周期為T＝1﹣（﹣3）＝4，所以ω＝＝；

又因?yàn)棣?+φ＝+kπ，k∈Z，

解得φ＝+kπ，k∈Z，

又因?yàn)閨φ|＜，所以φ＝，

所以f（0）＝Atan＝A＝1，

所以f（x）＝tan（x+）．

故答案為：tan（x+）．

【點(diǎn)評】本題考查了正切函數(shù)的圖象與性質(zhì)的應(yīng)用問題，是基礎(chǔ)題．

14．（5分）已知△ABC中，角A，B，C的對邊分別為a，b，c，，則角C＝135°．．

【分析】由已知結(jié)合余弦定理可求cosC，進(jìn)而可求C．

【解答】解：因?yàn)椤鰽BC中，，

則cosC＝＝＝＝﹣，

由C為三角形內(nèi)角得C＝135°．

故答案為：135°．

【點(diǎn)評】本題主要考查了余弦定理在求解三角形中的應(yīng)用，屬于基礎(chǔ)題．

15．（5分）已知，且α是第三象限的角，則＝﹣6．

【分析】先求出tanα，再將根式化簡即可．

【解答】解：∵，∴，∴tanα＝3，

則＝

＝﹣＝，

α是第三象限的角，則|cosα|＝﹣cosα，

則＝＝﹣2tanα＝﹣6．

故答案為：﹣6．

【點(diǎn)評】本題考查同角函數(shù)關(guān)系，屬于基礎(chǔ)題．

16．（5分）“阿基米德多面體”稱為半正多面體，是由邊數(shù)不全相同的正多邊形為面圍成的多面體，它體現(xiàn)了數(shù)學(xué)的對稱美．如圖所示，將正方體沿交于一頂點(diǎn)的三條棱的中點(diǎn)截去一個三棱錐，共可截去八個三棱錐，得到八個面為正三角形、六個面為正方形的一種半正多面體．則異面直線AB與CD所成角的余弦值為，直線AB與平面BCD所成角的正弦值為．

【分析】設(shè)正方體棱長為2，建立空間直角坐標(biāo)系，根據(jù)異面直線所成角的向量公式和直線與平面所成角的向量公式求解即可．

【解答】解：設(shè)正方體棱長為2，根據(jù)題意，如下圖建立空間直角坐標(biāo)系：

所以A（1，0，2），B（0，1，2），C（0，2，1），D（1，2，2），

所以，，

則cos＜＞＝，

所以異面直線AB與CD所成角的余弦值為；

設(shè)平面BCD的一個法向量為，

則，令y＝1，則，

設(shè)直線AB與平面BCD所成為θ，

所以sinθ＝|cos＜＞|＝＝．

故答案為：；．

【點(diǎn)評】本題主要考查直線與直線所成的角以及直線與平面所成的角，屬于中檔題．

四、解答題：本題共6小題，共70分.解答應(yīng)寫出文字說明，證明過程或演算步驟.

17．（10分）已知向量．

（1）若，求；

（2）若與的夾角為銳角，求m的取值范圍．

【分析】（1）由模的坐標(biāo)運(yùn)算計算即可；（2）由題知且不同向共線，再計算即可．

【解答】解：（1）∵，

∴，

∴m＝﹣3，即，

∴；

（2）當(dāng)時，﹣3﹣4m＝0，∴，此時同向，

∵與的夾角為銳角，

∴且不同向共線，

即﹣3m+4＞0且，

∴且，

∴m的取值范圍為（）．

【點(diǎn)評】本題考查平面向量的坐標(biāo)運(yùn)算，屬于基礎(chǔ)題．

18．（12分）如圖，一條河的對岸有A，B兩點(diǎn)，在這條河的一側(cè)有C，D兩個觀測點(diǎn)，分別測得∠ACB＝45°，∠BCD＝30°，∠CDA＝45°，∠BDA＝15°，CD＝48m，已知A，B，C，D在同一個水平面上，求AB的長．

【分析】易得△BCD為直角三角形，可得BC的長，再在△ACD中，利用正弦定理求出AC的長，然后在△ABC中，由余弦定理，得解．

【解答】解：在△BCD中，∠BCD＝30°，∠BDC＝∠CDA+∠BDA＝45°+15°＝60°，

所以△BCD為直角三角形，

又CD＝48m，所以BC＝24m，

在△ACD中，∠CAD＝180°﹣（∠ACB+∠BCD+∠CDA）＝180°﹣（45°+30°+45°）＝60°，

由正弦定理知，，

所以AC＝＝＝16，

在△ABC中，由余弦定理知，AB2＝AC2+BC2﹣2ACBCcos∠ACB＝（16）2+（24）2﹣21624cos45°＝960，

所以AB＝＝8m．

【點(diǎn)評】本題考查解三角形，熟練掌握正弦定理，余弦定理是解題的關(guān)鍵，考查邏輯推理能力和運(yùn)算能力，屬于基礎(chǔ)題．

19．（12分）如圖所示的多面體ABCDE中，△ABC，△ACD，△BCE是等邊三角形，平面ACD⊥平面ABC，平面BCE⊥平面ABC．

（1）求證：DE∥平面ABC；

（2）若AB＝2，求多面體ABCDE的體積．

【分析】（1）分別取AC，BC的中點(diǎn)M，N，證明DM⊥平面ABC，EN⊥平面ABC，可得DM∥EN，進(jìn)一步可得四邊形DMNE是平行四邊形，則DE∥MN，再由線面平行的判定得證；

（2）連接AE，棱錐C﹣ABED的體積是三棱錐C﹣ADE與三棱錐C﹣ABE的體積之和，而三棱錐C﹣ADE與三棱錐C﹣ABE的體積之比為1：2，求出三棱錐C﹣ABE的體積，即可得到答案．

【解答】解：（1）證明：分別取AC，BC的中點(diǎn)M，N，連接DM，MN，NE，

因?yàn)槠矫鍭CD⊥平面ABC，平面ACD∩平面ABC＝AC，DM平面ACD，DM⊥AC，

所以DM⊥平面ABC，

同理可得，EN⊥平面ABC，

所以DM∥EN，

又因?yàn)镈M＝EN，

所以四邊形DMNE是平行四邊形，

則DE∥MN，且DE＝MN，

又DE平面ABC，MN平面ABC，

所以DE∥平面ABC；

（2）連接AE，棱錐C﹣ABED的體積是三棱錐C﹣ADE與三棱錐C﹣ABE的體積之和，

在等腰梯形ABED中，，

所以S△ADE：S△ABE＝1：2，

所以三棱錐C﹣ADE與三棱錐C﹣ABE的體積之比為1：2，

由（1）知，EN是三棱錐C﹣ABE的高，

因?yàn)锳B＝2，

所以，

所以三棱錐C﹣ABE的體積為，

所以棱錐C﹣ABED的體積．

【點(diǎn)評】本題考查線面平行的判定以及多面體體積的計算，考查邏輯推理能力和運(yùn)算求解能力，屬于中檔題．

20．（12分）在△ABC中，角A，B，C的對邊分別為a，b，c，A＝2B．

（1）求證：a＝2bcosB；

（2）若D是BC上一點(diǎn)，BD＝2DC，AD平分∠BAC，求cosB．

【分析】（1）結(jié)合二倍角公式與正弦定理，即可得證；

（2）設(shè)BD＝2DC＝2x，由（1）可得cosB＝，再利用余弦定理，化簡推出b＝x，代入運(yùn)算，得解．

【解答】（1）證明：因?yàn)锳＝2B，

所以sinA＝sin2B＝2sinBcosB，

由正弦定理知，，

所以a＝2bcosB．

（2）解：設(shè)BD＝2DC＝2x，則a＝BD+DC＝3x，

由（1）知，a＝2bcosB＝3x，

所以cosB＝，

因?yàn)锳D平分∠BAC，所以＝＝2，即，所以c＝2b，

由余弦定理知，cosB＝＝＝，

化簡整理得，b＝x，

所以cosB＝＝＝．

【點(diǎn)評】本題考查解三角形，熟練掌握正弦定理，余弦定理，角平分線定理是解題的關(guān)鍵，考查邏輯推理能力和運(yùn)算能力，屬于中檔題．

21．（12分）如圖（1）所示，∠ABC＝∠ACD＝90°，AB＝BC＝°，如圖（2）所示，把△ABC沿AC折起，使平面ABC⊥平面ACD，E為AD的中點(diǎn)，連接BD，BE，EC．

（1）求證：平面ABD⊥平面BCD；

（2）求二面角E﹣BC﹣D的正弦值．

【分析】（1）根據(jù)面面垂直的性質(zhì)可知CD⊥平面ABC，由此得到AB⊥CD，再結(jié)合AB⊥BC，可得AB⊥平面BCD，進(jìn)而根據(jù)面面垂直的判定得證；

（2）分別取BD，