三重積分習(xí)題課課件

三重積分的輪換對(duì)稱性:1.(兩字母輪換)

如果將x,y換為y,x積分域不變,則2.(三字母輪換)

如果將x,y,z換為y,z,x積分域不變,則3.(三字母輪換)

如果將x,y,z換為y,z,x積分域不變;當(dāng)被積函數(shù)f(x,y,z)中x,y,z依次輪換，函數(shù)的形式不變;而f=f1+f2+f3,且x,y,z依次輪換時(shí)，f1，f2，f3依次輪換，則三重積分的輪換對(duì)稱性:1.(兩字母輪換)如果將x,y換為y其中為球面x2+y2+z2=1所圍成的區(qū)域.例其中為球面x2+y2+z2=1所圍成的區(qū)域.例例計(jì)算三重積分其中：0x1，0y1，0z1解錯(cuò)解解正確做法分析

積分區(qū)域和被積函數(shù)都具有輪換對(duì)稱性?例計(jì)算三重積分其中：0x1，0y1，0zxzyoxyo1....xzyoxyo1....三重積分習(xí)題課重點(diǎn)：1.計(jì)算；2.應(yīng)用

三重積分習(xí)題課重點(diǎn)：1.計(jì)算；2.應(yīng)用上邊界曲面（上頂）下邊界曲面（下底）xOy坐標(biāo)面上的投影區(qū)域一、利用直角坐標(biāo)系計(jì)算三重積分

“先一后二”（一）先投影，再確定上、下面上邊界曲面（上頂）下邊界曲面（下底）xOy坐標(biāo)面上的投影區(qū)

x0z

yc1c2

.“先二后一”zDz

（二）截面法[c1,c2]:

向z軸的投影區(qū)間

Dz:

過z[c1,c2]且垂于z軸的平面截得到的截面

x0zyc1c2.“先二后一”zDz（二）截面法[c0xz

yM(x,y,z)M(r,

,z)zrP(x,y,0)xyz柱面坐標(biāo)M(x,y,

z)

M(r,

,

z)

z=z..

二、利用柱面坐標(biāo)計(jì)算三重積分0xzyM(x,y,z)zrP(x,y,0)xyzxz

y0

drrrd

d

z底面積：rdrd

元素區(qū)域由六個(gè)坐標(biāo)面圍成：半平面

及

+d

;

半徑為r及

r+dr的圓柱面；

平面z及

z+dz；dzdV=.柱面坐標(biāo)下的體積元素.dVxzy0drrrddz底面積：rdrd元素區(qū)域0xz

yM(x,y,z)M(r,

,

)r

Pyxz.

..球面坐標(biāo)

三、利用球面坐標(biāo)計(jì)算三重積分0xzyM(x,y,z)rPyxz...球面坐標(biāo)r

drd

xz

y0

d

rd

元素區(qū)域由六個(gè)坐標(biāo)面圍成：rsin

d

球面坐標(biāo)下的體積元素.半平面

及

+d

；

半徑為r及r+dr的球面；圓錐面

及

+d

r2sin

drd

d

dVdV=rdrdxzy0drd元素區(qū)域由六個(gè)坐標(biāo)面圍成(一)平面區(qū)域的面積設(shè)有平面區(qū)域D,(二)體積

設(shè)曲面方程為則D上的曲頂柱體體積為:則其面積為:占有空間有界域

的立體的體積為:重積分在幾何上的應(yīng)用(一)平面區(qū)域的面積設(shè)有平面區(qū)域D,(二)體積曲面S的面積元素曲面S的面積公式(三)曲面的面積曲面S的面積元素曲面S的面積公式(三)曲面的面積(1)平面薄片的質(zhì)心三、重積分在物理上的應(yīng)用(一)質(zhì)(重)心(1)平面薄片的質(zhì)心三、重積分在物理上的應(yīng)用(一)質(zhì)(重)(2)空間物體的重心

設(shè)物體占有空間域

,有連續(xù)密度函數(shù)重心(2)空間物體的重心設(shè)物體占有空間域,有連續(xù)密度函數(shù)(1)平面薄片的轉(zhuǎn)動(dòng)慣量(二)轉(zhuǎn)動(dòng)慣量(1)平面薄片的轉(zhuǎn)動(dòng)慣量(二)轉(zhuǎn)動(dòng)慣量(2)空間物體的轉(zhuǎn)動(dòng)慣量則轉(zhuǎn)動(dòng)慣量為設(shè)物體占有空間域

,有連續(xù)密度函數(shù)(2)空間物體的轉(zhuǎn)動(dòng)慣量則轉(zhuǎn)動(dòng)慣量為設(shè)物體占有空間域,有設(shè)物體占有空間區(qū)域V,體密度為區(qū)域V之外有一質(zhì)量為m的質(zhì)點(diǎn)A(a,b,c),求物體V對(duì)質(zhì)點(diǎn)A的引力.(三)引力設(shè)物體占有空間區(qū)域V,體密度為區(qū)域V之外有一質(zhì)量為m于是引力F在三個(gè)坐標(biāo)方向上的分量為其中G為萬有引力系數(shù)，于是引力F在三個(gè)坐標(biāo)方向上的分量為其中G為萬有引力系數(shù)，例1

解利用球面坐標(biāo)例題（畫圖）例1解利用球面坐標(biāo)例題（畫圖）z

0xy1化為球系下的方程r=2

cos

.M.r

z0xy1化為球系下的方程r=2cos.M.rz=0y=0x=00yx

畫圖x0z

y11DxyDxy:x=0,y=0,x+2y=1圍成1...例2：x+2y+z=1DxyI=z=0y=0x=00yx畫圖x0zy11Dxyx0z

y11Dyz...例3：x+y+z=1I=

解

直接積分困難，考慮改變積分次序x0zy11Dyz...例3：x+y+z=1I例4

解例4解例5

解例5解例6

解0y

xDxy例6解0yxDxy解例7解例7法1

先二后一法1先二后一法2法2解例8計(jì)算其中

是由拋物面

和球面

所圍成的空間閉區(qū)域.

解例8計(jì)算其中是由拋物面和球面所圍成的空間閉區(qū)域.三重積分習(xí)題課ppt課件ayxzo例9ayxzo例9xyzoDS=D

:...例10xyzoDS=D:...例10...例10

解S=...例10解S=z=0yxzo球面坐標(biāo)a...用哪種坐標(biāo)？r=a.