（新教材）【人教A版】必修一1.2（數(shù)學(xué)）

1.2集合間的基本關(guān)系

1.Venn圖用平面上封閉曲線的內(nèi)部代表集合,這種圖稱為Venn圖.2.子集與真子集概念定義符號(hào)表示圖形表示子集如果集合A中任意一個(gè)元素都是集合B中的元素,稱集合A為集合B的子集A?B(或B?A)讀作A含于B或B包含A

真子集如果集合A?B,但存在元素x∈B,且x?A,則稱集合A是集合B的真子集A

B(或B

A)

【思考】(1)任意兩個(gè)集合之間是否有包含關(guān)系?提示:不一定,如集合A={1,3},B={2,3},這兩個(gè)集合就沒有包含關(guān)系.(2)符號(hào)“∈”與“?”有什么區(qū)別?提示:①“∈”是表示元素與集合之間的關(guān)系,比如1∈N,-1?N.②“?”是表示集合與集合之間的關(guān)系,比如N?R,{1,2,3}?{3,2,1}.③“∈”的左邊是元素,右邊是集合,而“?”的兩邊均為集合.3.集合相等自然語言如果集合A的任何一個(gè)元素都是集合B的元素,同時(shí)集合B的任何一個(gè)元素,都是集合A的元素,那么集合A與集合B相等,記作A=B.符號(hào)語言A?B且B?A?A=B圖形語言

4.空集定義不含任何元素的集合叫做空集記法?規(guī)定空集是任何集合的子集,即??A特性(1)空集只有一個(gè)子集,即它的本身,???(2)A≠?,則?A【思考】(1)?與{0}有何區(qū)別?提示:?是不含任何元素的集合;{0}是含有一個(gè)元素的集合,0∈{0},0??,?

{0}.(2)若集合A滿足A?B,則從元素具有什么特征考慮,集合A有哪些情況?提示:有以下三種情況:①A是空集;②A是由B的部分元素構(gòu)成的集合;③A是由B的全部元素構(gòu)成的集合.5.集合間關(guān)系的性質(zhì)(1)任何一個(gè)集合都是它本身的子集,即A?A.(2)對于集合A,B,C,若A?B,且B?C,則A?C.【素養(yǎng)小測】1.思維辨析(對的打“√”,錯(cuò)的打“×”)(1)任何集合至少有兩個(gè)子集. (

)(2){0,1,2}?{2,0,1}. (

)(3)若A?B,且A≠B,則A

B. (

)(4)集合{0,1}的子集是{0},{1},{0,1}. (

)提示:(1)×.?只有一個(gè)子集.(2)√.{0,1,2}={2,0,1},所以{0,1,2}?{2,0,1}.(3)√.若A?B,且A≠B,則AB.(4)×.?也是集合{0,1}的子集.2.下列圖形中,表示M?N的是(

)【解析】選C.根據(jù)題意可知,M中的任意一個(gè)元素都是N中的元素,故C正確.3.已知集合A={-1,3,m},B={3,4},若B?A,則實(shí)數(shù)m=________.

【解析】因?yàn)锽?A,B={3,4},A={-1,3,m},比較A,B中的元素可知m=4.答案:4類型一集合間關(guān)系的判斷【典例】1.下列各個(gè)關(guān)系式中,正確的是 (

)A.?={0}

B.∈QC.{3,5}≠{5,3}

D.{1}?{x|x2=x}2.已知集合A={x|x<-2或x>0},B={x|0<x<1},則 (

)A.A=B

B.A

B

C.B

A

D.A?B3.判斷下列各組中集合之間的關(guān)系:(1)A={x|x是12的約數(shù)},B={x|x是36的約數(shù)};(2)A={x|x2-x=0},B={x∈R|x2+1=0};(3)A={x|x是平行四邊形},B={x|x是菱形},C={x|x是四邊形},D={x|x是正方形};(4)M=,N=.世紀(jì)金榜導(dǎo)學(xué)號(hào)【思維·引】1.先確定是元素與集合的關(guān)系還是集合與集合的關(guān)系,然后根據(jù)集合中元素的特征逐項(xiàng)判斷.2.畫出數(shù)軸,觀察數(shù)軸判斷集合A與B的關(guān)系.3.首先確定集合由哪些元素構(gòu)成,然后判斷集合之間的關(guān)系.【解析】1.選D.因?yàn)?

{0},?Q,{3,5}={5,3},所以A,B,C錯(cuò)誤,{x|x2=x}={0,1},所以{1}?{x|x2=x}成立2.選C.由數(shù)軸知BA.3.(1)因?yàn)槿魓是12的約數(shù),則必定是36的約數(shù),反之不成立,所以A

B.(2)因?yàn)锳={x|x2-x=0}={0,1},B={x∈R|x2+1=0}=?,所以BA.(3)由圖形的特點(diǎn)可畫出Venn圖如圖所示,從而C

ABD.(4)方法一:對于集合M,其組成元素是,分子部分表示所有的整數(shù);對于集合N,其組成元素是+n=,分子部分表示所有的奇數(shù).由真子集的概念知,NM.方法二:用列舉法表示集合如下:M=,N=,所以N

M.【內(nèi)化·悟】當(dāng)集合中元素有無限多個(gè)時(shí),常用哪些方法判斷集合之間的關(guān)系?提示:常用的方法有以下兩種:(1)畫數(shù)軸,(2)適當(dāng)變形尋找聯(lián)系,例如:對于集合A=,B=,將集合A變?yōu)锳=,不難觀察出A

B.【類題·通】1.集合間基本關(guān)系判定的兩種方法和一個(gè)關(guān)鍵2.證明集合相等的兩種方法(1)用兩個(gè)集合相等的定義,證明兩個(gè)集合A,B中的元素全部相同,即可證明A=B.(2)證明A?B,同時(shí)B?A,推出A=B.【習(xí)練·破】1.已知集合A={x|x=3k,k∈Z},B={x|x=6k,k∈Z},則A與B之間最適合的關(guān)系是 (

)A.A?B

B.A?B

C.A

B

D.A

B【解析】選D.因?yàn)锳中元素是3的整數(shù)倍,而B中元素是3的偶數(shù)倍,所以集合B是集合A的真子集.2.已知集合A=,B=,則集合A,B的關(guān)系為________.

【解析】由集合A得:A=,由集合B得:B=,因?yàn)?n+1,n∈Z和2n+3,n∈Z都表示所有奇數(shù),所以A=B.答案:A=B【加練·固】1.已知集合U,S,T,F之間的關(guān)系如圖所示,下列關(guān)系中錯(cuò)誤的有________.(只填序號(hào))

①S

U;②FT;③S

T;④S

F;⑤F

U.【解析】根據(jù)子集、真子集的定義,由Venn圖的關(guān)系,可以看出SU,ST,FU正確,②④錯(cuò)誤.答案:②④2.已知集合A={x|x=3n-2,n∈Z},B={y|y=3k+1,k∈Z},證明:A=B.【證明】(1)設(shè)任意x0∈A,則x0=3n0-2,且n0∈Z,3n0-2=3(n0-1)+1,因?yàn)閚0∈Z,所以n0-1∈Z,所以x0∈B,故A?B.(2)設(shè)任意y0∈B,則有y0=3k0+1,且k0∈Z,3k0+1=3(k0+1)-2,因?yàn)閗0∈Z,所以k0+1∈Z,所以y0∈A,故B?A.綜上可得A=B.類型二元素個(gè)數(shù)有限的集合的子集問題【典例】1.滿足{2019}?A

{2019,2020,2021}的集合A的個(gè)數(shù)為 (

)A.1

B.2

C.3

D.42.已知集合A={(x,y)|x+y=2,x,y∈N},試寫出A的所有子集. 世紀(jì)金榜導(dǎo)學(xué)號(hào)【思維·引】1.依據(jù)子集和真子集的定義確定集合A中的元素,寫出滿足條件的集合;2.先確定集合A由哪些元素構(gòu)成,然后按元素個(gè)數(shù)分類寫出A的所有子集.【解析】1.選C.滿足{2019}?A{2019,2020,2021}的集合A可以是:A={2019},{2019,2020},{2019,2021},因此滿足條件的集合A的個(gè)數(shù)為3.2.因?yàn)锳={(x,y)|x+y=2,x,y∈N},所以A={(0,2),(1,1),(2,0)}.所以A的子集有:?,{(0,2)},{(1,1)},{(2,0)},{(0,2),(1,1)},{(0,2),(2,0)},{(1,1),(2,0)},{(0,2),(1,1),(2,0)}.【內(nèi)化·悟】求集合的子集時(shí),為了做到不重不漏,常采用什么方法?提示:對于含有n個(gè)元素的集合A,按元素個(gè)數(shù)由0到n,依次列出集合A的子集.【類題·通】求解有限集合的子集的三個(gè)關(guān)鍵點(diǎn)(1)確定所求集合.(2)合理分類,按照子集所含元素的個(gè)數(shù)依次寫出.(3)注意兩個(gè)特殊的集合,即空集和集合本身.另外,一般地,若集合A中有n個(gè)元素,則其子集有2n個(gè),真子集有(2n-1)個(gè),非空真子集有(2n-2)個(gè).【習(xí)練·破】滿足條件{x|x2-1=0}?A

{-1,0,1,2,5}的集合A的個(gè)數(shù)為 (

)A.7

B.6

C.8

D.5【解析】選A.因?yàn)閧x|x2-1=0}={-1,1},所以{-1,1}?A{-1,0,1,2,5},所以集合A可以是{-1,1},{-1,1,0},{-1,1,2},{-1,1,5},{-1,1,0,2},{-1,1,0,5},{-1,1,2,5},共7個(gè).【加練·固】已知a為給定的實(shí)數(shù),那么集合M={x|x2-3x-a2+2=0,x∈R}的子集的個(gè)數(shù)為 (

)A.1

B.2

C.4

D.不確定【解析】選C.方程x2-3x-a2+2=0的根的判別式Δ=1+4a2>0,所以方程有兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根,所以集合M有2個(gè)元素,所以集合M有22=4個(gè)子集.類型三由集合間的關(guān)系求參數(shù)的值(取值范圍)角度1由集合相等求參數(shù)【典例】已知集合A={2,x,y},B={2x,2,y2},且A=B,求x,y的值.【思維·引】根據(jù)A=B列方程組,解方程求出x,y,檢驗(yàn)集合中元素的互異性,求出x,y的值.【解析】因?yàn)锳=B,所以集合A與集合B中的元素相同,所以或解得或或驗(yàn)證得,當(dāng)x=0,y=0時(shí),A={2,0,0}這與集合元素的互異性相矛盾,舍去.所以x,y的取值為或角度2由集合之間的包含關(guān)系求參數(shù)【典例】已知集合A={x|-2≤x≤5},B={x|m-6≤x≤2m-1},若B?A,求實(shí)數(shù)m的取值范圍. 世紀(jì)金榜導(dǎo)學(xué)號(hào)【思維·引】分B=?和B≠?兩種情況討論,B≠?時(shí)根據(jù)B?A列不等式組求m的取值范圍.【解析】(1)當(dāng)B=?時(shí),有m-6>2m-1,則m<-5,此時(shí)B?A成立.(2)當(dāng)B≠?時(shí),B?A,此時(shí)滿足解得不等式組解集為?.由(1)(2)知,實(shí)數(shù)m的取值范圍是{m|m<-5}.【素養(yǎng)·探】由集合間的關(guān)系求參數(shù)問題中,經(jīng)常利用核心素養(yǎng)中的直觀想象,由數(shù)軸直觀展示集合之間的關(guān)系,并列出不等式(組),求參數(shù)的值或范圍.本例中若將“A={x|-2≤x≤5}”改為“A={x|x<-2或x>5}”,其余條件不變,求實(shí)數(shù)m的取值范圍.【解析】(1)當(dāng)B=?時(shí),m-6>2m-1,則m<-5,此時(shí)滿足條件B?A.(2)當(dāng)B≠?時(shí),B?A,則或解得-5≤m<-或m>11.綜合(1)、(2)知,實(shí)數(shù)m的取值范圍是{m|m<-或m>11}.【類題·通】1.由集合相等求參數(shù)取值的方法從集合相等的含義出發(fā),轉(zhuǎn)化為元素間的關(guān)系,一是利用分類討論的方法建立方程組求參數(shù)的值,二是利用元素相同,則元素的和與積分別相同,建立方程組求參數(shù)的值.需要注意的是解方程組后要代入檢驗(yàn),對不符合題意的參數(shù)的值要舍去.2.由集合之間的包含關(guān)系求參數(shù)的兩類問題(1)若集合中的元素是一一列舉的,依據(jù)集合之間的關(guān)系,可轉(zhuǎn)化為解方程(組)求解,此時(shí)要注意集合中元素的互異性.(2)若集合中的元素由不等式(組)限制,常借助于數(shù)軸轉(zhuǎn)化為不等式(組)求解,此時(shí)要注意端點(diǎn)值能否取到.3.由集合之間的包含關(guān)系求參數(shù)的一個(gè)關(guān)注點(diǎn)空集是任何集合的子集,因此在解A?B(B≠?)的含參數(shù)的問題時(shí),要注意討論A=?和A≠?兩種情況,前者常被忽視,造成思考問題不全面.【習(xí)練·破】1.已知集合P={x|x2=1},集合Q={x|ax=1},若Q?P,那么a的取值是________.

【解析】由題意得P={-1,1},又因?yàn)镼?P,若Q=?,則a=0,此時(shí)滿足Q?P,若Q≠?,則Q=,由題意知,=1或=-1,解得a=±1.綜上可知,a的取值是0,±1.答案:0,±12.已知集合A={x,xy,x-y},B={0,|x|,y}且A=B,求實(shí)數(shù)x與y的值.【解析】由已知A