2021-2022學年河南省信陽市谷堆中學高三數學理月考試卷含解析

2021-2022學年河南省信陽市谷堆中學高三數學理月考試卷含解析一、選擇題：本大題共10小題，每小題5分，共50分。在每小題給出的四個選項中，只有是一個符合題目要求的1.若一次函數A.

B.C.

D.參考答案：B略2.已知函數f(x)＝，則f(f())＝()A．4

B．C．－4

D．－參考答案：B3.函數的零點有 （

） A．0個 B．1個 C．2個 D．3個參考答案：B略4.一個球的球心到過球面上A、B、C三點的平面的距離等于球半徑的一半，若AB=BC=CA=3，則球的體積為參考答案：D5.（5分）設x、y是兩個實數，命題“x、y中至少有一個數大于1”成立的充分不必要條件是（

）

A．x+y=2B．x+y＞2C．x2+y2＞2D．xy＞1參考答案：B【考點】：充要條件．【分析】：先求出的必要不充分條件；利用逆否命題的真假一致，求出命題“x、y中至少有一個數大于1”成立的充分不必要條件．解：若時有x+y≤2但反之不成立，例如當x=3，y=﹣10滿足x+y≤2當不滿足所以是x+y≤2的充分不必要條件．所以x+y＞2是x、y中至少有一個數大于1成立的充分不必要條件．故選B【點評】：本題考查逆否命題的真假是相同的，注意要說明一個命題不成立，常通過舉反例．6.已知變量滿足約束條件，則的最小值為(

)

參考答案：D約束條件對應邊際及內的區(qū)域：

則略7.為了得到函數的圖像，只需將函數的圖像（

）A.橫坐標伸長為原來的兩倍，縱坐標不變，再向右平移個單位B.橫坐標伸長為原來的兩倍，縱坐標不變，再向左平移個單位C.橫坐標縮短為原來的，縱坐標不變，再向右平移個單位D.橫坐標縮短為原來的，縱坐標不變，再向左平移個單位參考答案：A【分析】由條件利用的圖像變換規(guī)律，得到結論?！驹斀狻堪押瘮档膱D像上所有點的橫坐標伸長為原來的兩倍，縱坐標不變得到函數，再將函數的圖像上所有點向右平移個單位得到函數。故選A【點睛】解決本題的關鍵在于的圖像變換規(guī)律的掌握，要靈活運用，一般分為兩種：（1）先相位變換再周期變換；（2）先周期變換再相位變換。8.已知，則下列結論中正確的是（）A．f（x）的圖象關于點對稱B．f（x）的圖象關于直線對稱C．函數f（x）在區(qū)間上單調遞增D．將f（x）的圖象向右平移個單位長度可以得到y(tǒng)=sin2x的圖象參考答案：B【考點】H6：正弦函數的對稱性．【分析】利用正弦函數的圖象和性質，函數y=Asin（ωx+φ）的圖象變換規(guī)律，逐一判斷各個選項是否正確，從而得出結論．【解答】解：由于已知，令x=，求得f（x）=，故排除A；令x=，求得f（x）=1為最大值，可得f（x）的圖象關于直線對稱，故B正確．在區(qū)間上，2x+∈[，]，故函數f（x）在區(qū)間上單調遞減，故排除C；將f（x）的圖象向右平移個單位長度可以得到y(tǒng)=sin（2x﹣+）=sin（2x﹣）的圖象，故排除D，故選：B．9.函數的圖象大致是

()參考答案：A因為，所以舍去B,D;當時，所以舍C，選A.

10.設集合，，則(

)A. B. C. D.參考答案：A二、填空題:本大題共7小題,每小題4分,共28分11.已知，則

▲

．參考答案：略12.設f(x)是定義在R上的奇函數，在上有且，則不等式的解集為_________.參考答案：

答案：

13.展開式中的系數是

．參考答案：略14.設滿足約束條件,則的最大值是

．參考答案：【知識點】簡單線性規(guī)劃．E5答案5

解析：作出不等式組表示的平面區(qū)域，如圖所示

做直線L：2x+y=0，然后把直線L向可行域平移，結合圖象可知當直線過點A時，z最大，由可得A（2，1），即當x=2，y=1時，zmax=5．

故答案為：5【思路點撥】先根據約束條件畫出可行域，再利用幾何意義求最值，z=2x+y表示直線在y軸上的截距，只需求出可行域內直線在y軸上的截距最大值即可．15.已知O為坐標原點，向量，若，則

．參考答案：

16.我國古代數學著作《九章算術》有如下問題：“今有蒲（水生植物名）生一日，長三尺；莞（植物名，俗稱水蔥、席子草）生一日，長一尺．蒲生日自半，莞生日自倍．問幾何日而長等？”意思是：今有蒲生長1日，長為3尺；莞生長1日，長為1尺．蒲的生長逐日減半，莞的生長逐日增加1倍．若蒲、莞長度相等，則所需的時間約為

日．（結果保留一位小數，參考數據：lg2≈0.30，lg3≈0.48）參考答案：2.6【考點】數列的應用．【分析】設蒲（水生植物名）的長度組成等比數列{an}，其a1=3，公比為，其前n項和為An．莞（植物名）的長度組成等比數列{bn}，其b1=1，公比為2，其前n項和為Bn．利用等比數列的前n項和公式及其對數的運算性質即可得出．【解答】解：設蒲（水生植物名）的長度組成等比數列{an}，其a1=3，公比為，其前n項和為An．莞（植物名）的長度組成等比數列{bn}，其b1=1，公比為2，其前n項和為Bn．則An=，Bn=，由題意可得：=，化為：2n+=7，解得2n=6，2n=1（舍去）．∴n==1+≈2.6．∴估計2.6日蒲、莞長度相等，故答案為：2.6．【點評】本題考查了等比數列的通項公式與求和公式，考查了推理能力與計算能力，屬于中檔題．17.中，角的對邊分別為.若，，則

.參考答案：無略三、解答題：本大題共5小題，共72分。解答應寫出文字說明，證明過程或演算步驟18.（本小題13分）電影公司隨機收集了電影的有關數據，經分類整理得到下表：電影類型第一類第二類第三類第四類第五類第六類電影部數14050300200800510好評率0.40.20.150.250.20.1好評率是指：一類電影中獲得好評的部數與該類電影的部數的比值.（Ⅰ）從電影公司收集的電影中隨機選取1部，求這部電影是獲得好評的第四類電影的概率；（Ⅱ）隨機選取1部電影，估計這部電影沒有獲得好評的概率；（Ⅲ）電影公司為增加投資回報，擬改變投資策略，這將導致不同類型電影的好評率發(fā)生變化.假設表格中只有兩類電影的好評率數據發(fā)生變化，那么哪類電影的好評率增加0.1，哪類電影的好評率減少0.1，使得獲得好評的電影總部數與樣本中的電影總部數的比值達到最大？（只需寫出結論）參考答案：（Ⅰ）由題意知，樣本中電影的總部數是140+50+300+200+800+510=2000.第四類電影中獲得好評的電影部數是200×0.25=50，故所求概率為.（Ⅱ）方法一：由題意知，樣本中獲得好評的電影部數是140×0.4+50×0.2+300×0.15+200×0.25+800×0.2+510×0.1=56+10+45+50+160+51=372.故所求概率估計為.方法二：設“隨機選取1部電影,這部電影沒有獲得好評”為事件B.沒有獲得好評的電影共有140×0.6+50×0.8+300×0.85+200×0.75+800×0.8+510×0.9=1628部.由古典概型概率公式得.（Ⅲ）增加第五類電影的好評率,減少第二類電影的好評率.

19.已知ABCD是正方形，直線AE⊥平面ABCD，且AB=AE=1，（1）求異面直線AC，DE所成的角；（2）求二面角A﹣CE﹣D的大小；（3）設P為棱DE的中點，在△ABE的內部或邊上是否存在一點H，使PH⊥平面ACE？若存在，求出點H的位置；若不存在，說明理由．參考答案：【考點】用空間向量求平面間的夾角；異面直線及其所成的角；直線與平面垂直的判定；二面角的平面角及求法．【專題】空間角；空間向量及應用．【分析】（1）建立空間直角坐標系，利用向量坐標運算求向量的夾角的余弦值，再求異面直線所成的角；（2）先求出兩個平面的法向量，再利用向量坐標運算求二面角的余弦值，可求得二面角；（3）假設在平面ABE內存在點H，設H（m，0，n），=（m，﹣，n﹣），再根據PH⊥平面ACE，確定m、n的值，根據的坐標表示確定H的位置．【解答】解：（1）建立空間直角坐標系如圖：∵AB=AE=1，四邊形ABCD為正方形，∴A（0，0，0），B（1，0，0），C（1，1，0），D（0，1，0），E（0，0，1）．=（1，1，0），=（0，﹣1，1），cos==﹣，故異面直線AC，DE所成的角為；（2）取DE的中點P，則P（0，，），連接AP，∵直線AE⊥平面ABCD，∴AE⊥CD，又四邊形ABCD為正方形，CD⊥AD，∴AP⊥平面CDE，∴為平面CDE的法向量；∵BD⊥AC，AE⊥BD，∴BD⊥平面ACE，∴為平面ACE的法向量，=（0，，），=（﹣1，1，0），cos==．故二面角A﹣CE﹣D為．（3）假設在平面ABE內存在點H，設H（m，0，n），=（m，﹣，n﹣），∵PH⊥平面ACE，AC?平面ACE，∴PH⊥AC，PH⊥AE，∴=m﹣=0?m=；=n﹣?n=，即H（，0，），∵=，H為B、E的中點．故存在點H，H為B、E的中點，滿足條件．【點評】本題考查利用向量坐標運算，求異面直線所成的角，求二面角，解決存在性問題，解題的關鍵合理建立空間直角坐標系．20.20．（本小題滿分14分）

已知數列滿足

（Ⅰ）求的值；

（Ⅱ）設，證明是等比數列；

（Ⅲ）設為的前項和，證明參考答案：本小題主要考查等比數列的定義、數列求和等基礎知識，考查運算能力、推理論證能力、綜合分析能力和解決問題的能力及分類討論的思想方法。滿分14分。

（Ⅰ）解：由，可得

又，

當

當

（Ⅱ）證明：對任意

①

②

②-①，得

所以是等比數列。

（Ⅲ）證明：，由（Ⅱ）知，當時，

故對任意

由①得

因此，

于是，

故21.設函數f（x）=4sin（ωx+）（ω＞0）的最小正周期為π，設向量=（﹣1，f（x）），=（f（﹣x），1），g（x）=．（1）求函數f（x）的遞增區(qū)間；（2）求函數g（x）在區(qū)間[，]上的最大值和最小值；（3）若x∈[0，2015π]，求滿足的實數x的個數．參考答案：【考點】三角函數中的恒等變換應用；平面向量數量積的運算．【專題】三角函數的圖像與性質；平面向量及應用．【分析】（1）由函數f（x）的最小正周期為π，求出ω值，得到函數的解析式，利用y=sinx的單調增區(qū)間，求出f（x）的單調增區(qū)間即可；（2）求出函數g（x）的解析式，結合正弦函數的圖象和性質，求出x∈[，]時，函數的值域，可得函數g（x）在區(qū)間[，]上的最大值和最小值；（3）滿足時，x=kπ，k∈Z，結合x∈[0，2015π]，可得滿足條件的實數x的個數．【解答】解：（1）∵函數f（x）=4sin（ωx+）（ω＞0）的最小正周期為π，∴ω=2，∴f（x）=4sin（2x+），由2x+∈[2kπ﹣，2kπ+]，k∈Z得：2x∈[2kπ﹣，2kπ+]，k∈Z，即x∈[kπ﹣，kπ+]，k∈Z，即函數f（x）的單調遞增區(qū)間為：[kπ﹣，kπ+]，k∈Z，（2）∵向量=（﹣1，f（x）），=（f（﹣x），1），∴g（x）==﹣f（﹣x）+f（x）=﹣4sin（﹣2x+）+4sin（2x+）=4sin2x，∵x∈[，]，∴2x∈[，]，∴4sin2x∈[2，4]，即函數g（x）在區(qū)間[，]上的最大值為4，最小值為2；（3）若，則=4sin2x=0，則2x=kπ，k∈Z，x=kπ，k∈Z，又∵x∈[0，2015π]，故k的值有2×2015+1=4031個．【點評】本題考查平面向量數量積的運算，兩角和與差的正弦函數，三角函數的周期性及其求法，正弦函數的定義域和值域的知識，考查計算能力．22.某生物技術公司研制出一種新流感疫苗，為測試該疫苗的有效性，公司選定2000個流感樣本分成三組，測試結果如下表：

A組B組C組疫苗有效疫苗無效若在全體樣本中隨機抽取個，恰好抽到B組疫苗有效的概率是。（Ⅰ）求的值；（II）現用分層抽樣的方法在全體樣本中抽取個測試結果，問應在C組抽取多少個？（III）若疫苗有效的概率小于，則認為測試沒有通過，已知，求這種新流感疫苗不能通過測試的概率。參考答案：.（I）由題意，在全體樣本中隨機抽取1個，抽到B組疫苗有效的概率是0.33，所以抽到B組疫苗有效的樣本數為200