2021-2022學(xué)年度高二開學(xué)分班考試（四）【考試卷+全解全析】

2021—2022學(xué)年度高二開學(xué)分班考試（四）

數(shù)學(xué)試題

一、單項選擇題：本題共8小題，每小題5分，共40分.在每小題給出的四個選項中,

只有一個選項是符合題目要求的.

1.已知復(fù)數(shù)Z1=l-i，Z?Z2=1,則復(fù)數(shù)Z2的虛部為（）

A.——B.----C.1D.-1

22

tan15°?/、

2.--------；一的值是()

1-tan215°

「V3

A.----D.---D.V3

623

3.2sinl50cosl5°的值是()

1

A.-2B.一一C.—D.2

22

4.已知AABC中，A:3:C=1:1:4,則a:b:c等于().

A.1:1:3B.1:1:2

C.1:1:6D.2:2:73

5.在AABC中，|AB|=3,|AC|=2,AD=^AB+^AC,則直線AO通過AABC

的（）

A.垂心B.外心C.重心D.內(nèi)心

6.下列說法正確的是（）

rr

A.若a=b,則￡、B的長度相等且方向相同或相反

B.若向量而、C方滿足|通|>|西，且福與仁方同向，則A月〉。方

C.若￡*萬，則7與坂可能是共線向量

D.若非零向量而與麗平行，則A、B、C、。四點共線

7.2019年末，武漢出現(xiàn)新型冠狀病毒肺炎（COV7Q-19）疫情，并快速席卷我國其他地區(qū)，

傳播速度很快.因這種病毒是以前從未在人體中發(fā)現(xiàn)的冠狀病毒新毒株，所以目前沒有

特效治療方法，防控難度很大，武漢市出現(xiàn)疫情最早，感染人員最多，防控壓力最大，

武漢市從2月7日起舉全市之力入戶上門排查確診的新冠肺炎患者、疑似的新冠肺炎患

者、無法明確排除新冠肺炎的發(fā)熱患者和與確診患者的密切接觸者等“四類”人員，強化

網(wǎng)格化管理，不落一戶、不漏一人，在排查期間，一戶4口之家被確認為“與確診患者

的密切接觸者”，這種情況下醫(yī)護人員要對其家庭成員隨機地逐一進行“核酸”檢測，若

出現(xiàn)陽性，則該家庭為“感染高危戶”,設(shè)該家庭每個成員檢測呈陽性的概率均為0（O<P<1）

且相互獨立，該家庭至少檢測了3個人才能確定為“感染高危戶”的概率為了（。），當

P=Po時，/（P）最大，則Po=（）

A.叵B.1一也C.旦D.1一邁

2233

8.在正三棱柱ABC—44G中，4c=44,=2,點M是線段BQ的中點，點N是線

段AB的中點，記直線AM與CN所成角為a,二面角A—BC-A的平面角為￡,則

（）

A.a=BB.a>/3C.a</3D.a-2/3

二、多項選擇題：本題共4小題，每小題5分，共20分.在每小題給出的選項中，有

多項符合題目要求，全部選對的得5分，部分選對的得3分，有選錯的得0分.

9.下列命題中不正確的是（）

A.兩個有共同始點且相等的向量，其終點可能不同

B.若非零向量而與前共線，則A、B、C、。四點共線

C.若非零向量萬與日共線，則彳=日

D.四邊形ABC。是平行四邊形，則必有|麗卜|包|

10.先將曲線y=sin2x-^/isin（1一x）sin（x+m%）上每個點的橫坐標伸長為原來的

2倍（縱坐標不變），再將圖象向下平移g個單位，得到g（x）的圖象，則下列說法正

確的是（）

B.g（x）在［0,句上的值域為-J，；

C.g（x）的圖象關(guān)于點（看可對稱

1O萬

D.g（X）的圖象可由y=COSX+-的圖象向右平移y個單位長度得到

11.某商場一年中各月份的收入、支出情況的統(tǒng)計如圖所示，下列說法中正確的是（)

試卷第2頁，總6頁

O12345678910U12月

注：收入----------支出..........

利潤=收入-支出

A.2至3月份的收入的變化率與11至12月份的收入的變化率相同;

B.支出最高值與支出最低值的比是6：1；

C.第三季度平均收入為50萬元；

D.利潤最高的月份是2月份

12.在正方體ABCO-AgGA中，點Q為線段AQ上一動點，則()

A.對任意的點。，都有

B.三棱錐B-4。。的體積為定值

C.當。為AA中點時，異面直線々Q與BC所成的角最小

D.當。為中點時，直線4Q與平面所成的角最大

三、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分.

13.sin20cos100-cos160sin10=.

14.瑞云塔是福清著名的歷史文化古跡.如圖，一研究性小組同學(xué)為了估測塔的高度，

在塔底。和A,3(與塔底。同一水平面)處進行測量，在點A,3處測得塔頂C的

仰角分別為45。，30°,且A,3兩點相距91m,由點?？碅,3的張角為150。，則瑞

云塔的高度CD=m

c

15.甲、乙兩支田徑隊的體檢結(jié)果為：甲隊體重的平均數(shù)為60kg,方差為200,乙隊體

重的平均數(shù)為70kg,方差300,又已知甲、乙的隊員人數(shù)之比為1：4,那么甲、乙兩隊

全部隊員的方差為.

16.如圖，在四面體A8CD中，E、F分別是A3、CO的中點，G、H分別是BC

和AO上的動點，且E”與GF相交于點K.下列判斷中：

①直線經(jīng)過點K；②S.EFC=S.EFH；③E、F、G、H四點共面，且該平面把

四面體ABCD的體積分為相等的兩部分.所有正確的序號為.

四、解答題：本題共6小題，共70分.解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟.

17.如圖，已知復(fù)平面內(nèi)平行四邊形ABC。中，點A對應(yīng)的復(fù)數(shù)為一1,而對應(yīng)的復(fù)

數(shù)為2+2/,BC對應(yīng)的復(fù)數(shù)為4-4/.

D

試卷第4頁，總6頁

（1）求。點對應(yīng)的復(fù)數(shù)；

（2）求平行四邊形ABCQ的面積.

18.已知函數(shù)/(x)=(2cos2x-lain2x+gcos4x.

⑴求了0；

（2）求“X）的最小正周期:

（3）求/（x）在區(qū)間0,?上的最大值.

\4）

19.己知A為AMC的內(nèi)角，。為坐標原點，復(fù)數(shù)z=cosA+isinA（i為虛數(shù)單位）,

且滿足|z-l|=l.

⑴求1一z+z?；

7[

（2）復(fù)數(shù)z對應(yīng)的向量02繞。逆時針旋轉(zhuǎn)不得到而，。才對應(yīng)的復(fù)數(shù)為z'，求

z,z'.

20.已知點O,A,B,C的坐標分別為（0,0）,（1,-2）,（-3,4）,（2,1）.

（1）若（礪+f礪）"!■/,求實數(shù)f的值；

（2）是否存在實數(shù)r,使得麗+/麗=能成立?解釋你所得結(jié)論的幾何意義.

21.為了回饋消費者，某商場準備在假期舉行優(yōu)惠活動，據(jù)統(tǒng)計，消費者在該商場的消

費金額都不超過800元，活動策劃人員準備了兩種優(yōu)惠方案.

方案一：消費金額滿300元減50元，滿600元減120元，只取最高優(yōu)惠，不重復(fù)減免；

方案二：消費金額滿400元享受8折優(yōu)惠.

活動策劃人員從電腦中存儲的最近的消費記錄中隨機抽取了100位消費者的消費金額

（單位：元），整理得到如下頻數(shù)分布表：

消費金

(0,100)[100,200)[2(X),300)[3(X),400)[400,500)[500,6(X))[600,700)[70

額（元）

頻數(shù)814222012108

（1）分別估計兩種方案下消費者參與優(yōu)惠活動的概率：

（2）在消費金額的頻數(shù)分布表中取每組中間值作為代表，從全部消費者享受的優(yōu)惠平

均值角度分析哪種方案的優(yōu)惠力度更大.

22.棱錐是生活中最常見的空間圖形之一，譬如我們熟悉的埃及金字塔，它的形狀可視

為一個正四棱錐.我國數(shù)學(xué)家很早就開始研究棱錐問題，公元一世紀左右成書的《九章

算術(shù)》第五章中的第十二題，計算了正方錐、直方錐(陽馬)、直三角錐(鱉腌)的體

積，并給出了通用公式.公元三世紀中葉，數(shù)學(xué)家劉徽在給《九章算術(shù)》作的注中，運

用極限思想證明了棱錐的體積公式.請你使用學(xué)過的相關(guān)知識，解決下列問題：如圖，

正三棱錐S-ABC中，三條側(cè)棱“，SB,SC兩兩垂直，側(cè)棱長是3,底面ABC內(nèi)一

點P到側(cè)面的距離分別為x,y,z.

(1)求證：x+y+z=3；

111c

(2)若一+—+—=3,試確定點P在底面ABC內(nèi)的位置。

xyz

試卷第6頁，總6頁

2021—2022學(xué)年度高二開學(xué)分班考試（四）

數(shù)學(xué).全解全析

1.B

【詳解】

--11-i1-i1

因為Z1=l+i,Z],Z2=1，所以Z2=：；~~~=~7i~忑；一~=>所以其虛部為—.

15I21+1(1+1)(1-1)22

故選：B.

2.A

【詳解】

原式=」>2tan「=_Ltan30=—

21-tan215026

故選：A.

3.C

【詳解】

由題意知,

2sin150cos150=sin30°.

2

故選：c

4.C

【詳解】

因為A:3:C=1:1:4,故A=3=2,。=也，

由正弦定理可得a/：c=sinA:sin8:sinC=LL蟲?=1:1:G.

222

故選：C.

5.D

【詳解】

因為網(wǎng)==3,國=|AC|=2,3網(wǎng)=1|Xc|3

2

設(shè)福;=g而，藕=［正，則|函卜|福（

__I__3______.___

又4方=5A與+jxe=AB；+AC；,

4。在NB4C的角平分線上，

由于三角形中|A3|H|AC|,

故三角形的BC邊上的中線，高線，中垂線都不與NB4C的角平分線重合，

故AO經(jīng)過三角形的內(nèi)心，而不經(jīng)過外心，重心，垂心，

故選D.

6.C

【詳解】

對于A：若=可得I、5的長度相等但方向不一定相同或相反，故A錯誤；

對于B：若向量而、cb滿足I麗|>|c/51,且而與c力同向，由于兩個向量不能比

較大小，故B錯誤；

對于C：若3工5,則萬與5可能是共線向量，比如它們?yōu)橄喾聪蛄?，故C正確；

對于D：若非零向量而與麗平行，則A、B、C、。四點共線或平行四邊形的四個頂點，

故D錯誤.

故選：C.

7.B

【詳解】

設(shè)事件A為：檢測了3個人確定為"感染高危戶"；事件B為：檢測了4個人確定為"感染高

危戶”；

.?.P(A)=P(1-p)2,P(8)=p(l-p)3

即/(〃)=〃(1-〃)2+〃(1-〃)3=〃(1-〃)2(2-〃)，

設(shè)尤=1-。>0,則g(x)=(l-x)(l+x)f,

g(x)=(l—x)(l+x)f=(-2.2=；

當且僅當1一犬=/，即x時取等號，

2

試卷第8頁，總13頁

即P=Po=1一曰

故選：B

8.B

【詳解】

解：過點A作A\N*CN且AM=CN,連接MN-則NK4,M為直線4M與直線CN所

成角，即過點用作垂足為點則由題意易知為的

NM41M=a.MG_LgG，G,G8cl

中點，連接AM,GNi，因為AC=M=2,所以4乂=6，%G=6易知

NG4,M=60。，所以GN|=g,又正三棱柱-中，MG工GN「所以

、2陰2于是

MN=y/MG+GN^=J%2=2,AtM=+GM=2，

22+(V3)2-22&a

cosacosAMA.N.=——~4=—=—'故tana'-7-.

''2x2x7343

取5c的中點。，連接A。，4Q,因為三棱柱ABC-A4G是正三棱柱，且AC=A4,,

所以易知N4QA即為二面角4一8。一4的平面角，即N4QA=p.在正AABC中,

AQ=G，則tan4=tanNA,Q4=*=2f.因為12110=率〉竿=1211/7，且正

切函數(shù)在上單調(diào)遞增，所以￡〉夕，且tanawtan24,

B

9.ABC

【詳解】

A中，相等向量的始點相同，則終點一定也相同，所以A中命題不正確；

B中，向量而與麗共線，只能說明而、前所在直線平行或在同一條直線上，所以B

中命題不正確；

C中，向量行與5共線，說明日與5方向相同或相反，a與5不一定相等，所以C中命

題不正確；

。中，因為四邊形ABCD是平行四邊形，所以而與麗是相反向量，所以|而|■詬

所以。中命題正確.

故選:ABC

10.AC

【詳解】

23

解：y=sinx-V3sin(^--x)sinX+—7T

2

l-cos2x/r.

------------FV3sinxcosx

2

1-cos2xV3.3

------------1-----sinLX

22

=sin12X一看1

+2f

二將曲線y上每個點的橫坐標伸長為原來的2倍(縱坐標不變)，再將圖象向下平移3個單

71

位，得到g(x)=sinX------

2萬2zr7i

則=sin故正確;

g~~~61,A

n”5萬一團.71-11

由xe[0,4],得x-—，可得sinx---e故B不正確;

666k6;2'，

由g(。0)對稱，故c正確;

=0,可得g(x)的圖象關(guān)于點

試卷第10頁，總13頁

對于0,由y=cosx+!=sin[x+]的圖象向右平移V個單位長度，

212)23

得到y(tǒng)=sin(x+￡—V|+!=sin[的圖象，故D不正確.

\23y2I672

故選：AC.

11.ABC

【詳解】

對選項A,2至3月份的收入的變化率處型=一20

3-2

與口至12月份的收入的變化率竺二四=一20,故A正確;

12-11

對選項B,支出最高為2月支出60萬元，支出最低為5月支出10萬元,

比值為6:1,故B正確.

對選項C,第三季度平均收入為40+：+6°=50萬元,故c正確；

對選項D,由圖知：利潤最高為3月份和10月份，利潤為30萬元.

故選:ABC

12.ABD

【詳解】

連接AC,3。，正方形A8CO中，ACA.BD,

又8片，平面ABC。，ACu平面ABC。，所以(下面要用到正方體的棱與

相應(yīng)面上的直線垂直就不再證明了，方法相同).

BBqBD=B,8g,3。匚平面84?！?gt;,所以4。，平面8月2。，gOu平面88a￡),

所以AC_Lg。，同理

ACr\CD,=C,4C,C。u平面C2A,所以40_L平面COM，CQu平面CRA,所

以gDLCQ,A正確；

正方體中A。"/平面BCGg,因此。到平面BCGg的距離不變，即三棱錐Q—8旦。的

高不變，又面積不變，所以三棱錐。一8gC即三棱錐B—gCQ的體積不變，B正

確.

連接AQ，GQ，因為8c〃4G，所以NQgC1(或其補角)是異面直線4Q與6c的所成

的角.

設(shè)正方體ABC?！狝AG。的棱長為。，設(shè)DiQ=kD[A=?a,

則在4弓AQ中，AQ=收+(y/2ka)2-2ax?acos(=d2kFk+la,

由A4_LA。,CR1D,Q,得gQ=加+(2公一2女+向=^2k2-2k+2a，

￡Q=7?2+(V2A?)2=yl2k2+la,

人D”＞一.(2公一2%+2)。2+。2一(2/+1)/1-k

△4QG中，cosZQB[C,=---------,—---------=/——?一,

2ayJ2k2-2k+2xayl2k2-2k+2

%=1時，cosNQ51G=0，

人[0,1)時,設(shè)f=l-左w(0,l],

cosZ.QB.C,=-7t_,=]t-------=.；---=一,1

-=1,即％=0時，cosNQ31G取得最大值立，

t2

TT

所以。與4重合時，NQ4￡取得最小值一，c錯誤；

4

因為平面BCC4//平面AORA,所以直線B.Q與平面BCC,B,所成的角等于直線與。

與平面AORA所成的角，由上討論知NB|Q4就是直線B,Q與平面ADD^所成的角，

tanZ.AQB.=,。=/1=—,1

△AQQ中，sjlk2-2k+\aJ2k2-2k+lL,k1，

0k-52)+2

所以A:=g時，tan/AQg取得最大值，而N^Q片為銳角，/4。片最大，此時。是A2

中點.D正確.

試卷第12頁，總13頁

故選：ABD.

1

13.一

2

【詳解】

sin20°cos10°-cos160°sin10°=sin20°cos10°+cos20°sin10°=sin300=-.

2

故答案為：—.

2

14.13V7

【詳解】

設(shè)CD=/l米，???在點A8處測得塔頂C的仰角分別為45。，30。，

BD=AD—h,

在△ABO中，由余弦定理，得

AB2=5￡>2+A￡)2-2j8r>A￡>cosl50o=>912=7/z2=>/i=13>/7.

故答案為：13近

15.296

【詳解】

解：甲、乙兩隊全部隊員體重的平均數(shù)為

—14

=-x60+-x70=68,

%55

所以甲、乙兩隊全部隊員的方差為

9124,n2,

=_X[2OO+(60-68)]+-x[300+(70-68)]=296,

故答案為：296

16.①③

【詳解】

①項，因為EHcFG=K,所以KGEH，且平面回，

.?.Ke平面ABD

同理可得，Ke平面88；

又因為平面ABDc平面BC0=8D,所以KGBD,

所以E”，BD，EG三條直線相交于同一點.故①正確.

②項，Sv*%為定值，H為A。上的動點，又因為A。與E尸為異面直線,

所以H到EF的距離是變化的，所以S.EFH是變化的，故②不正確.

③項，當K與。重合時，，與D重合，G與C重合，如圖(1)所示

此時平面EGFH即為平面ECD,

因為E為A8中點，所以平面ECD把四面體分成體積相等的兩部分.

圖(1)

當K遠離D時，平面EGFH使兩部分體積發(fā)生了變化,

一部分在三棱錐A-ECD的基礎(chǔ)上，

多出了一個三棱錐E-GCF的體積，如圖2所示，

少了一個三棱錐E-FDH的體積，如圖3所示，

試卷第14頁，總13頁

A

過點。做。M//A&ON//BC,分別交EK,GK于點M,N,

連接MN,如圖4所示

CGDNDK

DN!IBC,~BG~~BG~~BK

DHCGDHCG

-h

~AD"BC'

^E-GCF，-I'VE-HDF=VH-EFD=W8c0

-V=v

…vE-GCFVE-HDF

所以無論E、F、GH如何變化，平面把四面體ABC。的體積分為相等的兩部分，(3)

正確.

故答案為：①③

17.(1)3-4/；(2)16.

【詳解】

解：(1)依題點A對應(yīng)的復(fù)數(shù)為-1，通對應(yīng)的復(fù)數(shù)為2+2/,

得4-1，0),AB=(2,2),可得8(1,2).

又就對應(yīng)的復(fù)數(shù)為4-4，，得就=(4,-4),可得C(5,-2).

設(shè)。點對應(yīng)的復(fù)數(shù)為x+yj,x,y&R.

得前=(x-5,y+2),麗=(-2,-2).

：A8CD為平行四邊形，，麗=函，解得x=3,y=-4,

故。點對應(yīng)的復(fù)數(shù)為3-4i.

⑵AB=(2,2),而=(4,-4),

可得：ABBC=O>???AB±BC

畫=2&,用=40

故平行四邊形A8CD的面積為2>/^4也=16

18.(1)--；(2)—；(3)—.

222

【詳解】

/(x)=(2cos?x-1)sin2x+gcos4x

(1)

=cos2xsin2x+—cos4x=—sin4x+—cos4x

222

(2)/(x)的最小正周期T=子=3

nH5TT

(3)0c<X<—n:.—<4x+—<—

4444

當41+工=工時，即x=2時，sin(4x+f］的最大值是1,

4216I4)

19.(1)0；(2)-1.

試卷第16頁，總13頁

【詳解】

(1)z=cosA+isinA,|z-11=^/(cosA-l)24-sin2A=\/2-2cosA，因為|z-l|=l,

所以，2-2cosA=1,所以cosA=g,又因為角A為ziABC的一個內(nèi)角，所以A=g"，

..61>/3.i21(1G[f1n

sinA=—，所以z=—i-----i?所以1+z+z=1——i------+—I-------i=0?

222(22j(22j

(2)因為z='+且i，由復(fù)數(shù)的幾何意義，求復(fù)數(shù)z對應(yīng)的向量02逆時針旋轉(zhuǎn)工得到

223

0Z=一歲)，則。N對應(yīng)的復(fù)數(shù)為z'=-；+咚4，

E.flV3,V16],

則z-z=g+旬[-萬+旬=-1.

20.(1)I；(2)不存在，向量急與而不平行.

【詳解】

(1)因為礪+f麗=(1,-2)+f(-3,4)=(1-3f,-2+4r),

Xc=(2,1)-(1-2)=(1,3),[OA+tOB]VAC,

所以(礪+f礪)?/=(l-3/)+(—2+4r)x3=0,所以r=g.

(2)設(shè)存在實數(shù)3使得況+/礪=反，則(1,-2)+1-3,4)=(2,1),

所以(一3/,旬=(2,1)-(1,-2)=(1,3),

f-3r=1

從而V,c,此方程組無解，

故不存在這樣的實數(shù)t