含摩擦與碰撞的非光滑多體系統(tǒng)動力學(xué)數(shù)值算法

含摩擦與碰撞的非光滑多體系統(tǒng)動力學(xué)數(shù)值算法

1非精密約束動力學(xué)多體系統(tǒng)動力學(xué)是20世紀(jì)70年代發(fā)展起來的一門新興學(xué)科。這是關(guān)于由各種物體組成的機械系統(tǒng)的動態(tài)研究。20世紀(jì)70年代至80年代，多體系統(tǒng)動力學(xué)主要研究多剛系統(tǒng)動力學(xué)。然而,隨著研究問題的不斷深入和研究領(lǐng)域的不斷擴展,到了20世紀(jì)90年代和21世紀(jì)初,非光滑多體系統(tǒng)動力學(xué)成為該領(lǐng)域研究的熱點問題之一.非光滑多體系統(tǒng)動力學(xué)研究含有摩擦與碰撞的非理想約束變拓撲結(jié)構(gòu)的多體系統(tǒng).如步行機器人在地面上行走、航天器的空中對接、機械手抓取工件和具有非理想約束鉸鏈(考慮間隙與摩擦的滑移鉸和轉(zhuǎn)動鉸)的機械系統(tǒng)等都存在物體間的接觸與分離、滑移與黏滯等現(xiàn)象(稱為非光滑事件).由于這些非光滑事件的存在,系統(tǒng)的動力學(xué)方程不連續(xù)或分段連續(xù),給非光滑事件的判斷和動力學(xué)方程的求解帶來了新的困難.本文著重介紹近年來非光滑多體系統(tǒng)動力學(xué)數(shù)值計算方法的研究進展和發(fā)展趨勢.2非滑動函數(shù)所謂非光滑力學(xué)模型是指作用在物體上的力(包括約束力)是系統(tǒng)運動狀態(tài)變量的非光滑函數(shù),即該函數(shù)或其導(dǎo)函數(shù)是狀態(tài)變量的非連續(xù)函數(shù)或分段連續(xù)函數(shù).這里主要介紹作用在物體上的切向約束力(摩擦力)和法向約束力.2.1轉(zhuǎn)速時間對摩擦的影響摩擦是一種復(fù)雜的非線性物理現(xiàn)象.對于固體而言,摩擦產(chǎn)生于具有相對運動或相對運動趨勢的物體接觸面之間,摩擦力產(chǎn)生的機理以及摩擦對系統(tǒng)動力學(xué)行為影響的研究已有幾百年的歷史,目前建立的摩擦模型已經(jīng)有幾十種,如庫侖摩擦、黏性摩擦(摩擦力的大小與相對速度有關(guān)且相對速度為0時摩擦力也為0)、Stribeck摩擦(摩擦力的大小與相對速度有關(guān)且在速度較低的范圍時摩擦力隨相對速度的增大而減小)等,各有其自身特點和適用范圍2.1.1克林滑動、傾斜摩擦模型當(dāng)兩個物體接觸點的相對速度不為0時,即v其中μ,F2.1.2克林靜滑摩擦模型當(dāng)兩個物體接觸點的相對速度和相對切向加速度均為0時,即v其中μ2.1.3庫侖及其運動狀態(tài)以往庫侖動滑動摩擦模型和靜滑動摩擦模型是分別表示的,如式(1)和式(2).當(dāng)物體接觸點從slip狀態(tài)到stick狀態(tài)或從stick狀態(tài)到slip狀態(tài)轉(zhuǎn)換時,該式不易描述摩擦力與運動狀態(tài)的關(guān)系.隨著現(xiàn)代非光滑動力學(xué)的發(fā)展其中a將式(4)帶入式(3),庫侖摩擦模型可表示成式(5)給出了摩擦力與物體接觸點stick-slip運動狀態(tài)的關(guān)系.該式是關(guān)于接觸點相對速度的分段連續(xù)函數(shù),且在相對速度等于0時,不是單值函數(shù),而是多值函數(shù),此時,摩擦力的取值是一個范圍,如圖1所示.含庫侖摩擦的力學(xué)系統(tǒng)的微分方程是微分包含2.1.4基于分段線性函數(shù)的修正為了避免庫侖摩擦力與相對切向加速度的耦合給數(shù)值計算帶來的困難,一些文獻給出了幾種庫侖摩擦模型的修正方案,這里只列出兩種.一種是用非線性函數(shù)對庫侖摩擦模型進行修正,可用下面的關(guān)系式表示其中v另一種是用分段線性函數(shù)對庫侖摩擦模型進行修正,其關(guān)系式為其中c其中v由式(7)可以看出,修正的庫侖摩擦模型僅與相對速度有關(guān),而與相對切向加速度無關(guān),且當(dāng)相對速度為0時,摩擦力的大小也為0.當(dāng)所研究的系統(tǒng)無stick-slip運動狀態(tài)的切換時,摩擦模型可近似地用修正的庫侖摩擦模型來代替,用該模型可避免數(shù)值計算方面的困難.但是修正的庫侖摩擦模型不能反映摩擦的靜態(tài)特性,當(dāng)所研究的系統(tǒng)有stick-slip運動狀態(tài)的切換時,摩擦模型就不能用修正的庫侖摩擦模型.劉麗蘭等2.2兩種力學(xué)模型法向約束力的計算多體系統(tǒng)中物體間的法向約束力通常有兩種力學(xué)模型,一種是剛體模型,另一種是局部柔性體模型.其法向約束力的計算方法也各有不同,下面給予分別介紹.2.2.1約束作用的考察對于具有雙邊約束的多體系統(tǒng),若其約束方程為其中Φ∈R其中Q對于單邊約束的多體系統(tǒng),取潛在的接觸點P根據(jù)以上的分析可以發(fā)現(xiàn)g當(dāng)約束面對潛在的接觸點產(chǎn)生約束作用時,必有g(shù)其中W2.2.2方向約束力的大小局部柔性化模型是考慮物體的接觸點附近的局部變形,將方向約束力的大小表示成局部變形量δ以及其中,K是與接觸物體材料的性質(zhì)和幾何尺寸有關(guān)的常量,α是與材料性質(zhì)有關(guān)的常數(shù),D是與材料性質(zhì)、變形量δ和初始碰撞速度3擦的多體系統(tǒng)動力學(xué)方程的數(shù)值計算方法目前主要采用第一類Lagrange方程建立多體系統(tǒng)的動力學(xué)方程.對于考慮接觸、碰撞與摩擦的多體系統(tǒng)動力學(xué)方程的數(shù)值計算方法,大致可分為兩種:一種是基于連續(xù)模型的數(shù)值計算方法,另一種是基于非連續(xù)模型的數(shù)值計算方法,后者也稱為非光滑動力學(xué)方法(non-smoothdynamicalmethod).下面分別介紹這兩種數(shù)值計算方法的特點和研究進展.3.1基于廣義質(zhì)量矩陣的求解對于一個多體系統(tǒng),將具有間隙且考慮摩擦與碰撞的轉(zhuǎn)動鉸和滑移鉸(稱為非理想約束鉸鏈)的約束解除,系統(tǒng)的廣義坐標(biāo)列向量為q.這些非理想約束鉸鏈的法向力用式(12)表示,它是廣義坐標(biāo)和廣義速度的單值連續(xù)函數(shù);摩擦力采用修正的庫侖摩擦模型式(6)或式(7),則摩擦力也可表示成廣義坐標(biāo)和廣義速度的單值連續(xù)函數(shù).設(shè)多體系統(tǒng)受到的雙邊理想約束的約束方程為Φ(q,t)=0,則應(yīng)用第一類Lagrange方程,該系統(tǒng)的動力學(xué)方程可寫成其中,M為系統(tǒng)的廣義質(zhì)量矩陣,G中包含了非理想約束鉸鏈的法向接觸力和切向摩擦力的廣義力.該方程是微分-代數(shù)方程組,由于G只與系統(tǒng)的廣義坐標(biāo)q、廣義速度另一種求解方程(13)的方法是采用Baumgarte約束穩(wěn)定化方法建立系統(tǒng)的動力學(xué)方程.其動力學(xué)方程可表示成同理,由于方程(14)等號右端僅與系統(tǒng)的狀態(tài)變量和時間t有關(guān),因此可用常微分方程的數(shù)值計算方法求解該方程組.由于接觸點附近的局部變形量δ與物體的大位移相比是一個非常小的量,因此在數(shù)值計算時積分步長h通常取得較小(h=10值得指出的是,修正的庫侖摩擦模型(連續(xù)化模型)僅適用于摩擦靜態(tài)特性可以忽略不計的多體系統(tǒng).對于需要考慮摩擦靜態(tài)特點的非光滑多體系統(tǒng),由于系統(tǒng)在運動過程中存在stick-slip運動狀態(tài)的切換,因此摩擦模型應(yīng)采用能反映其動態(tài)和靜態(tài)摩擦特性的力學(xué)模型,如式(5)所示的庫侖摩擦模型.由于在該庫侖摩擦模型中,摩擦力與物體接觸點的相對速度和加速度有關(guān),這時,式(13)或式(14)中的廣義力含有廣義加速度(是關(guān)于廣義加速度的多值函數(shù)),不易通過數(shù)值積分方法直接求解其動力學(xué)方程.3.2基于接觸與分離的非滑動多體系統(tǒng)動力學(xué)方程所謂非連續(xù)模型是指多體系統(tǒng)動力學(xué)方程是不連續(xù)的或是分段連續(xù)的.導(dǎo)致不連續(xù)的原因有兩個方面:一是由于碰撞導(dǎo)致碰撞點的速度發(fā)生突變(系統(tǒng)的廣義速度不連續(xù));另一個是由于摩擦力的非光滑性,如兩物體接觸點的相對速度方向改變或stick-slip運動狀態(tài)切換導(dǎo)致的摩擦力大小或方向發(fā)生突變(系統(tǒng)廣義力不連續(xù)).當(dāng)多體系統(tǒng)的運動受到單邊約束時,不僅會產(chǎn)生碰撞,同時還存在接觸與分離的切換,有效地通過數(shù)值方法判斷系統(tǒng)在運動過程中的接觸與分離和黏滯與滑移等運動狀態(tài)的切換是非光滑多體系統(tǒng)動力學(xué)方程數(shù)值求解的重要內(nèi)容之一.設(shè)多體系統(tǒng)中潛在的接觸點的個數(shù)為n其中其中等號右端的第2項為法向約束力的廣義力,第3項為切向摩擦力的廣義力.非光滑多體系統(tǒng)動力學(xué)方程求解的難點主要是非光滑事件(接觸與分離、黏滯與滑移)的判斷.當(dāng)非光滑事件個數(shù)少時,可以用試算法進行判斷3.2.1力-加速度耦合法事件驅(qū)動法是多體系統(tǒng)動力學(xué)非光滑事件判斷的方法之一,主要用于判斷接觸點的stick-slip狀態(tài)的轉(zhuǎn)換以及接觸點是否分離(detachment).該方法在力-加速度層面表述了系統(tǒng)的法向接觸定律、切向庫侖摩擦定律和動力學(xué)方程.3.2.1.1.法律限制的接觸法根據(jù)單邊約束的性質(zhì),當(dāng)g這表明,式(17)中的式中的其中W3.2.1.考慮摩擦的速度曲線當(dāng)兩個物體保持接觸時,有g(shù)當(dāng)兩物體保持接觸且相對速度為0時,即g上式中的第一式表明接觸點處于stick狀態(tài),后兩式表明接觸點從stick狀態(tài)轉(zhuǎn)換到slip狀態(tài),或仍然處于slip狀態(tài)(只是相對切向加速度的方向發(fā)生改變).為便于判斷stick-slip狀態(tài)的轉(zhuǎn)換,定義接觸點的正向與負向相對切向加速度,并引入正向與負向摩擦余量(frictionsaturation)的概念正向與負向相對切向加速度定義為上面兩式相減并寫成向量形式相對切向速度為0時接觸點的相對切向加速度可表示為正向與負向摩擦余量定義如下其中λ將式(26)和式(27)用矩陣形式表示其中將互補關(guān)系式(28)和式(29)用向量形式表示為再將多體系統(tǒng)的動力學(xué)方程進一步表示成其中等式右端的第2項為法向約束力的廣義力、第3項為動滑動摩擦力應(yīng)用動力學(xué)方程(35)以及式(19),(24),(25)和(32),可將stick-slip轉(zhuǎn)換的判斷以及detachment的判斷轉(zhuǎn)換成下列線性互補問題的求解其中uf8eeuf8f9uf8eeuf8f9利用線性互補的數(shù)值計算方法,求解出λ事件驅(qū)動法可以有效地判斷接觸點stick-slip狀態(tài)的轉(zhuǎn)換和接觸點是否分離,但不能判斷物體是否發(fā)生接觸.因為接觸時物體間通常發(fā)生碰撞,速度發(fā)生突變,不易從力-加速度層面研究碰撞問題.Flores等韓繼業(yè)等事件驅(qū)動法存在約束漂移問題(即約束違約)3.2.2接觸-分離—時間步進法(time-steppingmethod)時間步進法是在沖量-速度層面建立系統(tǒng)的動力學(xué)方程和采用相應(yīng)的數(shù)值計算方法其中,?t為積分步長,下標(biāo)A和E分別為該積分步長的初始點和終止點(t法向沖量與法向速度具有互補關(guān)系其中ξ其中μ為接觸點摩擦因數(shù)的對角矩陣(設(shè)動摩擦因數(shù)和靜摩擦因數(shù)相等),與之相應(yīng)的相對切向速度定義為其中ξ用該互補關(guān)系可判斷stick-slip的轉(zhuǎn)換.將接觸-分離、stick-slip運動狀態(tài)的判斷轉(zhuǎn)化成下面線性互補方程的求解其中uf8eeuf8f9uf8eeuf8f9每積分一步,需計算求解一次式(44)所描述的線性互補問題.該方法既可以判斷潛在接觸點的接觸與分離,也可判斷接觸點的stick-slip運動狀態(tài)的轉(zhuǎn)換.其不足之處是接觸點的動、靜摩擦因數(shù)要取相同的值,這與庫侖摩擦模型有一定的差別(通常靜摩擦因數(shù)大于動摩擦因數(shù)).該方法同樣也存在約束違約問題(即約束漂移問題)段文杰等Acary等3.2.3c為接觸問題的動力學(xué)方程董富祥等當(dāng)物體間有接觸和碰撞時,系統(tǒng)的動力學(xué)方程為其中C為物體接觸處的法向約束對應(yīng)的雅可比矩陣,λArczewski等當(dāng)系統(tǒng)只有動滑動摩擦(相對速度不為0)時,其動力學(xué)方程為其中,Q若λ趙振等Leonesio等4其他研究的進一步研究內(nèi)容本文簡要介紹了由于考慮摩擦與碰撞導(dǎo)致多體系統(tǒng)動力學(xué)方程不連續(xù)而帶來的數(shù)值計算方面的問題以及近年來非光滑多體系統(tǒng)動力學(xué)數(shù)值算法的研究成果.本文著重介紹了庫侖摩擦模型與修正的庫侖摩擦模型的特點、單-雙邊約束法向接觸力的特點和非光滑多體系統(tǒng)動力學(xué)方程的特點;較詳細地介紹了基于連續(xù)模型和非連續(xù)模型多體系統(tǒng)動力學(xué)的數(shù)值計算方法,著重介紹了基于互補概念的非光滑多體系統(tǒng)動力學(xué)的事件驅(qū)動法和時間步進法;簡要介紹了其他相關(guān)的數(shù)值計算方法;分析并比較了各種模型和數(shù)值方法的特點.在此基礎(chǔ)上,作者認(rèn)為,今后可以進一步研究的內(nèi)容有:(1)提高非光滑多體系統(tǒng)動力學(xué)方程數(shù)值算法的計算精度和速度.對于光滑的多體系統(tǒng),可用隱式數(shù)值計算方法提高動力學(xué)方程數(shù)值求解的精度;而對于非光滑多體系統(tǒng),由于動力學(xué)方程不連續(xù),約束力發(fā)生突變,會給數(shù)值計算帶來一定的困難.當(dāng)摩擦力的廣義力可以表示成Lagrange乘子(法向約束力)的線性函數(shù)時,動力學(xué)方程是廣義加速度和Lagrange乘子的線性代數(shù)方程,可用線性代數(shù)方程數(shù)值求解方法或線性互補算法求解出Lagrange乘子,然后用隱式數(shù)值計算方法求解系統(tǒng)的動力學(xué)方程.但是當(dāng)摩擦力的廣義力表示成Lagrange乘子的非線性函數(shù)時,動力學(xué)方程是關(guān)于廣義加速度和Lagrange乘子的不連續(xù)的非線性代數(shù)方程,在非光滑事件判斷和隱式數(shù)值計算方面均還存在一定的困難.(2)考慮二維摩擦或面摩擦和線碰撞或面碰撞的非光滑多體系統(tǒng)動力學(xué)的數(shù)值算法研究.目前多數(shù)研究成果涉及的是一維摩擦或點摩擦和點碰撞的非光滑