6.2.4+平面向量的數(shù)量積(1)課件-2020-2021學(xué)年高一下學(xué)期數(shù)學(xué)人教A版(2019)必修第二冊(cè)_第1頁(yè)
6.2.4+平面向量的數(shù)量積(1)課件-2020-2021學(xué)年高一下學(xué)期數(shù)學(xué)人教A版(2019)必修第二冊(cè)_第2頁(yè)
6.2.4+平面向量的數(shù)量積(1)課件-2020-2021學(xué)年高一下學(xué)期數(shù)學(xué)人教A版(2019)必修第二冊(cè)_第3頁(yè)
6.2.4+平面向量的數(shù)量積(1)課件-2020-2021學(xué)年高一下學(xué)期數(shù)學(xué)人教A版(2019)必修第二冊(cè)_第4頁(yè)
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文檔簡(jiǎn)介

第六章平面向量及其應(yīng)用6.2.4平面向量的數(shù)量積教學(xué)目標(biāo)

理解平面向量數(shù)量積的含義并會(huì)計(jì)算(重點(diǎn))

01

理解a在b上的投影向量的概念(重點(diǎn))

02

理解平面向量夾角、模的定義,并會(huì)求向量的夾角和模(難點(diǎn))

03

掌握平面向量數(shù)量積的性質(zhì)及其運(yùn)算律,并會(huì)應(yīng)用04學(xué)科素養(yǎng)

a在b上的投影向量的概念平面向量夾角、模的定義數(shù)學(xué)抽象

理解a在b上的投影向量的概念

直觀(guān)想象

理解平面向量夾角、模的定義,并會(huì)求向量的夾角和模邏輯推理

理解平面向量數(shù)量積的含義并會(huì)計(jì)算掌握平面向量數(shù)量積的性質(zhì)及其運(yùn)算律,并會(huì)應(yīng)用

數(shù)學(xué)運(yùn)算

數(shù)據(jù)分析

數(shù)學(xué)建模01知識(shí)回顧RetrospectiveKnowledgeOABACB向量的加法:三角形法則中強(qiáng)調(diào)“首尾相連”;平行四邊形法則中強(qiáng)調(diào)的是“共起點(diǎn),不共線(xiàn)”.向量的減法(三角形法則):(1)起點(diǎn)相同;

(2)減向量的終點(diǎn)指向被減向量的終點(diǎn).

一般地,我們規(guī)定實(shí)數(shù)λ與向量a的積是一個(gè)向量,這種運(yùn)算叫做向量的數(shù)乘,記作λa,它的長(zhǎng)度與方向規(guī)定如下∶設(shè)λ、μ為實(shí)數(shù),那么(1)λ(μa)=(λμ)a(2)(λ+μ)a=λa+μa(3)λ(a+b)=λa+λb(1)|λa|=|λ||a|;(2)λ>0時(shí),λa與a方向相同;λ<0時(shí),λa與a方向相反;

向量的加、減、數(shù)乘運(yùn)算統(tǒng)稱(chēng)為向量的線(xiàn)性運(yùn)算.向量的線(xiàn)性運(yùn)算的結(jié)果仍是向量.02知識(shí)精講

ExquisiteKnowledge

前面我們學(xué)習(xí)了向量的加、減運(yùn)算.類(lèi)比數(shù)的運(yùn)算,出現(xiàn)了一個(gè)自然的問(wèn)題:向量能否相乘?如果能,那么向量的乘法該怎樣定義呢?

在物理課中我們學(xué)過(guò)功的概念:一個(gè)物體在力F的作用下產(chǎn)生位移S,那么力F所做的功其中θ是力F與位移S的夾角.

功是一個(gè)標(biāo)量,它由力和位移兩個(gè)向量來(lái)確定.這給我們一種啟示,能否把“功”看成是兩個(gè)向量“相乘”的結(jié)果呢?受此啟發(fā),我們引入向量“數(shù)量積”的概念.

如果我們將公式中的力與位移類(lèi)比推廣到兩個(gè)一般向量,其結(jié)果又該如何表述??jī)蓚€(gè)向量的大小及其夾角余弦的乘積.功是力與位移的大小及其夾角余弦的乘積;因?yàn)榱ψ龉Φ挠?jì)算公式中涉及力與位移的夾角,所以我們先要定義向量的夾角概念.

已知兩個(gè)非零向量a,b,O是平面上的任意一點(diǎn),作

則∠AOB=θ

(0≤θ≤π)叫做向量a與b的夾角.顯然,當(dāng)θ=0時(shí),a與b同向;當(dāng)θ=π時(shí),a與b反向.如果a與b的夾角是,我們說(shuō)a與b垂直,記作a⊥b.向量的夾角1.向量的夾角

0≤θ≤π

特別地,零向量與任何向量的數(shù)量積等于0.2.平面向量數(shù)量積的定義

對(duì)比向量的線(xiàn)性運(yùn)算,我們發(fā)現(xiàn),向量線(xiàn)性運(yùn)算的結(jié)果是一個(gè)向量,而兩個(gè)向量的數(shù)量積是一個(gè)數(shù)量,這個(gè)數(shù)量的大小與兩個(gè)向量的長(zhǎng)度及其夾角有關(guān).

已知兩個(gè)非零向量a與b,它們的夾角為θ,把數(shù)量|a||b|cosθ叫做向量a與b的數(shù)量積(或內(nèi)積),記作a·b,即

a·b=|a||b|cosθ【例9】已知|a|=3,|b|=4,a與b的夾角,求a?b.【例10】設(shè)|a|=12,|b|=9,

,求a與b的夾角

.平面向量的數(shù)量積向量的夾角公式兩個(gè)非零向量a與b的數(shù)量積符號(hào)和這兩向量夾角θ的取值范圍有什么關(guān)系?【練習(xí)】已知ΔABC為銳角三角形,那么的值()A.小于零B.等于零C.大于零

D.不確定A3.投影向量設(shè)a,b是兩個(gè)非零向量,

,過(guò)

的起點(diǎn)A和終點(diǎn)B,分別作

所在直線(xiàn)的垂線(xiàn),垂足分別為A1,B1,得到

,我們稱(chēng)這種變換為向量

向向量

投影,

叫做向量

在向量

上的投影向量.

我們可以在平面內(nèi)任取一點(diǎn)O,作.過(guò)點(diǎn)M作直線(xiàn)ON的垂線(xiàn),垂足為,則就是向量在向量上的投影向量

如圖,設(shè)與方向相同的單位向量為,與的夾角為θ,那么與,,θ之間有怎樣的關(guān)系?

顯然與

共線(xiàn),于是所以當(dāng)θ為直角時(shí),λ=0,所以當(dāng)θ為銳角時(shí),與

方向相同,所以當(dāng)θ為鈍角時(shí),與

方向相反,當(dāng)θ=0時(shí),λ=,所以當(dāng)θ=

時(shí),λ=,所以綜上可知,對(duì)任意的都有:

從上面的探究我們看到,兩個(gè)非零向量a與b相互平行或垂直時(shí),a在b上的投影具有特殊性.這時(shí),它們的數(shù)量積又有怎樣的特殊性?a與b方向相同a·b=-|a||b|a與b方向相同a·b=|a||b|a

ba·b=0如果a·b=0,是否有a=0,或b=0?如果a·b=0,不能得出a=0或b=0.a

b若a,b為非零向量,則a·b=0【練習(xí)】1.已知a,b滿(mǎn)足|a|=2,|b|=1,且a與b的夾角為30°,那么a·b等于____.2.已知向量a,b滿(mǎn)足|a|=1,|b|=4,且a·b=2,則a與b的夾角θ為

.3.已知e為單位向量,|a|=4,a與e夾角為120°,則a在e方向上的投影向量為

.4.數(shù)量積的性質(zhì)(3)當(dāng)

同向時(shí),

;當(dāng)

反向時(shí),

特別地,

.(由|cosθ|≤1得到)設(shè)a,b是非零向量,它們的夾角是θ,e是與b方向相同的單位向量,則

aa常記為a03拓展提升ExpansionAndPromotion04歸納總結(jié)SumUp

已知兩個(gè)非零向量a,b,O是平面上的任意一點(diǎn),作

則∠AOB=θ

(0≤θ≤π)叫做向量a與b的夾角.向量的夾角1.向量的夾角

0≤θ≤π

特別地,零向量與任何向量的數(shù)量積等于0.2.平面向量數(shù)量積的定義

已知兩個(gè)非零向量a與b,它們的夾角為θ,把數(shù)量|a||b|cosθ叫做向量a與b的數(shù)量積(或內(nèi)積),記作a·b,即

a·b=|a||b|cosθ3.投影向量

我們可以在平面內(nèi)任取一點(diǎn)O,作.過(guò)點(diǎn)M作直線(xiàn)ON的垂線(xiàn),垂足為,則就是向量在向量上的投影向量.4.數(shù)量積的性質(zhì)設(shè)a,b是非零向量,它們的夾角是θ,e是與b方向相同的單位向量,則

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