6.2.4+平面向量的數(shù)量積（1）課件-2020-2021學(xué)年高一下學(xué)期數(shù)學(xué)人教A版（2019）必修第二冊(cè)

第六章平面向量及其應(yīng)用6.2.4平面向量的數(shù)量積教學(xué)目標(biāo)

理解平面向量數(shù)量積的含義并會(huì)計(jì)算（重點(diǎn)）

01

理解a在b上的投影向量的概念（重點(diǎn)）

02

理解平面向量夾角、模的定義，并會(huì)求向量的夾角和模（難點(diǎn)）

03

掌握平面向量數(shù)量積的性質(zhì)及其運(yùn)算律，并會(huì)應(yīng)用04學(xué)科素養(yǎng)

a在b上的投影向量的概念平面向量夾角、模的定義數(shù)學(xué)抽象

理解a在b上的投影向量的概念

直觀(guān)想象

理解平面向量夾角、模的定義，并會(huì)求向量的夾角和模邏輯推理

理解平面向量數(shù)量積的含義并會(huì)計(jì)算掌握平面向量數(shù)量積的性質(zhì)及其運(yùn)算律，并會(huì)應(yīng)用

數(shù)學(xué)運(yùn)算

數(shù)據(jù)分析

數(shù)學(xué)建模01知識(shí)回顧RetrospectiveKnowledgeOABACB向量的加法：三角形法則中強(qiáng)調(diào)“首尾相連”；平行四邊形法則中強(qiáng)調(diào)的是“共起點(diǎn)，不共線(xiàn)”.向量的減法（三角形法則）：(1)起點(diǎn)相同；

(2)減向量的終點(diǎn)指向被減向量的終點(diǎn).

一般地，我們規(guī)定實(shí)數(shù)λ與向量a的積是一個(gè)向量，這種運(yùn)算叫做向量的數(shù)乘，記作λa，它的長(zhǎng)度與方向規(guī)定如下∶設(shè)λ、μ為實(shí)數(shù)，那么(1)λ(μa)=(λμ)a(2)(λ+μ)a=λa+μa(3)λ(a+b)=λa+λb(1)|λa|=|λ||a|；(2)λ>0時(shí)，λa與a方向相同；λ<0時(shí)，λa與a方向相反；

向量的加、減、數(shù)乘運(yùn)算統(tǒng)稱(chēng)為向量的線(xiàn)性運(yùn)算.向量的線(xiàn)性運(yùn)算的結(jié)果仍是向量.02知識(shí)精講

ExquisiteKnowledge

前面我們學(xué)習(xí)了向量的加、減運(yùn)算．類(lèi)比數(shù)的運(yùn)算，出現(xiàn)了一個(gè)自然的問(wèn)題：向量能否相乘？如果能，那么向量的乘法該怎樣定義呢？

在物理課中我們學(xué)過(guò)功的概念：一個(gè)物體在力F的作用下產(chǎn)生位移S，那么力F所做的功其中θ是力F與位移S的夾角.

功是一個(gè)標(biāo)量，它由力和位移兩個(gè)向量來(lái)確定.這給我們一種啟示，能否把“功”看成是兩個(gè)向量“相乘”的結(jié)果呢？受此啟發(fā)，我們引入向量“數(shù)量積”的概念.

如果我們將公式中的力與位移類(lèi)比推廣到兩個(gè)一般向量，其結(jié)果又該如何表述？?jī)蓚€(gè)向量的大小及其夾角余弦的乘積.功是力與位移的大小及其夾角余弦的乘積；因?yàn)榱ψ龉Φ挠?jì)算公式中涉及力與位移的夾角，所以我們先要定義向量的夾角概念.

已知兩個(gè)非零向量a，b，O是平面上的任意一點(diǎn)，作

則∠AOB=θ

(0≤θ≤π)叫做向量a與b的夾角．顯然，當(dāng)θ=0時(shí)，a與b同向;當(dāng)θ=π時(shí)，a與b反向.如果a與b的夾角是，我們說(shuō)a與b垂直，記作a⊥b.向量的夾角1.向量的夾角

0≤θ≤π

特別地，零向量與任何向量的數(shù)量積等于0.2.平面向量數(shù)量積的定義

對(duì)比向量的線(xiàn)性運(yùn)算，我們發(fā)現(xiàn)，向量線(xiàn)性運(yùn)算的結(jié)果是一個(gè)向量，而兩個(gè)向量的數(shù)量積是一個(gè)數(shù)量，這個(gè)數(shù)量的大小與兩個(gè)向量的長(zhǎng)度及其夾角有關(guān).

已知兩個(gè)非零向量a與b，它們的夾角為θ，把數(shù)量|a||b|cosθ叫做向量a與b的數(shù)量積(或內(nèi)積)，記作a·b，即

a·b＝|a||b|cosθ【例9】已知|a|=3，|b|=4,a與b的夾角，求a?b.【例10】設(shè)|a|=12，|b|=9，

，求a與b的夾角

．平面向量的數(shù)量積向量的夾角公式兩個(gè)非零向量a與b的數(shù)量積符號(hào)和這兩向量夾角θ的取值范圍有什么關(guān)系？【練習(xí)】已知ΔABC為銳角三角形，那么的值（）A.小于零B.等于零C.大于零

D.不確定A3.投影向量設(shè)a，b是兩個(gè)非零向量，

，過(guò)

的起點(diǎn)A和終點(diǎn)B，分別作

所在直線(xiàn)的垂線(xiàn)，垂足分別為A1，B1，得到

，我們稱(chēng)這種變換為向量

向向量

投影，

叫做向量

在向量

上的投影向量．

我們可以在平面內(nèi)任取一點(diǎn)O，作.過(guò)點(diǎn)M作直線(xiàn)ON的垂線(xiàn)，垂足為，則就是向量在向量上的投影向量

如圖，設(shè)與方向相同的單位向量為，與的夾角為θ，那么與，，θ之間有怎樣的關(guān)系？

顯然與

共線(xiàn)，于是所以當(dāng)θ為直角時(shí)，λ=0，所以當(dāng)θ為銳角時(shí)，與

方向相同，所以當(dāng)θ為鈍角時(shí)，與

方向相反，當(dāng)θ=0時(shí)，λ=，所以當(dāng)θ=

時(shí)，λ=，所以綜上可知，對(duì)任意的都有:

從上面的探究我們看到，兩個(gè)非零向量a與b相互平行或垂直時(shí)，a在b上的投影具有特殊性．這時(shí)，它們的數(shù)量積又有怎樣的特殊性？a與b方向相同a·b=-|a||b|a與b方向相同a·b=|a||b|a

⊥

ba·b=0如果a·b=0，是否有a=0，或b=0？如果a·b=0，不能得出a=0或b=0.a

⊥

b若a，b為非零向量，則a·b=0【練習(xí)】1．已知a，b滿(mǎn)足|a|＝2，|b|＝1，且a與b的夾角為30°，那么a·b等于____．2．已知向量a，b滿(mǎn)足|a|＝1，|b|＝4，且a·b＝2，則a與b的夾角θ為

.3．已知e為單位向量，|a|=4，a與e夾角為120°，則a在e方向上的投影向量為

．4.數(shù)量積的性質(zhì)(3)當(dāng)

與

同向時(shí)，

；當(dāng)

與

反向時(shí)，

．

特別地，

或

．（由|cosθ|≤1得到）設(shè)a，b是非零向量，它們的夾角是θ，e是與b方向相同的單位向量，則

aa常記為a03拓展提升ExpansionAndPromotion04歸納總結(jié)SumUp

已知兩個(gè)非零向量a，b，O是平面上的任意一點(diǎn)，作

則∠AOB=θ

(0≤θ≤π)叫做向量a與b的夾角．向量的夾角1.向量的夾角

0≤θ≤π

特別地，零向量與任何向量的數(shù)量積等于0.2.平面向量數(shù)量積的定義

已知兩個(gè)非零向量a與b，它們的夾角為θ，把數(shù)量|a||b|cosθ叫做向量a與b的數(shù)量積(或內(nèi)積)，記作a·b，即

a·b＝|a||b|cosθ3.投影向量

我們可以在平面內(nèi)任取一點(diǎn)O，作.過(guò)點(diǎn)M作直線(xiàn)ON的垂線(xiàn)，垂足為，則就是向量在向量上的投影向量.4.數(shù)量積的性質(zhì)設(shè)a，b是非零向量，它們的夾角是θ，e是與b方向相同的單位向量，則