微分方程建模1

微分方程模

型數(shù)學(xué)建模

1.了解問題的實(shí)際背景，明確建模目的，收集掌握必要的數(shù)據(jù)資料。

2.在明確建模目的，掌握必要資料的基礎(chǔ)上，通過對(duì)資料的分析計(jì)算，找出起主要作用的因素，經(jīng)必要的精煉、簡(jiǎn)化，提出若干符合客觀實(shí)際的假設(shè)。

3.在所作假設(shè)的基礎(chǔ)上，利用適當(dāng)?shù)臄?shù)學(xué)工具去刻劃各變量之間的關(guān)系，建立相應(yīng)的數(shù)學(xué)結(jié)構(gòu)——即建立數(shù)學(xué)模型。

4.模型求解。

5.模型的分析與檢驗(yàn)。

在難以得出解析解時(shí)，也應(yīng)當(dāng)借助計(jì)算機(jī)求出數(shù)值解。

§3.0

數(shù)學(xué)建模的一般步驟實(shí)體信息(數(shù)據(jù))假設(shè)建模求解驗(yàn)證應(yīng)用§3.1微分方程的幾個(gè)簡(jiǎn)單實(shí)例

在許多實(shí)際問題中，涉及變化率時(shí)，可導(dǎo)出包含未知函數(shù)的導(dǎo)數(shù)或微分的關(guān)系式，從而用建立微分方程模型的方法來(lái)研究該問題，本節(jié)將通過一些最簡(jiǎn)單的實(shí)例來(lái)說(shuō)明微分方程建模的一般方法。在連續(xù)變量問題的研究中，微分方程是十分常用的數(shù)學(xué)工具之一。例1

（理想單擺運(yùn)動(dòng)）建立理想單擺運(yùn)動(dòng)滿足的微分方程，并得出理想單擺運(yùn)動(dòng)的周期公式。

從圖3-1中不難看出，小球所受的合力為mgsinθ，根據(jù)牛頓第二定律可得：

從而得出兩階微分方程：

（3.1）這是理想單擺應(yīng)滿足的運(yùn)動(dòng)方程

（3.1）是一個(gè)兩階非線性方程，不易求解。當(dāng)θ很小時(shí)，sinθ≈θ，此時(shí)，可考察（3.1）的近似線性方程：

（3.2）由此即可得出

（3.2）的解為:θ(t)=θ0cosωt

其中當(dāng)時(shí),θ(t)=0故有MQPmg圖3-1

（3.1）的近似方程

為了保持自然資料的合理開發(fā)與利用，人類必須保持并控制生態(tài)平衡，甚至必須控制人類自身的增長(zhǎng)。本節(jié)將建立幾個(gè)簡(jiǎn)單的單種群增長(zhǎng)模型，以簡(jiǎn)略分析一下這方面的問題。

種群的數(shù)量本應(yīng)取離散值，但由于種群數(shù)量一般較大，為建立微分方程模型，可將種群數(shù)量看作連續(xù)變量,由此引起的誤差將是十分微小的。

§3.2

Malthus模型與Logistic模型模型1

馬爾薩斯（Malthus）模型

馬爾薩斯在分析人口出生與死亡情況的資料后發(fā)現(xiàn)，人口凈增長(zhǎng)率r基本上是一常數(shù)，（r=b-d,b為出生率，d為死亡率），既：

或（3.5）

（3.6）

（3.1）的解為：其中N0=N(t0)為初始時(shí)刻t0時(shí)的種群數(shù)。

馬爾薩斯模型的一個(gè)顯著特點(diǎn)：種群數(shù)量翻一番所需的時(shí)間是固定的。令種群數(shù)量翻一番所需的時(shí)間為T，則有：故模型檢驗(yàn)

比較歷年的人口統(tǒng)計(jì)資料，可發(fā)現(xiàn)人口增長(zhǎng)的實(shí)際情況與馬爾薩斯模型的預(yù)報(bào)結(jié)果基本相符，例如，1961年世界人口數(shù)為30.6（即3.06×109），人口增長(zhǎng)率約為2%，人口數(shù)大約每35年增加一倍。檢查1700年至1961的260年人口實(shí)際數(shù)量，發(fā)現(xiàn)兩者幾乎完全一致，且按馬氏模型計(jì)算，人口數(shù)量每34.6年增加一倍，兩者也幾乎相同。模型預(yù)測(cè)假如人口數(shù)真能保持每34.6年增加一倍，那么人口數(shù)將以幾何級(jí)數(shù)的方式增長(zhǎng)。例如，到2510年，人口達(dá)2×1014個(gè)，即使海洋全部變成陸地，每人也只有9.3平方英尺的活動(dòng)范圍，而到2670年，人口達(dá)36×1015個(gè)，只好一個(gè)人站在另一人的肩上排成二層了。故馬爾薩斯模型是不完善的。幾何級(jí)數(shù)的增長(zhǎng)Malthus模型實(shí)際上只有在群體總數(shù)不太大時(shí)才合理，到總數(shù)增大時(shí)，生物群體的各成員之間由于有限的生存空間，有限的自然資源及食物等原因，就可能發(fā)生生存競(jìng)爭(zhēng)等現(xiàn)象。所以Malthus模型假設(shè)的人口凈增長(zhǎng)率不可能始終保持常數(shù)，它應(yīng)當(dāng)與人口數(shù)量有關(guān)。模型2

Logistic模型

人口凈增長(zhǎng)率應(yīng)當(dāng)與人口數(shù)量有關(guān)，即：r=r(N)

從而有：（3.7）r(N)是未知函數(shù)，但根據(jù)實(shí)際背景，它無(wú)法用擬合方法來(lái)求。為了得出一個(gè)有實(shí)際意義的模型，我們不妨采用一下工程師原則。工程師們?cè)诮?shí)際問題的數(shù)學(xué)模型時(shí)，總是采用盡可能簡(jiǎn)單的方法。r(N)最簡(jiǎn)單的形式是常數(shù)，此時(shí)得到的就是馬爾薩斯模型。對(duì)馬爾薩斯模型的最簡(jiǎn)單的改進(jìn)就是引進(jìn)一次項(xiàng)（競(jìng)爭(zhēng)項(xiàng)）對(duì)馬爾薩斯模型引入一次項(xiàng)（競(jìng)爭(zhēng)項(xiàng)），令r(N)=r-aN

此時(shí)得到微分方程：

或（3.8）

（3.8）被稱為L(zhǎng)ogistic模型或生物總數(shù)增長(zhǎng)的統(tǒng)計(jì)籌算律，是由荷蘭數(shù)學(xué)生物學(xué)家弗赫斯特（Verhulst）首先提出的。一次項(xiàng)系數(shù)是負(fù)的，因?yàn)楫?dāng)種群數(shù)量很大時(shí)，會(huì)對(duì)自身增大產(chǎn)生抑制性，故一次項(xiàng)又被稱為競(jìng)爭(zhēng)項(xiàng)。（3.8）可改寫成：

（3.9）

(3.9)式還有另一解釋，由于空間和資源都是有限的，不可能供養(yǎng)無(wú)限增長(zhǎng)的種群個(gè)體，當(dāng)種群數(shù)量過多時(shí)，由于人均資源占有率的下降及環(huán)境惡化、疾病增多等原因，出生率將降低而死亡率卻會(huì)提高。設(shè)環(huán)境能供養(yǎng)的種群數(shù)量的上界為K（近似地將K看成常數(shù)），N表示當(dāng)前的種群數(shù)量，K-N恰為環(huán)境還能供養(yǎng)的種群數(shù)量，（3.9）指出，種群增長(zhǎng)率與兩者的乘積成正比，正好符合統(tǒng)計(jì)規(guī)律，得到了實(shí)驗(yàn)結(jié)果的支持，這就是（3.9）也被稱為統(tǒng)計(jì)籌算律的原因。圖3-5對(duì)（3.9）分離變量：兩邊積分并整理得：令N(0)=N0，求得：故（3.9）的滿足初始條件N(0)=N0的解為：（3.10）易見：

N(0)=N0

，N(t)的圖形請(qǐng)看圖3.5模型檢驗(yàn)

用Logistic模型來(lái)描述種群增長(zhǎng)的規(guī)律效果如何呢？1945年克朗皮克（Crombic）做了一個(gè)人工飼養(yǎng)小谷蟲的實(shí)驗(yàn)，數(shù)學(xué)生物學(xué)家高斯（E·F·Gauss）也做了一個(gè)原生物草履蟲實(shí)驗(yàn)，實(shí)驗(yàn)結(jié)果都和Logistic曲線十分吻合。

大量實(shí)驗(yàn)資料表明用Logistic模型來(lái)描述種群的增長(zhǎng)，效果還是相當(dāng)不錯(cuò)的。例如，高斯把5只草履蟲放進(jìn)一個(gè)盛有0.5cm3營(yíng)養(yǎng)液的小試管，他發(fā)現(xiàn)，開始時(shí)草履蟲以每天230.9%的速率增長(zhǎng)，此后增長(zhǎng)速度不斷減慢，到第五天達(dá)到最大量375個(gè)，實(shí)驗(yàn)數(shù)據(jù)與r=2.309，a=0.006157，N(0)=5的Logistic曲線：

幾乎完全吻合，見圖3.6。

圖3-6Malthus模型和Logistic模型的總結(jié)

Malthus模型和Logistic模型均為對(duì)微分方程（3.7）所作的模擬近似方程。前一模型假設(shè)了種群增長(zhǎng)率r為一常數(shù)，（r被稱為該種群的內(nèi)稟增長(zhǎng)率）。后一模型則假設(shè)環(huán)境只能供養(yǎng)一定數(shù)量的種群，從而引入了一個(gè)競(jìng)爭(zhēng)項(xiàng)。

用模擬近似法建立微分方程來(lái)研究實(shí)際問題時(shí)必須對(duì)求得的解進(jìn)行檢驗(yàn)，看其是否與實(shí)際情況相符或基本相符。相符性越好則模擬得越好，否則就得找出不相符的主要原因，對(duì)模型進(jìn)行修改。

Malthus模型與Logistic模型雖然都是為了研究種群數(shù)量的增長(zhǎng)情況而建立的，但它們也可用來(lái)研究其他實(shí)際問題，只要這些實(shí)際問題的數(shù)學(xué)模型有相同的微分方程即可。例2

新產(chǎn)品的推廣

經(jīng)濟(jì)學(xué)家和社會(huì)學(xué)家一直很關(guān)心新產(chǎn)品的推銷速度問題。怎樣建立一個(gè)數(shù)學(xué)模型來(lái)描述它，并由此析出一些有用的結(jié)果以指導(dǎo)生產(chǎn)呢？以下是第二次世界大戰(zhàn)后日本家電業(yè)界建立的電飯包銷售模型。

設(shè)需求量有一個(gè)上界，并記此上界為K，記t時(shí)刻已銷售出的電飯包數(shù)量為x(t)，則尚未使用的人數(shù)大致為K－x(t)，于是由統(tǒng)計(jì)籌算律：記比例系數(shù)為k，則x(t)滿足：

此方程即Logistic模型，解為：

還有兩個(gè)奇解:

x=0和x=K

對(duì)x(t)求一階、兩階導(dǎo)數(shù)：x’(t)>0，即x(t)單調(diào)增加。令x’’(t0)=0，有當(dāng)t<t0時(shí)，x’(t)單調(diào)增加，當(dāng)t>t0時(shí)，x’(t)單調(diào)減小。在銷出量小于最大需求量的一半時(shí)，銷售速度是不斷增大的，銷出量達(dá)到最大需求量的一半時(shí)，該產(chǎn)品最為暢銷，接著銷售速度將開始下降。所以初期應(yīng)采取小批量生產(chǎn)并加以廣告宣傳；從有20%用戶到有80%用戶這段時(shí)期，應(yīng)該大批量生產(chǎn)；后期則應(yīng)適時(shí)轉(zhuǎn)產(chǎn)，這樣做可以取得較高的經(jīng)濟(jì)效果。

§3.3

藥物在體內(nèi)的分布

何為房室系統(tǒng)？在用微分方程研究實(shí)際問題時(shí)，人們常常采用一種叫“房室系統(tǒng)”的觀點(diǎn)來(lái)考察問題。根據(jù)研究對(duì)象的特征或研究的不同精度要求，我們把研究對(duì)象看成一個(gè)整體（單房室系統(tǒng)）或?qū)⑵淦史殖扇舾蓚€(gè)相互存在著某種聯(lián)系的部分（多房室系統(tǒng)）。房室具有以下特征：它由考察對(duì)象均勻分布而成，房室中考察對(duì)象的數(shù)量或濃度（密度）的變化率與外部環(huán)境有關(guān)，這種關(guān)系被稱為“交換”且交換滿足著總量守衡。在本節(jié)中，我們將用房室系統(tǒng)的方法來(lái)研究藥物在體內(nèi)的分布。在下一節(jié)中，我們將用多房室系統(tǒng)的方法來(lái)研究另一問題。交換環(huán)境內(nèi)部單房室系統(tǒng)均勻分布藥物的分解與排泄（輸出）速率通常被認(rèn)為是與藥物當(dāng)前的濃度成正比的，即：

藥物分布的單房室模型

單房室模型是最簡(jiǎn)單的模型，它假設(shè)：體內(nèi)藥物在任一時(shí)刻都是均勻分布的，設(shè)t時(shí)刻體內(nèi)藥物的總量為x(t)；系統(tǒng)處于一種動(dòng)態(tài)平衡中，即成立著關(guān)系式：

藥物的輸入規(guī)律與給藥的方式有關(guān)。下面，我們來(lái)研究一下在幾種常見的給藥方式下體內(nèi)藥體的變化規(guī)律。

機(jī)體環(huán)境藥物總量圖3-8

假設(shè)藥物均勻分布情況1

快速靜脈注射機(jī)體環(huán)境只輸出不輸入房室其解為：藥物的濃度：

與放射性物質(zhì)類似，醫(yī)學(xué)上將血漿藥物濃度衰減一半所需的時(shí)間稱為藥物的血漿半衰期：

負(fù)增長(zhǎng)率的Malthus模型

在快速靜脈注射時(shí)，總量為D的藥物在瞬間被注入體內(nèi)。設(shè)機(jī)體的體積為V，則我們可以近似地將系統(tǒng)看成初始總量為D，濃度為D/V，只輸出不輸入的房室，即系統(tǒng)可看成近似地滿足微分方程：（3.12）

情況2

恒速靜脈點(diǎn)滴機(jī)體環(huán)境恒定速率輸入房室藥物似恒速點(diǎn)滴方式進(jìn)入體內(nèi)，即:

則體內(nèi)藥物總量滿足：

（x(0)=0）

（3.13）

這是一個(gè)一階常系數(shù)線性方程，其解為：或易見：稱為穩(wěn)態(tài)血藥濃度

對(duì)于多次點(diǎn)滴，設(shè)點(diǎn)滴時(shí)間為T1，兩次點(diǎn)滴之間的間隔時(shí)間設(shè)為T2，則在第一次點(diǎn)滴結(jié)束時(shí)病人體內(nèi)的藥物濃度可由上式得出。其后T2時(shí)間內(nèi)為情況1。故：（第一次）

0≤t≤T1

T1≤t≤T1

+T2

類似可討論以后各次點(diǎn)滴時(shí)的情況，區(qū)別只在初值上的不同。第二次點(diǎn)滴起，患者體內(nèi)的初始藥物濃度不為零。情況3

口服藥或肌注y(t)x(t)K1yK1x環(huán)境機(jī)體外部藥物

口服藥或肌肉注射時(shí)，藥物的吸收方式與點(diǎn)滴時(shí)不同，藥物雖然瞬間進(jìn)入了體內(nèi)，但它一般都集中與身體的某一部位，靠其表面與肌體接觸而逐步被吸收。設(shè)藥物被吸收的速率與存量藥物的數(shù)量成正比，記比例系數(shù)為K1，即若記t時(shí)刻殘留藥物量為y(t)，則y滿足：D為口服或肌注藥物總量

因而：所以：解得：從而藥物濃度：圖3-9給出了上述三種情況下體內(nèi)血藥濃度的變化曲線。容易看出，快速靜脈注射能使血藥濃度立即達(dá)到峰值，常用于急救等緊急情況；口服、肌注與點(diǎn)滴也有一定的差異，主要表現(xiàn)在血藥濃度的峰值出現(xiàn)在不同的時(shí)刻，血藥的有效濃度保持時(shí)間也不盡相同。圖3-9

我們已求得三種常見給藥方式下的血藥濃度C(t)，當(dāng)然也容易求得血藥濃度的峰值及出現(xiàn)峰值的時(shí)間，因而，也不難根據(jù)不同疾病的治療要求找出最佳治療方案。

新藥品、新疫苗在臨床應(yīng)用前必須經(jīng)過較長(zhǎng)時(shí)間的基礎(chǔ)研究、小量試制、中間試驗(yàn)、專業(yè)機(jī)構(gòu)評(píng)審及臨床研究。當(dāng)一種新藥品、新疫苗研制出來(lái)后，研究人員必須用大量實(shí)驗(yàn)搞清它是否真的有用，如何使用才能發(fā)揮最大效用，提供給醫(yī)生治病時(shí)參考。在實(shí)驗(yàn)中研究人員要測(cè)定模型中的各種參數(shù)，搞清血藥濃度的變化規(guī)律，根據(jù)疾病的特點(diǎn)找出最佳治療方案（包括給藥方式、最佳劑量、給藥間隔時(shí)間及給藥次數(shù)等），這些研究與試驗(yàn)據(jù)估計(jì)最少也需要數(shù)年時(shí)間。在2003年春夏之交的SARS（非典）流行期內(nèi)，有些人希望醫(yī)藥部門能趕快拿出一種能治療SARS的良藥或預(yù)防SARS的有效疫苗來(lái)，但這只能是一種空想。SARS的突如其來(lái)，形成了“外行不懂、內(nèi)行陌生”的情況。國(guó)內(nèi)權(quán)威機(jī)構(gòu)一度曾認(rèn)為這是“衣原體”引起的肺炎，可以用抗生素控制和治療。但事實(shí)上，抗生素類藥物對(duì)SARS的控制與治療絲毫不起作用。以鐘南山院士為首的廣東省專家并不迷信權(quán)威，堅(jiān)持認(rèn)為SARS是病毒感染引起的肺炎，兩個(gè)月后（4月16日），世界衛(wèi)生組織正式確認(rèn)SARS是冠狀病毒的一個(gè)變種引起的非典型性肺炎（注：這種確認(rèn)并非是由權(quán)威機(jī)構(gòu)定義的，而是經(jīng)對(duì)猩猩的多次實(shí)驗(yàn)證實(shí)的）。發(fā)現(xiàn)病原體尚且如此不易，要攻克難關(guān)，找到治療、預(yù)防的辦法當(dāng)然就更困難了，企圖幾個(gè)月解決問題注定只能是一種不切實(shí)際的幻想。

上述研究是將機(jī)體看成一個(gè)均勻分布的同質(zhì)單元，故被稱單房室模型，但機(jī)體事實(shí)上并不是這樣。藥物進(jìn)入血液，通過血液循環(huán)藥物被帶到身體的各個(gè)部位，又通過交換進(jìn)入各個(gè)器官。因此，要建立更接近實(shí)際情況的數(shù)學(xué)模型就必須正視機(jī)體部位之間的差異及相互之間的關(guān)聯(lián)關(guān)系，這就需要多房室系統(tǒng)模型。IIIk12k21兩房室系統(tǒng)圖3-10

圖3-10表示的是一種常見的兩房室模型，其間的k12表示由室I滲透到室II的變化率前的系數(shù)，而k21則表示由室II返回室I的變化率前的系數(shù)，它們刻劃了兩室間的內(nèi)在聯(lián)系，其值應(yīng)當(dāng)用實(shí)驗(yàn)測(cè)定，使之盡可能地接近實(shí)際情況。

當(dāng)差異較大的部分較多時(shí)，可以類似建立多房室系統(tǒng)，即N房室系統(tǒng)hy§3.5

傳染病模型傳染病是人類的大敵，通過疾病傳播過程中若干重要因素之間的聯(lián)系建立微分方程加以討論，研究傳染病流行的規(guī)律并找出控制疾病流行的方法顯然是一件十分有意義的工作。在本節(jié)中，我們將主要用多房室系統(tǒng)的觀點(diǎn)來(lái)看待傳染病的流行，并建立起相應(yīng)的多房室模型。

醫(yī)生們發(fā)現(xiàn)，在一個(gè)民族或地區(qū)，當(dāng)某種傳染病流傳時(shí)，波及到的總?cè)藬?shù)大體上保持為一個(gè)常數(shù)。即既非所有人都會(huì)得病也非毫無(wú)規(guī)律，兩次流行（同種疾?。┑牟叭藬?shù)不會(huì)相差太大。如何解釋這一現(xiàn)象呢？試用建模方法來(lái)加以證明。

問題的提出：設(shè)某地區(qū)共有n+1人，最初時(shí)刻共有i人得病，t時(shí)刻已感染（infective）的病人數(shù)為i(t)，假定每一已感染者在單位時(shí)間內(nèi)將疾病傳播給k個(gè)人（k稱為該疾病的傳染強(qiáng)度），且設(shè)此疾病既不導(dǎo)致死亡也不會(huì)康復(fù)模型1此模型即Malthus模型，它大體上反映了傳染病流行初期的病人增長(zhǎng)情況，在醫(yī)學(xué)上有一定的參考價(jià)值，但隨著時(shí)間的推移，將越來(lái)越偏離實(shí)際情況。

已感染者與尚未感染者之間存在著明顯的區(qū)別，有必要將人群劃分成已感染者與尚未感染的易感染，對(duì)每一類中的個(gè)體則不加任何區(qū)分，來(lái)建立兩房室系統(tǒng)。

則可導(dǎo)出：故可得：

（3.15）

模型2記t時(shí)刻的病人數(shù)與易感染人數(shù)（susceptible）分別為i(t)與s(t)，初始時(shí)刻的病人數(shù)為i。根據(jù)病人不死也不會(huì)康復(fù)的假設(shè)及（競(jìng)爭(zhēng)項(xiàng)）統(tǒng)計(jì)籌算律，其中：解得：（3.17）可得：（3.16）統(tǒng)計(jì)結(jié)果顯示，(3.17)預(yù)報(bào)結(jié)果比(3.15)更接近實(shí)際情況。醫(yī)學(xué)上稱曲線為傳染病曲線，并稱最大值時(shí)刻t1為此傳染病的流行高峰。令：得：此值與傳染病的實(shí)際高峰期非常接近，可用作醫(yī)學(xué)上的預(yù)報(bào)公式。

模型2仍有不足之處，它無(wú)法解釋醫(yī)生們發(fā)現(xiàn)的現(xiàn)象，且當(dāng)時(shí)間趨與無(wú)窮時(shí)，模型預(yù)測(cè)最終所有人都得病，與實(shí)際情況不符。

為了使模型更精確，有必要再將人群細(xì)分，建立多房室系統(tǒng)infectiverecoveredsusceptiblekl

（3.18）

l稱為傳染病恢復(fù)系數(shù)求解過程如下：

對(duì)（3）式求導(dǎo)，由（1）、（2）得：解得：記：

則：將人群劃分為三類（見右圖）：易感染者、已感染者和已恢復(fù)者（recovered）。分別記t時(shí)刻的三類人數(shù)為s(t)、i(t)和r(t)，則可建立下面的三房室模型：模型3infectiverecoveredsusceptiblekl

由(1)式可得：

從而解得：積分得：（3.19）

不難驗(yàn)證，當(dāng)t→+∞時(shí)，r(t)趨向于一個(gè)常數(shù)，從而可以解釋醫(yī)生們發(fā)現(xiàn)的現(xiàn)象。

為揭示產(chǎn)生上述現(xiàn)象的原因（3.18）中的第（1）式改寫成：其中通常是一個(gè)與疾病種類有關(guān)的較大的常數(shù)。下面對(duì)

進(jìn)行討論，請(qǐng)參見右圖如果，則有，此疾病在該地區(qū)根本流行不起來(lái)。如果，則開始時(shí)，i(t)單增。但在i(t)增加的同時(shí)，伴隨地有s(t)單減。當(dāng)s(t)減少到小于等于時(shí)，i(t)開始減小，直至此疾病在該地區(qū)消失。鑒于在本模型中的作用，被醫(yī)生們稱為此疾病在該地區(qū)的閥值。的引入解釋了為什么此疾病沒有波及到該地區(qū)的所有人。圖3-14

綜上所述，模型3指出了傳染病的以下特征：（1）當(dāng)人群中有人得了某種傳染病時(shí)，此疾病并不一定流傳，僅當(dāng)易受感染的人數(shù)與超過閥值時(shí)，疾病才會(huì)流傳起來(lái)。（2）疾病并非因缺少易感染者而停止傳播，相反，是因?yàn)槿鄙賯鞑フ卟磐Ｖ箓鞑サ?，否則將導(dǎo)致所有人得病。（3）種群不可能因?yàn)槟撤N傳染病而絕滅。

模型檢驗(yàn)：

醫(yī)療機(jī)構(gòu)一般依據(jù)r(t)來(lái)統(tǒng)計(jì)疾病的波及人數(shù)，從廣義上理解，r(t)為t時(shí)刻已就醫(yī)而被隔離的人數(shù)，是康復(fù)還是死亡對(duì)模型并無(wú)影響。及：注意到：可得：（3.20）

通常情況下，傳染病波及的人數(shù)占總?cè)藬?shù)的百分比不會(huì)太大，故一般是小量。利用泰勒公式展開取前三項(xiàng)，有：

代入（3.20）得近似方程：積分得：其中：這里雙曲正切函數(shù)：而：對(duì)r(t)求導(dǎo)：（3.21）曲線

在醫(yī)學(xué)上被稱為疾病傳染曲線。圖3-14給出了（3.21）式曲線的圖形，可用醫(yī)療單位每天實(shí)際登錄數(shù)進(jìn)行比較擬合得最優(yōu)曲線。圖3-14（a）§3.7

穩(wěn)定性問題

在研究許多實(shí)際問題時(shí)，人們最為關(guān)心的也許并非系統(tǒng)與時(shí)間有關(guān)的變化狀態(tài)，而是系統(tǒng)最終的發(fā)展趨勢(shì)。例如，在研究某頻危種群時(shí)，雖然我們也想了解它當(dāng)前或今后的數(shù)量，但我們更為關(guān)心的卻是它最終是否會(huì)絕滅，用什么辦法可以拯救這一種群，使之免于絕種等等問題。要解決這類問題，需要用到微分方程或微分方程組的穩(wěn)定性理論。在下兩節(jié)，我們將研究幾個(gè)與穩(wěn)定性有關(guān)的問題。

一般的微分方程或微分方程組可以寫成：定義

稱微分方程或微分方程組

為自治系統(tǒng)或動(dòng)力系統(tǒng)。（3.28）

若方程或方程組f(x)=0有解Xo，X=Xo顯然滿足（3.28）。稱點(diǎn)Xo為微分方程或微分方程組（3.28)的平衡點(diǎn)或奇點(diǎn)。

例7

本章第2節(jié)中的Logistic模型

共有兩個(gè)平衡點(diǎn)：N=0和N=K，分別對(duì)應(yīng)微分方程的兩兩個(gè)特殊解。前者為No=0時(shí)的解而后者為No=K時(shí)的解。

當(dāng)No<K時(shí)，積分曲線N=N(t)位于N=K的下方；當(dāng)No>K時(shí)，則位于N=K的上方。從圖3-17中不難看出，若No>0，積分曲線在N軸上的投影曲線（稱為軌線）將趨于K。這說(shuō)明，平衡點(diǎn)N=0和N=K有著極大的區(qū)別。圖3-17

定義1

自治系統(tǒng)的相空間是指以（x1,…,xn）為坐標(biāo)的空間Rn。特別，當(dāng)n=2時(shí)，稱相空間為相平面?？臻gRn的點(diǎn)集{(x1,…,xn)}|xi=xi(t)滿足(3.28)，i=1,…,n}稱為系統(tǒng)的軌線，所有軌線在相空間的分布圖稱為相圖。定義2

設(shè)x0是（3.28）的平衡點(diǎn)，稱：

（1）x0是穩(wěn)定的，如果對(duì)于任意的ε>0，存在一個(gè)δ>0，只要|x(0)-x0|<δ，就有|x(t)-x0|<ε對(duì)所有的t都成立。

（2）x0是漸近穩(wěn)定的，如果它是穩(wěn)定的且。

微分方程平衡點(diǎn)的穩(wěn)定性除了幾何方法，還可以通過解析方法來(lái)討論，所用工具為以下一些定理。

（3）x0是不穩(wěn)定的，如果（1）不成立。根據(jù)這一定義，Logistic方程的平衡點(diǎn)N=K是穩(wěn)定的且為漸近穩(wěn)定的，而平衡點(diǎn)N=0則是不穩(wěn)定的。

解析方法定理1設(shè)xo是微分方程的平衡點(diǎn)：若,則xo是漸近穩(wěn)定的若,則xo是漸近不穩(wěn)定的證由泰勒公式，當(dāng)x與xo充分接近時(shí)，有：由于xo是平衡點(diǎn)，故f(xo)=0。若，則當(dāng)x<xo時(shí)必有f(x)>0，從而x單增；當(dāng)x>xo時(shí)，又有f(x)<0，從而x單減。無(wú)論在哪種情況下都有x→xo，故xo是漸進(jìn)穩(wěn)定的。的情況可類似加以討論。高階微分方程與高階微分方程組平衡點(diǎn)的穩(wěn)定性討論較為復(fù)雜，大家有興趣可參閱微分方程定性理論。為了下兩節(jié)的需要，我們簡(jiǎn)單介紹一下兩階微分方程組平衡點(diǎn)的穩(wěn)定性判別方法?？疾靸呻A微分方程組：（3.29）

令，作一坐標(biāo)平移，不妨仍用x記x’，則平衡點(diǎn)xo的穩(wěn)定性討論轉(zhuǎn)化為原點(diǎn)的穩(wěn)定性討論了。將f(x1,x2)、g(x1,x2)在原點(diǎn)展開，（3.29）又可寫成:考察（3.29）的線性近似方程組:（3.30）其中：記λ1、λ2為A的特征值則λ1、λ2是方程：det（A-λI）=λ2-(a+b)λ+(ad–

bc)=0的根令p=a+d,q=ad-bc=|A|，則，記。討論特征值與零點(diǎn)穩(wěn)定的關(guān)系（1）若△>0，可能出現(xiàn)以下情形：

①若q>0，λ1λ2>0。當(dāng)p>0時(shí)，零點(diǎn)不穩(wěn)定；當(dāng)p<0時(shí)，零點(diǎn)穩(wěn)定若q<0，λ1λ2<0

當(dāng)c1=0時(shí)，零點(diǎn)穩(wěn)定當(dāng)c1≠0時(shí),零點(diǎn)為不穩(wěn)定的鞍點(diǎn)③q=0，此時(shí)λ1=p，λ2=0，零點(diǎn)不穩(wěn)定。（2）△=0，則λ1=λ2:

λ有兩個(gè)線性無(wú)關(guān)的特征向量當(dāng)p>0時(shí)，零點(diǎn)不穩(wěn)定當(dāng)p<0時(shí)，零點(diǎn)穩(wěn)定②如果λ只有一個(gè)特征向量當(dāng)p≥0時(shí)，零點(diǎn)不穩(wěn)定當(dāng)p>0時(shí)，零點(diǎn)穩(wěn)定（2）△<0，此時(shí)若a>0，零點(diǎn)穩(wěn)定若a=0，有零點(diǎn)為中心的周期解

綜上所述：僅當(dāng)p<0且q>0時(shí)，（3.30）零點(diǎn)才是漸近穩(wěn)定的；當(dāng)p=0且q>0時(shí)（3.30）有周期解，零點(diǎn)是穩(wěn)定的中心（非漸近穩(wěn)定）；在其他情況下，零點(diǎn)均為不穩(wěn)定的。非線性方程組（3.29）平衡點(diǎn)穩(wěn)定性討論可以證明有下面定理成立:定理2若（3.30）的零點(diǎn)是漸近穩(wěn)定的，則（3.29）的平衡點(diǎn)也是漸近穩(wěn)定的；若（3.30）的零點(diǎn)是不穩(wěn)定的，則（3.29）的平衡點(diǎn)也是不穩(wěn)定的?！?.8

捕食系統(tǒng)的Volterra方程問題背景：

意大利生物學(xué)家D’Ancona曾致力于魚類種群相互制約關(guān)系的研究，在研究過程中他無(wú)意中發(fā)現(xiàn)了一些第一次世界大戰(zhàn)期間地中海沿岸港口捕獲的幾種魚類占捕獲總量百分比的資料，從這些資料中他發(fā)現(xiàn)各種軟骨掠肉魚，如鯊魚、鰩魚等我們稱之為捕食者（或食肉魚）的一些不是很理想的魚類占總漁獲量的百分比。在1914~1923年期間，意大利阜姆港收購(gòu)的魚中食肉魚所占的比例有明顯的增加：年代19141915191619171918百分比11.921.422.121.236.4年代19191920192119221923百分比27.316.015.914.810.7他知道，捕獲的各種魚的比例近似地反映了地中海里各種魚類的比例。戰(zhàn)爭(zhēng)期間捕魚量大幅下降，但捕獲量的下降為什么會(huì)導(dǎo)致鯊魚、鰩魚等食肉魚比例的上升，即對(duì)捕食者有利而不是對(duì)食餌有利呢？他百思不得其解，無(wú)法解釋這一現(xiàn)象，就去求教當(dāng)時(shí)著名的意大利數(shù)學(xué)家V.Volterra，希望他能建立一個(gè)數(shù)學(xué)模型研究這一問題。

Volterra將魚劃分為兩類。一類為食用魚（食餌），數(shù)量記為x1(t)，另一類為食肉魚（捕食者），數(shù)量記為x2(t)，并建立雙房室系統(tǒng)模型。1、模型建立大海中有食用魚生存的足夠資源，可假設(shè)食用魚獨(dú)立生存將按增長(zhǎng)率為r1的指數(shù)律增長(zhǎng)（Malthus模型），既設(shè)：由于捕食者的存在，食用魚數(shù)量因而減少，設(shè)減少的速率與兩者數(shù)量的乘積成正比（競(jìng)爭(zhēng)項(xiàng)的統(tǒng)計(jì)籌算律），即：對(duì)于食餌（Prey）系統(tǒng)：λ1反映了捕食者掠取食餌的能力對(duì)于捕食者（Predator）系統(tǒng)：捕食者設(shè)其離開食餌獨(dú)立存在時(shí)的死亡率為r2，即：但食餌提供了食物，使生命得以延續(xù)。這一結(jié)果也要通過競(jìng)爭(zhēng)來(lái)實(shí)現(xiàn)，再次利用統(tǒng)計(jì)籌算律，得到：綜合以上分析，建立P-P模型（Volterra方程）的方程組：（3.31）方程組（3.31）反映了在沒有人工捕獲的自然環(huán)境中食餌與捕食者之間的相互制約關(guān)系。下面我們來(lái)分析該方程組。2、模型分析方程組（3.31）是非線性的，不易直接求解。容易看出，該方程組共有兩個(gè)平衡點(diǎn)，即：Po(0,0)是平凡平衡點(diǎn)且明顯是不穩(wěn)定，沒必要研究方程組還有兩組平凡解：和和所以x1、x2軸是方程組的兩條相軌線。當(dāng)x1(0)、x2(0)均不為零時(shí)，，應(yīng)有x1(t)>0且x2(t)>0，相應(yīng)的相軌線應(yīng)保持在第一象限中。求（3.31）的相軌線將兩方程相除消去時(shí)間t，得：分離變量并兩邊積分得軌線方程：（3.32）令兩者應(yīng)具有類似的性質(zhì)用微積分知識(shí)容易證明：有：同理：對(duì)有：圖3-20(b)圖3-20(a)與

的圖形見圖3-20易知僅當(dāng)時(shí)（3.32）才有解記：討論平衡點(diǎn)的性態(tài)。當(dāng)時(shí)，軌線退化為平衡點(diǎn)。當(dāng)時(shí)，軌線為一封閉曲線（圖3-21），即周期解。圖3-21證明具有周期解。只需證明：存在兩點(diǎn)及，<

當(dāng)<x1<

時(shí)，方程（3.32）有兩個(gè)解，當(dāng)x1=

或x1=

時(shí)，方程恰有一解，而在x1<

或x1>

時(shí)，方程無(wú)解。事實(shí)上，若，記，則由的性質(zhì)，，而，使得：。同樣根據(jù)的性質(zhì)知，當(dāng)<x1<

時(shí)。此時(shí)：由的性質(zhì)，，使成立。當(dāng)x1=

或時(shí)，，僅當(dāng)時(shí)才能成立。而當(dāng)x1<

或x1>時(shí)，由于，故無(wú)解。得證。確定閉曲線的走向用直線將第一象限劃分成四個(gè)子區(qū)域在每一子區(qū)域，與不變號(hào)，據(jù)此確定軌線的走向（圖3-22）圖3-22將Volterra方程中的第二個(gè)改寫成：將其在一個(gè)周期長(zhǎng)度為T的區(qū)間上積分，得等式左端為零，故可得：同理：平衡點(diǎn)P的兩個(gè)坐標(biāo)恰為食用魚與食肉魚在一個(gè)周期中的平均值。解釋D’Ancona發(fā)現(xiàn)的現(xiàn)象引入捕撈能力系數(shù)ε，（0<ε<1），ε表示單位時(shí)間內(nèi)捕撈起來(lái)的魚占總量的百分比。故Volterra方程應(yīng)為：平衡點(diǎn)P的位置移動(dòng)到了：由于捕撈能力系數(shù)ε的引入，食用魚的平均量有了增加，而食肉魚的平均量卻有所下降，ε越大，平衡點(diǎn)的移動(dòng)也越大。食用魚的數(shù)量反而因捕撈它而增加，真的是這樣？！

P-P模型導(dǎo)出的結(jié)果雖非絕對(duì)直理，但在一定程度上是附合客觀實(shí)際的，有著廣泛的應(yīng)用前景。例如，當(dāng)農(nóng)作物發(fā)生病蟲害時(shí)，不要隨隨便便地使用殺蟲劑，因?yàn)闅⑾x劑在殺死害蟲的同時(shí)也可能殺死這些害蟲的天敵，（害蟲與其天敵構(gòu)成一個(gè)雙種群捕食系統(tǒng)），這樣一來(lái)，使用殺蟲劑的結(jié)果會(huì)適得其反，害蟲更加猖獗了。（3）捕魚對(duì)食用魚有利而對(duì)食肉魚不利，多捕魚（當(dāng)然要在一定限度內(nèi)，如ε<r1）能使食用魚的平均數(shù)量增加而使食肉魚的平均數(shù)量減少。根據(jù)P-P模型，我們可以導(dǎo)出以下結(jié)論：（1）食用魚的平均量取決于參數(shù)r1與λ1（2）食用魚繁殖率r1的減小將導(dǎo)致食肉魚平均量的減小，食肉魚捕食能力λ1的增大也會(huì)使自己的平均量減??；反之，食肉魚死亡率r2的降低或食餌對(duì)食肉魚供養(yǎng)效率λ2的提高都將導(dǎo)致食用魚平均量的減少。§3.9

較一般的雙種群生態(tài)系統(tǒng)

Volterra的模型揭示了雙種群之間內(nèi)在的互相制約關(guān)系，成功解釋了D’Ancona發(fā)現(xiàn)的現(xiàn)象。然而，對(duì)捕食系統(tǒng)中存在周期性現(xiàn)象的結(jié)論，大多數(shù)生物學(xué)家并不完全贊同，因?yàn)楦嗟牟妒诚到y(tǒng)并沒有這種特征。

一個(gè)捕食系統(tǒng)的數(shù)學(xué)模型未必適用于另一捕食系統(tǒng)，捕食系統(tǒng)除具有共性外，往往還具有本系統(tǒng)特有的個(gè)性，反映在數(shù)學(xué)模型上也應(yīng)當(dāng)有所區(qū)別。現(xiàn)考察較為一般的雙種群系統(tǒng)。一般的雙種群系統(tǒng)

仍用x1(t)和x2(t)記t時(shí)刻的種群量（也可以是種群密度），設(shè)Ki為種群i的凈相對(duì)增長(zhǎng)率。

Ki隨種群不同而不同，同時(shí)也隨系統(tǒng)狀態(tài)的不同而不同，即Ki應(yīng)為x1、x2的函數(shù)。Ki究竟是一個(gè)怎樣的函數(shù)，我們沒有更多的信息。不妨再次采用一下工程師們的原則，采用線性化方法。這樣，得到下面的微分方程組：（3.33）不僅可以用來(lái)描述捕食系統(tǒng)。也可以用來(lái)描述相互間存在其他關(guān)系的種群系統(tǒng)。（3.33）（3.33）式的一些說(shuō)明式中a1、b2為本種群的親疏系數(shù)，a2、b1為兩種群間的交叉親疏系數(shù)。a2b1≠0時(shí)，兩種群間存在著相互影響，此時(shí)又可分為以下幾類情況：（i）a2>0，b1>0，共棲系統(tǒng)。（ii）a2<0，b1>0（或a2>0，b1<0），捕食系統(tǒng)。（iii）a2<0，b1<0，競(jìng)爭(zhēng)系統(tǒng)。（i）—（iii）構(gòu)成了生態(tài)學(xué)中三個(gè)最基本的類型，種群間較為復(fù)雜的關(guān)系可以由這三種基本關(guān)系復(fù)合而成。（3.33）是否具有周期解不同的系統(tǒng)具有不同的系數(shù)，在未得到這些系數(shù)之前先來(lái)作一個(gè)一般化的討論。首先，系統(tǒng)的平衡點(diǎn)為方程組:（3.34）的解。如果系統(tǒng)具有非平凡平衡點(diǎn)則它應(yīng)當(dāng)對(duì)應(yīng)于方程組均為平凡平衡點(diǎn)。的根解得：P存在時(shí)，P一般是穩(wěn)定平衡點(diǎn)，此時(shí)平凡平衡點(diǎn)常為不穩(wěn)定的鞍點(diǎn)。證明：記（無(wú)圈定理）若方程組（3.33）的系數(shù)滿足（i）A=a1b2－a2b1≠0

（ii）B=a1b0（a２－b2）－a０b2（a1－b１）≠０

則(3.33)不存在周期解定理3作函數(shù)，并記f(x1,x2)=x1(a0+a1x1+a2x2)，g(x1,x2)=x2(b0+b1x1+b2x2)，容易驗(yàn)證：假設(shè)結(jié)論不真，則在x1~x2平面第一象限存在（3.33）的一個(gè)圈Γ，它圍成的平面區(qū)域記為R。于是由K（x1,x2）>0且連續(xù)以及AB≠0可知，函數(shù)在第一象限中不變號(hào)且不為零，故二重積分：（3.35）但另一方面，由格林公式注意