西安交大復變函數(shù)課件511本性奇點

一、孤立奇點的概念定義

如果函數(shù)在

不解析,但在的某一去心鄰域內(nèi)處處解析,則稱為的孤立奇點.例1是函數(shù)的孤立奇點.是函數(shù)的孤立奇點.注意:

孤立奇點一定是奇點,但奇點不一定是孤立奇點.1一、孤立奇點的概念定義如果函數(shù)在不解析,但在的例2指出函數(shù)在點的奇點特性.解即在的不論怎樣小的去心鄰域內(nèi),的奇點存在,函數(shù)的奇點為總有不是孤立奇點.所以2例2指出函數(shù)在點的奇點特性.解即在的不論怎樣小的去心鄰域內(nèi)孤立奇點的分類依據(jù)在其孤立奇點的去心鄰域內(nèi)的洛朗級數(shù)的情況分為三類:1．可去奇點1．可去奇點;2．極點;3．本性奇點.如果洛朗級數(shù)中不含

的負冪項,那末孤立奇點

稱為

的可去奇點.1)定義3孤立奇點的分類依據(jù)在其孤立奇點的去心鄰域內(nèi)的洛朗級數(shù)的情況分其和函數(shù)為在解析的函數(shù).說明:(1)(2)無論在是否有定義,補充定義則函數(shù)在解析.4其和函數(shù)為在解析的函數(shù).說明:(1)(2)無論在是否有定2)可去奇點的判定(1)由定義判斷:的洛朗級數(shù)無負在如果冪項則為的可去奇點.(2)

判斷極限若極限存在且為有限值,則為的可去奇點.52)可去奇點的判定(1)由定義判斷:的洛朗級數(shù)無負在如果補充定義:時,那末在解析.例3中不含負冪項,是的可去奇點.6如果補充定義:時,那末在解析.例3中不含負冪項,是的可去奇例4說明為的可去奇點.解

所以為的可去奇點.無負冪項另解

的可去奇點.為7例4說明為的可去奇點.解所以為的可去奇點.無負冪項另解2.極點

其中關于的最高冪為即級極點.那末孤立奇點稱為函數(shù)的或?qū)懗?)定義

如果洛朗級數(shù)中只有有限多個的負冪項,82.極點其中關于的最高冪為即級極點.那末孤立奇點稱為函數(shù)說明:1.2.特點:(1)(2)的極點,則為函數(shù)如果例5有理分式函數(shù)是二級極點,是一級極點.9說明:1.2.特點:(1)(2)的極點,則為函數(shù)如果例52)極點的判定方法的負冪項為有的洛朗展開式中含有限項.在點的某去心鄰域內(nèi)其中在的鄰域內(nèi)解析,且(1)由定義判別(2)由定義的等價形式判別(3)利用極限判斷.102)極點的判定方法的負冪項為有的洛朗展開式中含有限項.在點本性奇點3.如果洛朗級數(shù)中含有無窮多個那末孤立奇點稱為的本性奇點.的負冪項,例如，含有無窮多個z的負冪項特點:在本性奇點的鄰域內(nèi)不存在且不為同時不存在.11本性奇點3.如果洛朗級數(shù)中含有無窮多個那末孤立奇點稱為的本性綜上所述:孤立奇點可去奇點m級極點本性奇點洛朗級數(shù)特點存在且為有限值不存在且不為無負冪項含無窮多個負冪項含有限個負冪項關于的最高冪為12綜上所述:孤立奇點可去奇點m級極點本性奇點洛朗級數(shù)特點存在且二、函數(shù)的零點與極點的關系1.零點的定義不恒等于零的解析函數(shù)如果能表示成其中在解析且m為某一正整數(shù),那末稱為的

m級零點.例6注意:

不恒等于零的解析函數(shù)的零點是孤立的.13二、函數(shù)的零點與極點的關系1.零點的定義不恒等于零的解析函數(shù)2.零點的判定零點的充要條件是證(必要性)由定義:設的泰勒展開式為:如果在解析,那末為的級如果為的級零點142.零點的判定零點的充要條件是證(必要性)由定義:設的其中展開式的前m項系數(shù)都為零,由泰勒級數(shù)的系數(shù)公式知:并且充分性證明略.15其中展開式的前m項系數(shù)都為零,由泰勒級數(shù)的系數(shù)公式知:并且(1)由于知是的一級零點.課堂練習是五級零點,是二級零點.知是的一級零點.解

(2)由于答案例7求以下函數(shù)的零點及級數(shù):(1)(2)的零點及級數(shù).求16(1)由于知是的一級零點.課堂練習是五級零點,是二級零點.3.零點與極點的關系證173.零點與極點的關系證171818說明此定理為判斷函數(shù)的極點提供了一個較為簡便的方法.例8函數(shù)有些什么奇點,如果是極點,指出它的級.解

函數(shù)的奇點是使的點,這些奇點是是孤立奇點.的一級極點.即19說明此定理為判斷函數(shù)的極點提供了一個較為簡便的方法.例8解

解析且所以不是二級極點,而是一級極點.是的幾級極點?思考例9問是的二級極點嗎?注意:不能以函數(shù)的表面形式作出結(jié)論.20解解析且所以不是二級極點,而是一級極點.是的幾級極點?思三、函數(shù)在無窮遠點的性態(tài)1.定義如果函數(shù)在無窮遠點的去心鄰域內(nèi)解析,則稱點為的孤立奇點.Rxyo21三、函數(shù)在無窮遠點的性態(tài)1.定義如果函數(shù)在無窮遠點的去心鄰令變換規(guī)定此變換將:映射為擴充z平面擴充t平面映射為映射為映射為22令變換規(guī)定此變換將:映射為擴充z平面擴充t平面映射為結(jié)論:

在去心鄰域內(nèi)對函數(shù)的研究在去心鄰域內(nèi)對函數(shù)的研究因為在去心鄰域內(nèi)是解析的,所以是的孤立奇點.規(guī)定:

m級奇點或本性奇點.的可去奇點、m級奇點或本性奇點,如果t=0

是是的可去奇點、那末就稱點23結(jié)論:在去心鄰域內(nèi)對函數(shù)的研究在去心鄰域內(nèi)對函數(shù)的研究因為1)不含正冪項;2)含有有限多的正冪項且為最高正冪;3)含有無窮多的正冪項;那末是的1)可去奇點;2)m級極點;3)本性奇點.判別法1(利用洛朗級數(shù)的特點)2.判別方法:在內(nèi)的洛朗級數(shù)中:如果241)不含正冪項;2)含有有限多的正冪項且為最高正冪;3)含有例10(1)函數(shù)在圓環(huán)域內(nèi)的洛朗展開式為:不含正冪項所以是的可去奇點.(2)函數(shù)含有正冪項且z為最高正冪項,所以是的m級極點.25例10(1)函數(shù)在圓環(huán)域內(nèi)的洛朗展開式為:不含正冪項所以(3)函數(shù)的展開式:含有無窮多的正冪項所以是的本性奇點.課堂練習的奇點及其類型.說出函數(shù)答案26(3)函數(shù)的展開式:含有無窮多的正冪項所以是的本性奇點.課堂判別法2:(利用極限特點)如果極限1)存在且為有限值;2)無窮大;3)不存在且不為無窮大;那末是的1)可去奇點;2)m級極點;3)本性奇點.27判別法2:(利用極限特點)如果極限1)存在且為有限值;例11函數(shù)在擴充復平面內(nèi)有些什么類型的奇點?如果是極點,指出它的級.解

函數(shù)除點外,所以這些點都是的一級零點,故這些點中除1,